Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik ii Darpublic
BAB 1 Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik 1.1. Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain, maka dikatakan bahwa besaran tersebut merupakan fungsi besaran. Contoh: panjang batang logam merupakan fungsi temperatur. Secara umum suatu fungsi dituliskan sebagai sebuah persamaan = f () (1.1) Perhatikan bahwa penulisan = f () bukanlah berarti sama dengan f kali, melainkan untuk menatakan bahwa merupakan fungsi dari ang tidak lain adalah sebuah aturan atau sebuah ketentuan berapakah akan memiliki nilai jika kepada kita berikan suatu nilai. dan adalah peubah (variable) ang dibedakan menjadi peubah-takbebas () dan peubah-bebas (). Peubah-bebas adalah simbol dari suatu besaran ang bisa memiliki nilai sembarang dari suatu set bilangan. Sementara peubah-tak-bebas memiliki nilai ang tergantung dari nilai ang dimiliki. Dilihat dari nilai ang dimiliki oleh ruas kiri dan ruas kanan, (1.1) adalah sebuah persamaan. Namun kedua ruas itu memiliki peran ang berbeda. Kita ambil contoh dalam relasi fisis L T = L (1+ λt ) dengan L T adalah panjang sebatang logam pada temperatur T, L adalah panjang pada temperatur nol, T temperatur dan λ adalah koefisien muai panjang. Panjang batang tergantung dari temperatur; makin tinggi temperatur makin panjang batang logam. Namun sebalikna, makin panjang batang logam tidak selalu berarti temperaturna makin tinggi. Jika logam tersebut mengalami beban tarikan misalna, ia akan bertambah panjang namun tidak bertambah temperaturna. Walaupun nilai di ruas kanan (1.1) bisa berubah secara bebas, sementara ruas kiri tergantung dari ruas kanan, namun nilai tetap harus ditenttukan sebatas mana ia boleh bervariasi. 1-1
1.. Domain Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas bervariasi. Dalam kebanakan aplikasi, rentang nilai ini bisa berbentuk sebagai berikut: a). rentang nilai berupa bilangan-nata ang terletak antara dua nilai a dan b. Kita tuliskan rentang nilai ini sebagai a < < b Ini berarti bahwa bisa memiliki nilai lebih besar dari a namun lebih kecil dari b. Rentang ini disebut rentang terbuka, ang dapat kita gambarkan sebagi berikut: a b a dan b tidak termasuk dalam rentang tersebut. b). rentang nilai a < b ang kita gambarkan sebagai a b Di sini a masuk dalam rentang nilai, tetapi b tidak. Ini merupakan rentang setengah terbuka. c). rentang nilai a b Dalam rentang ini baik a maupun b masuk dalam rentang nilai. Ini adalah rentang tertutup, dan kita gambarkan a b 1.3. Kurva, Kekontinuan, Simetri Kurva. Fungsi = f () dapat divisualisasikan secara grafis. Dalam visualisasi ini kita memerlukan koordinat. Suatu garis horisontal memanjang dari ke arah kiri sampai + ke arah kanan, ditetapkan sebagai sumbu- atau absis. Pada garis ini ditetapkan pula titik referensi serta panjang satuan skala, sedemikian rupa sehingga kita dapat 1- Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik
menggambarkan nilai-nilai pada garis ini (lihat Gb.1.1); peubah memiliki nilai ang berupa bilangan-nata. 3 Q[-,] 1-4 -3 - -1 1 3 4 III -1 IV R[-3,-3] II - -3 P[,1] S[3,-] -4 Gb.1.1. Sistem koordinat - atau koordinat sudut-siku. Catatan: Suatu bilangan-nata dapat dinatakan dengan desimal terbatas maupun desimal tak terbatas. Contoh: 1,, 3,...adalah bilangan-nata bulat; 1,586 adalah bilangan-nata dengan desimal terbatas; π adalah bilangan-nata dengan desimal tak terbatas, ang jika dibatasi sampai sembilan angka di belakang koma nilaina adalah 3,14159654. Selain sumbu- ditetapkan pula sumbu- ang tegak lurus pada sumbu-, memanjang ke arah ke bawah dan + arah ke atas, ang melewati titik referensi di sumbu- dan disebut ordinat. Titik perpotongan sumbu- dengan sumbu- merupakan titik referensi ang disebut titikasal dan kita tulis berkoordinat [,]. Pada sumbu- ditetapkan juga satuan skala seperti halna pada sumbu-, ang memungkinkan kita untuk menggambarkan posisi bilangan-nata di sumbu-. Besaran fisik ang dinatakan dengan peubah-tak-bebas dalam skala sumbu- tidak harus sama dengan besaran fisik dan skala sumbu-; misalna sumbu- menunjukkan waktu dengan satuan detik/skala, sedangkan sumbu- menunjukkan jarak dengan satuan meter/skala. Bidang datar di mana kita menggambarkan sumbu- dan sumbu-, selanjutna kita sebut bidang -, akan terbagi dalam 4 kuadran, aitu kuadran I, II, III dan IV seperti terlihat pada Gb.1.1. I 1-3
Setiap titik K pada bidang datar ini dapat kita natakan posisina sebagai K[ k, k ], dengan k dan k berturut-turut menunjukkan jumlah skala di sumbu- dan di sumbu- dari titik K ang sedang kita tinjau. Pada Gb.1.1. misalna, posisi empat titik ang digambarkan di kuadran I, II, III, IV, masing-masing kita tuliskan sebagai P[,1], Q[-,], R[-3,-3] dan S[3,-]. Dengan demikian setiap pasangan bilangan-nata akan berkaitan dengan satu titik di bidang -. Dengan cara inilah pasangan nilai ang dimiliki oleh ruas kiri dan ruas kanan suatu fungsi = f() dapat divisualisasikan pada bidang -. Visualisasi itu akan berbentuk kurva fungsi di bidang -, dan kurva ini memiliki persamaan = f(), sesuai dengan pernataan fungsi ang divisualisasikanna. Contoh: sebuah fungsi 1-4 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik =, 5 (1.) Setiap nilai akan menentukan satu nilai. Jika kita muatkan dalam suatu tabel, nilai dan akan terlihat seperti pada Tabel-1.1. Tabel-1.1. -1 1 3 4 dst. -,5,5 1 1,5 dst. Fungsi =, 5 ang memiliki pasangan nilai dan seperti tercantum dalam Tabel-1.1. di atas akan memberikan kurva seperti terlihat pada Gb.1.. Kurva ini berbentuk garis lurus melalui titikasal [,] dan memiliki kemiringan tertentu (ang akan kita pelajari lebih lanjut), dan persamaan garis ini adalah =, 5.,5 R 1,5 Q 1,5 P -,5-1 1 3 4 Gb.1.. Kurva dari fungsi =, 5
Dengan contoh ini, relasi (1.) ang merupakan relasi fungsional, setelah berbentuk kurva berubah menjadi sebuah persamaan aitu persamaan dari kurva ang diperoleh. Ruas kiri dan kanan persamaan ini menjadi berimbang karena melalui kurva tersebut kita bisa mendapatkan dengan mudah nilai jika diketahui nilai, dan sebalikna kita juga dapat memperoleh nilai jika diketahui nilai. Dengan contoh di atas kita mengerti bahwa fungsi =, 5 membentuk kurva dengan persamaan =, 5 di bidang -. Dalam contoh ini titiktitik P, Q, dan R terletak pada garis tersebut dengan koordinat P[-1,-,5], Q[,1], R[3,1.5]. Pengertian tentang fungsi dan persamaan kurva ini perlu kita fahami benar karena kedua istilah ini akan muncul secara paralel dalam pembahasan bentuk-bentuk geometris. Kekontinuan. Suatu fungsi ang kontinu dalam suatu rentang nilai tertentu, akan membentuk kurva ang tidak terputus dalam rentang tersebut. Sarat untuk terjadina fungsi ang kontinu dinatakan sebagai berikut: Suatu fungsi = f() ang terdefinisi di sekitar = c dikatakan kontinu di = c jika dipenuhi dua sarat: (1) fungsi tersebut memiliki nilai ang terdefinisi sebesar f(c) di = c; () nilai f() akan menuju f(c) jika menuju c; pernataan ini kita tuliskan sebagai lim f ( ) = f ( c) c ang kita baca limit f() untuk menuju c sama dengan f(c). Contoh: Kita lihat misalna fungsi = 1/. Pada = fungsi ini tidak terdefinisi karena 1/ tidak dapat kita tentukan berapa nilaina; lim f ( ) tidak terdefinisi jika menuju nol. Kedua persaratan c kekontinuan tidak dipenuhi; ia merupakan fungsi tak-kontinu di =. Hal ini berbeda dengan fungsi ang terdefinisikan di = (lihat selanjutna ulasan di Bab-3) sebagai = u( ), = 1 untuk = untuk < 1-5
ang bernilai untuk < dan bernilai 1 untuk. Perhatikan Gb.1.3. 1 = 1/ -1-5 5 1 = 1/ -1 Tak terdefinikan di =. 1 = u() Gb.1.3. Fungsi Terdefinisikan di = = 1/ dan =u() Simetri. Kurva suatu fungsi mungkin simetris terhadap garis atau titik tertentu a) jika fungsi tidak berubah apabila kita ganti dengan maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-; b) jika fungsi tidak berubah apabila dan dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. c) jika fungsi tidak berubah apabila diganti dengan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-. d) jika fungsi tidak berubah jika dan diganti dengan dan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [,]. Contoh: Perhatikan contoh pada Gb.1.4. berikut ini. Kurva =,3 simetris terhadap sumbu-. Jika kita ganti nilai = dengan = -, nilai tidak berubah karena berpangkat genap. Kurva =,5 3 simetris terhadap titik-asal [,]. Di sini 1-6 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik
berpangkat ganjil sehingga fungsi tidak akan berubah jika diganti dan diganti. Kurva + = 9 simetris terhadap sumbu-, simetris terhadap sumbu-, simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III, dan juga simetris terhadap garis-bagi kuadran II dan IV. =,3 6 3 tidak berubah bila diganti tidak berubah jika dan diganti dengan dan -6-3 3 6-3 + = 9 =,5 3 tidak berubah jika diganti dan diganti dengan dan -6 dan dipertukarkan diganti dengan Gb.1.4. Contoh-contoh kurva fungsi ang memiliki simetri. 1.4. Bentuk Implisit Suatu fungsi kebanakan dinatakan dalam bentuk eksplisit dimana peubah-tak-bebas secara eksplisit dinatakan dalam, seperti = f (). Namun sering kali kita jumpai pula bentuk implisit di mana nilai tidak diberikan secara eksplisit dalam. Berikut ini adalah beberapa contoh bentuk implisisit. = 1 + = = 1 + + = 8 (1.3) 1-7
Walaupun tidak dinatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas akan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas. Contoh pertama sampai ke-tiga pada (1.3) dengan mudah kita ubah dalam bentuk eksplisit sehingga untuk menggambarkan fungsi tersebut kedalam sistem koordinat - dengan menggunakan tabel tidaklah terlalu sulit. Contoh ang ke-empat agak sulit, namun persamaan tersebut dapat dijadikan bentuk persamaan kuadrat ang akar-akarna adalah ( = + + = 8 + + 8), 1 ± = 4( 8) Nilai 1 dan dapat dihitung untuk setiap ang masih memberikan nilai nata untuk. Perhatikan bahwa akar-akar persamaan ini dapat kita tuliskan sebagai 4( 8) = ± (1.4) ang merupakan bentuk pernataan eksplisit = f (). Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.1.5. 8 4-4 - 4-4 Gb.1.5. Kurva -8 = ± 4( 8) 1-8 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik
1.5. Fungsi Bernilai Tunggal dan Fungsi Bernilai Banak Fungsi Bernilai Tunggal. Fungsi ang hana memiliki satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas, disebut fungsi bernilai tunggal. Berikut ini contoh fungsi bernilai tunggal. 1). =,5. Pada fungsi ini setiap nilai hana memberikan satu nilai. Kurva dari fungsi ini diperlihatkan pada Gb.1.6. Kita tahu bahwa kurva fungsi ini simetris terhadap sumbu- namun dalam gambar ini terutama diperlihatkan rentang. 8 6 4-1 1 3 4 Gb.1.6. Kurva =,5 ). = +. Pada fungsi ini, hana mengambil nilai positif. Oleh karena itu ia bernilai tunggal dengan kurva seperti terlihat pada Gb 1.7. 1,6 1,,8,4,5 1 1,5 Gb.1.7. Kurva = + 1-9
3). =. Peubah tak-bebas hana mengambil nilai negatif. Oleh karena itu ia bernilai tunggal dengan kurva seperti terlihat pada Gb.1.8. Sesungguhna kurva fungsi ini adalah pasangan dari kurva = +. Hal ini terlihat pada Gb.1.11 di mana mengambil nilai baik positif maupun negatif.,5 1 1,5 -,4 -,8 4). = log1. -1, -1,6 Gb.1.8. Kurva = Sebelum melihat kurva fungsi ini ada baikna kita mengingat kembali tentang logaritma. log 1 adalah logaritma dengan basis 1; log 1 a berarti berapakah 1 harus dipangkatkan agar diperoleh a. Jadi = log1 berarti 1 = 1 = log 1 1= ; = log 1 1= 3 ; 3 = log 1 =,313;...dst. Kurva fungsi = log1 terlihat pada Gb.1.9.,8,4 -,4 1 3 4 -,8 Gb.1.9. Kurva = log1 1-1 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik
5). = =. Fungsi ini berlaku untuk nilai negatif maupun positif. Perhatikanlah bahwa tidak hana sama dengan, melainkan ±. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.1.1. Gb.1.1. Kurva = = Fungsi Bernilai Banak. Jika untuk satu nilai peubah-bebas terdapat lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas, fungsi tersebut disebut bernilai banak. Berikut ini adalah contoh fungsi bernilai banak. 1). Fungsi = ±. Perhatikan bahwa ada dua nilai untuk setiap nilai. Sesungguhna bernilai ± dan bukan hana saja. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.1.11. Jika hana mengambil nilai positif atau negatif saja, fungsi akan menjadi bernilai tunggal, sebagaimana disebutkan pada contoh dan 3 pada fungsi bernilai tunggal. 1,5 1,5 -,5-1 4 3 1-4 -3 - -1 1 3 4,5 1 1,5,5 3-1,5 - Gb.1.11. Kurva = ± 1-11
). Fungsi 1 =. Fungsi ini bernilai banak; ada dua nilai untuk setiap nilai. Kurva fungsi ini diperlihatkan pada Gb.1.1. 1 5-5 1 3-1 Gb.1.1. Kurva = 1/ = ± 1/ 1.6. Fungsi Dengan Banak Peubah Bebas Fungsi dengan banak peubah bebas tidak hana tergantung dari satu peubah bebas saja,, tetapi juga tergantung dari peubah bebas ang lain. Misalkan suatu fungsi dengan dua peubah bebas dan t dinatakan sebagai = f (, t) (1.5) Sesungguhna dalam peristiwa fisis banak fungsi ang merupakan fungsi dengan peubah-bebas banak, misalna persamaan gelombang berjalan. Simpangan gelombang berjalan merupakan fungsi dari posisi () dan waktu (t). Secara umum kita menuliskan fungsi dengan peubah-bebas banak sebagai w= f (,, z, u, v) (1.6) untuk menatakan secara eksplisit fungsi w dengan peubah bebas,, z,u,dan v. Fungsi dengan peubah bebas banak juga mungkin bernilai banak, misalna 1-1 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik
ρ = + + z (1.7) Fungsi ini akan bernilai tunggal jika kita hana meninjau nilai positif dari ρ dan kita natakan fungsi ang bernilai tunggal ini sebagai ρ =+ + + z (1.8) 1.7. Sistem Koordinat Polar Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinatakan dalam skala sumbu- dan sumbu-, kita mengenal pula sistem koordinat polar. Dalam sistem koordinat polar ini posisi titik dinatakan oleh jarak titik ke titik asal [,] ang diberi simbol r, dan sudut ang terbentuk antara r dengan sumbu- ang diberi simbol θ. Kalau dalam koordinat sudut-siku posisi titik dinatakan sebagai P(,) maka dalam koordinat polar dinatakan sebagai P(r,θ). Hubungan antara koordinat susut siku dan koordinat polar adalah = r sinθ ; = r cosθ ; r = + θ = tan 1 ( / ) Hubungan ini terlihat pada Gb.1.13. rcosθ θ r Gb.1.13. Hubungan koordinat sudut-siku dan koordinat polar. P rsinθ 1-13
1.8. Fungsi Parametrik Dalam koordinat sudut-siku fungsi = f () mungkin juga dituliskan sebagai = (t) = (t) (1.1) jika dan masing-masing tergantung dari peubah lain t. Fungsi ang demikian disebut fungsi parametrik dengan t sebagai parameter. 1.9. Pembatasan Bahasan dan Sajian Bahasan Dalam buku ini kita hana akan membahas fungsi-fungsi dengan peubah bebas tunggal sedangkan fungsi dengan banak peubah bebas dibahas di buku lain. Kita juga membatasi diri hana pada bilangan nata. Bilangan kompleks belum akan kita bahas sehingga fungsi-fungsi kompleks belum dicakup. 1-14 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik
1-15