BAB VI BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { },,,,, adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila,,,.., maka fugsi meghasilka uruta atau bajar uku-suku,,,,... bajar ii disebut Bajar Tak Berhigga utuk meujukka bahwa tak ada suku terakhir. Fugsi ke- dari bajar. disebut suku umum atau uatu bajar tak berhigga diyataka dega meutup suku umum dalam kurug kurawal seperti, atau dapat ditulis :,,,,...,,... Cotoh lai:. {,,,, U } U. {, 6, 9,, U } U.,, {,,...U } U..,, 7, 0,, a,. 0,,,,, a -, 7 6 6. 0,,,,,,, b (-), 6 7 Adiai / Kalkulus I / eptember 08
7 6 7. 0,, -,, -,, -, c (-), 6 7 8. 0.999, 0.999, 0.999, 0.999, d 0.999, Barisa { } dikataka terbatas jika terdapat bilaga-bilaga P da Q sehigga : P Q utuk semua. Cotoh: 7,,,...,, 6... adalah terbatas karea utuk semua : Tetapi,, 6,...,,... adalah tidak terbatas. Barisa { } dikataka tidak turu jika Da dikataka tidak aik jika Cotoh: Barisa 9 6.,,,,... adalah barisa tidak turu.. { - (-) },, 7, 7, adalah barisa tidak turu..,,,,... adalah barisa tidak aik.. {-} -, -, -, -, adalah barisa tidak aik imit Barisa Jika titik-titik beruruta yag diperoleh dari barisa :,,, 7, 9,..., -,... (*) terletak pada garis bilaga, da utuk cukup besar aka terletak disekitar titik. Keadaa seperti ii dikataka bahwa imit barisa adalah. Adiai / Kalkulus I / eptember 08
Jika x adalah peubah yag jagkauaya barisa (*), maka dikataka bahwa x medekati sebagai it atau x meuju sebagai it da ditulis : x { U { ( - ) Kekovergea [ ] Barisa { } dikataka koverge ke bilaga berhigga sebagai it,, jika utuk setiap bilaga positif, bagaimaapu kecilya, terdapat bilaga bulat positif m sehigga utuk > m aka berlaku - < Jika suatu barisa memiliki it, maka disebut barisa koverge. Jika suatu barisa tidak memiliki it, maka disebut barisa diverge. Barisa { } dikataka diverge ke, [ ], jika utuk setiap bilaga positif M, bagaimaapu besarya, terdapat bilaga bulat positif m sehigga utuk > m maka > M. Jika > M maka. Jika < -M maka -. Jadi dapat disimpulka: Defiisi - Barisa {a } diamaka koverge meuju atau berit da ditulis sebagai: a - Apabila utuk tiap bilaga positif ε, ada bilaga positif N sehigga utuk N > a < ε - uatu barisa yag tidak koverge ke suatu bilaga yag terhigga diamaka diverge. Adiai / Kalkulus I / eptember 08
Teorema-Teorema Barisa. etiap barisa tidak turu atau tidak aik da terbatas adalah koverge.. etiap barisa yag tidak terbatas adalah diverge.. Barisa koverge atau diverge aka tetap koverge atau diverge sesudah suku pertama dihapus.. imit dari barisa koverge adalah tuggal. Adaika {s } da {t } barisa-barisa yag koverge da k sebuah kosatata, maka Jika s s da t t. im (k.s ) k s ks dimaa k kostata 6. ( s ± t ) s ± t s ± t 7. ( s. t ) s. t s. t 8. s t s t s t jika t 0 da t 0 utuk semua 9. Jika {s } adalah barisa suku-suku tidak ol da jika : s, maka 0 0. Jika a >, maka a. Jika r <, maka r 0 Jumlah : s s s s... () Da barisa tak higga { } disebut deret tak higga. Utuk setiap deret terdapat sebarisa jumlah parsial : s s s s s s M Adiai / Kalkulus I / eptember 08
s s s s M Jika disebut jumlahya. Jika s suatu bilaga higga, maka deret () dikataka koverge da s tidak ada, maka deret () dikataka diverge. uatu deret adalah diverge karea membesar da megecil tapa medekati suatu it. atau jika membesar maka Cotoh : Deret :... Utuk deret ii : s, s 0, s, s 0, Cotoh-Cotoh:. Guaka Teorema utuk memperlihatka bahwa barisa { - } koverge. Peyelesaia : Barisa { - } Jika { - } adalah adalah terbatas karea 0 utuk semua. Karea :, maka : - - ( ) ( ) Berarti bahwa, merupaka barisa yag tidak turu. Adiai / Kalkulus I / eptember 08
Jadi barisa ii koverge ke s. Guaka Teorema utuk memperlihatka bahwa barisa adalah koverge. Peyelesaia : Barisa Karea : Jika Maka :...7...( -)..6.8...()...7...( -)..6.8...()...7...( )..6.8...( )...7...( -)..6.8...() adalah terbatas, karea 0 utuk semua.. Berarti barisa ii tidak aik, jadi barisa koverge ke s 0. imit dari barisa koverge adalah tuggal. Misalka berlaku kebalikaya sehigga: s da t, dimaa s - t > ε > 0 igkuga ε dari s da t mempuyai sifat-sifat yag salig berkotradiksi : i) Tidak memiliki titik-titik persekutua ii) Masig-masig memiliki semua suku-suku barisa kecuali sejumlah berhigga dari suku-suku tersebut. Jadi s t da itya adalah tuggal.. Jika a >, maka a Ambil M > 0, betapapu besarya. Adiai / Kalkulus I / eptember 08 6
Misalka a b dimaa b > 0, maka : a Jika ( b) > Karea a a b M b ( -). b > M da jika... > b > M M > utuk M betapapu besarya maka b. Deret aritmatika tak higga a (a d) (a d).. [a (-)d] diverge jika a d > 0 Utuk deret a (a d) (a d).. [a (-)d] ½ [a (-)d] da Kecuali utuk a d 0 Jadi deret diverge jika a d > 0 6. Deret geometri tak higga a ar ar.. ar -.., dimaa a 0 Koverge ke a - r Utuk deret a ar ar.. ar - : a - ar - r jika r < da diverge jika r a - r - a - r r, r Jika r <, maka r 0 Jika r >, maka r sehigga a - r sehigga diverge. Jika r, deretya berbetuk a a a a a. Atau a a a a a yag diverge. Adiai / Kalkulus I / eptember 08 7
7. Utuk deret..., Jumlah bagiaya adalah : > 8 > ½ 6 > > ½ 6 > M Jadi barisa jumlah-jumlah bagiaya tidak terbatas da diverge, Jadi deretya diverge. Uji Kovergesi da Divergesi dari Deret Positif I. Uji Itegral Misalka f() meyataka suku umum dari deret yag suku-sukuya semua positif. Jika f(x) > 0 da tidak perah aik dalam iterval x > ξ, dimaa ξ suatu bilaga bulat positif, maka deret koverge atau diverge tergatug kepada apakah f(x) dx ada atau tidak ada. ξ II. Uji Badig utuk Kovergesi uatu deret positif adalah koverge jika setiap suku (mugki sesudah sejumlah berhigga) adalah lebih kecil atau sama dega suku yag bersesuaia dari suatu deret positif koverge yag diketahui c III. Uji Badig utuk Divergesi uatu deret positif adalah diverge jika setiap suku (mugki sesudah sejumlah berhigga) adalah sama dega atau lebih besar dari suku yag bersesuaia dari suatu deret positif diverge yag diketahui d Adiai / Kalkulus I / eptember 08 8
IV. Uji Rasio Deret positif koverge jika <, da diverge jika >. Jika uji ii tidak dapat dipakai. Cotoh : elidiki kovergesi dari : 7 9 Dega megguaka uji itegral. Peyelesaia : f(),,,,... Ambil f(x) x Pada iterval x >, f(x) > 0 da meuru jika x aik. Ambil ξ da padag : f(x) dx u u dx x u x u u u - Nilai itegralya tidak ada, jadi deret diverge. Adiai / Kalkulus I / eptember 08 9
oal : Dega megguaka uji itegral selidiki kekovergesia dari :.... 6 6 6. si π si π si π si π... 9 6.... (p > 0) p p p p Uji Badig uku umum dari deret yag diketahui yag aka diuji kovergesiya aka dibadigka dega suku umum dari deret yag diketahui kovergesiya atau divergesiya. Deret-deret berikut aka bergua sebagai deret uji : a) Deret geometri a ar ar.. ar.., dimaa a 0 aka koverge jika 0 < r < da diverge jika p. b) Deret p p p p koverge jika p > da diverge jika p Cotoh : elidiki kovergesi dari : 0 7 Dega megguaka uji badig. Peyelesaia : 0 7 uku umum < Adiai / Kalkulus I / eptember 08 0
Jadi suku-suku deret ii adalah lebih kecil dari suku-suku deret : yag koverge karea p 9 Jadi deret yag diketahui juga koverge. (Uji itegral juga dapat diguaka disii) ajut oal : Dega megguaka uji badig, selidiki kovergesi dari :..!!! Tugas elidiki kovergesi dari deret-deret dega megguaka uji badig :... Uji Rasio Deret positif koverge jika < Da diverge jika >. Jika uji ii tidak dapat dipakai Adiai / Kalkulus I / eptember 08
Cotoh : Dega megguaka uji rasio, selidiki kovergesi dari : Peyelesaia : uku umum, maka. Maka < sehigga deret koverge ajut oal : Dega megguaka uji rasio, selidiki kovergesi dari :!!! 6....... 7.......7 8..... 9. Tugas:. Tetuka apakah koverge atau diverge dega uji itegral : 0 a). b). c). ( ) d). l. Tetuka apakah koverge atau diverge dega uji badig : - a). b). - c).. Tetuka apakah koverge atau diverge dega uji rasio : a). ( )( )! b). c).! d). ( )( ) - d). Adiai / Kalkulus I / eptember 08
. Tetuka apakah koverge atau diverge : a). b). c). 7 0...6.6.7.8 9 d) 7 Adiai / Kalkulus I / eptember 08