X, Y, yang diasumsikan mengikuti model :

Transkripsi

1 PERBANDINGAN MODEL REGRESI NONPARAMETRIK DENGAN REGRESI SPLINE DAN KERNEL Lls Laome Jurusa Matematka FMIPA Uverstas Haluoleo Kedar 933 emal : ls@yaoo.com Abstrak Tulsa membaas model regres oarametrk utuk data ertumbua aak balta. Ada dua metode estmas regres oarametrk yag dguaka yatu regres sle da kerel. Tuua utama adala membadgka kedua metode utuk megestmas model regres oarametrk. Berdasarka asl umerk, derole model regres sle leb bak dar ada model regres kerel. Kata kuc : Regres oarametrk, regres sle, regres kerel Abstract Ts aer study about usg of oarametrc model for cld growt data. It s dscussed two oarametrc tecques called sle ad kerel regresso. Te ma goal s to comare te tecques used for redcto of te oarametrc regresso models. Accordg to te results of umercal studes, t s cocluded tat sle regresso estmators are better ta tose of te kerel regresso. Keywords : Noarametrc regresso, sle regresso, kerel regresso I. Pedaulua Msalka ada egamata deede X, Y, yag dasumska megkut model : y f ( x ),,,..., () dega N(0, ). Kurva regres f( x ) ada ersamaa () daat destmas dega edekata oarametrk ka tdak ada formas tetag betuk f( x ). Ada beberaa metode edekata regres oarametrk dataraya sle, kerel, k- earest egborood da la-la. Datara metode-metode edekata tersebut, regres oarametrk dega edekata sle da kerel meruaka metode yag serg dguaka. Kedua metode tersebut memlk keuggula masg-masg. Pedekata kerel memlk betuk yag leb fleksbel da ertuga matematsya muda dsesuaka []. Sedagka edekata sle daat meyesuaka dr secara efektf terada data tersebut, segga ddaatka asl yag medekat kebeara []. Oleya tu dar kedua edekata sle da kerel, sagat etg utuk megetau edekata regres oarametrk maa yag leb bak, regres sle atau regres kerel utuk memodelka fugs ertumbua aak balta.

2 Perbadga Model Regres Noarametrk Dega Regres Sle Da Kerel II. Taua Pustaka II. Estmator Sle betuk : dega Secara umum, fugs sle berorde adala sembarag fugs yag daat dtuls dalam f ( x) x ( x k ) () ( x k ) ( x k ), x k 0, x k da adala kostata real da k, k,..., k adala ttk-ttk kot. Jka =, = 3, da =, dsubttuska kedalam ersamaa () maka aka derole fugs sle secara berturut turut damaka fugs sle lear, sle kuadratk, da sle kubk [3]. f ( f ( x ), f ( x ),..., f ( x )) Msal dberka adala vektor dega la fugs f ada ttkttk kot k, k,..., k. Estmas sle ˆf meruaka la estmas ada y ( y, y,..., y ) T sebaga berkut : ˆ fˆ ( x ) y fˆ ( x ) y fˆ ( x ) y f ( S ) atau f S y Dega ˆf adala fugs sle dega ttk-ttk kot ˆ k, k,..., >0 da S adala matrk smooter yag deft ostf berukura []. II. Estmator Kerel (3) k utuk arameter egalus Pegalusa dega edekata kerel yag selautya dkeal sebaga egalusa kerel (kerel smooter) sagat tergatug ada fugs kerel da badwdt [5]. Taksra keadata kerel sagat tergatug ada fugs kerel yag dguaka, damaka fugs kerel ddefska dega : K ( ) x K x utuk x () yag memeu : (). K( x ) 0, (). K( x) dx, (). K ( x) dx, da (v). Kx ( ) smetrs d sektar 0. Secara umum taksra kerel ddefska sebaga berkut : ˆ x X f ( x ) K ( x X ) K dmaa adala deraat egalus kerel yag dsebut arameter badwdt da berera utuk megotrol eyebara dar fugs f ˆ ( x ). Krtera emla fugs kerel yag bak (5)

3 Berat Bada Balta (Kg ) JIMT, Vol. 7, No., Me 00 : 7 berdasarka ada resko kerel mmum yag daat derole dar kerel otmal atau kerel-kerel dega varas mmum. Berkut macam-macam fugs kerel [5] seert ada table d bawa: III. Kerel Tabel. Macam-macam Fugs Kerel K(u) Eaeckkov Quartc 3 u I ( u ) 5 u I ( u ) 6 Trgular u I( u ) ex u I( u ) Gaussa Uform ( ) I u Hasl da Pembaasa Data yag dguaka [], dega varabel eelta adala umur balta (X) da berat bada balta (Y) sebayak 8 aak lak-lak da 5 aak eremua. Lagka awal yag dlakuka sebelum melakuka aalss regres adala melakuka deskrs data. Deskrs data dlakuka dega membuat lot data atara umur aak balta (X) da berat bada aak balta (Y) bak lak-lak mauu eremua. Plot data tersebut dguaka utuk meaksr fugs data yag medekat da melat bagamaa erubaa ola erlaku kurva. Selautya melakuka emodela regres oarametrk dega edekata sle da kerel. III. Model Balta Lak-lak Pertama dlakuka edekata dega sle. Utuk medaatka estmas model yag otmal, terleb daulu dcar ttk kot yag otmal dega krtera GCV mmum. Berdasaraka [3] derole ttk kot otmum adala 8,; 30,5; da 5. Selautya dega ttk kot tersebut, destmas fugs ertumbua aak balta sebaga berkut : Yˆ 3, 9 0,95X 0,0X 0,039( X 8, ) 0, 00( X 30, 5) 0, 09( X 5) Sle Ft (6) Usa Balta (Bula) Gambar. Estmas ertumbua balta lak-lak dega edekata sle 3

4 Autocorrelato Berat Bada Balta (kg) Percet Perbadga Model Regres Noarametrk Dega Regres Sle Da Kerel Ukura kebaka model R derole 99,55% da la MSE adala 0,0. Kemuda memeu asums detk, deede da berdstrbus ormal [3]. Kedua dlakuka edekata dega kerel. Utuk medaatka estmas model yag otmal, terleb daulu dcar la badwdt yag otmal dega krtera GCV mmum. Berdasarka egolaa data dega Matlab derole la badwdt otmal dega la GCV mmum sebaga berkut : Tabel. Nla badwdt da GCV Badwt () GCV () 0,5000 0,0360* 0,6000 0,036 0,7000 0,0365 0,8000 0,037 0,9000 0,0383,0000 0,0399 * Nla badwdt otmal dega GCV mmum Berdasarka la GCV mmum derole model estmas dega edekata kerel : ex( u ) I( u ) y ˆ, Y ex( u ) I( u ) u x x 0,5 (7) Probablty Plot of Normal Mea StDev 0.00 N 6 KS 0.08 P-Value >0, Scatterlot of vs Yft Yft Autocorrelato Fucto for (wt 5% sgfcace lmts for te autocorrelatos) 8 Model Pertumbua Aak Balta Lag Usa Balta (bl) Gambar. U resdual da estmas dega edekata kerel utuk balta lak-lak

5 JIMT, Vol. 7, No., Me 00 : 7 Ukura kebaka model R derole 99,68% da la MSE adala 0,00. Kemuda derksa aaka resdual memeu asums detk, deede da berdstrbus ormal. Berdasarka Gambar daat dtuukka bawa dstrbus resdual berdstrbus ormal dega - value > 0,05. Plot resdual terada estmas Y (Yft) membetuk suatu tre tertetu segga asums varas detk/kosta dagga tereu. Plot ACF dar resdual terlat ada yag keluar gars segga asums deede tdak tereu. III.. Model Balta Peremua Dega lagka yag sama seert ada model lak-lak, dlakuka emodela dega edekata sle. Selautya derole ttk kot otmum adala 9, 3, da 53 dega la GCV mmum adala 0,, segga estmas modelya adala : Yˆ, 93 0, 97X 0, 056X 0, 057( X 7) (8) 0, 0063( X 3) 0, 09( X 53) Ukura kebaka model R derole 99,6%, MSE adala 0,07 da memeu asums detk, deede, da berdstrbus ormal [3]. Selautya dlakuka emodela dega edekata kerel, derole badwdt otmal dsaka ada table 3 dbawa : Tabel 3. Nla badwdt da GCV Badwt () GCV () 0,8000 0,9000,0000,000,000 0,3 0,8 0,3* 0,6 0,9 * Nla badwdt otmal Berdasarka la badwdt otmal derole estmas model sebaga berkut : ex( u ) I( u ) y ˆ, Y ex( u ) I( u ) u x x Ukura kebaka model R derole 99,6% da MSE adala 0,095. Kemuda derksa aaka resdual memeu asums detk, deede, da berdstrbus ormal. Berdasarka Gambar 3 derole dstrbus resdual berdstrbus ormal dega -value > 0,05. Plot resdual terada estmas Y (Yft) tdak membetuk suatu tre tertetu segga asums varas detk/kosta dagga tereu. Plot ACF dar resdual terlat ada yag keluar gars segga asums deede tdak tereu. (9) 5

6 Autocorrelato Berat Bada Balta (kg) Percet Perbadga Model Regres Noarametrk Dega Regres Sle Da Kerel Probablty Plot of Normal 0.50 Scatterlot of vs Yft Mea 086 StDev 0 N 6 KS P-Value >0, Yft Autocorrelato Fucto for (wt 5% sgfcace lmts for te autocorrelatos) 8 Model Pertumbua Aak Balta Lag Usa Balta (bl) Gambar 3. U resdual da estmas dega edekta kerel ada balta eremua Berdasarka uraa yag tela daarka d atas, dar kedua edekata yag dguaka daat drgkas ada Tabel : Tabel. Performa edekata regres sle da kerel utuk model balta lak-lak Krtera / Model Regres Sle Kerel R 99,55 % 99,68 % MSE 0,0 0,00 Asums - Idetk Memeu Tdak memeu - Ideede Memeu Tdak memeu - dstrbus ormal Memeu Memeu Tabel 3. Performa edekata regres sle da kerel utuk model balta eremua Krtera / Model Regres Sle Kerel R 99,7 % 98,3 % MSE 0,07 0,039 Asums - Idetk Memeu Memeu - Ideede Memeu Tdak memeu - dstrbus ormal Memeu Memeu 6

7 JIMT, Vol. 7, No., Me 00 : 7 IV. Kesmula Berdasarka krtera kebaka model yatu R, MSE da u asums resdual, edekata regres sle leb bak dar regres kerel utuk ertumbua balta. Hal daat dlat dar u asums resdual yag meuukka bawa edekata sle memeu semua asums resdual. V. Daftar Pustaka Purama, S.W. da Wbowo, W Perbadga Regres Noler da Regres Noarametrk dalam Meaksr Fugs Pertumbua Aak Balta, Laora Peelta Dose Muda. Surabaya : Isttut Tekolog Seulu Noember. Eubak, R.L Sle Smootg ad Noarametrc Regresso. New York : Marcel Dekker. 3 Laome, L Regres Noarametrk Sle Lear da Kuadratk dalam Meaksr Fugs Pertumbua Aak Balta. Paradgma, 3 (3), al Ad, D A Comarso of te Noarametrc Regresso Models usg Smootg Sle ad Kerel Regresso. World Academy of Scece, Egeerg ad Tecology, 36, Hardle, W Smootg Tecque wt Imlemetato Statstcss. New York : Srger. 7