EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI

EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI Oleh: Sutopo Jurusa Fisika FMIPA UM sutopo@fisika.um.ac.id Ditulis pada sekitar bula Maret 2011. Diuggah pada 3 Desember 2011 PROBLEM Gambar di bawah ii meyataka grid persegipajag dari rute jala. Ada dimita meelusuri jala itu dari A ke B dega megguaka rute sedekat mugki. Berapa bayak rute yag ada? Perumum hasil yag diperoleh utuk sebarag ukura grid. PEMBAHASAN Jika geraka 1 lagkah ke kaa dilambagi dega huruf K da geraka 1 lagkah ke atas dilambagi huruf A, maka litasa yag ditujukka pada gambar di sampig diyataka sebagai: (i) KAKKKAKAKKAAK Geraka ke kaa meyusuri sisi bawah (sebayak 8 lagkah) kemudia dilajutka geraka ke atas (sebayak 5 lagkah) juga aka sampai ke titik B. Litasa yag dilalui dapat diyataka sebagai: (ii) KKKKKKKKAAAAA Pajag litasa (ii) sama dega pajag litasa (i), yaitu 13 lagkah. Komposisiya juga sama, yaitu 8K5A atau {K (8), A (5) }. Kedua litasa tersebut merupaka litasa terpedek, sebab semua jeis gerakaya lagsug megarah ke titik B. Badigka jika ada geraka ke bawah atau ke kiri, maka pajag litasa utuk mecapai titik B pasti lebih dari 13 lagkah. Berdasarka argumet tersebut, maka litasa terpedek utuk mecapai posisi B adalah litasa yag pajagya 13 lagkah da harus terdiri atas 8 lagkah ke kaa da 5 lagkah ke atas. Sutopo, Fisika UM 1 Ekspasi multiomial da permutasi/kombiasi

Litasa-litasa laiya dapat dibetuk dega membuat permutasi-13 dari {K (8), A (5) }. Bayakya permutasi yag dihasilka adalah! = 1.287. Dalam bahasa kombiatorik,bayakya litasa!! yag terjadi adalah sama dega bayakya cara memilih 8 posisi dari 13 posisi yag disediaka utuk meempatka lambag K, yaitu 13! = 8 = = 1.287, atau bayakya cara!! memilih 5 posisi dari 13 posisi yag disediaka utuk meempatka lambag A, yaitu sebayak 13 5! = = 1.287 macam litasa.!! Perluasa hasil di atas: Bayakya litasa terpedek utuk berpidah dari titik O(0,0) ke P(m,) dalam suatu grid adalah m + + = m m Jika dalam pergeraka tersebut harus melewati titik lai, misalya C(p,q), maka bayakya litasa p + q p + q p + q p + q adalah m = m. Megapa dikalika? Jawab: p m p q q ketika sampai di C, setiap litasa dari O ke C bertemu dega semua litasa dari C ke P. PEMBAHASAN TAMBAHAN 1. Seperti telah dibicaraka, persoala tersebut sama dega mecari bayakya kata yag pajagya ( + ) da dibetuk dari huruf {K, D} yag masig-masig sebayak da. Bayakya kata tersebut adalah sama dega koefisie suku K D pada ekspasi biomial (K + D) =, K D dega,!. Karea!! = maka! =!! Jika K da D digati dega agka 1, maka diperoleh idetitas: i = 2.!!( )! = = =!!( )!. Apa arti bilaga-bilaga tersebut? Dalam koteks ii, bilaga 2 meyataka bayakya litasa yag dihasilka dari geraka lagkah dega masig-masig lagkah berarah ke kaa Sutopo, Fisika UM 2 Ekspasi multiomial da permutasi/kombiasi

atau ke depa. Bilaga, sebagaimaa telah disebutka, meyataka bayakya litasa i sepajag lagkah yag terdiri atas i lagkah ke kaa da ( i) lagkah ke depa. Bilaga 2 da koefisie, dapat diguaka utuk meghitug berbagai feomea, atara lai sebagai berikut. No 2, = 1 Bayakya kata yag pajagya karakter da dibetuk dari dua huruf berbeda, misal {B,I} 2 Bayakya bilaga asli digit yag dibetuk dari dua bilaga asli berbeda, misal {1,2} 3 Bayakya cara medistribusika bola berlabel dalam dua wadah berlabel. Lihat gambar di bawah. 4 Bayakya himpua bagia dari suatu himpua yag beraggotaka eleme 5 Bayakya uruta mecetak gol dalam suatu pertadiga sepak bola jika total gol yag tercipta selama pertadiga sebayak gol.!!! Bayakya kata karakter yag memuat huruf {B, I} dega komposisi huruf B (), I (), atau B (), I () Bayakya bilaga digit dega komposisi agka: 1 (), 2 (), atau 1 (), 2 () Bayakya cara medistribusika bola berlabel dalam dua wadah berlabel sehigga wadah pertama berisi 1 bola da wadah kedua berisi 2 = ( 1 ) bola, atau sebalikya. Bayakya himpua bagia yag memiliki aggota = (atau = ) yag diambil dari suatu himpua yag beraggotaka eleme. Bayakya uruta mecetak gol jika sampai akhir pertadiga tim A mecetak gol da tim B mecetak = ( ) gol, atau sebalikya. Cotoh medistribusika 3 bola berlabel pada dua wadah berlabel, atau uruta terciptaya gol pada suatu pertadiga sepakbola jika jumlah gol yag tercipta selama pertadiga sebayak 3 gol. I II I II I II I II I II I II I II I II 2. Bayakya suku dalam ekspasi biomial sama dega bayakya variasi otasi koefisie i dega i bergerak dari 0 sampai. Jadi bayakya suku adalah (+1). Tetapi, bilaga itu juga harus sama dega bayakya susua (, ) yag merupaka peyelesaia persamaa + =, 0, dega i = 1, 2. Proposisi ii ekivale dega bayakya cara medistribusika bola tak berlabel dalam dua wadah berlabel. Dega demikia, setidakya ada tiga macam feomea yag diwakili oleh bilaga ( + 1), yaitu: Bayakya suku yag berbeda dalam ekspasi biomial orde. Bayakya susua (x, x ) yag merupaka peyelesaia persamaa x + x =, 0 x. Bayakya cara medistribusika bola tak berlabel dalam dua wadah berlabel. Sutopo, Fisika UM 3 Ekspasi multiomial da permutasi/kombiasi

3. Berapa bayakya cara medistribusika bola tak berlabel dalam k wadah berlabel? Berdasarka hasil omor 3, persoala ii setara dega (i) bayakya suku yag berbeda dalam ekspasi k-omial orde, da (ii) bayakya susua (x, x,, x ) yag merupaka peyelesaia persamaa x + x + + x =, 0 x, k A. Jika bola-bola tersebut direpresetasika sebagai huruf O, da wadah-wadahya direpresetasika sebagai suatu kotak yag dibuat dari para yag disekat-sekat dega garis vertical, (seperti pada gambar), maka persoala tadi OOO w OO w OOOO w. O w dapat digati dega mecari bayakya Represetasi wadah da bola beserta salah satu cotoh kata yag pajagya (+k+1) karakter da medistribusika bola ke dalam k wadah. Bayakya dibetuk oleh sejumlah huruf O (sebayak garis vertical utuk membuat k wadah adalah (k+1) buah) da garis vertical (sebayak k+1) dega ketetua bahwa karakter pertama da terakhir pada kata-kata tersebut harus berupa garis vertikal Karea karakter pertama da terakhir harus berupa garis vertical, maka haya (k + 1 2 = k 1) garis vertical yag bebas diubah-ubah posisiya. Dega kata lai, persoala diubah lagi mejadi: mecari bayakya kata yag pajagya ( + k 1) karakter da dibetuk oleh buah huruf O da (k + 1 2 = k 1) garis vertical. Bayakya huruf yag dihasilka sama dega bayakya cara memilih posisi dari ( + k 1) posisi yag tersedia utuk meempatka huruf O, atau setara dega itu, bayakya cara memilih (k 1) posisi dari ( + k 1) posisi yag tersedia + k 1 ()! utuk meempatka garis vertikal, yaitu = k 1.!()! Dapat disimpulka: + k 1 ()! Utuk sebarag C, da 1 k, maka = k 1 meyataka:!()! Bayakya suku dega otasi koefisie yag berbeda pada ekspasi multiomial (x + x + + x ) Bayakya susua (x, x,, x ) yag merupaka peyelesaia persamaa x + x + + x =, 0 x, k A Bayakya cara medistribusika bola tak berlabel dalam k wadah berlabel (boleh ada wadah yag dibiarka kosog). Sutopo, Fisika UM 4 Ekspasi multiomial da permutasi/kombiasi

4. Berapa bayakya cara medistribusika bola tak berlabel dalam k wadah berlabel jika tiap wadah miimal berisi satu bola? Masalah tersebut idetik dega mecari bayakya sekuesi (x, x,, x ) yag merupaka peyelesaia persamaa x + x + + x =, 1 x, k A. Peyelesaia Karea setiap wadah harus berisi miimal satu bola, maka persoala tersebut sama dega mecari bayakya cara medistribusika ( k) bola tidak berlabel ke dalam k wadah berlabel. Ii sama dega medistribusika m = ( k) bola ke dalam k wadah berlabel, yaitu m + k 1 k + k 1 = = 1 k 1 k 1 k 1. Jika k > maka tidak ada cara yag bisa dilakuka, sebab pasti ada wadah yag tidak terisi. Fakta tersebut diperkuat oleh rumus di atas. Berdasarka formula tersebut, jika k > maka (k 1) > ( 1) sehigga 1 = 0. Berarti tidak ada cara yag bisa dilakuka utuk memeuhi k 1 persyarata tiap wadah berisi miimal satu bola. DISKUSI LEBIH SERIUUUSSS DAN MENDALAMMMMM Pembahasa di atas sepeuhya berpijak pada defiisi: Permutasi adalah susua sejumlah objek dega memperhatika urutaya. Permutasi- berarti permutasi yag memuat karakter, atau objek, atau slot, atau posisi, dsb. Cotoh, suku-suku di ruas kaa yag diperoleh dari ekspasi biomial (A + B) = AA + AB + BA + BB adalah permutasi-2, sebab masig-masig susua memuat dua karakter da uruta sagat diperhatika (BA dibedaka dega AB). Berpijak pada defiisi itu, da pembahasa sebelumya, maka ugkapa ekspasi multiomial : (x + x + + x ) =,,, x x x dega,,,!!!! dapat dieksplorasi lebih lajut sebagai berikut. 1. Ruas kiri meyataka semesta pembicaraa terhadap maa aka dibuat berbagai permutasi- dari eleme himpua {x, x,, x }. Pegguaa kata permutasi- di sii sepeuhya kosiste dega defiisi permutasi da fakta bahwa setiap suku di ruas kaa terdiri atas karakter. Utuk meyakika hal ii, ambil cotoh palig sederhaa, yaitu suku pertama di maa = da = 0, i > 2. Suku tersebut adalah x = x. Atau buatlah multiomial yag Sutopo, Fisika UM 5 Ekspasi multiomial da permutasi/kombiasi

lebih sederhaa, misalya (A + B + C) = A + 4 A B + 12 A BC + 6 A B + + C. Jika A dimakai sebagai kepedeka dari AAAA, A B dimakai sebagai AAAB dst, jelaslah bahwa setiap suku memuat 4 karakter. 2. Apa maka setiap suku di ruas kaa? Betuk umum setiap suku di ruas kaa adalah,,, x x x. Suku tersebut, secara keseluruha, meyataka ada,,, susua (permutasi-) yag di dalamya memuat usur-usur x yag masigmasig mucul sebayak kali, i = 1,2,, k. Cotoh, utuk ekspasi (A + B + C), suku (6 A B ) meyataka ada 6 susua (permutasi-4) yag tersusu atas 2 huruf A da 2 huruf B, yaitu: AABB, ABAB, ABBA, BBAA, BABA, BAAB. Jika dibahas secara parsial, maka ilai koefisie,,, meyataka bayakya permutasi-, sedagka (x, x,, x ) meyataka komposisi usur-usur terhadap maa sejumlah permutasi tadi dibuat. 3. Berapa bayakya suku di ruas kaa pada ekspasi tersebut? Jawabya adalah sama dega bayakya sekuesi yag dibuat dari peyelesaia persamaa: + + + = ; + k 1 ()! 0, yaitu =. Sebagai cotoh, bayakya suku pada ekspasi k 1!()! (A + B + C) adalah ()! = 15.!()! 4. Berapa jumlaha koefisie di ruas kaa? Jawabya dapat ditetuka dega megisi setiap x = 1 utuk semua i = 1,2,.. k; maka ruas kiri meghasilka k da diperoleh idetitas:,,, = k 5. Apa yag dapat disimpulka dari pembahasa o 3 & 4? Jawab: bayakya permutasi- yag dihasilka dari {x, x,, x } adalah sebayak k ; da dari jumlah itu dapat dikelompokka ke dalam ()!!()! kelompok berdasarka komposisi usur-usur yag ada di dalamya. Utuk kasus (A + B + C) misalya, bayakya permutasi-4 yag dihasilka adalah 3 = 81 macam, da dapat dikelompokka ke dalam 15 kelompok (masig-masig kelompok memiliki komposisi huruf yag berbeda). Perhatika bahwa adalah ukura permutasi (misalya, bayakya huruf dalam suatu kata) da k adalah bayakya aggota himpua dari maa permutasi dibuat, yaitu {x 1, x 2,, x k }. Berdasarka macam elemeya, ada kelompok yag di dalamya memuat usur yag mucul lebih dari sekali (sehigga terjadi pegulaga), da ada kelompok yag semua usurya berbeda (tidak terjadi pegulaga). Kelompok yag disebutka terakhir haya aka terjadi jika Sutopo, Fisika UM 6 Ekspasi multiomial da permutasi/kombiasi

k. Sebagai cotoh, semua kelompok yag dihasilka dari (A + B + C) megadug pegulaga, sedagka yag dihasilka dari (A + B + C) ada kelompok yag tidak megadug pegulaga, yaitu kelompok dalam suku!!!! kelompok ii sebayak 3! = 6 macam; yaitu: ABC, BCA, CAB, ACB, CBA, BCA. ABC. Bayakya permutasi dalam Secara umum bisa ditujukka bahwa, jika = k, maka ada satu kelompok permutasi-, yag dihasilka dari (x, x,, x ), yag di dalamya tidak terjadi pegulaga. Kelompok itu mucul pada suku 1,1,,1 x x x (yaitu pada saat semua usur mucul satu kali). Bayakya permutasi pada kelompok ii adalah! = k!, seperti yag diduga!!! Jika < k maka ada suku (kelompok) yag memuat macam usur dari {x!()!, x,, x }, masig-masig mucul satu kali, sehigga dalam masig-masig kelompok itu tidak terjadi permutasi dega pegulaga (pembuktia diuraika pada omor 6 di bagia berikutya). Bayakya permutasi- pada setiap kelompok tersebut adalah!!!!! permutasi- yag tidak megadug pegulaga adalah! =!()! hasilya sebayak k! (seperti diyataka sebelumya) Dapat diragkum: =! Jadi, total bayakya! ()!. Jika = k, Bayakya permutasi- (yag tidak megadug pegulaga) yag dibuat dari suatu himpua yag beraggotaka k eleme, dilambagi P(k, ), adalah (SEPERTI YANG BANYAK DITULIS DALAM BUKU-KUKU TEKS!!!) k! (k)!. Sebagai cotoh, ambil kasus sederhaa misalya dari ekspasi (A + B + C), yaitu = 2 da k = 3. Ekspasi triomial itu adalah: (A + B + C) = 2 2,0,0 A + 2 0,2,0 B + 2 2,0,0 A + 2 2 2 AB + AC + BC 1,1,0 1,0,1 0,1,1 Ada!!! = 3 kelompok yag tidak megalami pegulaga (yaitu 3 suku terakhir). Total bayakya permutasi dari ketiga kelompok itu = 3!!! =!! 2! = 6. Pembuktia bahwa jika k maka ada!!()! dari {x, x,, x } dega masig-masig usur mucul satu kali.! ()! =! ()!. suku (kelompok) yag memuat macam usur Sebagaimaa telah dijelaska, bahwa bayakya suku pada ekspasi k-omial orde adalah ()!!()!, yag diperoleh dega meyelesaika persamaa + + + =, 0 dega meyataka pagkat dari x dalam suatu suku. Sutopo, Fisika UM 7 Ekspasi multiomial da permutasi/kombiasi

Dega argume serupa, persoala tadi dapat dipecahka dega meyelesaika persamaa: + + + =, 1, k Karea k maka ada macam yag berilai 1 da ada (k ) macam yag berilai 0. Salah satu susua yag memeuhi kodisi tersebut adalah sebagai berikut: 0 0 0. 0 1 1 1 1 sebayak k sebayak Bayakya permutasi dega komposisi seperti itu adalah ()! ()!! =! ()!! [TERBUKTI] 7. Apa yag terjadi jika uruta usur-usur dalam setiap susua tidak diaggap petig? Jika uruta tidak petig, maka semua susua (permutasi) yag dihasilka dalam setiap kelompok (suku) adalah sama, sehigga setiap suku dipadag sebagai satu susua. Jadi, dalam hal ii, bayakya susua yag dihasilka dari ekspasi adalah sama dega bayakya suku dalam ekspasi tersebut, yaitu ()!!()!. Jika suatu susua yag tidak memperhatika urutaya disebut kombiasi, maka bayakya kombiasi- yag dibetuk dari aggota-aggota himpua {x, x,, x }, adalah ()!!()! Bayakya kombiasi itu termasuk kombiasi dega pegulaga, yaitu suatu susua di maa palig sedikit ada satu usur {x, x,, x } yag mucul lebih dari sekali. Misal, ekspasi (A + B) meghasilka kombiasi: AA, BB, da AB. Dua yag disebut pertama adalah kombiasi dega pegulaga. Kombiasi tapa pegulaga haya aka terjadi jika k. Jika = k maka haya ada satu kombiasi, yaitu (x x x ) itu sediri. Utuk k, bayakya suku yag di dalamya tapa terjadi pegulaga adalah!!()! (sudah ditujukka di omor 6). Karea setiap suku meyataka suatu kombiasi- yag khas, maka bayakya kombiasi- yag dihasilka dari {x, x,, x } adalah!!()!. Selajutya ditulis secara k k!!()!. Sutopo, Fisika UM 8 Ekspasi multiomial da permutasi/kombiasi

KESIMPULAN: Dari ekspasi k-omial orde : Dapat diperoleh: (x + x + + x ) =,,, x x x, Kombiasi-: Sebayak ()!!()! susua, Masig-masig susua berbetuk x ( ) x ( ) x ( ) dega + + = Jika > k, semua susua yag dihasilka megadug pegulaga Jika k, ada!!()! megadug pegulaga susua yag tidak Permutasi-: Sebayak k susua, Yag dapat dikelompokka mejadi ()!!()! kelompok. Betuk umum tiap kelompok:,,, x x x dega + + = Jika > k, semua susua yag dihasilka megadug pegulaga Jika k, ada! ()! megadug pegulaga susua yag tidak Catata: Tulisa tersebut dibuat berdasarka pemikira logis semata, tidak merujuk pada kaedah/teorema matematika tertetu, karea peulis memag tidak tahu teori-teori itu, jika memag ada. Ii adalah pemikira bebas orag fisika yag mecoba memahami hakekat permutasi & kombiasi. Sutopo, Fisika UM 9 Ekspasi multiomial da permutasi/kombiasi