KETAKSAMAAN TIPE LEMAH UNTUK OPERATOR MAKSIMAL DI RUANG MORREY TAK HOMOGEN YANG DIPERUMUM

Transkripsi

1 JMP : Volume 4 Nomor 2, Desember 2012, hal KETAKSAMAAN TIPE LEMAH UNTUK OPERATOR MAKSIMAL DI RUANG MORREY TAK HOMOGEN YANG DIPERUMUM Sri Maryai Uiversitas Jederal Soedirma sri.maryai@usoed.ac.id ABSTRACT. We discuss i this aer a weak tye (, ) iequality (where 1 < ) for maximal oerator o geeralized o homogeeous Morrey saces. Our roof uses the result of Garcia-Cuerva da Martell (2011). Keywords: weak tye iequality, maximal oerator,geeralized o homogeeous Morrey saces ABSTRAK. Pada makalah ii dibahas ketaksamaa tie lemah (, ) (dega 1 < ) utuk oerator maksimal di ruag Morrey tak homoge yag dierumum. Bukti ketaksamaa megguaka hasil dari Garcia-Cuerva da Martell (2011). Kata Kuci: ketaksamaa tie lemah, oerator maksimal, ruag Morrey tak homoge yag dierumum 1. PENDAHULUAN Misalka µ adalah ukura Borel di ruag Euclid R d. Ruag (R d, μ) dikataka ruag bertie tak homoge aabila ukura µ memeuhi growth coditio orde (dega 0 < d): μ(b(x, r)) Cr, (1) utuk setia bola buka B(x, r) yag berusat di x da berjari-jari r (Nazarov, dkk., 1998). Catat bahwa kostata ositif C ada growth coditio (1) tidak bergatug ada x mauu r. Beberaa hasil eelitia di ruag bertie tak homoge daat

2 266 Sri Maryai dilihat ada (Guawa, dkk., 2009; Sawao, 2005; Sihwaigrum, 2010; Terasawa, 2006). Di ruag bertie tak homoge, didefiisika oerator M (utuk 1 < da 0 < d ) dega M f ( : M f ( su f ( y) d( y). r0 r B( x, r) Defiisi ii aalog dega defiisi serua ada (Nakai, 1994) di ruag bertie homoge. Jika = 1, oerator M tidak lai adalah oerator M, yag dierkealka oleh Garcia-Cuerva da Martell (2001). Oerator M memeuhi ketaksamaa tie lemah (1, 1) di ruag Lebesgue tak homoge. Selai itu, M juga memeuhi ketaksamaa terboboti berikut ii. Teorema 1.1. (Garcia-Cuerva da Martell, 2001) Utuk bobot w da sembarag fugsi f di d R berlaku d xr : M C w( d( f ( d R f ( M w( d( dega C adalah kostata ositif yag tidak bergatug ada f mauu w. Dega megguaka Teorema 1.1, ada makalah ii aka dibuktika ketaksamaa tie lemah (, ) (dega 1 < ) utuk oerator maksimal M di ruag Morrey tak homoge yag dierumum. 2. HASIL DAN PEMBAHASAN Misalka : (0, ) (0, ) adalah fugsi yag hamir turu, yaitu terdaat kostata C > 0 sehigga φ(t) C φ(r) aabila t > s. Utuk 1, ruag

3 Ketaksamaa Tie Lemah utuk Oerator Maksimal 267 Morrey tak homoge yag dierumum W,φ (μ) = W,φ (R d, μ) didefiisika sebagai ruag dari semua fugsi f L loc (μ) dega f: W,φ (μ) su r>0 1 ( 1 φ(r) r B(x,r) f(y) 1 ) <. Aabila φ(t) = t, maka ruag Morrey tak homoge meruaka ruag Lebesgue tak homoge, yaki W,φ (μ) = L ( μ). Semetara itu, sifat-sifat lai dari ruag Morrey tak homoge yag dierumum daat dilihat ada (Sihwaigrum, dkk., 2008a da 2008b). Kemudia, dega megguaka Teorema 1.1, dieroleh ketaksamaa tie lemah (, ) utuk oerator maksimal. Teorema 2.1. Utuk φ (0, ) (0, ) diasumsika bahwa φ meruaka fugsi yag hamir turu. Jika terdaat kostata C 1 > 0 sehigga utuk setia r > 0 fugsi φ memeuhi [φ(t)] r t dt C 1 [φ(r)], dega 1 <, maka terdaat kostata C > 0 sehigga utuk setia γ > 0 da utuk setia bola B(a, r) berlaku ketaksamaa μ{x B(a, r) M f( > γ} C γ r (φ(r)) f M,φ (μ). Bukti. Misalka χ B(a,r) meruaka fugsi karakteristik dari B(a, r). Utuk setia f M,φ, berlaku f( dx Mχ B(a,r) R d

4 268 Sri Maryai B(a,2r) C [ f( dx Mχ B(a,r) dμ + f( dx Mχ B(a,r) dμ B(a,2r) f( dx Mχ B(a,r) dμ + B(a,2 k+1 r)\b(a,2 k r) B(a,2 k+1 r)\b(a,2 k r) f( 2 k dμ] C {(2r) (φ(2r)) f M,φ + 2 k (2 k+1 r) (φ(2 k+1 r)) f M,φ } = Cr f M,φ {(φ(2r)) + (φ(2 k+1 r)) } = Cr f M,φ (φ(2 k+1 r)) k=0 Cr f M,φ (φ(2 k r)). k=0 Karea φ fugsi yag hamir turu, maka f( dx Mχ R d B(a,r) dμ Cr f M,φ k=0 2 k+1 r (φ(t)) 2 k r t dt r Cr f M,φ (φ(t)) k=0 t dt Cr f M,φ (φ(r)). Selajutya, dega Teorema 1.1, terbukti bahwa μ{x B M f( > γ} = {x:m f (>γ } χ B(a,r) ( dμ

5 Ketaksamaa Tie Lemah utuk Oerator Maksimal KESIMPULAN DAN SARAN C γ f( M R d χ B(a,r) (dμ Cr (φ(r)) f M,φ (μ). γ Hasil yag dieroleh ada Teorema 2.1 aalog dega hasil dari Nakai (1994) di ruag Morrey homogey yag dierumum. Selai itu, teorema tersebut meruaka erumuma dari Teorema 2.1 ada (Sihwaigrum, dkk., 2012). UCAPAN TERIMAKASIH Peelitia ii dibiayai oleh DIPA Uiversitas Jederal Soedirma melalui Hibah Fudametal dega kotrak No /UN23.9/PN/2012 DAFTAR PUSTAKA Garcia-Cuerva, J. da Martell, J.M. (2001) Two-Weight Norm Iequalities for Maximal Oerators ad Fractioal Itegral o No-Homogeeous Saces, Idiaa Uiv. Math.s J. 50(3), Guawa, H., Sawao, Y. da Sihwaigrum, I. (2009) Fractioal Itegral Oerators i No-Homogeeous Saces, Bull. Aust. Math. Soc. 80(2), Nakai, E. (1994) Hardy-Littlewood maximal oerator, sigular itegral oerators, ad Riesz otetial o geeralized Morrey saces, Math. Nachr. 166, Nazarov, F., Treil, S. da Volberg, A. (1998) Weak Tye Estimates ad Cotlar Iequalities for Calderó-Zygmud Oerators o Nohomogeeous Sace, Iterat. Math. Res. Notices 9, Sawao, Y. (2005) Shar Estimates of the Modified Hardy Littlewood Maximal Oerator o the No-homogeeous Sace via Coverig Lemmas, Hokkaido Math. J. 34,

6 270 Sri Maryai Sihwaigrum, I., Guawa, H. da Budhi, W.S. (2008a) Oerator Itegral Fraksioal da Ketaksamaa Olse di Ruag Morrey Tak Homoge yag Dierumum, Prosidig Semiar Nasioal Mahasiswa S3 Matematika se- Idoesia, Uiversitas Gadjah mada, Yogyakarta, Sihwaigrum, I., Guawa, H., Soeharyadi, Y. da W.S. Budhi. (2008b) Geeralized No-homogeeous Morrey Saces ad Olse Iequality, Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Pedidika Matematika, Uiversitas Negeri Yogyakarta, Yogyakarta, 1 7. Sihwaigrum, I., Maryai, S, da Guawa, H. (2012) Weak Tye Iequalities for Fractioal Itegral Oerators o Geeralized No-homogeeous Morrey Saces, Aalysis i Theory ad Alicatios, 28, Terasawa, Y. (2006) Outer Measures ad Weak Tye (1,1) Estimates of Hardy- Littlewood Maximal Oerators, Joural of Iequalities ad Alicatios. 46,