PELUANG Kegiata Belajar : Kaidah Pecacaha, Permutasi da kombiasi A. Kaidah Pecacaha. Prisip Dasar Membilag Jika suatu operasi terdiri dari tahap, tahap pertama dapat dilakuka dega m cara yag berbeda da tahap kedua dapat dilakuka dega cara yag berbeda, maka keseluruha operasi dapat dilakuka dega m x cara. Cara pecacaha seperti ii disebut kaidah perkalia. Berikut ii jala yag dapat dilalui pegedara motor dari kota A ke kota C melelui kota B. Ada berepa cara yag dapat dilakuka dari A ke C? 5 A B C 7 Dari A ke B dapat dilakuka dega cara. Dari B ke C dapat dilakuka dega cara. Jadi, dari A ke C dapat dilakuka dega x cara, yaitu: jala,5 ; jala, ; jala,7 jala,5 ; jala, ; jala,7 jala,5 ; jala, ; jala,7 jala,5 ; jala, ; jala,7 Ada berapa cara yag dapat dilakuka dari A ke C? 5 A B C 9 A ke B ada cara 7 8 0 A ke C melalui B ada x cara B ke C ada cara A ke D ada cara A ke C melalui D ada x cara D ke C ada cara Jadi, A ke C baik melalui B maupu D ada + cara. D. Faktorial Hasil kali bilaga bulat positif (bilaga asli) berturut-turut dari sampai disebut faktorial, ditulis :!! )( )( ).. 0!
Hituglah 5!!! 5!! 5.... 0 Nyataka x dalam factorial! x x x x x!! B. Permutasi da Kombiasi. Permutasi Permutasi adalah susua objek-objek dega memperlihatka uruta tertetu. a. Permutasi objek berbeda yag setiap kali diambil seluruhya ( P ) P! atau Diketahui abjad pertama yaitu A, B da C. Berapa bayak susua yag mugki dari huruf yag berbeda itu? P!.. cara P! Diketahui siswa : Ary, Ai, Ali da Asih aka ditempatka pada buah kursi. Ada berapa cara utuk meempatka siswa itu pada kursi yag berbeda? I II III IV Kursi I dapat diisi oleh salah satu siswa dalam cara. Kursi II dapat diisi oleh salah satu siswa dalam cara. Kursi III dapat diisi oleh salah satu siswa dalam cara. Kursi IV dapat diisi oleh salah satu siswa dalam cara. Sehigga dega prisip dasar probabilitas, keempat kursi dapat ditempati oleh keempat siswa dega : x x x cara. Atau: P P!... cara. b. Permutasi objek berbeda yag setiap kali diambil sebagia ( P r ) atau Bayak permutasi objek yag diambil r objek (0 < r < ) diotasika P r atau P (, r) P (dibaca Permutasi r dari ) adalah : r P r )( ) ( r + ) atau! P r ( r )!
Berapa bayak permutasi yag terdiri atas huruf yag berbeda dari huruf : A, I, U, E.!!... P. cara ( )!!. Ke- permutasi itu adalah : I : AI A : UA A U : AU U I : UI E : AE E : UE A : IA A : EA I U : IU E I : EI E : IE U : EU c. Permutasi objek yag tidak semua berbeda Bayakya cara meyusu usur dalam suatu baris, jika ada p usur yag sama dari satu jeis, q usur dari jeis lai, da seterusya adalah : P! p!. q!... Berapa carakah 5 huruf dari kata CUACA dapat disusu dalam suatu baris! Usur-usur yag sama : huruf C ada, huruf A ada. P 5!!.! 5...... 0 Jadi susua yag mugki ada 0 buah. d. Permutasi Siklis Bayakya cara meyusu objek berlaia dalam suatu ligkara, dega memadag susua yag searah putara jarum jam da berlawaa arah putara jarum jam adalah :! P s () ( )! Terdapat berapa carakah empat aak A, B, C, D yag duduk meligkar dapat disusu dalam ligkara? Cara I Ambil seorag aak utuk diletakka pada posisi yag tetap, kemudia meyusu tiga aak yag lai dalam tempat yag berbeda, maka cara ii dapat dilakuka dalam!.. cara. 5
Cara II Perhatika gambar! Jika keempat aak itu diletakka pada posisi,, da bergatia searah putara jarum jam dalam sebuah ligkara, maka mereka tetap membetuk susua yag sama. Karea itu, peyusuaya harus meempatka seorag aak kepada posisi yag tetap da meggerakgerakka posisi tiga aak yag lai. Meyusuya seperti berikut: A B C D C D B D B C D (ABCD) C (ABDC) D (ACBD) B (ACDB) C (ADBC) B (ADCB) Jadi bayakya susua meligkar ( )!! cara.. Kombiasi Kombiasi adalah susua dari usur-usur yag berbeda tapa memperhatika uruta usur-usur itu. Kombiasi dari objek yag diambil r objek diotasika C r atau C (, r) atau adalah : C atau r r C r! r!( r )! Melalui cotoh berikut ii, dapat dibedaka atara permutasi da kombiasi. Pegambila huruf dari huruf yag ada (A, B, C, D). Kombiasi ( C ) : ABC, ABD, ACD, BCD Permutasi ( P ) : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, DBA ACD, ADC, CAD, CDA, DAC, DCA BCD, BDC, CBD, CDB, DBC, DCB Jadi, C.! P atau C Sehigga kita peroleh: C r P! P r r! r!(! r )! Ada berapa cara dapat dilakuka jika 5 pemai bola basket diambil dari tim yag terdiri pemai utuk berpartisipasi dalam pertadiga persahabata?
!!..0.9.8.7! C 5 79 5!( 5)! 5!.7! 5...7! Jadi, bayakya cara memilih 5 pemai dari pemai ada 79 cara. Ada berapa cara bola merah, bola biru, da bola putih dapat dipilih dari suatu kotak yag berisi bola merah, bola biru, da 5 bola putih? bola merah dapat dipilih dari bola dalam C cara. bola biru dapat dipilih dari bola dalam C cara. bola putih dapat dipilih dari 5 bola dalam 5 C cara. Dega prisip perkalia, bayakya cara memilih bola yag dimita : C x C x 5 C!! 5! x x!.!!.!!.!..!.5..! 5.! x x..!...!!. x 0 x 5 00 cara. LATIHAN.. Dari agka-agka,,,, 5, da aka dibetuk suatu bilaga dega syarat setiap bilaga tidak boleh ada agka yag sama. a. Tetuka bayakya bilaga yag terdiri atas agka da habis dibagi! b. Tetuka bayakya bilaga yag terdiri atas agka da merupaka bilaga gajil!. Dari agka-agka,,,, da 5 aka dibetuk suatu bilaga dega syarat bahwa setiap bilaga tidak terdapat agka yag sama. Berapakah bayakya bilaga yag dapat dibetuk jika diberika ketetua sebagai berikut! a. terdiri atas agka. b. terdiri atas agka da kelipata. c. bilaga itu kurag dari 500.. Tetuka ilai jika P ( +, ) 0!. Sebayak 8 orag aka duduk meligkar dalam acara rapat. Ada berapa cara mereka duduk meligkar jika ada orag harus duduk berdampiga? 5. Hituglah permutasi dari kata-kata berikut! a. SATUAN b. GEGANA. Hituglah hasil kombiasi berikut! a. C (, ) b. C (8, ). C (, ) 7. Tetuka ilai jika C (, ) 0! 8. Tetuka ilai jika C ( +, ) 5! 9. Seorag pemborog meyediaka 5 macam wara cat utuk megecat didig rumah. Jika tiap bidag tembok dicat dega campura macam wara, maka berapa bayak kombiasi wara yag dapat dipilih utuk megecat bidag tembok tersebut? 0. Seorag maajer perkebua aka meeliti jeis, betuk, da cara aplikasi pupuk itroge (N) pada suatu jeis taama. Jeis pupuk yag tersedia adalah Urea, Za, da Kyag masig-masig dalam betuk tablet da butira. Pegguaa pupuk dapat dilakuka dega cara disebarka, diligkarka pada pagkal taama atau dipalirka di atara dua baris taama. Hituglah berapa bayak percobaa yag dibutuhka! 7
Kegiata Belajar : Peluag Suatu Kejadia A. Percobaa da Peluag Suatu Kejadia Setiap proses yag meghasilka suatu kejadia disebut percobaa. Misalya kita melemparka sebuah dadu sebayak satu kali, maka hasil yag keluar adalah agka,,,, 5 atau. Semua hasil yag mugki dari suatu percobaa disebut ruag sampel, biasaya diyataka dega S, da setiap hasil dalam ruag sampel disebut titik sampel. Bayakya aggota dalam S diyataka dega S). Misalya, dari percobaa pelempara sebuah dadu, maka S {,,,, 5, } da S). Jika dalam pelempara dadu tersebut mucul agka {}, maka bilaga itu disebut kejadia. Jadi, kejadia adalah himpua bagia dari ruag sampel. Jika ruag sampel S mempuyai aggota yag berhigga bayakya da setiap titik sampel mempuyai kesempata utuk mucul yag sama, da A suatu kejadia muculya percobaa tersebut, maka peluag kejadia A diyataka dega : P(A) A) S ) P(A) Peluag mucul A A) bayakya kejadia A S) bayakya kemugkia kejadia S Sebuah mata uag logam dilempar satu kali. Berapa peluag muculya Agka? Ruag sampel S {A, G} maka S). Kejadia A {A}, maka A) A) Jadi, P(A) S ) Sebuah dadu mata eam dilempar satu kali. Berapa peluag muculya mata dadu gajil? S {,,,, 5, } S) A {,, 5} A) A) Jadi, P(A) S ) Dalam setumpuk kartu bridge (remi) diambil satu kartu secara radom (acak). Tetuka peluag yag terambil adalah kartu As! Bayakya kartu bridge adalah 5, berarti S) 5 As) As ) Jadi, P(As) S ) 5 8
B. Frekuesi Harapa (Fh) frekuesi harapa suatu kejadia pada suatu percbaa adalah hasil kali peluag dega frekuesi percobaa A, diyataka dega rumus : Sebuah dadu mata eam dilatuka sebayak 0 kali. Berapakah frekuesi harapa muculya mata dadu prima? S {,,,, 5, } S) A {,, 5} A) A) P(A) S ) Jadi, F h (A) P(A) x X 0 80 kali. Berapakah frekuesi harapa mucul mata kurag dari 5 dalam pelatua dadu mata eam sebayak kali? S {,,,, 5, } S) A {,,, } A) A) P(A) S ) Jadi, F h (A) P(A) x X kali. F h (A) P(A) x C. Kepastia da Kemustahila Peluag suatu kejadia mempuyai ilai 0 P, artiya : jika P 0 maka kejadia dari suatu peristiwa adalah mustahil atau tidak perah terjadi, da jika P maka suatu peristiwa pasti terjadi. D. Kompleme dari Suatu kejadia Jika A C meyataka kompleme dari kejadia A, maka : P(A C ) P(A) Misalka dilakuka pegudia dua uag logam Rp 00,00 sekaligus, berapa peluag tidak diperolehya Agka 00? S {GG, GA, AG, AA} S) M kejadia muculya agka 00 {GA, AG, AA} M) M ) P(M) S ) M C kejadia muculya buka agka 00 P(M C ) P(M) - 9
E. Kejadia Majemuk. Peluag Kejadia yag Salig Lepas Dua kejadia disebut salig lepas jika irisa dari dua kejadia itu merupaka himpua kosog. Himpua A da B dikataka dua kejadia yag salig lepas, sebab A B. Berdasarka teori himpua : P (A B) P(A) + P(B) P(A B) Karea P(A B) 0, maka : P (A B) P(A) + P(B) Sebuah dadu bermata eam dilatuka satu kali. Berapa peluag muculya mata dadu gajil atau mata dadu geap? A {,, 5} A) B {,, } B) A B P (A B) P(A) + P(B) + Dua dadu mata eam dilempar bersama-sama. Berapa peluag mucul dua mata dadu yag jumlahya atau 0? dadu dilempar S) A jumlah mata dadu {(,),(,)} A) B jumlah mata dadu 0 {(,),(5,5),(,)} B) A B P (A B) P(A) + P(B) 5. Peluag Bersyarat Jika A da B adalah dua kejadia dalam ruag sampel S da P(A) bersyarat dari B yag diberika A didefiisika sebagai : 0, maka peluag P(B A) P(A B ) atau P(A B) P(A). P(B A) P(A) P(B A) dibaca peluag kejadia B jika kejadia A sudah terjadi. Sebuah dadu dilempar. Tetuka peluag bahwa pelempara itu aka meghasilka agka kurag dari, jika : a. tidak ada syarat lai diberika b. pelempara meghasilka titik dadu yag beragka gajil 0
a. Misal A adalah peristiwa muculya agka kurag dari, maka: A {,, } P() P() P() P(A) P() + P() + P() b. Misal B adalah peristiwa muculya agka dadu yag gajil, maka: B {,, 5} P() P() P(5) P(A) P() + P() + P(5) A B {, } P (A B) P() + P() Sehigga : P(B A) P(A B ) P(A) Misalka terdapat setumpuk kartu bridge sebayak 5 buah. Seseorag megambil dua kartu secara acak dari tumpukka itu. Berapa peluag terambilya kartu itu kedua-duaya adalah As jika kartu pertama setelah diambil : a. dikembalika b. tidak dikembalika a. A kejadia terambilya satu kartu As pada pegambila pertama {As, As, As, As } A) P(A) 5 B A kejadia terambilya satu kartu As pada pegambila kedua setelah pegambila pertama kartuya dikembalika. B A) P(B A) 5 Jadi, P(A B) P(A). P(B A). 5 5 70 b. A kejadia terambilya satu kartu As pada pegambila pertama A) P(A) 5 9 B A kejadia terambilya satu kartu As pada pegambila kedua setelah pegambila pertama kartuya tidak dikembalika. B A) P(B A) 5 jadi, P(A B) P(A). P(B A). 5 5 5. Kejadia Salig Bebas (Stokastik) Jika dua keepig mata uag yag homoge dilatuka bersama-sama, maka kejadia yag mugki adalah : S {(G,G ), (G,A ), (A,G ), (A,A )} s).
Pada kejadia mata uag pertama mucul G da mata uag kedua mucul G, maka P(G ) da P(G ). Kejadia G da G adalah dua kejadia yag alig bebas. P(G,G ) P(G G ) P(G ) x P(G ) x. Secara umum, jika A da B merupaka dua kejadia yag salig bebas maka peluag kejadia A da B adalah : P(A B) P(A) x P(B) Dua buah dadu bermata eam, yag terdiri atas wara merah da putih, dittos bersama-sama satu kali. Berapa peluag muculya mata lebih dari utuk dadu merah da kurag dari utuk dadu putih? Jika A kejadia mucul mata >, maka A) P(A) Jika B kejadia mucul mata <, maka B) P(B) Jadi, P(A B) P(A) x P(B) x 9 Dalam sebuah katog terdapat sepuluh kelereg yag terdiri dari kelereg merah da kelereg putih, diambil dua kelereg. Berapa peluag terambilya kedua-duaya kelereg putih? Jika A kejadia terambilya kelereg putih pada pegambila pertama maka P(A) 0. Jika B kejadia terambilya kelereg putih pada pegambila kedua maka P(B) 9. Jadi, P(A B) P(A) x P(B) x 0 9 90 5 Dari setumpuk kartu bridge, diambil satu kartu secara berturut-turut sebayak dua kali. Tetuka peluag bahwa yag terambil pertama As da yag terambil berikutya Kig! S) 5 As) P(As) K) P(K) As ) S ) K ) S ) 5 5 Jadi, P(As K) P(As) x P(K) x 5 5 5
LATIHAN.. Sebuah mata uag logam da dadu dilatuka bersama-sama satu kali, tetuka hasil berikut! a. S) b. P(A, bilaga gajil) c. P(G, bilaga gajil). Dalam sebuah kotak terdapat bola hijau, bola merah, da bola kuig. Diambil bola secara acak. Tetuka peluagya jika yag terambil bola dega ketetua berikut! a. Keduaya merah b. Hujau da merah. Dua buah dadu dilempar bersama-sama, tetuka peluag muculya kejadia berikut! a. Mata dadu berjumlah geap. b. Mata dadu berjumlah prima. c. Mata dadu berjumlah geap atau berjumlah prima.. Pelempara dua buah dadu dilakuka sebayak 70 kali. Tetuka frekuesi harapa muculya mata dadu berjumlah atau prima! 5. Sebuah katog berisi kelereg dega dua buah berwara merah da tiga buah berwara hijau. Dega cara acak diambil dua kelereg. Tetuka peluag terambilya kelereg dega ketetua berikut! a. Merah da hijau. b. Merah da merah. c. Hijau da hijau.. Berdasarka pegalamaya, seorag peterak pembibit mecatat bahwa dari 00 butir telur itik yag ditetaska 5 butir diataraya tidak meetas. Dari telur yag meetas diperoleh itik jata da itik betia dega perbadiga :. Hituglah kebutuha miimum telur utuk memeuhi pesaa.500 ekor bibit itik betia!