BAB III KAJIAN DAN ALGORITMA PELABELAN PSEUDO EDGE-MAGIC III. Batas Bawah Magc Number pada Pelabelan Total Pseudo Edge-Magc Teorema 3.. Anggap G = (,E) adalah sebuah graf dengan n-ttk dan m-ss dan memlk derajat maksmum dan tdak ada ttk yang tersolas. Jka n adalah jumlah ttk dengan derajat, dan N adalah jumlah ttk dengan derajat palng sedkt, maka nla mnmal magc-number dalam pelabelan total pseudo edge-magc dar G adalah : n+ m+ + n N+ + n + m ( ) ( ) Bukt : λ adalah sebuah pelabelan pseudo edge-magc dar graf G dengan magc-number κ. Maka untuk setap ss vw E berlaku λ() v + λ( vw) + λ( w) = κ, karenanya, : ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( )) κ. m = λ v + λ vw + λ w = λ vw + deg v. λ v vw E vw E v v Wood 006 [8] Pelabelan Pseudo Edge-Magc dan Pseudo ertex-magc pada Graf Sebarang
Bab I Pelabelan Pseudo ertex-magc dengan deg ( v ) adalah derajat ttk v. Karena graf terhubung, maka pastlah deg ( ) v untuk setap ttk v, maka nla ( ) ( ) ( ) akan mnmum bla setap ttk dlabel κ. m = λ vw + deg v. λ v vw E vw E dengan (,,...,n) dengan ttk yang berderajat besar dlabel dengan label yang kecl dan sebalknya ttk yang berderajat kecl dlabel dengan label yang besar, dan setap ss dlabel dengan (n+,n+,...,n+m). Maka untuk setap ttk berderajat, dlabel dengan {N + +,N + +,...,N + +n } dengan N + +n = N maka : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) κ. m = λ vw + deg v. λ v N + k + n+ j + vw E vw E k = j= + ( ) ( ) κ. m N. n + n n + + n. m + m. m + dengan membag kedua ruas dengan m, maka ddapat κ N+. n n( n ) n ( m ) m + + + + + κ n N+ ( n ) n ( m ) m + + + + + n W m Akbat 3.. Nla mnmal magc number untuk pelabelan pseudo edge-magc sebuah graf regular G dengan n-ttk dan m-ss adalah : Bukt : κ ( 3). m + + n Msalkan ada sebuah graf pelabelan pseudo edge magc dar sebuah graf -reguler Wood 006 [8] Pelabelan Pseudo Edge-Magc dan Pseudo ertex-magc pada Graf Sembarang
Bab I Pelabelan Pseudo ertex-magc dengan n-ttk dan m-ss dengan magc number κ. Menurut Teorema 3.., maka : κ N+. n n( n ) n ( m ) m + + + + + Karena graf G adalah graf -reguler, maka nla N+. n + n( n + ) hanya akan ada untuk nla =dan karena N + adalah jumlah ttk berderajat lebh dar + maka N + = 0 sedangkan karena n adalah jumlah ttk berderajat, maka n = n, sehngga N+. n + n( n + ) = n( n+ ) m + akan dan persamaan κ N. n + n ( n + ) + n+ ( m + ) menjad : ( ) κ n n+ + n+ ( m + ) m karena G adalah graf -reguler, maka tap ttk berderajat. Setap satu buah ttk terkat dengan buah ss, dan setap ss terkat dengan dua buah ttk, sehngga jumlah ssnya adalah m =. n.. Maka persamaan d atas akan menjad : n n. κ ( n+ ) + n+ ( m + ) = ( n+ ) + n ( m ) m + + n. = n+ ( m + ) + ( n+ ) = ( m + 3) + n W III. Algortma pada Pelabelan Total Pseudo Edge-Magc Algortma yang dgunakan untuk melakukan pelabelan pseudo edge-magc n terbag 3 Pelabelan Pseudo Edge-Magc dan Pseudo ertex-magc pada Graf Sembarang
Bab I Pelabelan Pseudo ertex-magc menjad dua tahap. Tahap pertama adalah pelabelan ttk dengan menggunakan algortma Greedy Edge-Antmagc ertex-labelng. Kemudan setelah semua ttk selesa dlabel, pelabelan dlanjutkan dengan algortma Extend Pseudo Edge-Antmagc ertex-labelng. III.. Algortma Greedy Edge-Antmagc ertex-labelng Langkah pertama yang kta lakukan dalam melakukan pelabelan pseudo edge-magc n adalah dengan melakukan pelabelan ttk pseudo edge-antmagc yang bsa kta peroleh dengan algortma Greedy Edge-Antmagc ertex-labelng d bawah n Masukan : Graf G=(,E) Keluaran : Pelabelan ttk edge-antmagc Langkah-langkah :. Mengurutkan ttk-ttk {v,v,...,v n } berdasarkan derajatnya. Dengan ttk berderajat besar berada palng awal ( ( ) ( ) deg v deg v, n ) +. Untuk =,,...,n Ambl label λ ( v ) sebaga blangan bulat postf L yang memenuh :. Untuk semua < j, L λ ( v j ). Untuk semua ss vv j, vpvq Edengan j, pq, < dan p j q 4 Pelabelan Pseudo Edge-Magc dan Pseudo ertex-magc pada Graf Sembarang
Bab I Pelabelan Pseudo ertex-magc Berlaku : L λ( vp) + λ( vq) λ( vj) Dengan demkan, dar algortma n ddapatkan pelabelan ttk edge-antmagc pada graf G yang dberkan yang dbutuhkan dalam algortma Extend Edge-Antmagc ertex-labelng d bawah n. III.. Algortma Extend Edge-Antmagc ertex-labelng Langkah kedua setelah kta mendapatkan pelabelan ttk edge-antmagc n adalah dengan melakukan pelabelan total pseudo edge-magc yang bsa kta peroleh dengan algortma Extend Edge-Antmagc ertex-labelng d bawah n Masukan : Pelabelan ttk Pseudo edge-antmagc dar graf G=(,E) Keluaran : Pelabelan total pseudo edge-magc Langkah-langkah :. Ambl nla. Ambl nla E Λ sebaga nla label ( v) Λ sebaga jumlah label λ( v) λ( w) λ yang terbesar dar semua v + yang terbesar dar semua vw E 3. Ambl κ sebaga nla I mnmum yang memenuh : ( ) ( ) ( ),, I λ x + λ v + λ w x vw Edan Λ + I Λ +Λ + E E 5 Pelabelan Pseudo Edge-Magc dan Pseudo ertex-magc pada Graf Sembarang
Bab I Pelabelan Pseudo ertex-magc 4. Untuk setap ss vw E nla dar label λ( vw) = κ λ( v) λ( w) Maka pada akhr algortma Extend Edge-Antmagc ertex Labelng n akan ddapat pelabelan total pseudo edge-magc untuk graf G. III..3 Contoh Algortma Pelabelan Total Pseudo Edge-Magc v 7 v 7 v 6 v v 3 6 3 v 5 v 4 5 4 Gambar 3. {v,v,...,v n } terurut Gambar 3. Pelabelan {v,v,...,v n } 6 7 9 5 8 3 0 4 Gambar 3.3 Pelabelan Total Pseudo Edge-Magc 6 Pelabelan Pseudo Edge-Magc dan Pseudo ertex-magc pada Graf Sembarang
Bab I Pelabelan Pseudo ertex-magc III.3 Batas Atas Magc Number pada Algortma Pelabelan Total Pseudo Edge-Magc Lemma 3.3. 3 Jka λ adalah sebuah pelabelan pseudo edge-magc, Λ E adalah jumlah terbesar dar λ(v)+λ(w) untuk setap vw E dan Λ adalah label terbesar dar λ(v) untuk setap v, maka nla maksmum magc number dar pelabelan λ adalah 3Λ Bukt : Karena Λ adalah label ttk yang terbesar, sedangkan Λ E adalah jumlah label dua buah ttk ujung dar ss, maka Λ + adalah label yang belum dgunakan dalam pelabelan ttk. Maka Λ E + Λ + pastlah merupakan suatu magc number κ yang berlaku untuk sebarang Λ E dan Λ dan sebarang graf sehngga pastlah ada κ ' Λ +Λ +. E Karena label setap ttk haruslah berbeda, maka pastlah jumlah terbesar dua buah ttk ujung dar ss tdak mungkn lebh dar dua label terbesar yatu Λ E Λ + Λ = Λ. Sehngga bla kta substtuskan, akan ddapat : ( ) κ Λ + Λ + = 3Λ W 3 Wood 006 [5] 7 Pelabelan Pseudo Edge-Magc dan Pseudo ertex-magc pada Graf Sembarang
Bab I Pelabelan Pseudo ertex-magc Teorema 3.3. 4 Untuk setap n, graf lengkap K n memlk pelabelan pseudo edge-magc dengan nla magc number maksmum 3n + o( n ) Bukt : Ambl nla f(x) sebaga suku terbesar dar suatu barsan Sdon dengan x-suku, dan ambl nla g(n) sebaga suku terbesar yang terkecl dar kemungknan suatu barsan Sdon dengan n-suku karena barsan Sdon dapat dkonstruks dan menghaslkan banyak kemungknan barsan. Dapat kta lhat bahwa fungs g adalah nvers (kebalkan) dar fungs f, dan batas bawah serta batas atas bag fungs g dan f ddapat dar struktur barsan Sdon. Menurut Halberstam dan Roth, fungs f(x) yang mendekat barsan Sdon adalah f ( x) = x + o( x). Karena g(n) adalah nvers dar f(x), maka ( ) ( ) g n = n + o n, yang berart bahwa ada sebuah barsan Sdon dengan banyak suku n dengan suku terbesar n o( n ) + dalam hal n, suku terbesar barsan Sdon n adalah juga label ttk yang terbesar ( Λ ). Sehngga menurut Lemma 3.3. d atas, maka nla magc number maksmal adalah sebesar ( ) 3 3n o n Λ = + W Teorema 3.3. 5 Algortma Greedy Edge-Antmagc ertex-labelng dapat melabel 4 Wood 006 [9] 5 Wood 006 [4] 8 Pelabelan Pseudo Edge-Magc dan Pseudo ertex-magc pada Graf Sembarang
Bab I Pelabelan Pseudo ertex-magc sebuah graf G dengan n ttk dan m ss yang memlk derajat tertngg dengan nla label terbesar kurang dar ( m ) + n Bukt : Pada setap langkah algortma, untuk setap ss xy dengan kedua ttk ujungnya telah terlabel, jumlah λ( x) λ( y) + selalu berbeda untuk setap xy E yang berbeda. Maka ketka menentukan λ ( v ) terdapat palng banyak ( ) ( ) + pred v. m blangan bulat postf yang tdak dapat dpaka d mana pred(v ) adalah jumlah v j yang bertetangga dengan v dengan j <, dan m adalah jumlah ss vv p q Edengan p,q<. Maka λ ( v ) + pred( v ). m. Nla pred(v ) pastlah tdak lebh besar dar sedangkan deg ( ) m m v = m. Karenanya label terbesar palng tngg Λv adalah : ( m ) n+ W Berdasarkan Lemma 3.3. dan Teorema 3.3. d atas, kta dapat menympulkan Akbat 3.3. 6 Algortma Greedy Edge-Antmagc ertex-labelng dan Extend Pseudo Edge-Antmagc ertex-labelng memberkan sebuah pelabelan pada graf G dengan n-ttk dan m-ss yang memlk derajat terbesar dengan nla magc number kurang dar 3 3( n ( m )) Λ = + W 6 Wood 006 [5] 9 Pelabelan Pseudo Edge-Magc dan Pseudo ertex-magc pada Graf Sembarang