KAJIAN DAN ALGORITMA PELABELAN PSEUDO VERTEX-MAGIC. m m n 2. Misalkan ada pelabelan pseudo vertex-magic untuk sebuah graf G dengan n-titik dan

Transkripsi

1 BAB I KAJIAN DAN ALGORITMA PLABLAN PSUDO RTX-MAGIC I. Batas Bawah Magic Number pada Pelabelan Total Pseudo dge-magic Teorema 4.. Nilai magic number terkecil dalam pelabelan pseudo vertex-magic sebuah graf G dengan n-titik dan m-sisi adalah : Bukti : m m m n n 2 ( + ) + + ( + ) Misalkan ada pelabelan pseudo vertex-magic untuk sebuah graf G dengan n-titik dan m-sisi, dengan nilai magic number κ, maka untuk setiap titik v berlaku = ( v) + ( vx), sehingga κ. n = λ( v) + λ( vx) κ λ λ vx v. Karena setiap v vx v sisi terkait dengan dua buah titik, maka λ( vx) = 2 λ( vw) sehingga : v vx v vw v κ. n = λ( v) + λ( vx) = 2 λ( vw) + λ v v vx ( v) vw ( v) v Wood 2006 [9] Pelabelan Pseudo dge-magic dan Pseudo ertex-magic pada Graf Sebarang 30

2 Bab I Pelabelan Pseudo ertex-magic Persamaan tersebut akan minimal bila setiap sisi diberikan label yang kecil dan setiap titik diberikan label yang besar. Karena semua label adalah bilangan bulat positif, maka : m n κ. n 2 i+ ( m + ) = 2 m( m + ) + m. n+ n( n+ ) i= j= 2 2 Dengan membagi kedua ruas dengan n, maka didapat : m κ ( m + ) + m + ( n + ) n 2 Akibat Nilai magic number minimal untuk pelabelan pseudo vertex-magic untuk sebuah graf -reguler dengan n-titik dan m-sisi adalah : + m ( n ) Bukti : Misalkan ada pelabelan pseudo vertex-magic untuk sebuah graf -reguler dengan n-titik dan m-sisi serta memiliki nilai magic number κ. Menurut Teorema 4.., maka : m κ ( m + ) + m + ( n + ) n 2 Karena graf adalah merupakan -regular, maka m =. n. sehingga : 2 n 2 κ ( m + ) + m + ( n + ) = ( m + ) + m + ( n + ) n = + m ( n ) 2 Wood 2006 [9] 3 Pelabelan Pseudo dge-magic dan Pseudo ertex-magic pada Graf Sembarang

3 Bab I Pelabelan Pseudo ertex-magic I.3 Algoritma Pelabelan Total Pseudo dge-magic Algoritma yang digunakan untuk melakukan pelabelan pseudo vertex-magic ini terbagi menjadi empat tahap. Tahap pertama adalah mencari Spanning Tree dari graf G=(,) yang diberikan. Tahap kedua adalah melakukan pelabelan sisi dengan menggunakan Pseudo ertex-antimagic Tree dge-labeling. Kemudian setelah semua sisi dalam Tree selesai dilabeli, pelabelan dilanjutkan dengan melabeli sisi-sisi yang belum dilabeli dari graf G=(,) dengan menggunakan algoritma Pseudo ertex-antimagic dge-labeling. Tahap terakhir setelah semua sisi dalam graf dilabeli adalah melabeli titikdengan menggunakan algoritma xtend Pseudo ertex-antimagic dge-labeling. I.2. Algoritma Mencari Spanning Tree Langkah pertama dalam melakukan pelabelan pseudo vertex-magic adalah dengan mencari sebuah spanning tree dari graf G yang diberikan. Kita dapat mencari sebuah spanning tree dengan menggunakan algoritma berikut : Masukan : Graf G=(,) dengan n-titik dan m-sisi Keluaran : Spanning Tree T=(, ) dengan ' Langkah-langkah :. Memilih satu titik sebagai titik awal dari Spanning Tree 32 Pelabelan Pseudo dge-magic dan Pseudo ertex-magic pada Graf Sembarang

4 Bab I Pelabelan Pseudo ertex-magic 2. Untuk i=,2,...,n- Semua titik yang berjarak dari titik berjarak i dari titik awal dan belum termuat dalam Spanning Tree beserta sisi yang menghubungkan kedua titik tersebut dimasukkan ke dalam Spanning Tree Di akhir iterasi ini kita akan mendapatkan sebuah spanning tree dari graf G yang diberikan untuk selanjutnya kita gunakan dalam pelabelan. I.2.2 Algoritma Pseudo ertex-antimagic Tree dge-labeling Langkah kedua dalam melakukan pelabelan pseudo vertex-magic ini adalah pelakukan pelabelan sisi pseudo vertex-antimagic pada spanning tree yang kita dapatkan dari algoritma di atas dengan menggunakan algoritma Pseudo ertex-antimagic dge-labeling di bawah ini : Masukan : Spanning Tree T=(, ) dengan Keluaran : Pelabelan titik vertex-antimagic pada spanning tree Langkah-langkah :. Ambil sebuah titik r berderajat lebih dari sebagai root 2. Untuk i =,2,...,n- 33 Pelabelan Pseudo dge-magic dan Pseudo ertex-magic pada Graf Sembarang

5 Bab I Pelabelan Pseudo ertex-magic Untuk setiap sisi vw ' dengan v sebagai titik awal (parent) dan jarak w ke r adalah i : Ambil label λ ( vw) sebagai suabu bilangan bulat positif L sehingga : Dengan S λ ( vx) v = Untuk semua sisi xy Untuk semua titik x \{ v, w} vx yang telah terlabeli, L λ ( xy), L Sx Svdan L Sx Setelah algoritma ini berakhir, akan didapatkan pelabelan sisi pseudo vertex-magic pada spanning tree yang akan kita gunakan dalam algoritma selanjutnya untuk melabeli sisi-sisi yang belum terlabeli dari algoritma ini. I.2.3 Algoritma Pseudo ertex-antimagic dge-labeling Setelah mendapatkan pelabelan sisi pada spanning tree, maka kita lakukan pelabelan pada sisi-sisi yang tersisa, yaitu pada sisi vw \ ' dengan menggunakan algoritma seperti di bawah ini : Masukan : Pseudo ertex-antimagic Tree dge-labeling pada Graf G Keluaran : Pelabelan sisi vertex-antimagic pada graf G=(,) Langkah-langkah : 34 Pelabelan Pseudo dge-magic dan Pseudo ertex-magic pada Graf Sembarang

6 Bab I Pelabelan Pseudo ertex-magic. Untuk setiap sisi vw \ ', labeli λ ( vw) sebagai bilangan bulat positif terkecil L sedemikian sehingga : Untuk semua sisi xy, L λ ( xy) Untuk setiap titik { } x \ v, w, L Sx Svdan L Sx Sw Pada akhir algoritma ini akan didapatkan pelabelan sisi pada graf yang diberikan, yang kita butuhkan untuk mendapatkan pelabelan total pseudo vertex-magic. I.2.4 Algoritma xtend Pseudo ertex-antimagic dge-labeling Langkah terakhir dalam proses pelabelan total pseudo vertex-magic adalah pelabelan titik pada graf G=(,) dengan menggunakan pelabelan sisi yang telah kita dapatkan. Algoritma yang digunakan untuk melakukan pelabelan titik ini adalah seperti di bawah ini : Masukan : Greedy ertex-antimagic dge-labeling dari graf G=(,) Keluaran : Pelabelan total pseudo vertex-antimagic pada graf G=(,) Langkah-langkah :. Ambil nilai Λ sebagai nilai label sisi ( vw) λ yang terbesar dari semua vw 35 Pelabelan Pseudo dge-magic dan Pseudo ertex-magic pada Graf Sembarang

7 Bab I Pelabelan Pseudo ertex-magic 2. Ambil nilai Λ sebagai jumlah label S λ ( vx) = yang terbesar vx 3. Ambil κ sebagai nilai I minimum yang memenuhi :,, I λ vw S x vw dan Λ + I Λ +Λ + 4. Untuk setiap sisi v x nilai dari label λ( v) κ S κ λ( vx) = = vx Setelah iterasi berakhir, kita akan mendapatkan sebuah pelabelan total pseudo vertex-magic untuk graf G. I.2.5 Contoh Algoritma Pelabelan Total Pseudo ertex-magic v x 2 v 3 v 2 r y Gambar 4. Mencari Spanning Tree Gambar 4.2 Pelabelan Spanning Tree x r 2 y Gambar 4.3 Pelabelan Sisi Gambar 4.4 Pelabelan Total dengan κ = 8 36 Pelabelan Pseudo dge-magic dan Pseudo ertex-magic pada Graf Sembarang

8 Bab I Pelabelan Pseudo ertex-magic I.3 Batas Atas Magic Number pada Pelabelan Total Pseudo ertex-magic Lemma Jika λ adalah sebuah pelabelan pseudo vertex-magic, ambil Λ adalah label terbesar dari λ(vw) untuk setiap vw dan Λ adalah jumlah label terbesar untuk setiap v dari λ ( vx) vx, maka nilai maksimum magic number dari pelabelan λ adalah ( + ) Λ Bukti : Seperti pada pembuktian Lemma 3.3. pastilah Λ + adalah label terkecil yang belum digunakan dan karena Λ adalah jumlah label sisi terbesar yang terkait suatu titik, maka pastilah Λ + Λ + adalah suatu magic number yang cukup besar sehingga ada κ Λ + Λ +. Ambil sebuah titik v yang memenuhi λ ( vx) =Λ. vx Jika derajat titik v adalah, maka Λ =Λ dan κ Λ +Λ + = 2Λ + 3Λ + Λ, karena untuk mendapatkan pelabelan pseudo vertex-magic jumlah titik dalam graf haruslah lebih dari 2 sehingga derajat tertinggi dalam graf G tersebut pastilah lebih dari 2 ( 2 ). Jika derajat titik v lebih dari, maka jumlah n buah sisi yang terkait dengan titik v pastilah lebih kecil dari jumlah n buah label terbesar sehingga 3 Wood 2006 [7] 37 Pelabelan Pseudo dge-magic dan Pseudo ertex-magic pada Graf Sembarang

9 Bab I Pelabelan Pseudo ertex-magic deg( v) ( i ) Λ = S Λ + Λ v i=. Selanjutnya kita substitusikan dan kita dapatkan ( ) ( ) κ Λ +Λ + Λ +Λ + = + Λ Lemma Algoritma Pseudo ertex-antimagic Tree dge-labeling memberikan sebuah pseudo vertex-antimagic edge-labeling dari sebuah Tree T dengan label kurang dari 3n-5 Bukti : Sebuah Tree yang memiliki lebih dari satu sisi (berorde lebih dari ) memiliki sebuah titik r dengan derajat lebih dari satu.misalkan sisi rx dan ry adalah sisi-sisi yang pertama dilabeli berdasarkan algoritma tersebut. Maka λ( rx) λ( ry) =, = 2, dan S = 2+ = 3, S =, S = 2 sedang semua titik v sisanya memiliki S = 0 r x y v Akan dibuktikan bahwa untuk semua titik vw, yang berbeda, jika Sv = Sw maka pastilah S = 0 = S v w Perhatikan iterasi yang terjadi dalam pemilihan label L untuk sisi vw.karena pelabelan berjalan dari titik v sebagai parent dari titik w, maka semua sisi yang terkait dengan titik w juga belum dilabeli, dan S w = 0 dan S v > 0. Nilai Sv akan berubah menjadi Sv' = Sv + L sedangkan nilai S w akan berubah menjadi Sw' = Sw + L dan Sx tidak 4 Wood 2006 [3] 38 Pelabelan Pseudo dge-magic dan Pseudo ertex-magic pada Graf Sembarang

10 Bab I Pelabelan Pseudo ertex-magic berubah untuk titik yang lain. Karena Sv 0, maka Sv' = Sv + L L= Sw' dan S ' = L S demikian seterusnya iterasi berlangsung sampai semua sisi dalam Tree w x telah selesai terlabeli. Pada akhir iterasi ini, akan didapat nilai Sv Swuntuk semua vw, yang berbeda.untuk setiap edge vw, paling banyak terdapat (m-)+2(n-2) = 3n-6 menurut Teorema 2., maka m = n-, sehingga (m-)+2(n-2) = (n-2)+2(n-2) = 3n-6 label yang tidak dapat digunakan. Karenanya, label terbesar adalah 3n-5. Dari Lemma 4.3. dan Lemma dapat ditarik kesimpulan : Akibat Algoritma Greedy ertex-antimagic dge-labeling dan xtend Pseudo ertex-antimagic dge-labeling memberikan sebuah pelabelan pada graf Tree dengan n-titik yang memiliki derajat terbesar dengan nilai magic number kurang dari ( + )( 3n 5) Teorema Jika λ adalah pelabelan pseudo vertex-magic pada sebuah graf G dengan n-titik dan m-sisi, maka nilai terbesar magic numbernya menurut algoritma Greedy ertex-antimagic ertex-labeling adalah m+2n-4. Bukti : 5 Wood 2006 [4] 6 Wood 2006 [5] 39 Pelabelan Pseudo dge-magic dan Pseudo ertex-magic pada Graf Sembarang

11 Bab I Pelabelan Pseudo ertex-magic Setelah mendapatkan partial edge-labeling dari algoritma Pseudo ertex-antimagic Tree dge-labeling, untuk semua titik vw, yang berbeda, S v S w. Misalkan pada saat pelabelan sisi yang belum terlabeli, kita melabeli suatu sisi vw dengan label L, maka nilai Sv' = Sv + L dan nilai Sw' = Sw + L sedangkan nilai S x tidak berubah untuk titik x yang lain. Dengan memilih nilai L tertentu, sehingga untuk setiap titik x, x v, x w, S ' = S + L S dan S ' = S + L S, maka λ akan tetap v v x w w x merupakan pelabelan anti-magic sampai akhir iterasi. Menurut Lemma 4.3.2, label maksimum hasil pelabelan Tree adalah 3n-5. Maka untuk setiap sisi vw \ ' terdapat m + 2 n 2 = m+ 2n 5 kemungkinan label yang tidak dapat dipakai. Karena G terhubung, maka nilai m+2n-5 akan selalu tidak kurang dari 3n-5, sehingga label maksimum untuk sebuah graf terhubung sembarang adalah m+2n-5. Dari Lemma 4.3. dan Teorema 4.3. kita mendapat hasil : Akibat Algoritma Greedy Pseudo ertex-antimagic dge-labeling dan xtend Pseudo ertex-antimagic dge-labeling memberikan sebuah pelabelan pada graf G dengan n-titik dan m-sisi yang memiliki derajat terbesar dengan nilai magic number kurang dari 3 3( n ( m )) Λ = + W 7 Wood 2006 [6] 40 Pelabelan Pseudo dge-magic dan Pseudo ertex-magic pada Graf Sembarang