Probabilitas. Modul 1

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Probabilitas. Modul 1"

Transkripsi

1 Modul Probabilitas Prof. Dr. Subaar T eori probabilitas adalah abag Matematika yag berusaha meggambarka atau memodelka hae behavior. Perjudia memberika bayak otoh sederhaa hae behavior, seperti bermai dadu, rolet, da kartu. Keyataaya teori probabilitas memag dilahirka di meja judi pada abad ke-7 ketika para bagsawa kalah permaia. Utuk megatasi masalah tersebut, mereka tidak berheti berjudi, tetapi meayaka kepada temaya yag lebih erdas utuk meghitug kemugkia medapatka kemeaga. Hasil-hasilya teragkum dalam teori probabilitas dega aplikasi yag sagat luas dalam berbagai bidag, seperti teori geetik, kietik, riset operasi, aktuaria, desai, da aalisis sistem operasi komputer. Modul ii merupaka ulaga sigkat teori probabilitas yag sudah Ada keal dalam Buku Materi Pokok Metode Statistik. Setelah mempelajari modul ii, seara umum Ada diharapka dapat mejelaska kosep probabilitas sebagai ukura ketidakpastia suatu peristiwa atau kejadia. Seara khusus, Ada diharapka dapat:. meghitug probabilitas kejadia-kejadia yag dibetuk oleh operasi kompleme;. meghitug probabilitas kejadia-kejadia yag dibetuk oleh operasi gabuga;. meghitug probabilitas kejadia-kejadia yag dibetuk oleh operasi irisa; 4. meghitug probabilitas bersyarat suatu kejadia.

2 . Iferesi Bayesia T Kegiata Belajar Ruag Sampel eori probabilitas diguaka sebagai model utuk keadaa dega hasil (outome) yag terjadi seara aak (radom). Seara umum, keadaa demikia disebut eksperime da himpua semua hasil yag mugki disebut ruag sampel yag bersesuaia dega eksperime tersebut. Ruag sampel diyataka dega da eleme-eleme dari diyataka dega. Cotoh. Utuk beragkat kerja, seorag pegawai harus melalui persimpaga dega lampu pegatur lalu-litas. Pada setiap persimpaga, seseorag berheti (B) atau terus (T). Ruag sampel dari eksperimeya adalah: TTT, TTB, TBB, TBT, BBB, BBT, BTT, BTB Cotoh. Misalka suatu eksperime dilakuka utuk meghitug sambuga telepo yag masuk pada suatu kator dalam satua periode maka ruag sampelya adalah: 0,,,,4,5,... Cotoh. Bila eksperime dilakuka utuk megukur waktu hidup sebuah bola lampu maka ruag sampelya terdiri dari semua bilaga real tak egatif, yaki: 0, Cotoh.4 Adaika eksperime dilakuka dega ara melemparka dua dadu maka ruag sampel terdiri dari 6 titik berikut.

3 SATS44/MODUL. (,) ;(,) ;(,) ;(,4) ;(,5) ;(,6) ; (,) ;(,) ;(,) ;(,4) ;(,5) ;(,6) ; (,) ;(,) ;(,) ;(,4) ;(,5) ;(,6) ; (4,) ;(4,) ;(4,) ;(4,4) ;(4,5) ;(4,6) ; (5,) ;(5,) ;(5,) ;(5,4) ;(5,5) ;(5,6) ; (6,) ;(6,) ;(6,) ;(6,4) ;(6,5) ;(6,6) Suatu kejadia atau peristiwa adalah himpua bagia dari ruag sampel. Kejadia yag terdiri dari satu outome disebut kejadia elemeter. Himpua bagia ruag sampel yag merupaka himpua kosog disebut kejadia mustahil sedag sediri disebut kejadia pasti. Aljabar teori himpua terbawa lagsug ke dalam teori probabilitas. Gabuga dua kejadia A da B adalah kejadia C dega salah satu A atau B terjadi atau kedua-duaya terjadi da ditulis A B. Dalam Cotoh., apabila A adalah kejadia seorag pegawai berheti pada pegatur lalulitas pertama, yaitu: A BBB, BBT, BTT, BTB da B kejadia pegawai berheti pada persimpaga ketiga, yaitu: B TTB, TBB, BBB, BTB sehigga: C A B BBB, BBT, BTT, BTB, TTB, TBB Irisa dua kejadia, D AB adalah kejadia dega A da B keduaya terjadi. Apabila A da B, seperti yag disebutka di atas maka D adalah kejadia di maa pegawai berheti pada persimpaga pertama da ketiga, yaki: D BBB, BTB Kompleme kejadia A ditulis A adalah kejadia di maa A tidak terjadi. Dalam hal ii A terdiri dari eleme-eleme dalam ruag sampel yag tidak berada dalam A. Kompleme kejadia pegawai berheti pada persimpaga pertama adalah kejadia di maa pegawai terus pada persimpaga pertama, yaki:

4 .4 Iferesi Bayesia A TTT, TTB, TBB, TBT Ada mugki masih igat tetag himpua yag agak misterius dalam teori himpua, yaitu himpua kosog yag diyataka dega. Himpua kosog adalah himpua yag tidak mempuyai eleme, dalam teori probabilitas himpua kosog diperoleh pada kejadia tapa outome. Pada Cotoh., apabila A adalah kejadia di maa seorag pegawai berheti pada persimpaga pertama da C adalah kejadia pegawai tersebut terus berjala pada ketiga persimpaga maka AC. Dalam hal ii, A da C disebut kejadia salig asig. Diagram Ve, seperti ditujukka dalam Gambar. berikut serig merupaka alat bergua utuk meggambarka operasi himpua, di maa daerah yag diarsir meujukka hasil operasi himpua. A B A B Gambar. Ada beberapa hukum teori himpua, yaitu: Hukum komutatif A B B A A B B A Hukum asosiatif Hukum distributif A B C AB C A B C AB C A B C AC B C A B C AC B C

5 SATS44/MODUL.5 Ukura Probabilitas Ukura probabilitas pada adalah fugsi P yag berilai real pada himpua-himpua bagia dari yag memeuhi aksioma-aksioma berikut.. P. Apabila A maka PA ( ) 0. Apabila A, A, A, salig asig dalam arti Ai A j utuk i j maka P Ai P( A i) i i Aksioma disebut outably additive. Sifat-sifat Probabilitas. P 0 Dari keyataa... didapat P P P P... atau P 0 karea P 0. P P... da. Probabilitas mempuyai sifat fiitely additive dalam arti utuk setiap A, A,, A dega A A utuk i j maka i P Ai P A i. Keyataaya: i= i P A i = P Ai P A i = P A i i= i= i= i=, apabila A j utuk j.. 4. P A P A Oleh karea A A da A A maka P A P A P, artiya 5. Apabila A A maka P A P A j P A P A.

6 .6 Iferesi Bayesia Oleh karea P A P A P A A P A P A A A A A A A A maka: P A P A A, ii berarti Catata: Apabila A A maka tersebut tidak bear seara umum. P A A P A P A, tetapi betuk 6. Dari aksioma, da sifat 4 dapat disimpulka bahwa P A utuk setiap A 7. P A A P A P A P A A 0 Utuk membuktika peryataa di atas, kita peah A A mejadi himpua yag salig asig, yaitu A A A, A4 A A, da 5 A A A Dari sifat didapat 4 5 A A A 4 dega A A 4. Ii berarti 4 Dega pemikira yag sama P A P A P A sehigga: P A A P A P A P A, selajutya 4 5 P A P A P A.

7 SATS44/MODUL P A A P A4 P A A P A A P A P A P A P A P A atau P A A P A P A P A A P A P A i. i i 8. i Misalka, Bi A A... Ai Ai ; i,,,..., maka utuk i j, B i da B j salig asig da A i i i B. Ii berarti P Ai P Bi PB i. Oleh karea B i A i utuk i i i P Bi P A i. Jadi, i P A P A i. i i setiap i maka Cotoh.5 Misalka sebuah mata uag seimbag dilemparka kali. Adaika A meyataka kejadia medapat M (muka) pada lempara pertama da B kejadia medapat M pada lempara kedua maka ruag sampelya adalah MM, MB, BM, BB. Selajutya jika setiap outome elemeter dalam berkemugkia sama da mempuyai probabilitas 0,5 serta C AB merupaka kejadia M muul pada lempara pertama atau kedua maka P C P A P B. Oleh karea A B adalah kejadia tampak terlihat M pada lempara pertama da lempara kedua yag ilaiya sama dega 0,5 maka PC P A PB P A B 0,5 0,5 0,5 0,75. i Meghitug Probabilitas dega Metode Peaaha Probabilitas mudah dihitug utuk ruag sampel berhigga. Misalka,,,..., da P p. Utuk medapatka probabilitas N i kejadia A, kita ukup mejumlahka probabilitas i yag mejadi aggota A. i

8 .8 Iferesi Bayesia Cotoh.6 Sebuah mata uag seimbag dilemparka dua kali maka ruag MM, MB, BM, BB. Kita adaika setiap outome sampelya adalah dalam mempuyai probabilitas 0,5 da A meyataka kejadia palig sedikit tampak satu muka maka: A MM, MB, BM da P A 0,75 Cotoh.6 adalah otoh sederhaa dari situasi yag bayak dijumpai. Eleme-eleme dari semuaya mempuyai probabilitas yag sama sehigga apabila terdapat N eleme dalam maka setiap elemeya mempuyai probabilitas. Bila A dapat terjadi dalam ara yag salig N asig maka: P A N atau aah ara A dapat terjadi P A total aah outome Perhatika bahwa rumus tersebut berlaku haya bila outome berkemugkia sama. Dalam Cotoh.6, apabila kita meatat jumlah 0,,. Outome tidak berkemugkia muka yag muul maka sama da P A tidak sama dega. Cotoh.7 Sebuah kotak hitam memuat 5 bola merah da 6 bola hijau da kotak putih memuat bola merah da 4 bola hijau. Kita diperbolehka memilih sebuah kotak da memilih sebuah bola seara radom dari kotak. Bila medapat bola merah, kita medapat hadiah. Kotak maa yag aka dipilih utuk medapatka bola merah? Apabila kita megambil bola dari kotak hitam, probabilitas medapat 5 bola merah adalah 0,455. Apabila kita megambil bola dari kota putih

9 SATS44/MODUL.9 probabilitas medapat bola merah adalah memilih megambil bola dari kotak hitam. 0,49 sehigga kita lebih 7 Sekarag padag permaia lai di maa kotak hitam kedua mempuyai 6 bola merah da bola hijau sedagka kotak putih kedua mempuyai 9 bola merah da 5 bola hijau. Apabila kita megambil bola dari kotak hitam, 6 probabilitas medapat bola merah sama dega = 0,667, sedagka 9 apabila kita megambil bola dari kotak putih, probabilitas medapat bola 9 merah adalah = 0,64. Sehigga kita lebih memilih megambil bola dari 4 kotak hitam lagi. Dalam pertadiga akhir, isi dari kotak hitam kedua dimasukka dalam kotak pertama da isi dari kotak putih kedua dimasukka dalam kotak putih pertama. Kotak maa yag kita pilih utuk medapatka bola merah? Seara ituitif mestiya kita memilih kotak hitam, tetapi jika kita hitug probabilitas medapat bola merah utuk kotak hitam yag memuat bola merah da 9 bola hijau adalah = 0,55, serta probabilitas medapat bola 0 merah utuk kotak putih yag memuat bola merah da 9 bola hijau adalah = 0,57 maka kita lebih memilih megambil bola dari kotak putih. Hasil yag bertetaga ii adalah salah satu otoh Simpso s paradox. Dalam otoh tersebut sagat mudah utuk meaah outome da meghitug probabilitas. Utuk meghitug probabilitas masalah yag lebih kompleks, kita harus membagu ara sistematis utuk meaah outome yag merupaka bahasa kita berikutya. Prisip Perkalia Apabila suatu eksperime mempuyai m outome da eksperime lai mempuyai outome maka ada m outome yag mugki utuk kedua eksperime.

10 .0 Iferesi Bayesia Bukti: Kita yataka outome dari eksperime pertama dega a, a,..., a m da outome dari eksperime kedua dega b, b,..., b. Outome dari dua eksperime adalah pasaga terurut ai, b j. Pasaga-pasaga terurut tersebut dapat disajika sebagai masuka dari larika (matriks) empat persegi pajag bertipe m, di maa pasaga ai, b j berada pada baris ke-i da kolom ke-j. Larika ii mempuyai m masuka. Cotoh.8 Seorag mahasiswa mempuyai elaa da kemeja maka mahasiswa tersebut dapat berpakaia dega = 6 ara. Cotoh.9 Suatu kelas mempuyai mahasiswa da 8 mahasiswi. Perwakila yag terdiri dari satu mahasiswa da satu mahasiswi dapat dibetuk dega 8 6 ara. Perluasa Prisip Perkalia Apabila terdapat p eksperime, dega eksperime pertama mempuyai outome, eksperime kedua mempuyai outome, da eksperime kep mempuyai outome maka seara total terdapat... p p outome yag mugki dari p eksperime. Cotoh.0 Suatu kode 8 bit bier adalah barisa yag terdiri dari 8 digit yag ilaiya 0 atau. Oleh karea ada piliha utuk bit pertama, piliha utuk bit kedua 8 da seterusya maka terdapat 56 maam kode yag dapat dibuat. Cotoh. Suatu molekul DNA adalah barisa 4 jeis uleotides yag diyataka dega A, G, C da T. Suatu molekul bisa terdiri dari jutaa uit uleotides. Jika suatu molekul terdiri dari juta (0 6 ) uit maka molekul tersebut aka 6 0 mempuyai 4 barisa yag berbeda, ii merupaka jumlah yag sagat

11 SATS44/MODUL. besar. Suatu asam amio dikodeka oleh barisa tiga uleotides. Ii berarti terdapat 4 = 64 kode yag berbeda, tetapi haya terdapat 0 asam amio karea beberapa di ataraya dapat dikodeka dalam beberapa ara. Suatu molekul protei yag terdiri dari 00 asam amio dapat tersusu dalam 0 00 ara pegkodea. Permutasi da Kombiasi Suatu permutasi adalah susua terurut dari objek-objek. Misalka, dari C,,...,, kita memilih r eleme da medaftarkaya himpua dalam uruta. Dalam berapa ara kita dapat melakuka hal tersebut? Jawabaya tergatug apakah kita diperbolehka melakuka duplikasi atau ulaga dari item-item dalam daftar. Apabila tidak diperbolehka ada ulaga, artiya kita melakuka samplig tapa pegembalia. Apabila ulaga diperbolehka, kita melakuka samplig dega pegembalia. Kita bisa memikirka persoala tersebut, seperti megambil bola bertada dari suatu kotak. Pada samplig jeis pertama, kita tidak diperbolehka megembalika bola sebelum pegambila berikutya, tetapi kita diperbolehka utuk jeis kedua. Dalam kedua kasus, bila kita selesai memilih, kita mempuyai daftar r bola yag diurutka dalam barisa sesuai dega ara pegambilaya. Perluasa prisip perkalia dapat diguaka utuk meghitug aah samplig berbeda yag mugki dari himpua yag terdiri eleme. Misalka, samplig dikerjaka dega pegembalia, bola pertama dapat dipilih dalam ara, yag kedua dalam ara da seterusya sehigga terdapat... r sampel. Jika samplig dikerjaka tapa pegembalia maka terdapat piliha utuk bola pertama, piliha utuk bola kedua, piliha utuk bola ketiga, da r piliha utuk bola yag ke-r, ii berarti kita telah membuktika proposisi berikut. Proposisi. Utuk himpua dega eleme da sampel berukura r, terdapat...! sampel sampel terurut dega pegembalia da terurut tapa pegembalia. Akibatya, aah uruta eleme adalah...! r

12 . Iferesi Bayesia Cotoh. Kita aka meghitug bayakya bilaga terdiri dari tiga agka yag disusu dari agka,,, 4, 5. Apabila samplig dilakuka tapa pegembalia maka bayak bilaga yag dapat disusu adalah da 5 5 jika samplig dega pegembalia. Cotoh. Pada suatu provisi, papa plat omor mobil terdiri dari huruf yag diikuti dega agka. Bayakya plat omor mobil yag dapat dibuat bersesuaia pada samplig dega pegembalia sehigga terdapat ara berbeda utuk memilih bagia huruf da ara memilih bagia agka. Dega megguaka prisip perkalia, kita medapatka plat omor mobil yag bisa dibuat. Cotoh.4 Apabila pada Cotoh. semua barisa yag terdiri dari huruf da agka tersebut berkemugkia sama maka probabilitas sebuah mobil baru dega plat omorya tidak memuat huruf atau agka yag sama dapat ditetuka sebagai berikut. Perhatika bahwa terdiri dari outome da sebut kejadia yag diari adalah A maka probabilitas A sama dega hasil bagi aah atara kejadia A dapat terjadi dega total aah outome. Terdapat 6 pemiliha utuk huruf pertama, 5 utuk huruf kedua da 4 utuk yag ketiga, da akibatya ada ara utuk memilih huruf tapa ulaga da ara utuk memilih bilaga tapa ulaga. Megguaka prisip perkalia maka aka diperoleh barisa tapa ulaga. Jadi, probabilitas A adalah..000 P A 0, Cotoh.5 Misalka, suatu ruaga memuat orag, utuk medapatka probabilitas palig sedikit orag di ataraya mempuyai ulag tahu yag sama adalah persoala yag dikeal dega jawab yag berlawaa dega ituisi. Adaika setiap hari dalam satu tahu adalah ulag tahu dega kemugkia sama da misalka A adalah kejadia palig sedikit dua orag

13 SATS44/MODUL. mempuyai ulag tahu yag sama. Seperti dalam beberapa kasus, lebih mudah meghitug P A dulu, kemudia meghitug dikerjaka karea A dapat terjadi dalam bayak ara, sedagka sederhaa. Terdapat 65 outome yag mugki da ara sehigga: dalam P A (65- ) (65- ) P A 65 Tabel berikut meujukka ilai P A utuk berbagai ilai. P A. Ii A lebih A dapat terjadi P(A) 4 0,06 6 0,84 0,507 0, , ,988 Dari tabel di atas, bila terdapat orag, probabilitas palig sedikit ada yag sama ulag tahuya melebihi 0,5. Cotoh.6 Pada Cotoh.5 ada berapa orag yag harus ditaya utuk medapatka peluag mempuyai hari ulag tahu sama dega saudara adalah 0,5? Misalka, saudara sudah meayaka pada orag da A meyataka kejadia ulag tahu seseorag sama dega ulag tahu saudara maka aka lebih mudah bekerja dega A, yaki kejadia ulag tahu seseorag tidak sama dega ulag tahu saudara. Total aah outome adalah 65 da total aah A dapat terjadi adalah 64 sehigga: P A da P A

14 .4 Iferesi Bayesia Agar diperoleh P A sama dega 0,5 maka harus sama dega 5. Sekarag kita perhatika ara meghitug kombiasi. Jika kita tidak lagi tertarik pada sampel terurut, tetapi kita membiaraka keaggotaa sampel tapa memadag uruta dari maa ia didapat, khususya kita tertarik utuk megetahui berapa bayak sampel yag dapat dibuat apabila r objek diambil dari himpua yag mempuyai objek tapa pegembalia da tidak memperhatika uruta. Dari prisip perkalia, jumlah sampel terurut sama dega jumlah sampel tak terurut dikalika jumlah ara megurutka setiap sampel. Oleh karea jumlah sampel terurut adalah... r da utuk sampel ukura r dapat diurutka sebayak r! ara maka jumlah sampel tidak terurut diyataka dega:... r! r r! r! r! Proposisi. Caah sampel tak terurut beraggotaka r objek yag diambil dari objek tapa pegembalia adalah. r Bilaga dikeal sebagai koefisie Biomial yag terdapat dalam r ekspasi: k -k a b a b, khususya. Hasil terakhir k0k k= k dapat diiterpretasika sebagai jumlah himpua bagia dari himpua dega objek. Kita haya mejumlahka jumlah himpua bagia dega ukura 0 (dega kovesi 0!=), jumlah himpua bagia dega ukura, jumlah himpua bagia dega ukura, da seterusya. Cotoh.7 Sebuah kotak memuat 8 bola yag diberi omor sampai 8. Empat bola diambil seara aak, probabilitas bilaga terkeilya adalah dapat ditetuka sebagai berikut. Apabila samplig tapa pegembalia, probabilitas yag diari adalah:

15 SATS44/MODUL Cotoh.8 Pada proses pegotrola kualitas, haya sebagia output proses produksi diperiksa karea terlalu mahal da meghabiska waktu apabila semua item diperiksa atau kadag-kadag pegujia sifatya merusak. Misalka, terdapat item dalam suatu lot da diambil sampel berukura r maka terdapat sampel yag mugki. Sekarag, misalka lot tersebut r memuat k item aat maka peluag sampel memuat tepat m item aat dapat ditetuka sebagai berikut. Pertayaa ii releva dega keguaa keragka samplig da ukura sampel yag palig diigika yag dapat ditetuka dega meghitug probabilitas tersebut utuk berbagai ilai r. Sebut kejadia A adalah kejadia sampel memuat tepat m item aat. Probabilitas A adalah aah ara A dapat terjadi dibagi dega total jumlah outome. Utuk medapatka jumlah ara A dapat terjadi, kita megguaka prisip perkalia. Terdapat k m ara utuk memilih m item aat dalam sampel dari k item aat dalam lot, da k terdapat ara utuk memilih r m r m item tak aat dalam sampel dari k item tak aat dalam lot. Akibatya A dapat terjadi dalam k k m r m total jumlah outome, yaki: k k m r m P A r ara. Jadi, P A adalah rasio aah ara A dapat terjadi dega

16 .6 Iferesi Bayesia Cotoh.9 Metode peagkapa/peagkapa kembali, biasaya diguaka utuk megestimasi ukura populasi margasatwa. Misalka 0 biatag tertagkap da diberi tada, kemudia dilepaska. Pada kejadia lai, 0 biatag tertagkap da 4 di ataraya mempuyai tada maka besar populasiya dapat ditetuka sebagai berikut. Kita adaika terdapat biatag dalam populasi dega 0 di ataraya diberi tada. Bila 0 biatag yag tertagkap, kemudia diambil sedemikia sehigga semua ada kelompok yag mempuyai 0 kemugkia sama maka probabilitas 4 di ataraya bertada adalah Dega sediriya, tidak dapat ditetuka seara tepat dari iformasi di atas, tetapi dapat diestimasi. Salah satu metode estimasi yag disebut maximum likelihood adalah memilih ilai yag membuat outome terobservasi palig mugki terjadi. Misalka, seara umum t biatag diberi tada da pada sampel kedua berukura m terdapat r biatag dega tada tertagkap kembali. Kita megestimasi dega memaksimumka likelihood: L = t - t r m - r m Rasio dari dua suku beruruta setelah melakuka beberapa maipulasi Aljabar adalah: L = t m L t m+ r Rasio ii lebih besar dari, artiya L aik, apabila:

17 SATS44/MODUL.7 t m t m r m t mt t m r mt mt r r Jadi, L aik utuk mt da turu utuk mt. Nilai yag r r memaksimumka L adalah bilaga bulat terbesar yag tidak melebihi mt r sehigga utuk data yag ada, diperoleh peaksir maximum likelihood adalah mt 00 = 50. r 4 ) Jika sebuah mata uag seimbag dilemparka kali, tetuka: a. ruag sampel b. eleme dari kejadia-kejadia: A : palig sedikit dua muka (M) B : dua lempara pertama muka (M) C : lempara terakhir belakag (B). eleme dari kejadia-kejadia A ; AB; AC ) Dua buah dadu seimbag dilemparka seara beruruta, tetuka: a. ruag sampel b. eleme dari kejadia-kejadia: A : jumlah dua mata yag tampak palig sedikit 5 B : ilai dadu pertama lebih tiggi dibadigka ilai dadu kedua C : ilai mata dadu pertama 4. Tetuka eleme-eleme dari AC da B C

18 .8 Iferesi Bayesia ) Sebuah kotak memuat bola merah, bola hijau, da bola putih. Tiga bola diambil dari kotak tapa pegembalia da waraya diatat seara beruruta, tetuka ruag sampel. 4) Utuk tiga kejadia A, B, da C buktika: P A B C P A PB PC P AC P A B PB C PA B C Petujuk Jawaba Latiha ) a. Utuk eksperime sebuah mata uag dilempar tiga kali diperoleh ruag sampel = MMM, MMB, MBM, BMM, MBB, BMB, BBM, BBB b. A = MMM, MMB, MBM, BMM B = MMM, MMB C = MMB, MBB, BMB, BBB. A = MBB, BMB, BBM, BBB A B = MMM, MMB A C = MMM, MMB, MBM, BMM, MBB, BMB, BBB ) a. Pada eksperime dua buah dadu seimbag dilempar seara beruruta diperoleh ruag sampel:, ;, ;, ; 4, ; 5, ; 6,, ;, ;, ; 4, ; 5, ; 6,, ;, ;, ; 4, ; 5, ; 6,, 4 ;, 4 ;, 4 ; 4, 4 ; 5, 4 ; 6, 4, 5 ;, 5 ;, 5 ; 4, 5 ; 5, 5 ; 6, 5, 6 ;, 6 ;, 6 ; 4, 6 ; 5, 6 ; 6, 6

19 SATS44/MODUL.9 b. A, 4 ;, 5 ;, 6 ;, ;, 4 ;, 5 ;, 6 ;, ;, ;, 4 ;, 5 ;, 6 ; 4, ; 4, ; 4, ; 4, 4 ; 4, 5 ; 4, 6 ; 5, ; 5, ; 5, ; 5, 4 ; 5, 5 ; 5, 6 ; 6, ; 6, ; 6, ; 6, 4 ; 6, 5 ; 6, 6 B C, ;, ;, ; 4, ; 4, ; 4, ; 5, ; 5, ; 5, ; 5, 4 ; 6, ; 6, ; 6, ; 6, 4 ; 6, 5 4, ; 4, ; 4, ; 4, 4 ; 4, 5 ; 4, 6. AC 4, ; 4, ; 4, ; 4, 4 ; 4, 5 ; 4, 6 BC 5, ; 5, ; 5, ; 5, 4 ; 6, ; 6, ; 6, ; 6, 4 ; 6, 5, ;, ;, ; 4, ; 4, ; 4, ; 4, 4 ; 4, 5 ; 4, 6 ; ) Oleh karea pegambila bola dilakuka satu per satu maka uruta diperhatika, artiya MHP PMH da seterusya sehigga: 4) = MMM, MMH, MHM, HMM, MMP, MPM, PMM, MHH, HMH, HHM, MHP, MPH, HPM, HMP, PMH, PHM, HHP, HPH, PHH

20 .0 Iferesi Bayesia P A B C P D P D P D P D P D P D P D Oleh karea: P A = P D + P D + P D + P D P B = P D + P D + P D + P D P C = P D + P D + P D + P D P A B = P D + P D P A C = P D + P D P B C = P D + P D 6 7 Sehigga dapat dibuktika: PAB C PA PB PC PACPABPB CPAB C. Utuk setiap kejadia A berlaku P A. Apabila 0 A B maka P A B P A PB (Hukum probabilitas utuk kejadia salig asig). P A B P A PB P A B (Hukum peluag utuk kejadia yag tidak salig asig) 4. Apabila P A P B A B maka P A i P A i i= i=

21 SATS44/MODUL. ) Dua buah dadu seimbag dilemparka sekali, probabilitas jumlah mata yag tampak adalah 5 sama dega A. 8 B. 9 C. 9 D. 7 ) Lihat soal omor. Probabilitas jumlah mata yag tampak dapat dibagi dega sama dega A. 4 9 B. 7 C. 4 D. ) Dua puluh bola beromor sampai dega 0 dikook dalam suatu kotak, kemudia diambil dua bola berturut-turut tapa pegembalia. Bila x da x adalah omor yag tertulis pada bola terambil pertama da kedua maka probabilitas xx sama dega A. B. C

22 . Iferesi Bayesia D ) Lihat soal omor. Probabilitas xx 5 sama dega. A. B. C. D ) Misalka, bulat : 00 didefiisika sebagai: A x : x dapat dibagi 7 x x da kejadia A, B da C B x : x 0 utuk suatu bilaga bulat positif C x : x 75 Maka, P A sama dega. A. 0,4 B. 0,4 C. 0,4 D. 0,4 6) Lihat soal omor 5. PB sama dega. A. 0,5 B. 0,5 C. 0,5 D. 0,5 7) Lihat soal omor 5. PC sama dega. A. 0,5 B. 0,05 C. 0,95 D. 0,095

23 SATS44/MODUL. 8) Apabila kejadia-kejadia A ; j,, sedemikia higga A A A da 4 P A A sama dega. A. B. C. D ) Lihat soal omor 8. A. B. C. D j P A, P A, 5 P A A sama dega. 0) Lihat soal omor 8. A. B. C. D P A A A sama dega. 7 P A maka

24 .4 Iferesi Bayesia Cookkalah jawaba Ada dega Kui Jawaba Tes Formatif yag terdapat di bagia akhir modul ii. Hituglah jawaba yag bear. Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar. Tigkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear 00% Jumlah Soal Apabila meapai tigkat peguasaa 80% atau lebih, Ada dapat meeruska dega Kegiata Belajar. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Ada harus megulagi materi Kegiata Belajar, terutama bagia yag belum dikuasai.

25 SATS44/MODUL.5 S Kegiata Belajar Probabilitas Bersyarat alah satu kosep yag palig bergua dalam teori probabilitas adalah probabilitas bersyarat. Alasaya ada dua. Pertama, dalam keyataa kita serig tertarik utuk meghitug probabilitas apabila tersedia iformasi parsial, ii berarti probabilitas yag diari bersyarat. Kedua, dalam meghitug probabilitas yag diigika serig harus didahului dega kebersyarata. Misalka, kita melemparka dua dadu dega masig-masig dari 6 outome mempuyai kemugkia yag sama utuk terjadi, yaki mempuyai probabilitas. Jika kita observasi bahwa dadu pertama muul 6 mata 4, dega adaya iformasi tersebut, tetuka probabilitas bahwa jumlah mata yag tampak sama dega 6. Utuk meghitug probabilitas ii kita mempuyai fakta sebagai berikut. Diberika mata dadu pertama 4 maka aka ada eam outome yag mugki, yaitu (4,), (4,), (4,), (4,4), (4,5) da (4,6). Oleh karea outome tersebut asalya mempuyai probabilitas sama utuk terjadi maka outome tersebut masih tetap mempuyai probabilitas yag sama. Ii berarti jika diberika mata dadu pertama 4 maka probabilitas (bersyarat) setiap outome dari (4,),(4,),(4,),(4,4),(4,5),(4,6) adalah, sedagka probabilitas 6 bersyarat tiga puluh titik yag lai dalam ruag sampel adalah ol. Akibatya, probabilitas yag diari adalah 6. Misalka, A da B masig-masig meyataka kejadia jumlah mata 6 da kejadia jumlah mata 4 maka probabilitas yag baru dihitug disebut probabilitas bersyarat A terjadi jika diketahui B telah terjadi da ditulis P A B yag berlaku utuk setiap kejadia P A B. Rumus umum utuk A da B didefiisika dega ara yag sama seperti di atas. Sebut saja, bila kejadia B terjadi maka agar A terjadi, kejadia sebearya adalah titik-titik dalam A da B, yaitu harus berada dalam A B. Sekarag karea kita ketahui B telah terjadi maka B mejadi ruag sampel kita yag baru, yag

26 .6 Iferesi Bayesia akibatya probabilitas terhadap B, artiya: (.) P A B A B terjadi sama dega probabilitas A B relatif P A B ; PB 0 P B Cotoh.0 Misalka 0 kartu yag diberi omor sampai dega 0 ditempatka pada suatu kotak, dikook da diambil sebuah kartu. Apabila kita diberitahu bahwa omor kartu yag didapat palig sedikit 5 maka probabilitas bersyarat bahwa kartu yag terambil beromor 0 diperoleh sebagai berikut. Misalka, A meyataka kejadia bahwa omor kartu yag terambil adalah 0 da B meyataka kejadia bahwa omor yag terambil palig sedikit 5. Berdasarka persamaa (.) probabilitas yag diari adalah: P A B P A B P B Oleh karea kejadia kartu aka beromor 0 da palig sedikit beromor 5 terjadi apabila da haya apabila omor kartu tersebut 0 maka AB A. Jadi, P A B Cotoh. Diketahui sebuah keluarga mempuyai dua aak maka probabilitas bersyarat keduaya laki-laki bila diketahui salah satu aakya laki-laki dapat dihitug sebagai berikut. Misalka, S meyataka ruag sampel, l meyataka laki-laki da p meyataka perempua maka, ;, ;, ;, S l p l l p l p p da setiap outome berkemugkia sama. Jika A meyataka kejadia bahwa kedua aakya laki-laki, da B meyataka kejadia palig sedikit satu dari mereka laki-laki maka probabilitas yag diari adalah: P A B P l l, ;, ;, P A B, 4 P B P l l l p p l 4

27 SATS44/MODUL.7 Cotoh. Ali dapat megambil mata kuliah Komputer atau Kimia. Apabila Ali megambil mata kuliah Komputer maka ia aka medapat ilai A dega probabilitas, sedagka apabila megambil mata kuliah Kimia, ia aka medapat ilai A dega probabilitas. Ali medasarka keputusaya megambil mata kuliah pada hasil pelempara sebuah mata uag seimbag. Probabilitas Ali megambil mata kuliah Kimia da medapat ilai A dapat dihitug sebagai berikut. Apabila A adalah kejadia Ali megambil mata kuliah Kimia da B meyataka kejadia Ali medapat ilai A apa pu mata kuliah yag ia ambil maka probabilitas yag diari adalah: P A B P A PB A 6 Cotoh. Sebuah kotak memuat 7 bola hitam da 5 bola putih. Kita megambil dua bola dari kotak tapa pegembalia. Adaika setiap bola dalam kotak mempuyai kemugkia yag sama utuk diambil maka probabilitas kedua bola yag terambil adalah hitam dapat dihitug sebagai berikut. Misalka, A da B masig-masig meyataka kejadia bahwa bola pertama da kedua yag terambil adalah hitam. Sekarag, misalka bola pertama yag terambil hitam maka tersisa 6 bola hitam da 5 bola putih 6 sehigga P A B. Oleh karea 7 P B maka probabilitas yag ditayaka adalah: P A B PB P A B Cotoh.4 Misalka, pada suatu pesta orag laki-laki melemparka topiya ke tegah ruaga. Topi-topi tersebut diampur da setiap orag megambil seara aak sebuah topi maka probabilitas tak seorag pu dari mereka medapatka topiya sediri dihitug sebagai berikut.

28 .8 Iferesi Bayesia Kita aka meyelesaika persoala tersebut dega meghitug probabilitas kompleme bahwa palig sedikit ada satu orag yag medapatka topiya sediri. Misalka, A ; i,, meyataka kejadia bahwa orag ke-i medapatka topiya sediri. Utuk meghitug P A A A, perhatika bahwa: P Ai ; i,, P Ai Aj ; i j 6 P A A A 6 Utuk melihat megapa ketiga peryataa tersebut bear, perhatika bahwa: i j i j i P A A P A P A A Probabilitas bahwa orag ke-i meemuka topiya sediri adalah P A i karea ia mempuyai kemugkia yag sama utuk memilih satu dari topi yag ada. Apabila diketahui orag ke-i telah memilih topiya sediri maka masih tersisa dua topi yag dapat dipilih orag ke-j. Oleh karea salah satu i adalah milikya maka ia mempuyai probabilitas utuk memilihya, ii P A A sehigga: P Ai Aj P Ai P Aj A i 6 berarti j i Utuk meghitug P A A A kita tulis: P A A A P A A A P A A P A A A 6

29 SATS44/MODUL.9 Tetapi karea orag pertama telah medapatka topiya sediri maka orag ketiga juga harus medapatka topiya sediri, ii berarti P A A A sehigga: P A A A 6 P A A A P A A A P A P A P A P A A P A A P A A Ii berarti, probabilitas bahwa tidak ada orag yag aka medapatka topiya sediri adalah: P A A A Kejadia-kejadia Idepede Dua kejadia A da B disebut idepede apabila: P A B P A P B Dega megguaka persamaa (.), betuk tersebut megakibatka A da B idepede apabila: P A B P A atau PB A PB Ii berarti, A da B idepede apabila iformasi B telah terjadi tidak mempegaruhi probabilitas terjadiya A. Dua kejadia A da B yag tidak idepede disebut depede. Cotoh.5 Jika sebuah dadu seimbag dilempar dua kali. Misalka, A meyataka kejadia jumlah mata yag tampak adalah 6 da B meyataka kejadia mata dadu pertama adalah 4 maka:

30 .0 Iferesi Bayesia P A B P 4; 6 Oleh karea P A 5 5 P B maka A da B tidak idepede. Misalka, C adalah kejadia jumlah mata dadu yag tampak adalah 7 maka C idepede dega B karea: PC B P 4; da PC PB Defiisi idepede dapat diperluas utuk lebih dari dua kejadia. Kejadiakejadia A, A,..., A disebut idepede bila utuk setiap subset A, A,..., A ; r berlaku: r P A A A P A P A P A r Cotoh.6 Sebuah bola diambil dari suatu kotak yag memuat empat bola beromor,, C,4. Apabila setiap bola,,, 4. Misalka, A ; B ; mempuyai kemugkia yag sama utuk terambil maka: P A B P A P B 4 P A C P A P C 4 PB C P B P C 4 P A B C 4 P A P B P C 8 Jadi, P A B C P A PB PC, artiya meskipu kejadia A, B, da C seara berpasaga idepede, amu A, B, da C tidak idepede seara keseluruha. r

31 SATS44/MODUL. Atura Bayes Misalka, A da B adalah dua kejadia, kita dapat meyataka A sebagai A A B A B, seperti tampak pada Gambar.. Oleh karea A B da A B salig asig maka: (.) C P A B PB P A B PB P A P A B P A B P A B P B P A B P B Gambar. Persamaa (.) meyataka bahwa probabilitas kejadia A adalah rata-rata tertimbag probabilitas bersyarat A diberika B telah terjadi da probabilitas bersyarat A diberika B tidak terjadi, dega setiap probabilitas bersyarat diberika bobot sebayak kejadia yag disyaratka. Cotoh.7 Padag dua kotak di maa kotak pertama memuat bola putih da 7 bola hitam, kotak kedua memuat 5 bola putih da 6 bola hitam. Sebuah mata uag seimbag dilempar da bola diambil dari kotak pertama jika dari lempara mata uag diperoleh muka (M). Apabila diketahui bola putih (P) yag terambil maka probabilitas bersyarat hasil lempara mata uag adalah muka (M) dapat dihitug sebagai berikut. Misalka, P meyataka kejadia yag terambil bola putih da M meyataka kejadia sisi mata uag tampak muka (M) maka:

32 . Iferesi Bayesia P M P P PP PP P M P P M P M P P M P M P P M P M + P P M P M Cotoh.8 Dalam mejawab pertayaa soal piliha bergada seorag mahasiswa megetahui jawaba atau haya meebak. Misalka, p adalah probabilitas mahasiswa megetahui jawaba da p adalah probabilitas mahasiswa haya meebak. Adaika seorag mahasiswa yag meebak jawaba aka bear mempuyai probabilitas, dega m jumlah jawaba alteratif, m probabilitas bersyarat seorag mahasiswa megetahui jawaba pertayaa apabila diketahui mahasiswa mejawab bear dapat dihitug sebagai berikut. Misalka, C da K masig-masig meyataka kejadia mahasiswa mejawab dega bear da kejadia mahasiswa bear-bear megetahui jawabaya maka: PK C PK C P C P C K P K P( C K P K + P C K P K p m mp m p p + - p

33 SATS44/MODUL. Misalka, m 5 da p 0,5 maka probabilitas seorag mahasiswa megetahui jawabaya apabila ia mejawab dega bear adalah 5 6. Cotoh.9 Uji darah laboratorium 95% efektif dalam medeteksi suatu peyakit bila bear-bear ada. Meskipu demikia, uji atau tes tersebut juga meghasilka hasil positif salah utuk % orag sehat yag diuji. Apabila 0,5% populasi bear-bear mederita peyakit maka probabilitas seorag mempuyai peyakit bila diketahui tesya positif dapat dihitug sebagai berikut. Misalka, D meyataka kejadia bahwa orag yag dites mempuyai peyakit da E meyataka hasilya positif maka: PD E PD E P E P E D P D P E D P D + P E D P D (0,95)(0,005) 0, 95 0, (0,95) (0,005) (0,0) (0,995) 0,94 Jadi, haya perse orag yag hasil tes laboratoriumya positif bearbear mederita peyakit. Seara umum, persamaa (.) dapat ditulis sebagai berikut. Misalka, A, A,..., A salig asig sedemikia higga i A. Dega perkataa lai, tepat da salah satu dari kejadia A, A,..., A aka terjadi. Dega i meulis B A B da megguaka keyataa bahwa i B A ; i,,..., salig asig maka kita aka medapat: (.) i i P B P B A i i PB A P A i i i

34 .4 Iferesi Bayesia Persamaa (.) megataka apabila diberika kejadia-kejadia A, A,..., A, kita dapat meghitug P(B) dega mesyaratka pada A i yag terjadi. Ii berarti P(B) sama dega rata-rata tertimbag PB A i dega setiap suku diberi bobot probabilitas kejadia yag disyaratka. Misalka, B telah terjadi da kita tertarik utuk meetuka satu dari A juga terjadi, dega megguaka persamaa (.) didapat persamaa (.4) yag dikeal sebagai rumus Bayes. i (.4) P A B j i= P Aj B P B j j P B A P A P B A P A i i Cotoh.0 Misalka, kita megetahui bahwa suatu surat tertulis berkemugkia sama utuk berada dalam salah satu dari tiga lai yag tersedia. Misalka, meyataka probabilitas medapatka surat setelah pemeriksaa sesaat bila surat bear-bear berada dalam lai ke-i ; i,, (kita bisa medapatka ). Misalka, kita memeriksa lai ke- da tidak meemuka surat i maka probabilitas surat berada pada lai ke- dapat dihitug sebagai berikut. Misalka, A adalah kejadia surat berada pada lai ke-i, da misalka B i adalah kejadia pemeriksaa lai ke-, tetapi tidak meemuka surat maka dari rumus Bayes kita medapat: P B A P A P A B P B A i P A i i i

35 SATS44/MODUL.5 ) Apabila probabilitas bersyarat ada, buktika: P A A... A P A P A A P A A A... P A A... A P A E P B E da ) Apabila PB P A P A E P B E buktika ) Misalka, B kejadia dega PB 0, buktika: P AC B P A B PC B P AC B 4) Apabila A da B dua kejadia yag idepede, buktika bahwa A da B, A da B merupaka kejadia salig idepede. 5) Apabila A da B dua kejadia salig idepede, buktika: P A B P A P B P A P B 6) Apabila A Petujuk Jawaba Latiha ) Berdasarka persamaa (.): P A A P A A P A B, buktika bahwa A da B tidak salig idepede. Misalka, B A A maka P A B atau P A A P A P A A P B A P B atau:

36 .6 Iferesi Bayesia P A A A P A A A P A A P A A A P A A P A P B A P A B P B Dega ara yag sama, aka dapat dibuktika bahwa: P A A... A P A P A A P A A A... P A A... A ) P A E PB E atau P A E PB E e e P A E PB E atau P A E PB E sehigga: P A E P A E P B E P B E atau PB P A ) Misalka, Z = AC maka P Z B P AC B P Z B = P B P B atau P Z B P A = B + P B C P A B C PB PB PB P B P A B P B C P A B C = + = P A B + P C B P A C B 4) Jika P A B = P A P B maka: P A B = P A P A B = P A P A P B

37 SATS44/MODUL.7 = P A P B = P A P B Jadi, A da B salig idepede. P A B P A B P A B P A P B P A P B P A PB P A PB 5) Apabila A da B salig idepede maka P A P A PB P A PB P A B P A P B P A B 6) Jika A B maka P A B = P A. Jadi, A da B tidak dapat salig idepede. B = P A P B da. Probabilitas bersyarat A diketahui B telah terjadi adalah: P A B P A B P B ; PB 0. A da B disebut idepede apabila P AB P A PB. Rumus Bayes: P A B j i= j j P B A P A P B A P A i i

38 .8 Iferesi Bayesia ) Misalka, 5% laki-laki da 0,5% waita buta wara. Seorag buta wara dipilih seara radom. Apabila diadaika jumlah laki-laki sama dega jumlah waita maka probabilitas seorag buta wara yag terpilih laki-laki sama dega. 9 A. 7 B. 0 C. 7 D. ) Sebuah dadu dilempar kali. Probabilitas bersyarat dadu pertama tampak 6 apabila diketahui jumlah mata dadu yag tampak 7 sama dega. 5 A. 6 B. 6 C. 6 D. 6 ) Sebuah kotak memuat bola merah da bola biru. Dua bola diambil seara radom tapa pegembalia. Misalka, M meyataka kejadia pegambila pertama merah da M meyataka pegambila kedua merah maka A. 5 P M M sama dega.

39 SATS44/MODUL.9 B. C. D. 4 4) Lihat soal omor. A. B. C. D. 5 P M M sama dega. 5) Misalka, probabilitas huja apabila medug adalah 0, da probabilitas medug adalah 0, maka probabilitas medug da huja sama dega. A. 0,600 B. 0,060 C. 0,666 D. 0,0 6) Padag dua kotak, kotak pertama memuat bola hitam da bola putih, sedagka kotak kedua memuat bola hitam da bola putih. Sebuah kotak dipilih seara radom da sebuah bola dipilih seara radom dari kotak yag terpilih. Probabilitas bola yag terpilih hitam sama dega. 6 A. 7 B.

40 .40 Iferesi Bayesia C. D. 5 7) Lihat soal omor 6. Apabila diketahui bola yag terpilih putih, probabilitas bola tersebut berasal dari kotak pertama adalah. A. 5 B. 5 C. 4 5 D. 5 8) Seorag pejudi mempuyai satu mata uag seimbag da satu mata uag yag keduaya muka (M). Sebuah mata uag dilemparka da muul M. Probabilitas M berasal dari mata uag seimbag sama dega. A. B. 4 C. D. 9) Lihat soal omor 8. Misalka, mata uag dilempar sekali lagi da didapat M maka probabilitas M kedua berasal dari mata uag seimbag sama dega. A. 5 B. 5

41 SATS44/MODUL.4 C. D. 0) Lihat soal omor 8 da omor 9. Misalka, mata uag dilempar utuk yag ketiga kaliya da didapat B (belakag) maka probabilitas B berasal dari mata uag seimbag sama dega. A. B. C. D. Cookkalah jawaba Ada dega Kui Jawaba Tes Formatif yag terdapat di bagia akhir modul ii. Hituglah jawaba yag bear. Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar. Tigkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear 00% Jumlah Soal Apabila meapai tigkat peguasaa 80% atau lebih, Ada dapat meeruska dega modul selajutya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Ada harus megulagi materi Kegiata Belajar, terutama bagia yag belum dikuasai.

42 .4 Iferesi Bayesia Tes Formatif ) C ) D ) A 4) B 5) C 6) C 7) D 8) A 9) C 0) D Tes Formatif ) C ) C ) D 4) A 5) B 6) B 7) D 8) C 9) B 0) C

43 SATS44/MODUL.4 Hukwell, H. C. (995). Elemetary Appliatio of Probability Theory. Chapma & Hall, Lodo. Ross, M. S. (980). Itrodutio to Probability Models. Aademi Press. Reder, B. & Stair, R. M. (00). Quatitative Aalysis for Maagemet. Rie, J. A.(995). Mathematial Statistis ad Data Aalysis. Duxbury Press.

BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS

BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS 1.1. Pedahulua Dalam pertemua ii Ada aka mempelajari beberapa padaga tetag permutasi da kombiasi, fugsi da metode perhituga probabilitas, da meghitug probabilitas. Pada

Lebih terperinci

Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN. impunan sudah Anda kenal di sekolah menengah, bahkan sejak sekolah

Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN. impunan sudah Anda kenal di sekolah menengah, bahkan sejak sekolah Modul Himpua Dra Sri Haryati Kartiko, MS PENDHULUN impua sudah da keal di sekolah meegah, bahka sejak sekolah H dasar Himpua merupaka usur yag petig dalam probabilitas, sehigga dipelajari kembali dalam

Lebih terperinci

PELUANG KEJADIAN. 3. Permutasi siklis adalah permutasi yang susunannya melingkar.

PELUANG KEJADIAN. 3. Permutasi siklis adalah permutasi yang susunannya melingkar. PELUANG KEJADIAN A. Atura Perkalia/Pegisia Tempat Jika kejadia pertama dapat terjadi dalam a cara berbeda, kejadia kedua dapat terjadi dalam b cara berbeda, kejadia ketiga dapat terjadi dalam c cara berbeda,

Lebih terperinci

1 n MODUL 5. Peubah Acak Diskret Khusus

1 n MODUL 5. Peubah Acak Diskret Khusus ODUL 5 Peubah Acak Diskret Khusus Terdapat beberapa peubah acak diskret khusus yag serig mucul dalam aplikasi. Peubah Acak Seragam ( Uiform) Bila X suatu peubah acak diskret dimaa setiap eleme dari X mempuyai

Lebih terperinci

Himpunan. Himpunan 3/28/2012. Semesta Pembicaraan Semua mobil di Indonesia

Himpunan. Himpunan 3/28/2012. Semesta Pembicaraan Semua mobil di Indonesia Himpua Suatu himpua atau gugus adalah merupaka sekumpula obyek. Pada umumya aggota dari gugus tersebut memiliki suatu sifat yag sama. Suatu himpua bagia atau aak gugus merupaka sekumpula obyek yag aggotaya

Lebih terperinci

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi;

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi; Modul 1 Operasi Dr. Ahmad Muchlis B PENDAHULUAN erapakah 97531 86042? Kalau Ada megguaka kalkulator, jawabaya amat bergatug pada tipe kalkulator yag Ada pakai. 9 Kalkulator ilmiah Casio fx-250 memberika

Lebih terperinci

Oleh: Yunissa Rara Fahreza Akuntansi Teknologi Sistem Informasi KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT : PERMUTASI MATEMATIKA DISKRIT

Oleh: Yunissa Rara Fahreza Akuntansi Teknologi Sistem Informasi KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT : PERMUTASI MATEMATIKA DISKRIT Oleh: Yuissa Rara Fahreza Akutasi Tekologi Sistem Iformasi KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT : PERMUTASI MATEMATIKA DISKRIT ILUSTRASI 1 Misal ada 3 buah kelereg yag berbeda wara : merah (m), kuig (k) da

Lebih terperinci

Kompetisi Statistika Tingkat SMA

Kompetisi Statistika Tingkat SMA . Arya da Bombom melakuka tos koikoi yag seimbag yag mempuyai sisi, agka da gambar Arya melakuka tos terhadap 6 koi, sedagka Bombom melakuka tos terhadap koi, maka peluag Arya medapatka hasil tos muka

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN JURAL MATEMATKA DA KOMPUTER Vol. 6. o., 77-85, Agustus 003, SS : 40-858 DSTRBUS WAKTU BERHET PADA PROSES PEMBAHARUA Sudaro Jurusa Matematika FMPA UDP Abstrak Dalam proses stokhastik yag maa kejadia dapat

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa istilah, defiisi serta kosep-kosep yag medukug dalam peelitia ii. 2.1 Kosep Dasar Teori Graf Berikut ii aka diberika kosep dasar teori graf yag bersumber

Lebih terperinci

Matematika Diskret (Kombinatorial - Permutasi) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs

Matematika Diskret (Kombinatorial - Permutasi) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs Matematika Diskret (Kombiatorial - Permutasi) Istruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs Pedahulua Sebuah sadi-lewat (password) pajagya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa huruf atau agka. Berapa

Lebih terperinci

Kombinatorial dan Peluang. Adri Priadana ilkomadri.com

Kombinatorial dan Peluang. Adri Priadana ilkomadri.com Kombiatorial da Peluag Adri Priadaa ilkomadri.com Pedahulua Sebuah kata-sadi (password) pajagya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa huruf atau agka. Berapa bayak kemugkia kata-sadi yag dapat dibuat?

Lebih terperinci

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi 6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0

Lebih terperinci

b. Penyajian data kelompok Contoh: Berat badan 30 orang siswa tercatat sebagai berikut:

b. Penyajian data kelompok Contoh: Berat badan 30 orang siswa tercatat sebagai berikut: Statistik da Peluag A. Statistik Statistik adalah metode ilmiah yag mempelajari cara pegumpula, peyusua, pegolaha, da aalisis data, serta cara pegambila kesimpula berdasarka data-data tersebut. Data ialah

Lebih terperinci

Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real:

Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real: BARISAN TAK HINGGA Secara umum, suatu barisa dapat diyataka sebagai susua terurut dari bilaga-bilaga real: u 1, u 2, u 3, Barisa tak higga merupaka suatu fugsi dega domai berupa himpua bilaga bulat positif

Lebih terperinci

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme

Lebih terperinci

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4 Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika

Lebih terperinci

PELUANG. Kegiatan Belajar 1 : Kaidah Pencacahan, Permutasi dan kombinasi

PELUANG. Kegiatan Belajar 1 : Kaidah Pencacahan, Permutasi dan kombinasi PELUANG Kegiata Belajar : Kaidah Pecacaha, Permutasi da kombiasi A. Kaidah Pecacaha. Prisip Dasar Membilag Jika suatu operasi terdiri dari tahap, tahap pertama dapat dilakuka dega m cara yag berbeda da

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA Pengertian

TINJAUAN PUSTAKA Pengertian TINJAUAN PUSTAKA Pegertia Racaga peelitia kasus-kotrol di bidag epidemiologi didefiisika sebagai racaga epidemiologi yag mempelajari hubuga atara faktor peelitia dega peyakit, dega cara membadigka kelompok

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 010 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 0 Prestasi itu diraih buka didapat!!! SOLUSI SOAL Bidag Matematika Disusu oleh : Eddy Hermato, ST Olimpiade Matematika Tk

Lebih terperinci

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar BAB III BARISAN DAN DERET Tujua Pembelajara Setelah mempelajari materi bab ii, Ada diharapka dapat:. meetuka suku ke- barisa da jumlah suku deret aritmetika da geometri,. meracag model matematika dari

Lebih terperinci

SOAL PENYISIHAN =. a. 11 b. 12 c. 13 d. 14 e. 15

SOAL PENYISIHAN =. a. 11 b. 12 c. 13 d. 14 e. 15 SOAL PENYISIHAN Petujuk pegerjaa soal : Jumlah soal 0 soal Piliha Gada da Uraia Utuk piliha gada diberi peilaia bear +, salah -, tidak diisi 0 Lama pegerjaa soal adalah 0 meit Kalau berai, silaka pilih

Lebih terperinci

Projek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16,

Projek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16, Projek Himpulah miimal tiga masalah peerapa barisa da deret aritmatika dalam bidag fisika, tekologi iformasi, da masalah yata di sekitarmu. Ujilah berbagai kosep da atura barisa da deret aritmatika di

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 < II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi

Lebih terperinci

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara

Lebih terperinci

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3 PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg

Lebih terperinci

EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI

EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI Oleh: Sutopo Jurusa Fisika FMIPA UM sutopo@fisika.um.ac.id Ditulis pada sekitar bula Maret 2011. Diuggah pada 3 Desember 2011 PROBLEM Gambar di bawah ii meyataka

Lebih terperinci

Induksi Matematika. Pertemuan VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusan Teknik Informatika UPN Veteran Yogyakarta

Induksi Matematika. Pertemuan VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusan Teknik Informatika UPN Veteran Yogyakarta Iduksi Matematika Pertemua VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusa Tekik Iformatika UPN Vetera Yogyakarta Metode pembuktia utuk peryataa perihal bilaga bulat adalah iduksi matematik. Cotoh

Lebih terperinci

Modul Kuliah statistika

Modul Kuliah statistika Modul Kuliah statistika Dose: Abdul Jamil, S.Kom., MM SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER MUHAMMADIYAH JAKARTA Bab 2 Populasi da Sampel 2.1 Populasi Populasi merupaka keseluruha pegamata

Lebih terperinci

Definisi Integral Tentu

Definisi Integral Tentu Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai penaksiran besarnya

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai penaksiran besarnya 5 BAB II LANDASAN TEORI Dalam tugas akhir ii aka dibahas megeai peaksira besarya koefisie korelasi atara dua variabel radom kotiu jika data yag teramati berupa data kategorik yag terbetuk dari kedua variabel

Lebih terperinci

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI Fiboacci Matematikawa terbesar pada abad pertegaha adalah Leoardo dari Pisa, Italia (80 0). Ia lebih dikeal dega ama Fibo-acci. Artiya, aak Boaccio. Meara Pisa yag terkeal

Lebih terperinci

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : REGULER Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa,

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut

Lebih terperinci

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da

Lebih terperinci

BAB 6: ESTIMASI PARAMETER (2)

BAB 6: ESTIMASI PARAMETER (2) Bab 6: Estimasi Parameter () BAB 6: ESTIMASI PARAMETER (). ESTIMASI PROPORSI POPULASI Proporsi merupaka perbadiga atara terjadiya suatu peristiwa dega semua kemugkiaa peritiwa yag bisa terjadi. Besara

Lebih terperinci

mempunyai sebaran yang mendekati sebaran normal. Dalam hal ini adalah PKM (penduga kemungkinan maksimum) bagi, ˆ ˆ adalah simpangan baku dari.

mempunyai sebaran yang mendekati sebaran normal. Dalam hal ini adalah PKM (penduga kemungkinan maksimum) bagi, ˆ ˆ adalah simpangan baku dari. Selag Kepercayaa Cotoh Besar Jika ukura cotoh (sample size) besar, maka meurut Teorema Limit Pusat, bayak statistik megikuti/mempuyai sebara yag medekati ormal (dapat diaggap ormal). Artiya jika adalah

Lebih terperinci

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X Pedugaa Selag: Metode Pivotal Lagkah-lagkahya 1. Adaika X1, X,..., X adalah cotoh acak dari populasi dega fugsi kepekata f( x; ), da parameter yag tidak diketahui ilaiya. Adaika T adalah peduga titik bagi..

Lebih terperinci

Soal-soal Latihan: jika Misalkan n adalah bilangan genap. Buktikan bahwa

Soal-soal Latihan: jika Misalkan n adalah bilangan genap. Buktikan bahwa Soal-soal Latiha:. Misalka kita aka meyusu kata-kata yag dibetuk dari huru-huru dalam kata SIMALAKAMA, jika a. huru S mucul setelah huru K (misalya, ALAMAKSIM). b. huru A mucul berdekata. c. tidak memuat

Lebih terperinci

BAB 2 PELUANG LKS 1 8. C hanya angka 3 yang memenuhi syarat kurang dari 400 Banyak bilangan yang kurang dari 400 : = = 12 9.

BAB 2 PELUANG LKS 1 8. C hanya angka 3 yang memenuhi syarat kurang dari 400 Banyak bilangan yang kurang dari 400 : = = 12 9. A. Evaluasi egertia atau Igata. B (A x B) (A). (B). 0. B huruf vokal Bayak susua huruf yag dapat dibuat :..... 0. B ( agka dapat berulag ) Bayak bilaga puluha yag dapat disusu dari agka tersebut :. 9.

Lebih terperinci

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan REGRESI LINIER DAN KORELASI Variabel dibedaka dalam dua jeis dalam aalisis regresi: Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yag mudah didapat atau tersedia. Dapat diyataka dega X 1, X,, X k

Lebih terperinci

BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada

BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada 8 BAB III RUANG HAUSDORFF Pada bab ii aka dibahas megeai ruag Hausdorff, kekompaka pada ruag Hausdorff da ruag regular legkap. Pembahasa diawali dega medefiisika Ruag Hausdorff da beberapa sifatya kemudia

Lebih terperinci

4. KOMBINATORIKA ... S 1. S n S 2. Gambar 4.1

4. KOMBINATORIKA ... S 1. S n S 2. Gambar 4.1 4. KOMBINATORIKA 4. Atua Utuk Suatu Peistiwa Evet sesuatu yag tejadi. Jika peistiwa A dapat tejadi dalam m caa da peistiwa B dapat tejadi dalam N caa, maka tedapat (m, ) caa kedua peistiwa tejadi besama-sama.

Lebih terperinci

BAB III METODE PENELITIAN. penelitian yaitu PT. Sinar Gorontalo Berlian Motor, Jl. H. B Yassin no 28

BAB III METODE PENELITIAN. penelitian yaitu PT. Sinar Gorontalo Berlian Motor, Jl. H. B Yassin no 28 5 BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Lokasi Peelitia da Waktu Peelitia Sehubuga dega peelitia ii, lokasi yag dijadika tempat peelitia yaitu PT. Siar Gorotalo Berlia Motor, Jl. H. B Yassi o 8 Kota Gorotalo.

Lebih terperinci

9 Departemen Statistika FMIPA IPB

9 Departemen Statistika FMIPA IPB Supleme Resposi Pertemua ANALISIS DATA KATEGORIK (STK351 9 Departeme Statistika FMIPA IPB Pokok Bahasa Sub Pokok Bahasa Referesi Waktu Pegatar Aalisis utuk Data Respo Kategorik Data respo kategorik Sebara

Lebih terperinci

ESTIMASI. (PENDUGAAN STATISTIK) Ir. Tito Adi Dewanto. Statistika

ESTIMASI. (PENDUGAAN STATISTIK) Ir. Tito Adi Dewanto. Statistika Wed 6/0/3 ETIMAI (PENDUGAAN TATITIK) Ir. Tito Adi Dewato tatistika Deskriptif Iferesi Estimasi Uji Hipotesis Titik Retag Estimasi da Uji Hipotesis Dilakuka setelah peelitia dalam tahap pegambila suatu

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Sistem Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Sistem Bilaga Real Prof. R. Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii aka dibahas sifat-sifat pokok bilaga real. Meskipu pembaca sudah akrab bear dega bilaga real amu modul ii aka membahasya lebih cermat

Lebih terperinci

Solusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama

Solusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama Solusi Soal OSN Matematika SMA/MA Hari Pertama Soal 1. Buktika bahwa utuk sebarag bilaga asli a da b, bilaga adalah bilaga bulat geap tak egatif. = F P B (a, b) + KP K (a, b) a b Solusi. Pertama aka dibuktika

Lebih terperinci

Himpunan Kritis Pada Graph Caterpillar

Himpunan Kritis Pada Graph Caterpillar 1 0 Himpua Kritis Pada Graph Caterpillar Chairul Imro, Budi Setiyoo, R. Simajutak, Edy T. Baskoro {imro-its,budi}@matematika.its.ac.id, {rio,ebaskoro}@ds.math.itb.ac.id Ues, Semarag, 4 7 Juli 006 Abstrak

Lebih terperinci

PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA MATA PELAJARAN: MATEMATIKA Pemateri: Murdanu

PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA MATA PELAJARAN: MATEMATIKA Pemateri: Murdanu Pemateri: Murdau 1 BAGIAN A 1. Carilah dua bilaga yag hasilkali da jumlahya berilai sama!. Carilah dua bilaga yag perbadiga da selisihya berilai sama! 3. Diketahui: ab = 84, bc = 76, ac = 161. Berapakah

Lebih terperinci

Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN

Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Pediferesiala Prof R Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii dibahas fugsi berilai real yag didefiisika pada suatu iterval Defiisi derivatif suatu fugsi dimulai dega derivatif di suatu titik, kemudia

Lebih terperinci

) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,...

) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,... SISEM PERSAMAAN LINIER DAN MARIKS. SISEM PERSAMAAN LINIER Secara umum, persamaa liier dega variabel ( x, x,..., x ) didefiisika sebagai persamaa yag dapat diyataka dalam betuk: a x a x a x b... dega a,

Lebih terperinci

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika BARISAN DAN DERET BILANGAN Peyusu: Atmii Dhoruri, MS Kode: Jejag: SMP T/P: / A. Kompetesi yag diharapka. Meetuka suku ke- barisa aritmatika da barisa geometri. Meetuka jumlah suku pertama deret aritmatika

Lebih terperinci

Hazmira Yozza Izzati Rahmi HG Jurusan Matematika FMIPA Unand

Hazmira Yozza Izzati Rahmi HG Jurusan Matematika FMIPA Unand TEKIK SAMPLIG PCA SEDERHAA Hazmira Yozza Izzati Rahmi HG Jurusa Matematika FMIPA Uad Defiisi : Jika suatu cotoh berukura diambil dari suatu populasi berukura sedemikia rupa sehigga setiap kemugkia cotoh

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. dihitung. Nilai setiap statistik sampel akan bervariasi antar sampel.

II. LANDASAN TEORI. dihitung. Nilai setiap statistik sampel akan bervariasi antar sampel. II. LANDASAN TEORI Defiisi 2.1 Distribusi Samplig Distribusi samplig adalah distribusi probibilitas dari suatu statistik. Distribusi tergatug dari ukura populasi, ukura sampel da metode memilih sampel.

Lebih terperinci

Barisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN

Barisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Barisa da Deret Reto Wika Tyasig Ada P PENDAHULUAN okok bahasa dalam modul ii terdiri atas dua kegiata belajar. Yag pertama tetag barisa, yag kedua tetag deret da cotoh-cotoh pemakaia deret. Pembahasa

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang. Universitas Sumatera Utara

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang. Universitas Sumatera Utara BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Salah satu pera da fugsi statistik dalam ilmu pegetahua adalah sebagai. alat aalisis da iterpretasi data kuatitatif ilmu pegetahua, sehigga didapatka suatu kesimpula

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Statistika iferesi merupaka salah satu cabag statistika yag bergua utuk meaksir parameter. Peaksira dapat diartika sebagai dugaa atau perkiraa atas sesuatu yag aka terjadi

Lebih terperinci

4.7 TRANSFORMASI UNTUK MENDEKATI KENORMALAN

4.7 TRANSFORMASI UNTUK MENDEKATI KENORMALAN 4.7 TRANSFORMASI UNTUK MENDEKATI KENORMALAN Saat asumsi keormala tidak dipuhi maka kesimpula yag kita buat berdasarka suatu metod statistik yag mesyaratka asumsi keormala meadi tidak baik, sehigga mucul

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas tentang teori-teori dasar yang. digunakan untuk dalam mengestimasi parameter model.

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas tentang teori-teori dasar yang. digunakan untuk dalam mengestimasi parameter model. BAB II LANDASAN TEORI Pada bagia ii aka dibahas tetag teori-teori dasar yag diguaka utuk dalam megestimasi parameter model.. MATRIKS DAN VEKTOR Defiisi : Trace dari matriks bujur sagkar A a adalah pejumlaha

Lebih terperinci

BAB II KAIDAH PENCACAHAN DAN PELUANG

BAB II KAIDAH PENCACAHAN DAN PELUANG 1 BAB II KAIDAH PENCACAHAN DAN PELUANG Dalam kehidupa sehari hari kita serig dihadapka pada persoala yag berkaita dega peluag. Baik mecari kemugkia, kesempata, bayak cara, harapa da sebagaiya. Dalam Materi

Lebih terperinci

Probabilitas dan Statistika Teorema Bayes. Adam Hendra Brata

Probabilitas dan Statistika Teorema Bayes. Adam Hendra Brata robabilitas da Statistika Teorema ayes dam Hedra rata Itroduksi - Joit robability Itroduksi Teorema ayes eluag Kejadia ersyarat Jika muculya mempegaruhi peluag muculya kejadia atau sebalikya, da adalah

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT) BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga

Lebih terperinci

Kombinatorik: Prinsip Dasar dan Teknik

Kombinatorik: Prinsip Dasar dan Teknik Kombiatorik: Prisip Dasar da Tekik Drs. Sahid, MSc. Jurusa Pedidika Matematika FMIPA Uiversitas Negeri Yogyakarta sahidyk@gmail.com March 27, 2009 1 Atura Pejumlaha (Atura Disjugtif) Jika utuk melakuka

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Didalam melakuka kegiata suatu alat atau mesi yag bekerja, kita megeal adaya waktu hidup atau life time. Waktu hidup adalah lamaya waktu hidup suatu kompoe atau uit pada

Lebih terperinci

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN

Lebih terperinci

Bab 2. Sistem Bilangan Real Aksioma Bilangan Real Misalkan adalah himpunan bilangan real, P himpunan bilangan positif dan fungsi + dan.

Bab 2. Sistem Bilangan Real Aksioma Bilangan Real Misalkan adalah himpunan bilangan real, P himpunan bilangan positif dan fungsi + dan. Bab Sistem Bilaga Real.. Aksioma Bilaga Real Misalka adalah himpua bilaga real, P himpua bilaga positif da fugsi + da. dari ke da asumsika memeuhi aksioma-aksioma berikut: Aksioma Lapaga Utuk semua bilaga

Lebih terperinci

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2 Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama

Lebih terperinci

IV METODE PENELITIAN 4.1 Lokasi dan waktu 4.2. Jenis dan Sumber Data 4.3 Metode Pengumpulan Data

IV METODE PENELITIAN 4.1 Lokasi dan waktu 4.2. Jenis dan Sumber Data 4.3 Metode Pengumpulan Data IV METODE PENELITIAN 4.1 Lokasi da waktu Peelitia ii dilakuka di PD Pacet Segar milik Alm Bapak H. Mastur Fuad yag beralamat di Jala Raya Ciherag o 48 Kecamata Cipaas, Kabupate Ciajur, Propisi Jawa Barat.

Lebih terperinci

PENGUJIAN HIPOTESIS. Atau. Pengujian hipotesis uji dua pihak:

PENGUJIAN HIPOTESIS. Atau. Pengujian hipotesis uji dua pihak: PENGUJIAN HIPOTESIS A. Lagkah-lagkah pegujia hipotesis Hipotesis adalah asumsi atau dugaa megeai sesuatu. Jika hipotesis tersebut tetag ilai-ilai parameter maka hipotesis itu disebut hipotesis statistik.

Lebih terperinci

PENGGUNAAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF DALAM PEMBUATAN GRAFIK PENGENDALI p-chart

PENGGUNAAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF DALAM PEMBUATAN GRAFIK PENGENDALI p-chart Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 2 Jui 2012 PENGGUNAAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF DALAM PEMBUATAN GRAFIK PENGENDALI p-chart Adi Setiawa

Lebih terperinci

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi

Lebih terperinci

SOAL-SOAL. 1. UN A Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan S n n

SOAL-SOAL. 1. UN A Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan S n n Husei Tampomas, Barisa da Deret, 06 SOAL-SOAL. UN A 0 Jumlah suku pertama deret aritmetika diyataka dega S. Suku ke-0 A. B. C. 0 D. 8 E. 6. UN A, D7, da E8 0 Sebuah pabrik memproduksi barag jeis A pada

Lebih terperinci

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti

Lebih terperinci

Aturan Pencacahan. Contoh: Berapa banyak kemungkinan jalur yang dapat dilalui dari Kota A ke Kota D?

Aturan Pencacahan. Contoh: Berapa banyak kemungkinan jalur yang dapat dilalui dari Kota A ke Kota D? Atura Pecacaha A. Atura Perkalia Jika terdapat k usur yag tersedia, dega: = bayak cara utuk meyusu usur pertama 2 = bayak cara utuk meyusu usur kedua setelah usur pertama tersusu 3 = bayak cara utuk meyusu

Lebih terperinci

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas.

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas. 4 D E R E T Kosep deret merupaka kosep matematika yag cukup populer da aplikatif khusuya dalam kasus-kasus yag meyagkut perkembaga da pertumbuha suatu gejala tertetu. Apabila perkembaga atau pertumbuha

Lebih terperinci

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25 head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok 16511 Telp.01-951 1160. cotact perso : 0-878787-1-8585 / 081-8691-10 Bidag Studi Kode Berkas Waktu : Matematika : MA-L01 (solusi) : 90

Lebih terperinci

PETA KONSEP RETURN dan RISIKO PORTOFOLIO

PETA KONSEP RETURN dan RISIKO PORTOFOLIO PETA KONSEP RETURN da RISIKO PORTOFOLIO RETURN PORTOFOLIO RISIKO PORTOFOLIO RISIKO TOTAL DIVERSIFIKASI PORTOFOLIO DENGAN DUA AKTIVA PORTOFOLIO DENGAN BANYAK AKTIVA DEVERSIFIKASI DENGAN BANYAK AKTIVA DEVERSIFIKASI

Lebih terperinci

III. METODE PENELITIAN. kelas VIII semester ganjil SMP Sejahtera I Bandar Lampung tahun pelajaran 2010/2011

III. METODE PENELITIAN. kelas VIII semester ganjil SMP Sejahtera I Bandar Lampung tahun pelajaran 2010/2011 III. METODE PENELITIAN A. Latar Peelitia Peelitia ii merupaka peelitia yag megguaka total sampel yaitu seluruh siswa kelas VIII semester gajil SMP Sejahtera I Badar Lampug tahu pelajara 2010/2011 dega

Lebih terperinci

Soal dan Pembahasan. Ujian Nasional Matematika Teknik SMK matematikamenyenangkan.com

Soal dan Pembahasan. Ujian Nasional Matematika Teknik SMK matematikamenyenangkan.com Soal da Pembahasa jia Nasioal 06 Matematika Tekik SMK matematikameyeagka.com . pqr Betuk sederhaa dari p q r A. p 8 q r adalah... B. p q 0 r 0 D. p q 0 r 0 C. p 8 q r 0 E. p 6 q r Igat rumus berikut m

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,

Lebih terperinci

Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa

Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa Modul 1 Kekelirua dalam Perhituga Numerik da Selisih Terhigga Biasa D PENDAHULUAN Dr. Wahyudi, M.Pd. i dalam pemakaia praktis, peyelesaia akhir yag diigika dari solusi suatu permasalaha (soal) dalam matematika

Lebih terperinci

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR Dose Pegampu : Darmadi, S.Si, M.Pd Disusu : Kelas 5A / Kelompok 5 : Dia Dwi Rahayu (084. 06) Hefetamala (084. 4) Khoiril Haafi (084. 70) Liaatul Nihayah (084. 74)

Lebih terperinci

METODE PENELITIAN. dalam tujuh kelas dimana tingkat kemampuan belajar matematika siswa

METODE PENELITIAN. dalam tujuh kelas dimana tingkat kemampuan belajar matematika siswa 19 III. METODE PENELITIAN A. Populasi da Sampel Populasi dalam peelitia ii adalah seluruh siswa kelas VIII SMP Negeri 8 Badar Lampug tahu pelajara 2009/2010 sebayak 279 orag yag terdistribusi dalam tujuh

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET Pertemua 7. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuaku Tambusai Bagkiag 5. da kekovergeaya 5. DERET Diberika sebuah barisa a, dapat didefeisika barisa bilaga real S N dega S N := N a = a + a 2 +...

Lebih terperinci

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) MATEMATIKA II DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) sugegpb.lecture.ub.ac.id aada.lecture.ub.ac.id BARISAN Barisa merupaka kumpula suatu bilaga (atau betuk aljabar) yag disusu sehigga membetuk suku-suku yag

Lebih terperinci

BAB III 1 METODE PENELITAN. Penelitian dilakukan di SMP Negeri 2 Batudaa Kab. Gorontalo dengan

BAB III 1 METODE PENELITAN. Penelitian dilakukan di SMP Negeri 2 Batudaa Kab. Gorontalo dengan BAB III METODE PENELITAN. Tempat Da Waktu Peelitia Peelitia dilakuka di SMP Negeri Batudaa Kab. Gorotalo dega subject Peelitia adalah siswa kelas VIII. Pemiliha SMP Negeri Batudaa Kab. Gorotalo. Adapu

Lebih terperinci

BAB III METODE PENELITIAN

BAB III METODE PENELITIAN BAB III METODE PENELITIAN A. Racaga da Jeis Peelitia Racaga peelitia ii adalah deskriptif dega pedekata cross sectioal yaitu racaga peelitia yag meggambarka masalah megeai tigkat pegetahua remaja tetag

Lebih terperinci

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions)

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions) Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Struktur alabar adalah suatu himpua yag di dalamya didefiisika suatu operasi bier yag memeuhi aksioma-aksioma tertetu. Gelaggag ( Rig ) merupaka suatu struktur

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. Analisis regresi menjadi salah satu bagian statistika yang paling banyak aplikasinya.

BAB 1 PENDAHULUAN. Analisis regresi menjadi salah satu bagian statistika yang paling banyak aplikasinya. BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Aalisis regresi mejadi salah satu bagia statistika yag palig bayak aplikasiya. Aalisis regresi memberika keleluasaa kepada peeliti utuk meyusu model hubuga atau pegaruh

Lebih terperinci

Range atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu

Range atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu BAB 4 UKURAN PENYEBARAN DATA Pada Bab sebelumya kita telah mempelajari beberapa ukura pemusata data, yaitu ukura yag memberika iformasi tetag bagaimaa data-data ii megumpul atau memusat Pada bagia Bab

Lebih terperinci

BAB V ANALISA PEMECAHAN MASALAH

BAB V ANALISA PEMECAHAN MASALAH 89 BAB V ANALISA PEMECAHAN MASALAH Dalam upaya mearik kesimpula da megambil keputusa, diperluka asumsi-asumsi da perkiraa-perkiraa. Secara umum hipotesis statistik merupaka peryataa megeai distribusi probabilitas

Lebih terperinci

RESPONSI 2 STK 511 (ANALISIS STATISTIKA) JUMAT, 11 SEPTEMBER 2015

RESPONSI 2 STK 511 (ANALISIS STATISTIKA) JUMAT, 11 SEPTEMBER 2015 RESPONSI STK 511 (ANALISIS STATISTIKA) JUMAT, 11 SEPTEMBER 015 A. PENYAJIAN DAN PERINGKASAN DATA 1. PENYAJIAN DATA a. Sebutka tekik peyajia data utuk data kualitatif! Diagram kueh, diagram batag, distribusi

Lebih terperinci

STATISTICS. Hanung N. Prasetyo Week 11 TELKOM POLTECH/HANUNG NP

STATISTICS. Hanung N. Prasetyo Week 11 TELKOM POLTECH/HANUNG NP STATISTICS Haug N. Prasetyo Week 11 PENDAHULUAN Regresi da korelasi diguaka utuk megetahui hubuga dua atau lebih kejadia (variabel) yag dapat diukur secara matematis. Ada dua hal yag diukur atau diaalisis,

Lebih terperinci

3. Rangkaian Logika Kombinasional dan Sequensial 3.1. Rangkaian Logika Kombinasional Enkoder

3. Rangkaian Logika Kombinasional dan Sequensial 3.1. Rangkaian Logika Kombinasional Enkoder 3. Ragkaia Logika Kombiasioal da Sequesial Ragkaia Logika secara garis besar dibagi mejadi dua, yaitu ragkaia logika Kombiasioal da ragkaia logika Sequesial. Ragkaia logika Kombiasioal adalah ragkaia yag

Lebih terperinci