BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik
BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik
Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga asli. Suatu barisa yag terdiri dari suku biasaya diyataka dalam betuk a,a,,a. a meyataka suku ke, a meyataka suku ke da a meyataka suku ke. Barisa tak higga didefiisika sebagai suatu fugsi real di maa daerah asalya adalah bilaga asli. Notasi barisa tak higga adalah a Matematika Tekik 3
Barisa Tak Higga Cotoh cotoh barisa Barisa Bisa dituliska dega rumus Barisa, 3, 4,6,8,... 3 4,, 4 5 6 Bisa dituliska dega rumus Peetua a coba coba.,... tidak memiliki atura khusus da haya bersifat 05//06 Matematika Tekik 4
Kekovergea barisa tak higga Suatu barisa tak higga dikataka koverge meuju L, bila atau lima L La,N0N0 { utuk setiap epsilo positif terdapat N positif sedemikia higga utuk lebih besar atau sama dega N, selisih atara L aka kurag epsilo} a da 05//06 Matematika Tekik 5
Cotoh Kekovergea barisa tak higga Tetuka kekovergea dari barisa berikut Jawaba Karea maka lim diverge 05//06 Matematika Tekik 6
Cotoh Kekovergea barisa tak higga Tetuka kekovergea dari barisa berikut e Jawaba Karea merupaka betuk tak tetu maka utuk meyelesaikaya diguaka teorema berikut : Misal,bila maka utuk R. a lim e f limf L L limf 05//06 Matematika Tekik 7
Kekovergea barisa Jawaba (lajuta) Jadi f e lim lim e e tak higga da dega megguaka dalil L hopital maka Berdasarka teorema maka. Karea ilai limitya meuju 0, maka e Koverge meuju 0. lim 0 e lim e 0 05//06 Matematika Tekik 8
Cotoh 3 Kekovergea barisa tak higga Tetuka kekovergea dari barisa berikut cos Jawaba Betuk dari suku suku barisaya merupaka betuk gati tada akibat dari ilai cos, utuk gajil tadaya, utuk geap limcos tadaya +. Nilai tidak ada tetapi miimal berilai da maksimal berilai. Sedagkalim 0 akibatya utuk ilai,.cos aka medekati ol. Jadi deret koverge meuju 0. 05//06 Matematika Tekik 9
Sifat sifat barisa Misal {a } da {b } barisa-barisa yag koverge, da k suatu kostata, maka.. 3. 4. 5. limk k lim ak k lim a ab ablim alim b lim balim alim a lim,lim b0 blim b 05//06 Matematika Tekik 0
Barisa Mooto Kemootoa barisa {a } dapat dikelompokka mejadi 4 macam :. Mooto aik bila. Mooto turu bila a 3. Mooto tidak turu bila 4. Mooto tidak aik bila a a a a a a a 05//06 Matematika Tekik
Deret Tak Higga Deret tak higga merupaka jumlaha dari yaitu a +a + +a. Notasi deret tak higga adalah. a Kekovergea suatu deret dapat di ketahui dari kekovergea barisa jumlaha parsial yaitu, lim S,dimaa : S a Sa a S aa a 3 3 S aaa... a 3 a Da S SS,,..., S,... k 05//06 Matematika Tekik
Deret Tak Higga Cotoh Selidiki apakah deret koverge? Jawaba S k k Slim k Karea, maka adalah deret koverge yaitu koverge meuju. Peetua S dari suatu k k deret juga tidak memiliki atura khusus da bersifat coba coba. k 05//06 Matematika Tekik 3
Deret Suku Positif Sebuah a disebut deret suku positif, bila semua sukusukuya positif. Berikut ii adalah deret-deret suku positif yag serig diguaka :. Deret geometri. Deret harmois 3. Deret-p Deret p aka dibahas secara khusus dalam uji itegral 05//06 Matematika Tekik 4
Deret Suku Positif Deret geometri Betuk umum : ra k k 3 raa rara... ra... Proses meetuka rumusa S adalah sebagai berikut : 3 Sraa rara... Sr 3 rara ra... ra Dari rumusa tersebut diperoleh bahwa S sehigga Sr a ra ar. S utuk r. Kekovergea dari deret geometri r bergatug pada ilai r. 05//06 Matematika Tekik 5
Deret Suku Positif Deret geometri(lajuta) Ada 3 kasus ilai r yag aka meetuka kekovergea deret geometri : Bila r =, maka S = a sehigga diverge Bila r <, maka Bila r >, maka limr 0 limr lima, sehigga deret, sehigga deret koverge ke, sehigga deret diverge a r 05//06 Matematika Tekik 6
Deret Suku Positif Deret harmois Betuk umum : Utuk meetuka kekovergea, dapat diketahui dari ilai limit dari S ya, yaitu S... 3 45 67 8...... 34 56 78 96 05//06 Matematika Tekik 7
Deret Suku Positif Deret harmois (lajuta) S... 4 8 8 6 6... lim. Sehigga deret harmois diverge. Karea, maka 05//06 Matematika Tekik 8
Kedivergea Deret Tak Higga Bila deret a koverge, maka lima. 0 kotraposisiya (peryataa lai yag sesuai ) adalah Bila lima 0,maka deret aka diverge. a Bila dalam perhituga limit a ya diperoleh ol, maka deret belum tetu koverge, sehigga perlu dilakuka pegujia deret dega uji-uji deret positif. 05//06 Matematika Tekik 9
Cotoh Kedivergea Deret Tak Higga Periksa apakah koverge? Jawaba lim alim lim 0 Jadi diverge 05//06 Matematika Tekik 0
Uji Deret Positif. Uji itegral. Uji Badig 3. Uji Badig limit 4. Uji Rasio 5. Uji Akar 05//06 Matematika Tekik
Uji itegral Misal dimaa a Uji Deret Positif merupaka deret suku positif da mooto turu, f B, maka itegral tak wajar dari f() a b adalah fd limf d. b Bila ilai limit dari itegral tak wajar tersebut tak higga atau tidak ada, maka deret diverge. Bila ilaiya meuju suatu ilai tertetu(ada), maka deret koverge. 05//06 Matematika Tekik
Deret Suku Positif Cotoh : Uji Itegral Deret p Betuk umum : Kalau diperhatika maka deret harmois sebearya juga merupaka deret p dega p=. Kekovergea deret p aka bergatug pada ilai p. Utuk meetuka pada ilai p berapa deret koverge atau diverge, diguaka itegral tak wajar yaitu a Misal maka. Selajutya ilai f() tersebut di itegralka dega batas sampai. p f p f p 05//06 Matematika Tekik 3
Deret Suku Positif Deret p (lajuta) Itegral tak wajar dari f() adalah lim b p b d b d p p p lim lim b b p p b Kekovergea deret p ii aka tergatug dari ilai itegral tak wajar tersebut. Bila itegralya koverge maka deretya juga koverge. Sebalikya bila itegralya tak higga atau tidak ada maka deretya juga aka diverge. p 05//06 Matematika Tekik 4
Deret Suku Positif Deret p (lajuta) Nilai itegral tak wajar tersebut bergatug pada ilai p berikut : Bila p =, maka deretya harmois, sehigga deret diverge Bila 0 p<, maka,sehigga deret diverge p Bila p>, maka, b lim p lim p sehigga deret koverge. b lim p p b p b p p b p p b 05//06 Matematika Tekik 5
Uji Deret Positif Cotoh Tetuka kekovergea deret Jawaba l Deret tersebut mooto turu, sehigga dapat diguaka uji itegral yaitu : Misal a f, maka l Perhituga itegral tak wajar : l d b lim b f() l d limll l b b 05//06 Matematika Tekik 6
Uji Deret Positif Karea ilai limitya meuju tak higga, maka itegral tak wajarya diverge. Sehigga deret diverge. l juga 05//06 Matematika Tekik 7
Uji Badig Uji Deret Positif Bila utuk N, berlaku b a maka a. Bila b koverge, maka juga koverge a b b. Bila a diverge, maka juga diverge Jadi pada uji badig ii, utuk meetuka kekovergea suatu deret, bila megguaka sifat a maka deret pembadigya adalah yag bersifat koverge. Sedagka bila megguaka sifat omor maka deret pembadigya adalah yag bersifat diverge. 05//06 Matematika Tekik 8
Uji Deret Positif Cotoh Uji kekovergea Jawaba Dalam uji badig, pemiliha deret pembadig adalah dipilih yag palig mirip dega deret yag aka diuji. Dapat dipilh 3 sebagai deret pembadig. Karea da merupaka deret 3 3 p yag diverge, maka disimpulka deretya juga diverge 05//06 Matematika Tekik 9
Uji Deret Positif Cotoh Uji kekovergea 3 5 Jawaba Dega uji badig, diguaka deret pembadig 3, 3 3 dimaa. Karea 3 merupaka deret 5 koverge, maka 3 5 juga koverge. 05//06 Matematika Tekik 30
Uji Deret Positif Cotoh 3 Uji kekovergea Jawaba tg Karea utuk, tg, maka deret pembadig yag diguaka adalah.karea tg da merupaka deret koverge, maka tg juga koverge 05//06 Matematika Tekik 3
Uji Badig Limit Uji Deret Positif Misal a da, merupaka deret suku positif da, a Llim berlaku b Bila 0 < L <, maka kedua deret bersama-sama koverge atau bersama-sama diverge Bila L = 0, da b adalah deret koverge, maka. juga koverge Bila L = da b adalah deret diverge maka. juga diverge b 05//06 Matematika Tekik 3 a a
Uji Deret Positif Cotoh Uji kekovergea deret 3 5 3 Jawaba Deret pembadig yag diguaka adalah diketahui sebagai deret diverge ( sebagai ). 3 da 5 Karea L lim. da deret pembadigya 3 5 3 diverge, maka. juga diverge. 3 5 3 05//06 Matematika Tekik 33 b 5 3 5
Uji Deret Positif Cotoh Uji kekovergea deret i 5 Jawaba Deret pembadig yag diguaka adalah diketahui sebagai deret diverge (deret harmois). da Karea. L limlim da deret 5 pembadigya diverge, maka kedua deret bersama-sama diverge. 05//06 Matematika Tekik 34
Uji Deret Positif Uji Rasio Misal a maka berlaku merupaka deret suku positif da a lim a Bila <, maka deret koverge Bila >, maka deret diverge Bila =, maka uji gagal 05//06 Matematika Tekik 35
Uji Deret Positif Cotoh Uji kekovergea deret i! Jawaba Dega uji rasio diperoleh Karea = 0 <, maka i )(! )( lim lim0!)( )( koverge.! 05//06 Matematika Tekik 36
Uji Deret Positif Uji Akar Misal a merupaka deret suku positif da r lima, maka berlaku Bila r <, maka deret koverge Bila r >, maka deret diverge Bila r =, maka uji gagal a a 05//06 Matematika Tekik 37
Uji Deret Positif Cotoh Uji kekovergea deret i e Jawaba Dega uji akar diperoleh rlim e e Karea r, maka koverge. e i e 05//06 Matematika Tekik 38
Uji Deret Positif Padua Pemiliha uji deret Bila deret suku berbetuk rasioal (fugsi poliom) maka dapat dipilih uji badig atau uji badig limit Bila deret suku positif megadug betuk pagkat da atau faktorial maka dipilih uji rasio atau uji akar pagkat Bila uji uji diatas tidak dapat diguaka da suku sukuya mooto turu maka dapat dipilih uji itegral 05//06 Matematika Tekik 39
Deret Gati Tada Uji-uji kekovergea deret positif haya diguaka utuk meguji deret-deret positif. Sedagka utuk deret-deret yag suku-sukuya bergati-gati tada, yaitu berbetuk. dega a > 0 utuk semua dilakuka uji a 34 aaa... tersediri. Notasi deret gati tada adalah. atau. Deret gati tada dikataka koverge, bila a. 0 a a (mooto tak aik) b. lima 0 05//06 Matematika Tekik 40 i ( ) a i ( ) a
Deret Gati Tada Cotoh Tetuka kekovergea deret 3 Jawaba 3 merupaka deret gati tada 3 dega rumus suku ke ya adalah a. Deret aka koverge bila memeuhi dua syarat berikut : a. 0a. b. Nilai a lima 0 05//06 Matematika Tekik 4
Deret Gati Tada a. b. 0 a a 4 3 4 3 4 a 4 a3 56 a Karea a 3 alim 0 jadi {a } adalah mooto tak aik. Karea kedua syarat dipeuhi maka deretya koverge. 05//06 Matematika Tekik 4
Koverge Mutlak da Koverge Bersyarat Deret aaa a mutlak, bila deret mutlak 3 a 3 (suku a bisa berupa suku positif atau tidak). dikataka koverge aaa koverge Hal tersebut tidak berlaku sebalikya. Tetapi bila diverge, maka. juga diverge. Koverge bersyarat terjadi bila diverge. a a a koverge tetapi a 05//06 Matematika Tekik 43
Koverge Mutlak da Cotoh Koverge Bersyarat Tetuka apakah cos koverge mutlak atau bersyarat? 3 Jawaba cos Deret mutlakya adalah. Dega megguaka uji 3 badig, dimaa deret pembadigya adalah maka 3 diperoleh bahwa cos utuk semua ilai. 3 3 Karea 3 merupaka deret koverge, maka cos juga koverge. Sehigga koverge mutlak. 3 cos 3 05//06 Matematika Tekik 44
Koverge Mutlak da Cotoh Koverge Bersyarat Tetuka apakah bersyarat?! koverge mutlak atau Jawaba Deret mutlakya adalah.!! Dega uji rasio diperoleh lim.! lim Karea =0<, maka koverge.! 0 Sehigga! koverge mutlak. 05//06 Matematika Tekik 45
Cotoh 3 Koverge Mutlak da Koverge Bersyarat Tetuka apakah koverge mutlak atau bersyarat? Jawaba Deret mutlakya adalah yag merupaka deret diverge. Pegujia kekovergea deret gati tada a. 0 a a (mooto tak aik) Diperoleh bahwa 0 bear b. Jadi deret gati tadaya koverge. Karea deret gati tadaya koverge sedagka deret mutlakya diverge maka lim a lim 0koverge bersyarat. 05//06 Matematika Tekik 46
Uji rasio utuk kekovergea mutlak Misal a a deret dega suku tak ol da rlim, a tiga kodisi yag mugki terjadi adalah : a a Bila r<, maka koverge mutlak Bila r>, maka diverge Bila r=, pegujia gagal ( tidak dapat disimpulka) Koverge bersyarat tidak bisa ditetuka oleh uji rasio ii.. 05//06 Matematika Tekik 47
Koverge Mutlak da Koverge Bersyarat Cotoh Tetuka apakah diverge? e 3 koverge mutlak atau Jawaba Dega uji rasio mutlak diperoleh : 3 r lim e e 3 3 lim e 3 e Karea, maka 3 r koverge mutlak. e e 05//06 Matematika Tekik 48
Koverge Mutlak da Koverge Bersyarat Cotoh Tetuka apakah Jawaba Dega uji rasio mutlak diperoleh : Karea r >, maka! diverge.! r lim!! koverge mutlak atau diverge? lim 05//06 Matematika Tekik 49
05//06 Matematika Tekik 50 Deret Pagkat Betuk umum : Cotoh deret pagkat.. 3....... 0 0 a a a a a...... 0 0 b a b a b a a b a...... 0... 6! 4!!! 6 4 0... 5 4 0
Deret Pagkat Pada deret pagkat ii, kalau diperhatika terdapat dua variabel, yaitu da. Utuk, ilaiya dari 0 sampai, sedagka ilai dapat dicari dega uji rasio utuk kekovergea mutlak, yaitu pada saat r <. Iterval ilai yag memeuhi kekovergea dari deret maupu a 0 b disebut iterval kekovergea. 0 Betuk iterval kekovergea dari deret pagkat ii memiliki ciri khusus da haya memiliki 3 variasi betuk utuk masig masig deret. a 05//06 Matematika Tekik 5
Deret Pagkat Tiga kemugkia utuk iterval kekovergea deret adalah : Selag kovergesi utuk deret Deret koverge haya di = 0 Deret koverge mutlak di R Deret koverge mutlak pada iterval buka ( r,r) atau ditambah pada ujug ujug itervalya. Selag kovergesi utuk deret 0 Deret koverge haya di = b Deret koverge mutlak di R a Deret koverge mutlak pada iterval buka (b r,b+r) atau ditambah pada ujug ujug itervalya. a 0 b 05//06 Matematika Tekik 5
Deret Pagkat Cotoh Tetuka iterval kekovergea deret Jawaba Pegujia dega uji rasio mutlak : 0! r lim!! lim 0 Deret aka koverge utuk semua ilai Atau R 05//06 Matematika Tekik 53
Deret Pagkat Cotoh Tetuka iterval kekovergea deret Jawaba Pegujia dega uji rasio mutlak : r lim!! lim Dari pegujia tersebut diperoleh bahwa ilai yag memeuhi adalah = 0 agar r <. Jadi deret koverge utuk = 0 0! 05//06 Matematika Tekik 54
Deret Pagkat Cotoh 3 Tetuka iterval kekovergea deret Jawaba Pegujia dega uji rasio mutlak : 3 rlim 3 0 3 lim. 3 3 Dari pegujia tersebut diperoleh bahwa ilai yag memeuhi adalah 3 < < 3. Pada ujug ujug iterval, pegujia dilakuka secara terpisah. 05//06 Matematika Tekik 55
Deret Pagkat Pegujia deret pada saat = 3 da = 3 adalah sebagai berikut : Saat = -3 deretya mejadi Deret ii 0 diketahui sebagai deret harmois yag diverge. Saat = 3 deretya mejadi dega 0 uji deret gati tada diketahui bahwa deret ii koverge. Jadi iterval kekovergea deret adalah 3 33 0 05//06 Matematika Tekik 56
Deret Pagkat Cotoh 4 Tetuka iterval kekovergea deret Jawaba Pegujia dega uji rasio mutlak : rlim 5 5 lim5 5. Dari pegujia tersebut diperoleh bahwa ilai yag memeuhi adalah 4 < < 6. Pada ujug ujug iterval, pegujia dilakuka secara terpisah. 05//06 Matematika Tekik 57 5
Deret Pagkat Pegujia deret pada saat = 4 da = 6 adalah sebagai berikut : Saat = 4 deretya mejadi karea 0. koverge maka deret gati tadaya juga koverge.. Saat = 6 deretya mejadi yag merupaka deret-p yag diketahui koverge. Jadi iterval kekovergea deret 4 6 5 adalah 05//06 Matematika Tekik 58
Operasi-operasi deret pagkat. Operasi aljabar, yaitu pejumlaha, peguraga, pembagia, da substitusi. Turua deret : D a 0 3. Itegral deret : a a adad C 0 0 0 05//06 Matematika Tekik 59
Deret Pagkat Deret geometri a =. adalah cotoh deret pagkat dega Dega megguaka rumus jumlah takhigga deret geometri, maka diperoleh 3... Secara umum bisa digati dega U dimaa U adalah fugsi yag memuat. 3 uuu... u u 05//06 Matematika Tekik 60
Deret Pagkat Cotoh Nyataka Jawaba dalam deret pagkat Dega megguaka deret geometri 3... 05//06 Matematika Tekik 6
Deret Pagkat Cotoh Nyataka dalam deret pagkat Jawaba Dega megguaka jawaba sebelumya 3 3 4...... 05//06 Matematika Tekik 6
Deret Pagkat Cotoh 3 Nyataka l dalam deret pagkat Jawaba l l 3 3 ld... d. 3 3 3 l d... d.. 3 Jadi 5 l l l 3... 35 05//06 Matematika Tekik 63
Deret Pagkat Cotoh 4 Nyataka dalam deret pagkat Jawaba adalah turua dari sehigga d d 3 d... 3 4.. 3 d 05//06 Matematika Tekik 64
Deret Taylor da Maclauri Suatu fugsi yag terdifferesial sampai orde di = b dapat digambarka sebagai suatu deret pagkat dari ( b) yaitu, 3 0 3bababaf dimaa ilai-ilai a 0,a,a, = b sampai turua ke-, yaitu a a a a 0 f f f f b ' b ' ' b! b diperoleh dari peurua f() di! 05//06 Matematika Tekik 65
Deret Taylor da Maclauri Atau f() bisa dituliska sebagai ' ' ' fb fb ffbfbb b b!!3 Betuk yag diperoleh di atas dikeal dega betuk poliomial taylor. Fugsi yag dapat diperderetka dalam betuk poliomial taylor, diamaka deret taylor. Bila b = 0, maka fugsi diperderetka dalam deret maclauri, yaitu fb b! 05//06 Matematika Tekik 66 ' 3 ' 3 f f0f 0 ' f0 f0 f0!!3!
Deret Taylor da Maclauri Cotoh Perderetka Jawaba f ke dalam deret maclauri e f0 ' ' fe f0 ' f e ' fe f0 ' Sehigga ' f0 fe fe f0 3 e,!!3! 0 05//06 Matematika Tekik 67
Deret Taylor da Maclauri Cotoh Perderetka Jawaba e f Dari jawaba sebelumya diperoleh bahwa 3 ke dalam deret Maclauri / Taylor e,!!3! 0 Dega meggati dega maka diperoleh perderetaya adalah e! 3!3 05//06 Matematika Tekik 68
Deret Taylor da Maclauri Berikut adalah fugsi-fugsi yag diperderetka ke dalam deret Maclauri 357 si!3!5!7 0! 46, cos,!!4!6 0! 34 l, 3 4 0 357 ta, 35 70 34, 0 05//06 Matematika Tekik 69
Deret Taylor da Maclauri Utuk memperderetka suatu fugsi kedalam deret taylor atau maclauri, dapat diguaka operasi-operasi deret pagkat seperti pada bagia sebelumya, misal : Cos d Si d 3 5 7 d!3!5!7 4 6 d!!4!6 ta d d 46 357 35 7 05//06 Matematika Tekik 70
Soal Latiha A. Tetuka barisa-barisa berikut koverge atau diverge.. si 3. l 4. 5. ecos 6.! 05//06 Matematika Tekik 7
Soal Latiha A (Lajuta) 7. e e 8. e 6 9. 0. 4 e.. 05//06 Matematika Tekik 7
Soal Latiha A (Lajuta) 3. 4. 00 e B. Tetuka deret berikut koverge atau diverge? l.. 3 3 5 3. 4. 3 3 6 05//06 Matematika Tekik 73
Soal Latiha B. (lajuta) 5. 60 6.! e 5 7. 8.! cos 3 l 9. 0. e!! 05//06 Matematika Tekik 74
Soal Latiha B. (lajuta) 5si..! 4! 4!!4 3. 84. 5 ta 3 5. 6. 5 3 05//06 Matematika Tekik 75
Soal Latiha B. (lajuta) e 7. 8. 3 3 9. 0. e 3 cos 5. 5. 3 6 05//06 Matematika Tekik 76
Soal Latiha B. (lajuta) 3 3. 4. 5 C. Uji kekovergea deret-deret berikut, da tetuka koverge mutlak, koverge bersyarat, atau diverge. 3. 3 3 4. 5 4. cos 05//06 Matematika Tekik 77
Soal Latiha D. Cari iterval kekovergea deret pagkat berikut. 4.! 0. 5. 0 l 3 3. 6. 0 0! 05//06 Matematika Tekik 78
Soal Latiha D. (Lajuta) 3 4 7. 8. 3 4 4 6 9. 0.!!4!6 3 3! 3 3!3 3 3 43 83 34 5 6 E. Perderetka fugsi berikut dalam deret pagkat. f l. e 3 f 05//06 Matematika Tekik 79
Soal Latiha E. (Lajuta) e 3. f 4. 5. f 6. 4 7. fsi 8. f l f f 3 3 9. f e 0. f l 3 05//06 Matematika Tekik 80
Deret Lauret
Cotoh. Tetuka deret Lauret dari fugsi f z utuk 0 z Peyelesaia : f z diuraika mejadi : 3 f z ( z ) z 3 3 z z 3 z z z 3 Daerah yag memeuhi : z z 0 z 0 z 0
Betuk Lauret yag memeuhi daerah di atas dari 3 3 3 z 3 z z 3 z 3 z 0 Jadi deret Lauret di f() di atas adalah 3 z f z z 0 3 4 z 3 4 z 0 3 4 z z
Cotoh. Tetuka deret Lauret dari 3 ( ) z e z ; z = Peyelesaia : Misal z = u maka z = u + 3 3 u e z e z u... 3 4... 3!! 3 3 3 3 e z e z e z e u u u u e e u e u Deret koverge utuk setiap ilai z