BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI 2. Ruag sampel da Kejadia Defiisi Himpua semua hasil yag mugki dari suau percobaa disebu ruag sampel da diyaaka dega S Mogomery, 2004: 7. Tiap hasil dari ruag sampel disebu usur aau aggoa ruag sampel ersebu aau dega isilah iik sampel. Cooh: Suau percobaa melauka sebuah dadu, bila yag diselidiki adalah kemugkia semua omor yag mucul maka ruag sampelya. S {,2,3,4,5,6} Defiisi 2 Kejadia adalah himpua bagia dari ruag sampel suau percobaa. Cooh: Uiversias Sumaera Uara

Misalka ruag sampel dari pelaua dua maa uag sebayak sau kali adalah S { mm, mb, bm, bb}, m meyaaka muka da b meyaaka belakag. Misalka himpua bagia dari percobaa yag meghasilka sau muka da sau belakag diyaaka sebagai beriku E { mb, bm} 2.2 Peluag Suau Kejadia Teori peluag mempelajari eag peluag erjadiya suau kejadia aau perisiwa.peluag diyaaka aara 0 da, Teorema Bila suau percobaa dapa meghasilka N macam hasil yag berkemugkia sama da bila epa sebayak dari hasil berkaia dega kejadia A, maka peluag kejadia A: P A A N 2.3 Peubah Acak da Disribusi Peluag 2.3. Peubah Acak Peubah acak adalah fugsi yag diyaaka dega bilaga real uuk seiap percobaa pada ruag sampel. Uiversias Sumaera Uara

Ada dua macam peubah acak, yaiu peubah acak diskri da peubah acak koiu. Dikaaka peubah acak diskri adalah jika semua himpua ilai yag mugki dari suau peubah acak merupaka himpua erbilag couable se. Dikaaka peubah acak koiu adalah jika himpua semua ilai yag mugki dari suau peubah acak merupaka selag bilaga real. 2.3.2 Disribusi Peluag Fugsi f x adalah suau fugsi peluag aau disribusi peluag suau peubah acak diskri X bila, uuk seiap hasil x yag mugki.. f x 0 2. f x 0 i 3. Pr X x f x i Defiisi 3 Disribusi kumulaif F x suau peubah acak diskri X dega disribusi peluag f x diyaaka oleh F x Pr X x i f x i Defiisi 4 Uiversias Sumaera Uara

Fugsi f x adalah fugsi pada peluag peubah acak koiu X, maka fugsi desias probabiliasya f x adalah sebagai beriku:. f x 0 uuk semua x R 2. f x dx 3. P a x b f d 0 Defiisi 5 Disribusi kumulaif Fx suau peubah acak koiu X dega fugsi pada peluag fx diyaaka oleh F x P X x 0 f x dx Defiisi 6 Misalka X, X 2,..., X peubah acak diskri maupu koiu dega disribusi pada peluagya f x, x,..., x da disribusi margial f x, f x,.., f x. Peubah 2 acak X X,..., X dikaaka salig bebas jika da haya jika, 2 2 2 Uiversias Sumaera Uara

f x, x2,..., x f x. f 2 x2,... f x Jika sampel radom yag berukura ersebu diuruka dalam suau urua aik maka disebu saisik eruru aau order saisik dari diyaaka dega X,..,, X 2 X. Misalka X, X 2,..., X X,...,, X 2 X da adalah sampel radom yag berukura da fugsi disribusi probabiliasya f x koiu da f x > 0, a < x < b maka fugsi desias probabilias dari saisik eruru ke-k< X k adalah: g k X k! k k [ F xk ] [ F xk ] f xk k! k! jika a < X k < b 2.4 Sejarah Teori Keadala Keadala adalah keadaa erbaik suau kerja pada periode yag dieuka uuk sebuah kompoe aau sisem, keadala didefiisika sebagai peluag kompoe aau suau sisem idak aka gagal pada waku. Ilmu keadala iu sediri dikembagka oleh A.K. Erla da C. Palm yag diguaka uuk megaasi masalah yag serig erjadi pada jariga elepo. Namu perkembaga duia elekroika yag mempuyai berbagai permasalaha yag rumi memaksa kosep keadala iu lebih dikembagka uuk memecahka masalahmasalah yag ada. Uiversias Sumaera Uara

Kosep keadala pada umumya diguaka pada waku yag berisiko iggi da membahayaka, coohya pada idusri peerbaga, kegagala yag medadak da kegagala yag erlalu serig saga membahayaka da berisiko iggi erjadiya kecelakaa. Dari segi ekoomi da mausiawi saga merugika, uuk iu diuu keadala sisem yag erbaik. 2.5 Kosep Dasar Disribusi Taha Hidup Fugsi-fugsi pada disribusi aha hidup merupaka suau fugsi yag megguaka variabel ereu. Waku hidup adalah ierval waku yag diamai dari suau idividu saa perama kali masuk dalam pegamaa higga keluar dari pegamaa. Misalya pegamaa suau mahluk hidup. Variabel radom oegaif waku hidup koiu dioasika T da aka membeuk suau disribusi. Disribusi dari waku hidup dapa disajika sebagai fugsi beriku:. Fugsi Kepadaa Peluag Fugsi kepadaa peluag suau probabilias kegagala suau sisem dalam ierval waku dari sampai +, dega waku T merupaka variabel radom. Fugsi kepadaa peluag diyaaka dega. P T < + f x Lim 0 Waku hidup merupaka variabel radom oegaif, sehigga waku hidup haya diukur uuk ilai yag posiif, maka diperoleh Uiversias Sumaera Uara

0 f 0 uuk <0 da f d 2. Fugsi Taha Hidup Fugsi Taha hidup adalah peluag suau sisem beraha hidup lebih dari waku dega > 0 fugsi aha hidup diyaaka S S P T 0 f x dx F Dalam beberapa hal khususya yag mecakup aha hidup dari kompoekompoe idusri,. S diyaaka sebagai fugsi reliabilias. Dalam hal ii fugsi aha hidup S merupaka fugsi koiu meuru secara koiu dega S 0, ariya peluag suau sisem beraha hidup lebih lama dari waku ol adalah da S 0, ariya peluag suau sisem aau kompoe beraha hidup pada waku yag ak erhigga adalah 0. 3. Fugsi Kegagala Hazard Fucio Uiversias Sumaera Uara

Fugsi hazard adalah probabilias suau sisem aau kompoe gagal dalam ierval waku dari sampai +, jika dikeahui suau sisem aau kompoe ersebu masih dapa beraha hidup sampai dega waku maka fugsi hazard secara maemaika diyaaka sebagai: + < T T P h lim 0 2. Misalka f adalah fugsi desias probabilias pada waku, maka dari persamaa 2. diperoleh lim lim lim lim lim, 0 0 0 0 0 S F S F F F F F T P T P T P T T P T T P h + + + < + < + < Uiversias Sumaera Uara

h f S Fugsi kegagala dapa juga diuruka dega memisalka sebuah populasi yag mempuyai iem sebesar N dega disribusi kegagala F. Misal N sebuah variabel acak maka ilai dari peluag sukses iem pada waku aka membeuk disribusi biomial sebagai beriku: P N!! N! N [ N ] [ R ] [ R ] 0,,2,..., N Nilai harapa dari N adalah E [ N ] NR N [ N ], sehigga E N R 2.2 N N Maka fugsi disribusi kumulaif dapa diyaaka dega meguaka persamaa 2.2 diperoleh: F R N N N N N Uiversias Sumaera Uara

Da f df d N d N d 3. Fugsi Kegagala Fugsi hazard adalah probabilias suau sisem aau kompoe gagal pada waku sampai +, jika dikeahui sisem aau kompoe ersebu masih dapa beraha hidup sampai dega waku, maka fugsi hazard dapa diyaaka sebagai beriku N N + h lim 0 N N lim f 0 N f h 2.3 R \ Dari persamaa 2.3 didapa hubuga fugsi kegagala da aha hidup sebagai beriku Uiversias Sumaera Uara

d N h d d d N [ l N ] Aau l N h x dx + c 2.4 0 Karea N 0 N, maka diperoleh h x dx l N 0 N Sehigga exp h x dx 0 N R exp h x dx N 0 2.5 Dari uraia diaas diperoleh hubuga aara f, h, R sebagai beriku: i. f R Uiversias Sumaera Uara

ii. h f R iii. R exp h x dx. 0 Dega demikia dapa diliha bahwa keiga fugsi pada disribusi waku hidup yaiu f, h, da R salig berhubuga sau dega yag laiya. 2.6 Sisem Keadala Dalam kosep keadala juga erdapa beberapa sisem yag diyaaka uuk membau meeuka apakah suau sisem gagal secara oal aau idak. Dalam suau proses idak mudah meeuka krieria-krieria kegagala dalam sisem ersebu. Sebagai cooh perhaika sisem kegagala dalam sisem sebuah mobil. Jika idak dapa berjala, maka mobil ersebu diyaaka elah rusak aau gagal sisemya. Namu haruskah rusakya lampu depa sebuah mobil dikaaka kegagala sisem secara oal, walaupu mobil dapa diguaka pada cuaca cerah eapi idak dapa diguaka secara oal pada waku gelap aau pada malam hari. Oleh karea iu kerusaka sisem serig dikaaka oleh kegagala aau kerusaka dari kompoe-kompoeya. Uuk iu diberika iga sisem yag dapa dikaaka sebagai sisem dasar dari keadala sisem, yaiu sisem seri, sisem paralel, da sisem gabuga. Uiversias Sumaera Uara

2.6.. Sisem Keadala Seri Suau sisem dapa dibedaka dega susua seri jika komoe-kompoe yag ada dalam sisem iu harus bekerja da berfugsi seluruhya agar sisem ersebu sukses dalam mejalaka fugsiya. Aau dega kaa lai jika ada sau kompoe saja yag idak bekerja, maka aka megakibaka sisem ersebu gagal dalam mejalaka fugsiya. Secara diagram, sisem keadala seri dapa diliha pada gambar 2. 2 Gambar 2. Reliabiliy Block Diagram Diagram pada gambar 2. serig disebu Diagram Blok Keadala/ Reliabiliy Block Diagram RDB. Perlu diperhaika bahwa diagram iu idak mewakili seiap kompoe yag dihubugka secara seri, eapi meujukka bagaimaa kompoekompoe iu diperlakuka dari sudu padag keadala. Uiversias Sumaera Uara

Jika ada buah kompoe dalam susua seri da masig-masig memiliki ideks keadala R,..., R2 R, seperi erliha pada gambar 2., maka secara umum sisem keadala seri diyaaka sebagai beriku: R S R R2,... R i R i Sedagka ekspresi keakadala dari sisem dega susua seri dari buah kompoe adalah.: Q R S R i i 2.6.2. Sisem Keadala Paralel Pada sisem keadala paralel, kerusaka pada seiap kompoe dalam suau sisem idak aka meyebabka kerusaka sisem secara oal, aau serig disebu failure olera kerusaka yag dapa diolerir. Ada dua jeis dari sisem keadala paralel, yaiu sisem kelebiha reduda akif da kelebiha reduda pasif. Uiversias Sumaera Uara

Pada kelebiha akif, dua aau lebih ui dileakka dalam sisem keadala paralel dimaa secara ormal pembagia fugsi dilakuka eapi ui-ui ersebu diaur sedemikia higga jika sau ui aau mugki lebih megalami kerusaka, maka sisaya dapa megaika posisiya. Sebagai cooh adalah dua mesi pesawa erbag yag diakifka eapi idak meuup kemugkia pesawa uuk erbag dega sau mesi, apabila mesi yag sauya megalami kerusaka. Pada kelebiha pasif, sau ui secara ormal memegag fugsi secara peuh eapi jika ui ersebu megalami kerusaka, maka ui yag lai aka diakifka uuk megambil alih posisiya. 2.6.2.. Sisem Keadala Paralel Kelebiha Akif Misalka ada dua ui da 2 dihubugka dalam sisem paralel seperi erliha pada gambar 2.2 2 Gambar 2.2 Sisem Keadala Paralel Kelebiha Akif Sisem aka rusak apabila da 2 kedua-duaya megalami kerusaka. Keadala sisem didefeisika sebagai beriku, jika didefiisika Q keakadala sisem Uiversias Sumaera Uara

Maka Q P E E2 Dimaa E adalah kejadia idepede bebas sehigga diperoleh: Q i R i Jika peluag kegagala adalah idepede, maka fugsi sisem keadalaya adalah: R p R i i 2.6.2.2. Sisem Keadala Paralel Kelebiha Pasif Pada sisem keadala pasif, ui uama secara ormal membawa fugsi secara peuh da ui siaga 2 dibawa uuk diguaka keika ui uama megalami kerusaka. Secara sederhaa sisem keadala pasif dapa diujuka dalam gambar 2.3 Uiversias Sumaera Uara

2 Gambar 2.3 Sisem Keadala Paralel Kelebiha Pasif Cara uuk megaalisis sisem ii adalah harus memperimbagka bahwa sisem kegagala waku adalah variabel acak yag megadug jumlah dua variabel acak, yaiu kegagala waku da 2. Jika R + R exp λ 2 2.6.3. Kombiasi Sisem Seri da Paralel Kombiasi dari sisem seri da paralel dapa diselesaika dega meggabugka masig-masig subsisem ke dalam kompoe seri maupu paralel erlebih dahulu. Uuk lebih memahami sisem kombiasi seri-paralel, aka diberika cooh gambar 2.4 da 2.5. Uiversias Sumaera Uara

A C B D Gambar 2.4 sisem seri-paralel A C B D Gambar 2.5 sisem seri-paralel Uiversias Sumaera Uara

Dari kedua gambar, gambar 2.4 meujukka sisem keadala seri paralel. Uuk meyelesaika sisem gabuga ii perama-ama gabugka subsisem paralel kedalam beuk yag sama dega kompoe seri. Misalka: R 0,9, R 0,8, R 0,7, R 0, 8 A B C D Maka peyelesaia uuk gambar 2.4 dapa diuliska: R AB 0,0,2 0,02 0,98 Da R CD 0,390,4 0,2 0,88 Maka keadala sisem secara keseluruha adalah R S 0,980,88 0,8624 Uuk gabar 2.5 merupaka sisem keadala paralel-seri. Uuk meyelesaikaya perama-ama kia gabugka subsisem seri kedalam beuk yag sama dega kompoe paralel. Dega ilai keadala yag sama dega gambar 2.4, maka diperoleh peyelesaia sebagai beriku: Uiversias Sumaera Uara

R AC 0,90,7 0,63 Da R Bd 0,80,6 0,48 Sehigga keadala sisem secara keseluruha adalah: R S Rac RBd 0,63 0,48 0,370,52 0,924 0,8076 2.7 Daa Tersesor Dalam peyesora serig erjadi pegamaa yag dielii ersesor. Masalah peyesora ii merupaka suau hal yag membedaka aara uji hidup dega bidag ilmu saisik yag lai. Daa ersesor adalah daa yag diperoleh sebelum hasil yag diigika dari pegamaa erjadi, sedagka waku pegamaa elah berakhir aau oleh sebab lai. Uiversias Sumaera Uara

Ada iga macam meode yag serig diguaka dalam percobaa uji hidup, yaiu sebagai beriku:. Sampel legkap, dalam uji sampel legkap percobaa aka diheika jika semua kompoe yag diuji elah mai aau gagal. Cara seperi ii mempuyai keuuga yaiu dapa dihasilka observasi eruru dari semua kompoe yag diuji. 2. Sesor ipe I, semua objek yag dielii masuk pegujia dalam waku yag bersamaa, da pegujia diheika seelah baas waku yag dieuka. Kelemaha dari sesor ipe I ii bila erjadi sampai baas waku 0 yag dieuka semua objek masih hidup sehigga idak diperoleh daa aha hidup dari objek yag dielii 3. Sesor ipe II, semua objek yag dielii masuk pegamaa dalam waku yag bersamaa, da pegujia diheika seelah medapaka r objek gagal aau mai, dega r. Kelemaha dari sesor ipe II ii adalah waku yag diperluka uuk medapaka r objek yag maibisa erjadi saga pajag, eapi pasi diperoleh daa aha hidup dari r objek ersebu. 2.8 Disribusi Uuk kosep kemugkia suau sisem aau kompoe megalami kerusaka p seelah bekerja selama waku. Kemugkia bahwa peralaa ersebu aka eap bekerja seelah bekerja pada waku adalah q p. Bila ada ala, kemugkua bahwa ada x ala gagal uuk kejadia muually exclusive diyaaka dega fugsi Berouli yaiu: Uiversias Sumaera Uara

f x! p x! x! x x q Jika x adalah variabel acak biaomial dega parameer p peluag suau sisem aau kompoe megalami kerusaka da bayakya observasi maka mea da varias disribusi biomial diyaaka sebagai beriku: 2 µ p da σ p p pq Misalka x adalah variabel acak yag mempuyai disribusi biomial, dimaa p adalah peluag kegagala suau sisem aau kompoe. Misalka diyaaka sebagai beriku λ p, maka dapa P X λ x x x λ x Adaika ilai semaki besar da ilai p saga kecil, maka dapa diujuka sebagai beriku lim P X α λ x e λ x x! Persamaa ii disebu persamaa disribusi poiso Uiversias Sumaera Uara

Adaika p besar da juga besar disribusi biomial aka membeuk disribusi ormal yag diyaaka sebagai beriku: f x µ 2 2σ x e 2τ 2.9 Disribusi Kerusaka 2 Didalam meeuka disribusi kerusaka idak ada aura-aura yag mulak uuk memakai hubuga maemaik ereu pada disribusi ersebu. Ii harus didasarka pada kosep yag palig cocok. Beberapa disribusi kerusaka aara lai:. Disribusi Ekspoesial f λe λ Dimaa, λ laju kegagala 2. Disribusi Weibull f β β α β exp α χ, > 0 Dimaa: waku Uiversias Sumaera Uara

β parameer beuk α parameer skala 3. Disribusi Gamma f Γ r r λ r λ e Dimaa: λ Parameer skala η Parameer beuk Waku Dega mea da varias η 2 µ EX da σ V X η 2 λ λ Fugsi reliabilias R k λ e! k 0 k λ Fugsi laju kegagala Uiversias Sumaera Uara

h f R 2.0 Prisip Dasar Meode Maximum Likelihood Meode maximum likelihood perama dibahas oleh R.A Fisher pada ahu 920, misalka x, x2,... x, meyaaka peubah acak yag salig bebas dega fugsi pada peluagya diyaaka dega f x, θ dega θ parameer yag aka diaksir dega meode maximum likelihood, maka fugsi pada peluagya adalah: f x, x,,.. x, θ f x, θ. f x i L θ x, x L θ f x, θ i 2 2,... x, θ... f x θ Dega: x, x2,... variabel radom x θ parameer yag diaksir L θ fugsi likelihood Peduga maximum likelihood dari θ didapa dega meyelesaika l θ persamaa 0 θ Uiversias Sumaera Uara