KAJIAN METODE BOOTSTRAP DALAM MEMBANGUN SELANG KEPERCAYAAN DENGAN MODEL ARMA (p,q)

Transkripsi

1 KAJIA METODE BOOTSTRAP DALAM MEMBAGU SELAG KEPERCAYAA DEGA MODEL ARMA (p,q) Oleh : Rata Evyka E.S.A Dose Pembimbig : Dra. uri Wahyuigsih, M.Kes Dra. Laksmi Prita W, M.Si Jurusa Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Istitut Tekologi Sepuluh opember Surabaya 0 Abstrak Data yag berukura kecil tidak dapat di ramalka secara lagsug tetapi hal ii dapat disiasati dega megguaka tekik resamplig, salah satu metode yag bisa diguaka dalam tekik resamplig adalah metode resamplig Bootstrap. Metode bootstrap ii merupaka suatu metode resamplig utuk megestimasi probabilitas suatu statistik dega medapatka sampel baru x = (x, x,, x 3 ). Metode ii bagus sekali utuk ukura data sampel yag relatif kecil. Dari hasil resamplig tersebut dapat diaalisa selag kepercayaa da model time series yag sesuai utuk diguaka dalam metode Bootstrap, serta diguaka utuk medapatka peramala data utuk beberapa periode ke depa. Studi kasus dalam tugas akhir ii adalah meramalka jumlah pejuala baju koko Dais Collectio pada periode yag aka datag. Hasil aalisis meujukka bahwa selag kepercayaa utuk adalah x i x j= i,j ± zα ARMA (0,0). dega model terbaik utuk peramala pejuala Dais Collectio adalah Kata kuci: Selag Kepercayaa, Estimasi, Resamplig Bootstrap, ARMA(p,q). Pedahulua Agka pejuala suatu produk memegag peraa petig dalam suatu proses produksi. Agka pejuala da produksi suatu produk memiliki keterkaita satu sama lai. Agka pejuala suatu produk dapat memberika gambara bagi produse utuk megetahui da memperkiraka seberapa besar produk tersebut diproduksi utuk beberapa periode yag aka datag. Aka tetapi keterbatasa data (<30) merupaka masalah yag serig dihadapi sehigga aka mempersulit peramala utuk periode yag aka datag. Maka perlu dilakuka lagkah-lagkah utuk megatisipasi masalah tersebut. Salah satuya adalah dega cara resamplig data yg sedikit tersebut agar mudah utuk utuk diramalka. Salah satu metode umum dalam resamplig data adalah dega megguaka metode Bootstrap. Metode Bootstrap diciptaka oleh Bradley Efro pada tahu 979. Metode Bootstrap ii merupaka suatu metode resamplig utuk megestimasi probabilitas suatu statistik dega medapatka sampel baru x = (x, x,, x 3 ). Metode ii bagus utuk ukura data sampel yag relatif kecil (<30). Utuk memperkiraka suatu ilai pada periode yag aka datag diperluka suatu ilmu yag berama forecastig (peramala). Forecastig merupaka suatu proses aalisis utuk meramalka apa yag aka terjadi pada masa medatag berdasarka situasi da kodisi yag terjadi sekarag da masa lalu. Perspektif pada peramala sama beragamya dega padaga setiap kelompok metode ilmiah yag

2 diaut oleh pegambil keputusa. Utuk data yag belum stasioer perlu dilakuka trasformasi terlebih dahulu, trasformasi yag biasa dipakai adalah trasformasi Box-Cox. Dega data yag telah stasioer bisa didapatka estimasi parameter da selag kepercayaa utuk parameter ARMA(p,q). Dalam tugas akhir ii diguaka metode resamplig Bootstrap utuk memperoleh selag kepercayaa utuk parameter model ARMA(p,q) dega studi kasus memprediksi jumlah pejuala baju koko dari Dais Collectio utuk periode yag aka datag.. Metode Resamplig Bootstrap Metode bootstrap adalah prosedur pegambila sampel baru secara berulag sebayak sampel baru dari data asal berukura, dimaa utuk sebuah sampel baru dilakuka pegambila titik sampel dari data asal dega cara satu persatu sampai kali dega pegembalia. Misalka terdapat data asal berukura, yaitu X = (x, x,, x ) maka dega metode bootstrap aka diperoleh sampelsampel baru berukura sebagai berikut (Efro, 993): Sampel ke-, X = (x, x, x 3,, x ) Sampel ke-, X = (x, x ) Sampel ke-, X = (x, x 3,, x, x, x 3,, x ) Jika di berika X = (x, x,, x ) yag ditetapka sebagai estimator dari sampel X () ( ) = (x, x, x 3,, x ), dega parameterya adalah θ maka didapat estimasi mea utuk bootstrap adalah: θ i θ = i= Jika diasumsika estimator θ adalah distribusi ormal dega mea θ da varia ς maka sampel varia utuk bootstrap adalah: S = (θ i θ) i= Sedagka taksira stadar error bootstrap adalah: Se = ( ) i= (θ i θ ) Selag kepercayaa mea bootstrap 00 α % dega α = 0,05 utuk mea adalah: θ ± z α Se = θ ± z(α ) i= (θ i θ ) Utuk estimasi parameter dega megguaka MLE meliputi dua tahap, yaitu megkotruksi fugsi Likelihood da memperoleh fugsi Likelihood tersebut. Misalka x adalah variabel radom dega fugsi probabilitas f(x, θ) merupaka himpua parameter yag tidak diketahui da utuk setiap x i salig idepede maka pegkotruksia fugsi Likelihood dapat diyataka dega: L θ, X = f x, θ f x, θ f x 3, θ f x, θ L θ, X = i= f( x i, θ) (.) Probablitas bahwa ilai variabel acak x berada dalam batas x da x adalah: P x < x < x = F x Fx ) = x f x dx x Probabilitas selag kepercayaa dega selag kepercayaa sebesar α 00% utuk p adalah: P(p < p < p = α (.) Korelasi atara pegamata pada waktu ke-t (Z t ) dega pegamata pada waktu ke-t+k (Z t+k ) yag dipisahka oleh lag k, sehigga persamaa ACF dapat dirumuska sebagai berikut: Cov(Z t, Z t+k ) ρ k =, k =,, Var Z t Var(Z t+k ) Utuk megukur keerata hubuga Z t da Z t+k setelah depedesi liear dalam varia Z t+k,., Z t+k dihilagka [Wei, 990] disebut Partial Autocorrelatio Fuctio (PACF) dapat dihitug dega megguaka persamaa sebagai berikut: k+,k+ = ρ k k+ j= kj ρ k +j k j= kj ρ j k+,j = kj k+,k+ k,k+ j k =,, ; j =,,, k dega : : fugsi autokorelasi parsial 3. Model Time Series Betuk-betuk umum model time series adalah sebagai berikut:

3 . Autoregressive (AR) Model utuk Autoregressive (AR) adalah: Z t = Z t + Z t + + p Z t p + ɑ t (3.) dega : Z t :besarya pegamata (kejadia) pada waktu ke-t ɑ t : ilai kesalaha (error) pada waktu ke-t,, p : parameter auturegresive. Movig Average (MA) Model utuk Movig Average (MA) adalah: Z t = μ + ɑ t θ ɑ t θ ɑ t θ q (3.) dega: μ : ilai kosta θ,, θ q : parameter-parameter Movig Average ɑ t : ilai kesalaha pada saat t q 3. Autoregressive Movig Average (ARMA) Model Autoregressive Movig Average merupaka model campura dari model autoregressive da movig average. Betuk umum model ARMA (p,q) meurut Wei (994) adalah: Z t = μ + φ Z t + + φ p Z t p + ɑ t θ ɑ t θ q ɑ t q (3.3) 3. Estimasi da Uji Sigifikasi Parameter Model ARMA yag baik adalah model yag meujukka bahwa peaksira parameterya sigifika. Secara umum, misalka θ adalah suatu parameter pada model ARMA da θ adalah ilai taksira dari parameter tersebut, serta SE(θ) adalah stadart error dari θ, maka uji kesigifikaa parameterya dapat dilakuka dega hipotesa sebagau berikut : Hipotesa : H o θ = 0 (paremeter tidak sigifika) H θ 0 (parameter sigifika) Statistik uji : θ t = SE(θ) Daerah kritis : H 0 ditolak jika t > t α, p q Atau H 0 ditolak jika P-value < α 3. Pemeriksaa Diagostik Model Pemeriksaa diagostik pada residual meliputi uji asumsi white oise (idepede da idetik) da berdistribusi ormal.. Uji White oise Pegujia yag diguaka utuk megetahui apakah residual bersifat white oise diguaka statistik uji Ljug-Box. Hipotesa H 0 : ρ = ρ = = ρ k = 0 (residual bersifat white-oise) H : miimal ada ρ k 0 (residual tidak bersifat white-oise) Statistik uji: Q = + K k= ρ k k dega: K : lag maksimum yag diuji : bayak pegamata : ACF residual pada lag ke-k ρ k Daerah kritis H 0 ditolak jika Q > χ α,k p q atau P χ > χ itug < α 0,05 di maa K adalah lag maksimum yag diuji, p adalah jumlah parameter AR, da q adalah jumlah parameter MA.. Uji ormalitas Utuk megetahui residual berdistribsi ormal dilakuka pegujia dega megguaka statistik uji Kolmogorov Smirov yaitu: Hipotesa H 0 : F x = F 0 x (Residual berdistribusi ormal) H : F x F 0 x (Residual tidak berdistribusi ormal) Statistik uji D = sup x S x F 0 x dega: S x : fugsi peluag komulatif yag dihitug dari data sampel F 0 x : fugsi peluag komulatif distribusi yag dihipotesaka F x : fugsi distribusi yag belum diketahui sup : ilai supremum utuk semua x Daerah kritis H 0 ditolak jika D D α, atau P D > D itug < α 0,05 dega α = 5% 3

4 3.3 Kriteria Pemiliha Model Terbaik Utuk meetuka model terbaik dari beberapa model yag memeuhi syarat tersebut dapat diguaka beberapa kriteria atara lai kriteria I-sampel (AIC da SBC) da Outsampel (MSE da MAPE ).. AIC (Akaike s Iformatio Criterio) AIC (Akaike s Iformatio Criterio) adalah kriteria pemiliha model dega mempertimbagka jumlah parameter dalam model. Kriteria AIC dirumuska sebagai berikut (Wei, 990): AIC = l ς a + M dega: : bayakya residual ς a : estimasi dari varia residual (ς a ) M : jumlah parameter dalam model. SBC (Schwartz,s Bayesia Criterio) SBC (Schwartz s Bayesia Criterio) adalah kriteria pemiliha model dega mempertimbagka jumlah parameter dalam model yag diguaka utuk sampel yag kecil. ilai-ilai SBC ditetuka dega cara: SBC M = l ς a + M l 3. MSE (Mea Square Error) Kriteria MSE dirumuska sebagai berikut: t= Z t Z t MSE = dega adalah bayakya residual. 4. MAPE (Mea Absolute Percetage Error) Kriteria MAPE dirumuska sebagai berikut: t= Z t Z t Z t MAPE = 00% dega meyataka bayakya residual. 4. Metodelogi Peelitia Metode yag diguaka pada tugas akhir dalam meyelesaika permasalaha adalah:. Studi Literatur. Pegumpula Data 3. Estimasi Parameter dari metode Bootstrap. 4. Membagu Selag Kepercayaa 5. Peramala 6. Pearika Kesimpula da Peulisa Lapora Tugas Akhir. 5. Hasil Estimasi yag dilakuka megguaka dua metode yaitu Maximum Likelihood Estimatio da Ubiassed Estimator.. Maximum Likelihood Estimatio Estimasi parameter megguaka Maximum Likelihood Estimatio (MLE) meliputi dua tahap yaitu megkotruksi fugsi likelihood L φ, Z, da memperoleh ilai estimator φ yag memaksimumka fugsi likelihood tersebut. Mea dari sampel asli adalah: x = i= x i (5.) Berdasarka (.) pegkotruksia fugsi likelihood dapat diyataka dega: L θ, X = f x, θ f x, θ f x 3, θ f x, θ L θ, X = i= f( x i, θ) (5.) dega x i salig idepede da f θ, x adalah fugsi probabilitas. Karea data pegamata pada resamplig Bootstrap salig idepedet utuk setiap hasil resamplig, maka pegkotruksia fugsi likelihood diyataka dega: L μ, ς = e x i μ (ς ) π ς Diasumsika resamplig berdistribusi ormal x i ~ μ, ς maka rata-rata tiap resamplig x i juga berdistribusi ormal x i ~(μ, ς ) Sehigga pdf dari x i adalah f x i ; μ, ς = π ς e x i μ (ς ) da pdf dari Likelihood adalah: L μ, ς = π ς e x i μ (ς ) l L μ, v = l π + l ς x ς i μ (5.3) Kemudia, persamaa (5.3) dituruka terhadap μ sehigga diperoleh persamaa berikut: l L μ, ς μ = μ x i j = x i = ς x i μ + μ j= = 0 = 0 4

5 μ = x ij = i= x ij Pegujia kedua adalah utuk varia: l L μ, v = l π + l ς x ς i μ (5.4) persamaa (5.4) dituruka terhadap ς sehigga diperoleh persamaa berikut: l(μ, ς ) = v ς + (ς ) x i μ j= ς = (ς ) x i μ j= ς = x i μ j= = 0 ς x i μ = ς = x i μ j= (5.5). Ubiassed Estimator Pegujia dega dega megguaka ubiassed estimator aka didapatka bukti seberapa besar kesalaha atau error dari estimator tersebut. Pertama aka dilakuka utuk meguji apakah terdapat error pada saat E = μ.. Dega rumus dasar ekspektasi sebagai berikut: Pegujia Ubiassed Estimatorya adalah: μ = x ij = E = E E = E x ij i= i= i= E = E x + x + + x + x + + x Karea setiap data dalam resamplig Bootstrap bersifat idepede maka: E = E x i E = E x i E = E(x ij ) E = μ E = μ x ij x ij + x i + + x i + x i + + x i Pegujia kedua dilakuka utuk meguji apakah terdapat error pada saat E ς = ς,maka dega megguaka persamaa (5.5) maka pegujia Ubiassed Estimatorya adalah: ς = E ς = E E ς = E E ς = E E ς = E x i x i,j x i x i,j x i x i,j x i x i x i + x i + ( ) + ( ) E ς = E x i x i,j + E ς = E x i E ς = E(x i ) E( ) Karea ς = E(x i ) E(x i ) maka: E ς = E ς = E ς = ς + E(x i ) ς E( ) ς + μ ς μ ς ς = ς ς = ς (4.6) Sehigga ς adalah estimator bias dari ς, utuk mejadika tak biasa maka megguaka persamaa (5.6) aka dilakuka lagkah-lagkah sebagai berikut: E ς = ς ς = ς = E ς E ς ς = E ς = E j= j= x i μ x i μ 5

6 StDev Trasformasi StDev C Jadi dapat disimpulka bahwa x i μ adalah estimator ubiassed utuk ς da S. x i μ biasaya diotasika dega 5. Selag Kepercayaa Dalam metode Bootstrap, da s merupaka rata-rata da simpaga dari populasi dega ς yag tidak diketahui, maka selag kepercayaa α 00% utuk μ adalah sebagai berikut: = ς = S = i= x ij j= x i Z = μ ς Sehigga selag kepercayaaya adalah: P zα < Z < zα = α P zα < μ < zα ς = α P zα < P zα P zα j= x i μ x i = α < zα = α < x i μ < zα x i j= < + zα = α < μ x i j= Sehigga selag kepercayaa utuk μ adalah: x i j= ± zα 5. Peramala data Peetua suatu data stasioer atau tidak dalam varia, perlu dilakuka dega plot time series da box-cox. Utuk data pejuala Dais Collectio. betuk plot time series da box-cox dapat dilihat pada Gambar da Gambar Time Series Plot of Resamplig Idex Gambar Plot Time Series -5,0 -,5 0,0 Lambda Gambar Plot Box-Cox Dari plot box-cox pada Gambar diperoleh rouded value λ =, maka data pejuala Dais Collectio ii belum stasioer dalam varia, sehigga diperluka trasformasi dega z = z, sehigga plot time series da plot box-cox dapat dilihat pada Gambar 3 da Gambar 4: Lower CL Gambar 3 Plot Trasformasi Time Series Box-Cox Plot of Resamplig -5, ,5 60 Gambar 4 Plot Trasformasi Box-cox Berdasarka Gambar 4 terlihat bahwa rouded value λ =, sehigga data pejuala Dais Collectio telah stasioer dalam varia. Lagkah berikutya yag harus dilakuka 90 Upper CL 5,0 75 Idex 05 Limit Time Series Plot of Trasformasi Box-Cox Plot of Trasformasi -,5 Lower CL 0,0 Lambda Upper CL,5 90 5, Lambda 50 (usig 95,0% cofidece) 05 Limit Estimate,8 Lower CL 0,85 Upper CL 3,90 Rouded Value 0,00 35 Lambda 50 (usig 95,0% cofidece) Estimate,4 Lower CL 0,3 Upper CL,93 Rouded Value,00 6

7 Partial Autocorrelatio Autocorrelatio adalah pegidetifikasi plot ACF da PACF utuk meduga atau megestimasi model awal peramala data pejuala Dais Collectio. Plot ACF da plot PACF ditujukka pada Gambar 5 da Gambar 6.,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0-0, -0,4-0,6-0,8 Autocorrelatio Fuctio for Trasformasi (with 5% sigificace limits for the autocorrelatios) -, Lag Gambar 5 Plot ACF Pegujia sigifika parameter dari model dalam Tabel 4. dega megguaka uji t- studet dega α = 5% Uji Sigifikasi Parameter φ Hipotesa: H 0 φ = 0 (parameter tidak sigifika) H 0 φ 0 (parameter sigifika) Statistik Uji: t itug = φ sd(φ ) = =.63 t tabel = t α, p q = t 0.05,09 =,98 Karea t itug > t tabel atau P value =<.000 < 0,05 maka H 0 ditolak artiya parameter φ sigifika. 0, Partial Autocorrelatio Fuctio for Trasformasi (with 5% sigificace limits for the partial autocorrelatios) Uji Sigifikasi Parameter μ Hipotesa: H 0 μ = 0 (parameter tidak sigifika) H 0 μ 0 (parameter sigifika) Gambar 6 Plot PACF Dari hasil output miitab yag ditujukka pada Gambar 4.5 da Gambar 4.6, maka plot ACF (Gambar 4.5) dapat diketahui bahwa tidak ada lag yag keluar dari batas sedagka plot PACF (Gambar 4.6) dapat diketahui ada dua lag yag keluar dari batas yaitu lag 0 da 44 berarti ada dua parameter yag sigifika. 5.. Estimasi da Uji Sigifikasi Setelah melakuka pemeriksaa terhadap plot ACF da PACF lagkah selajutya adalah megidetifikasika kesigifikaa model dega megguaka software SAS. Maka utuk semetara model yag diduga adalah ARMA(44,0). Tabel Estimasi Parameter Data Pejuala Dais Collectio Model ARMA(44,0) Param eter 0,0-0, Estimasi Lag Stadart Error T hitu g P-value φ μ < Statistik Uji: t itug = μ sd(μ ) = = t tabel = t α, p q = t 0.05,09 =,98 Karea t itug > t tabel atau P value =<.000 < 0,05 maka H 0 ditolak artiya parameter μ sigifika. 5.. Diagoctic Checkig Ada dua asumsi yag harus dipeuhi dalam meetuka kecukupa model, yaitu residual bersifat white oise da berdistribusi ormal. Pegujia asumsi residual white oise dapat dilakuka dega megguaka uji Ljug-Box dega α = 5% sebagai berikut: Hipotesa: H 0 ρ = = ρ k = 0 H : miimal ada satu ρ j 0, dega j =,, K Statistik Uji Ljug-Box: ρ k Q = ( + ) k, k= Utuk K = 6 maka: K Q = k= ρ k > k, > k 50 k 7

8 Percet = 800 ( 0,53) 50 + (0,46) 50 + ( 0,6) (0,058 ) ( 0,07) (0,036) 50 6 = 0, χ α K p q = χ 0.05,4 =,07 Dega cara yag sama seperti perhituga Q di atas maka utuk K = 6,, 8, 4, 30 hasil Q yag diperoleh dapat dilihat pada Tabel. Karea utuk setiap ilai K ya meghasilka ilai Q <χ 0.05,4 atau P-value >0,05 maka H 0 diterima artiya residual white oise. Tabel Uji Residual White oise ARMA(44,0) Sedagka pegujia asumsi distribusi ormal dapat dilakuka dega megguaka uji Kolmogorov-Smirov dega α = 5%. Pegujia ii dapat dilakuka melalui hipotesa sebagai berikut: Hipotesa: H 0 F α t = F 0 (α t ) (residual berdistribusi ormal) Lag (K) Q DF χ α K p q P- value 6 0, 5,07 0,0696 9,58 9,68 0, ,78 7 7,59 0, ,6 3 35,7 0, ,57 9 4,56 0,3 H F α t F 0 (α t ) (residual tidak berdistribusi ormal) Statistik Uji: D = sup S α α t t F 0 xα t =0,0769 D α, = D 0.05,50 =0,0734 Karea D > D 0.05,50 maka H 0 ditolak artiya model tidak berdistribusi ormal. Hal ii sesuai dega hasil yag ada pada Gambar 7 yaitu P- value < 0,05 yag berarti tidak berdistribusi ormal. Gambar 7 Plot Keormala Residual ARMA (44,0) 5..3 Overfittig Selajutya dilakuka overfittig utuk melihat kemugkia model-model yag lai, sehigga didapat model yag sigifika pada Tabel 3. Sedagka model yag memeuhi uji residual white oise da uji keormala residual dapat dilihat pada Tabel 4 da Tabel 5. Tabel 3 Estimasi da Uji Sigifikasi Model ARMA Estimasi Stadart Error t hitug Par ame ter (0,0) φ θ μ ([0,44 ],0) 99, φ φ θ μ (0,44) θ μ 0, Probability Plot of (44,0) ormal RESIDUAL 0,7963 0, ,0 0,4670-0,9486 0, ,7 0, , ,795 0, ,5 0,709 0, , ,6 0, ,6 3,65 5,3 90,9,3-3,05 3, 5,88 3,7 78,4 Tabel 4.4 Uji Residual White oise Model ARMA Lag Q χ α K p q P- value (0,0) 6 7,94 9,49 0,0936 3,96 9,68 0, ,08 7,59 0, ,9 35,7 0, , , P-value 0,0004 <.000 <.000 0,0347 0,007 0,006 <.000 0,003 <.000 keputusa White oise Tabel 4.5 Uji Keormala Residual Model P-value Keputusa Kesimpula ARMA (0,0) >0.500 H 0 diterima Berdistribusi ormal Mea 038 StDev KS 0,077 P-Value 0,037 Berdasarka Tabel 3, Tabel 4 da Tabel 5 model ARMA(0,0) memeuhi kecukupa model maka dapat disimpulka bahwa model ARMA(0,0) adalah model yag terbaik. 8

9 Model yag diperoleh selajutya aka diguaka meramala data utuk bula yag aka datag mulai bula opember 00- Oktober 0, hasil peramalaya disajika dalam Tabel 6. Tabel 6 Hasil Peramala Perio Data L95 U95 de Peramala 5 6,434 74, ,8 5 33,9 85, , ,45 780,053 73, ,63 776,786 78, ,9 95,08 80, ,96 740, , ,09 843,48 77, ,563 8,849 75, ,039 79, , , , , , , , ,8 809, ,03 Dari Tabel 6 dapat diketahui bahwa ilaiilai dari data hasil ramala tepat berada diatara ilai batas bawah utuk α = 0,05 (L95) da batas atas utuk α = 0,05 (U95). 6. Peutup Hasil yag diperoleh dari pembahasa di atas adalah:. Metode resamplig Bootstrap dilakuka dega pegestimasia dega dua metode yaitu Maximum Likelihood Estimatio (MLE) da Ubiassed Estimatio meghasilka : a. Maximum Likelihood Estimatio Utuk mea: μ = x ij Utuk varia: x ς i μ j= = b. Ubiassed Estimatior Utuk mea tidak terdapat error pada saat E = μ Utuk varia terdapat eror pada saat E ς = ς sebesar x i μ dari hasil pegstimasia secara MLE da Ubiassed estimatio didapatka selag kepercayaa α 00% dega da s yag merupaka rataa da simpaga dari suatu populasi dega ς yag tidak diketahui adalah: x i j= ± zα. Rata-rata pejuala baju koko Dais Collectio utuk bula ke depa adalah 39. Sara yag dapat diberika pada peelitia selajutya adalah megguaka parameter lai seperti ARIMA atau Regresi, sehigga hasilya bisa dibadigka utuk megetahui keakurata hasilya. Daftar Pustaka [] Efro Bradley, 994. The Jackkife, The Bootstrap ad The Other Resamplig Plas, Departmet of Statistics Staford Uiversity. [] Makridakis, W. M. G Metode da Aplikasi Peramala. Edisi kedua. Bia Rupa Aksara. Jakarta. [3] Salamah, M., Suhartoo., da Wuladari S Aalisis Time Series. Surabaya: Jurusa Statistik ITS. [4] Wei, W.W.S Time Series Aalysis : Uivariate ad Multivariate Methods. Uited State of America : Addiso-Wesley Publishig Compay. 5. 9