Bagian Turunan Parsial Bagian Turunan Parsial mempelajari bagaimana teknik dierensiasi diterapkan untuk ungsi dengan dua variabel atau lebih. Teknik dierensiasi ini tidak hana akan diterapkan untuk ungsi-ungsi ang tergantung kepada nilai dan nila saja, tapi juga untuk ungsi-ungsi ang tergantung kepada nilai, nilai, dan nilai z. Tentu saja dalam bagian ini, kemampuan teknik dierensial untuk ungsi satu variabel ang telah anda dapatkan dalam Matematika Teknik sangat bermanaat. Pengetahuan pada Bagian ini diharapkan memberikan sedikit inormasi kepada Anda, bahwa teknik turunan parsial dapat digunakan untuk menelesaikan persoalan dalam bidang tiga dimensi. Sebagai contoh, bahwa volume kotak ang minimum atau maksimum dapat diketahui dengan menerapkan teknik turunan parsial Kompetensi ang diharapkan setelah Anda menelesaikan Bagian Turunan Parsial adalah Anda akan mampu melakukan proses dierensial pada ungsi dua variabel atau lebih dan menerapkanna pada persoalan minimum dan maksimum ungsi.. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Beberapa persamaan ang digunakan dalam matematika atau cabang ilmu lain sangat tergantung kepada dua variabel atau lebih. Sebagai contoh, persamaan garis lurus m + sangat tergantung kepada nilai m dan nilai., persamaan volume benda V p l t sangat tergantung pada panjang, lebar, dan tebal benda, atau persamaan nilai rata-rata ( + + +...+ n /n sangat tergantung pada nilai sampai n. Sehingga dapat dikatakan Y adalah ungsi dua variabel m dan V adalah ungsi tiga variabel p, l, dan t adalah ungsi n variabel,,,..., n Notasi ang digunakan untuk menatakan ungsi dua variabel atau lebih adalah sama seperti notasi untuk ungsi satu variabel. Persamaan z (,. mengandung arti z adalah ungsi ang tergantung kepada nilai dan nilai. Hal ang sama jika kita mempunai persamaan w (,, z. mengandung arti bahwa w adalah ungsi ang bergantung kepada nilai, nilai, dan nilai z. Matematika Teknik /Turunan Parsial 7
Graik ungsi dua variabel dapat digambarkan pada bidang atau pada sistem koordinat kartesius, sedangkan graik ungsi tiga variabel dapat digambarkan pada bidang z atau bidang dimensi Contoh. Buatlah sketsa graik ungsi Penelesaian: Sb. Sb. Contoh. Buatlah sketsa graik ungsi (, 0,5 Penelesaian: Sb. z (0,0, z--0,5 (,0,0 (0,,0 Sb. Sb. Contoh. Buatlah sketsa graik ungsi (, + 0,5 Matematika Teknik /Turunan Parsial 8
Penelesaian: Sb. z z +0,5 z k Sb. +0,5 k Sb. Latihan Soal. Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatna untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir ang benar. Selamat berlatih...!!!. Misalkan (, +. Tentukan (,- dan (a,a. Misalkan (, +. Tentukan (+, - dan (,. Buatlah sketsa graik ungsi (,. Buatlah sketsa graik ungsi 5. Buatlah sketsa graik ungsi + (, (, 9. Turunan Parsial Jika adalah ungsi dua atau lebih variabel bebas, dan satu dari variabel tersebut merupakan nilai ang tetap, maka turunan terhadap variabel tetap tersebut dinamakan turunan parsial ungsi. Misalkan merupakan ungsi dari nilai dan nilai. Jika kita pandang nilai sebagai konstanta dan nilai sebagai variabel, maka (, 0 adalah ungsi ang tergantung kepada nilai saja. Sehingga nilai turunan dinotasikan 0,. ( 0 Dan dinamakan turunan parsial ungsi terhadap pada titik ( 0, 0. Interpretasi geometrik dari turunan parsial ini dapat kita lihat pada Gambar. berikut. Matematika Teknik /Turunan Parsial 9
Sb. z Sb. P z(, 0 C Slope ( 0, 0 ( 0, 0 0 Sb. Gambar. Misalkan P adalah titik potong antara permukaan z ((, dan bidang 0. Jika adalah konstanta pada 0 dan merupakan nilai ang bervariasi, maka titik P akan bergerak sepanjang kurva C ang merupakan perpotongan permukaan dengan bidang vertikal 0. sehingga turunan parsial ( 0, 0 dapat diinterpretasikan sebagai kemiringan garis singgung kurva C pada titik ( 0, 0. Nilai ( 0, 0 ang dihasilkan merupakan nilai pada sembarang titik (,. Untuk menghasilkan (, kita melakukan proses turunan pada terhadap nilai dengan menganggap nilai sebagai konstanta. Sebalikna, untuk menghasilkan (, kita melakukan proses turunan terhadap nilai dengan menganggap nilai sebagai konstanta. Contoh. Carilah turunan parsial ungsi titik (, (, + + terhadap dan pada Penelesaian: Anggaplah sebagai konstanta, maka akan didapatkan turunan ungsi terhadap (, 6 +... (, 6( ( + 8 Anggaplah sebagai konstanta, maka akan didapatkan turunan ungsi terhadap (, +... (, ( ( + 0 Matematika Teknik /Turunan Parsial 0
Penulisan untuk menatakan turunan parsial ungsi terhadap dan penulisan untuk menatakan turunan parsial ungsi terhadap kadangkala membuat bingung. Untuk itu penulisan simbol turunan parsial dilakukan seperti di bawah ini., (, ( z dan z. Contoh.5 Carilah turunan parsial ungsi z sin ( terhadap dan terhadap Penelesaian Turunan parsial ungsi z terhadap adalah [ ] [ ] sin(. (. sin( sin( z + (.cos( sin( z +.cos( sin( z + Dengan cara ang sama, turunan parsial ungsi z terhadap adalah cos( 5 z Seperti pada penelesaian turunan biasa, turunan parsial juga mengenal turunan tingkat tinggi, aitu turunan parsial ang dilakukan beberapa kali. Untuk turunan tingkat dua dinotasikan sebagai.5.6 Atau secara umum dapat dinatakan n n n n.7 Contoh.6 Carilah turunan kedua ungsi (, + Penelesaian: Turunan pertama ungsi terhadap dan adalah + + Matematika Teknik /Turunan Parsial
Sehingga ( + ( + ( + ( 6 ( + ( 6 + ( + ( 6 + Latihan Soal. Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatna untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir ang benar. Selamat berlatih...!!!. Tentukan. Tentukan z dan z dan z / 5 untuk ungsi z ln( + untuk ungsi ( z e sin z 5. Tentukan,,, dan untuk ungsi (, +. Tentukan,,, dan untuk ungsi (, e cos 5. Tentukan,,, dan untuk ungsi (,. Arah Turunan dan Gradien Fungsi Dua Variabel Turunan parsial (, dan (, mempresentasikan perubahan kecepatan ungsi (, pada arah paralel dengan sumbu koordinat dan. Sebagai contoh, jika kita berdiri ( 0, 0,z 0 pada bidang lengkung dan kemudian berjalan pada arah sembarang, maka permukaan z (, akan mempunai kemiringan ang berbeda dari titik ( 0, 0,z 0 pada permukaan tersebut. Deinisi: Jika (, dapat diturunkan pada ( 0, 0, dan jika u (u,u adalah vektor unit, maka arah turunan ungsi (, pada titik ( 0, 0 dalam arah vektor u dideinisikan D u 0, 0 ( 0, 0 u + ( 0, 0 ( u.8 Contoh.7 Tentukan arah turunan ungsi (, di titik (, pada arah vektor a i + j Matematika Teknik /Turunan Parsial
Penelesaian Vektor a bukan vektor unit, sehingga vektor unit a adalah a u (i + j i + j atau u /5 dan u /5 a 5 5 5 Turunan parsial ungsi terhadap dan adalah (, 6 (, (, (, Jadi arah turunan ungsi adalah D u (, (, u + (, u u + u + 5 5 8 5 Persamaan arah turunan Du (, (, u + (, u dapat dinatakan dalam bentuk dot product ang ditulis D ( (, i + (, j(. u i u j (, +.9 u Vektor kedua dari dot product tersebut dinamakan gradien dari ungsi (, dan diberi simbol. Deinisi: Jika adalah ungsi ang tergantung pada dan, maka gradien dari ungsi dideinisikan (, (,i + (, j.0 Contoh.8 Tentukan gradien ungsi soal.7 Penelesaian: (, (,i + (, j 6i + j Sehingga gradien pada titik (, adalah (, 6((i + ( j i + j Latihan Soal. Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatna untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir ang benar. Selamat berlatih...!!! Tentukan arah turunan ungsi di titik P pada arah vektor a. (, P(, a i j. (, ln P(, a - i + j. (, + P(-,0 a i + j Tentukan D u ungsi pada titik P Matematika Teknik /Turunan Parsial
. (, ( + / P(, u / i + / j 5. (, ln (+ + P(0,0 u -/ 0i - / 0j. Arah Turunan dan Gradien Fungsi Tiga Variabel Materi pada bagian sebelumna akan kita perluas untuk ungsi tiga variabel. Perbedaan mendasar antara ungsi dua variabel dengan ungsi tiga variabel adalah bahwa graik ungsi z (, mempresentasikan sebuah permukaan pada bidang tiga dimensi, sedangkan graik ungsi w (,,z tidak mempunai interpretasi apapun. Teori dan deinisi untuk ungsi tiga variabel dikembangkan dari prinsip dasar ungsi dua variabel. Deinisi: Sebuah ungsi tiga variabel dapat diturunkan pada ( 0, 0,z 0 jika turunan parsial ( 0, 0,z 0, ( 0, 0,z 0, dan z ( 0, 0,z 0 ada, dan Δ ( 0 + Δ, 0 + Δ,z 0 + Δz ( 0, 0,z 0. Persamaan tersebut jika ditulis dalam bentuk lain menjadi Δ ( 0, 0,z 0 Δ + ( 0, 0,z 0 Δ + ( 0, 0,z 0 Δz + ε Δ + ε Δ + ε Δz. ε, ε, ε adalah ungsi dari Δ, Δ, Δz. Arah turunan dari ungsi tiga variabel pada titik ( 0, 0,z 0 ang searah dengan vektor u(u,u,u dideinisikan sebagai D u 0, 0, z0 ( 0, 0, z0 u + ( 0, 0, z0 u + z ( 0, 0, z0 ( u. Sedangkan gradien dari ungsi tiga variabel dideinisikan sebagai (,,z (,,zi + (,,zj + z (,,zk. Contoh.9 Tentukan arah turunan ungsi (,,z z + z pada titik P(,-,0 ang sesuai arah vektor a i + j k Penelesaian: (,,z z + z Jika ungsi diturunak secara parsial terhadap,, dan z akan didapat (,,z (,,z z z (,,z z + (,,z i + ( z j + ( z + k (,-,0 -i + j + k Unit vektor dari vektor a adalah a u (i + j k i + a 9 j k Matematika Teknik /Turunan Parsial
Sehingga arah turunan ungsi adalah D u (,,0 (,,0. u + + Latihan Soal. Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatna untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir ang benar. Selamat berlatih...!!! Tentukan gradien ungsi pada titik P dan gunakan untuk menghitung D u di P. 5 (,, z z P(,-, u /i + /j /k. (,, z e + z P(0,, u /7i /7j + 6/7k. (,, z ln( + + z P(-,, u -/i - /j /k Tentukan arah turunan pada titik P ang sesuai ara vektor a. (,, z z + z P(,-, a i j + k 5. 6. (,, z + z P(-,, a i j k z (,, z P(,0,- a - 6i + j - k z +.5 Nilai Minimum dan Maksimum Fungsi Dua Variabel Dalam buku Matematika Teknik telah dikemukan bagaimana menentukan nilai minimum dan maksimum dari ungsi satu variabel. Konsep ang sama dapat kita terapkan untuk mendapatkan nilai minimum dan maksimum ungsi dua variabel. Karena ungsi dua variabel merupakan permasalahan tiga dimensi, maka nilai minimum dan maksimum ungsi merupakan permasalahan tiga dimensi juga. Untuk mengerti konsep nilai minimum dan maksimum ungsi dua variabel ini, sebaikna anda memahami uraian berikut. Cobalah anda baangkan bahwa saat ini anda sedang berdiri di atas perbukitan lalu anda melihat sekelilingna. Lingkungan sekeliling ang anda lihat akan berupa puncak-puncak gunung, puncak-puncak bukit, lembah-lembah, ngarai-ngarai, dan lain-lain. Hal itu semua menandakan bahwa ada bagian tertinggi dan ada bagian terendah dari permukaan ang anda lihat. Jika seandaikna permukaan bumi ang berupa gunung, bukit, dan lembah tersebut kita misalkan sebagai ungsi z (,, maka puncak gunung tertinggi merupakan nilai absolut maksimum dan lembah terdalam merupakan nilai absolut minimum ungsi z (,. Sebuah ungsi dua variabel dikatakan mempunai relati maksimum pada titik ( 0, 0 jika ada sebuah lingkaran ang berpusat di ( 0, 0 sehingga berlaku ( 0, 0 > (, untuk semua nilai (, dalam domain, dan ungsi dikatakan mempunai absolut maksimum di ( 0, 0 jika ( 0, 0 > (, untuk semua nilai (, dalam domain. Matematika Teknik /Turunan Parsial 5
Sebuah ungsi dua variabel dikatakan mempunai relati minimum pada titik ( 0, 0 jika ada sebuah lingkaran ang berpusat di ( 0, 0 sehingga berlaku ( 0, 0 < (, untuk semua nilai (, dalam domain, dan ungsi dikatakan mempunai absolut minimum di ( 0, 0 jika ( 0, 0 < (, untuk semua nilai (, dalam domain. Teorema (Uji parsial satu Jika ungsi mempunai sebuah relati ekstrim pada titik ( 0, 0, dan jika turunan parsial pertamana ada pada titik tersebut, maka ( 0, 0 0 dan ( 0, 0 0.5 Teorema (Uji parsial kedua Jika ungsi mempunai turunan parsial kedua ang kontinu dalam lingkaran ang berpusat pada titik kritis ( 0, 0, dan misalkan D ( 0, 0. ( 0, 0 ( 0, 0.6 a. Jika D > 0 dan ( 0, 0 > 0, maka ungsi mempunai relati minimum di ( 0, 0 b. Jika D > 0 dan ( 0, 0 < 0, maka ungsi mempunai relati maksimum di ( 0, 0 c. Jika D < 0, maka ungsi mempunai saddle point di ( 0, 0 d. Jika D 0, maka tidak ada kesimpulan untuk digambarkan. Contoh.0 Cari lokasi relati ekstrim dan saddle point ungsi (, + 8 Penelesaian: Turunan parsial ungsi terhadap dan adalah (, 6 (, + 8 Titik kritis didapat dengan cara membuat nilai turunan sama dengan nol, sehingga didapat persamaan 6 0 + 8 0 Penelesaian persamaan di atas akan mendapatkan dan 6 sehingga titik (,6 merupakan titik kritis ungsi (,. Untuk menentukan relati ekstrim kita perlu menurunkan sekali lagi ungsi (, (, 6 (, (, Pada titik (,6 akan didapat D (,6. (,6 (,6 6. ( 8... > 0 Karena D > 0 dan (, 6 > 0 maka ungsi tersebut mempunai relati minimum pada titik (,6 Matematika Teknik /Turunan Parsial 6
Latihan Soal.5 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatna untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir ang benar. Selamat berlatih...!!! Cari relati minimum, relati maksimum, dan saddle point ungsi berikut. (, + +. (, +. (, +. (, + e 5. (, e sin.6 Pengali Lagrange (Lagrange Multiplier Dalam subbab ini anda dikenalkan dengan istilah konstren (contraint. Permasalahan lain dalam ungsi dua variabel adalah bagaimana menentukan nilai maksimum atau minimum ungsi (, akibat konstren g(, 0, sedangkan permasalahan ungsi tiga variabel adalah bagaimana menentukan nilai maksimum dan minimum ungsi (,,z akibat konstren g(,,z 0. Satu cara untuk mengatasi permasalahan tersebut adalah menelesaikan persamaan konstren dan mengsubstitusikan hasilna dalam ungsi. Fungsi hasil substitusi tersebut dapat berupa ungsi dua atau tiga variabel, ang selanjutna dapat dimaksimalkan atau diminimalkan dengan cara menentukan titik kritisna. Namun demikian, jika persamaan konstren sangat rumit untuk diselesaikan dalam satu variabel, maka kita akan memerlukan teknik lain. Pada bagian ini, kita akan mempelajari teknik lain tersebut, ang dikenal dengan metode Pengali Lagrange (Lagrange Multiplier. Misalkan kita mempunai problem bagaimana meminimalkan atau memaksimalkan ungsi (, akibat konstren g(, 0. Graik dari g(, biasana merupakan beberapa kurva C pada bidang. g(,0 ( 0, 0 C Gambar. Matematika Teknik /Turunan Parsial 7
Secara geometrik, kita akan menentukan nilai maksimum atau nilai minimum ungsi (, di atas kurva konstren C. Jika ( 0, 0 adalah titik pada kurva konstren C, maka kita dapat mengatakan bahwa (, mempunai sebuah constrained relative maimum di titik ( 0, 0 jika ada sebuah lingkaran ang berpusat di ( 0, 0, sehingga berlaku ( 0, 0 > (,.7 untuk sembarang titik (, pada C dalam lingkaran tersebut. Kita misalkan ungsi dan dan ungsi g adalah ungsi dua variabel dan turunan parsial pertamana adalah kontinu pada selang dimana mempunai kurva konstren g(,0 dan diasumsikan bahwa g 0 pada sembarang titik di kurva tersebut. Jika ungsi mempunai constrained relative maimum, dan nilai maksimum tersebut berada pada titik ( 0, 0 dimana gradien vektor ( 0, 0 dan g( 0, 0 adalah paralel, maka terdapat sebuah bilangan λ, ang disebut Lagrange multiplier (pengali Lagrange sehingga berlaku ( 0, 0 λ g( 0, 0.8 Contoh. Pada titik koordinat berapa pada lingkaran + sebuah ungsi mempunai nilai maksimum? Penelesaian: Kita mempunai ungsi (, akibat konstren g(, + 0 i + j dan g i + j Dari persamaan gradien tersebut dapat dikatakan bahwa g 0 pada sembarang titik di lingkaran +, dengan kata lain dapat dinatakan bahwa ada sebuah constrained relative etremum λ g atau i + j λ (i + j Persamaan tersebut ekivalen dengan persamaan λ dan λ atau dapat ditulis λ dan λ. Jika persamaan ini disubstitusikan, akan didapat atau. Substitusikan persamaan pada + akan didapat 0 atau dan. Jika kedua nilai tersebut kita substitusikan pada persamaan, kita akan mendapatkan ±. Sehingga terdapat empat koordinat ang kemungkinan terdapat nilai maksimumna, aitu:,,,, Dari empat koordinat tersebut, ang mempunai nilai maksimum hana koordinat dan Matematika Teknik /Turunan Parsial 8
, dan, Latihan Soal.6 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatna untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir ang benar. Selamat berlatih...!!! Gunakan Lagrange multiplier untuk menentukan nilai maksimum atau minimum ungsi akibat konstren ang diberikan, dan tentukan koordinat titik maksimum atau minimumna.. (, + 8 6. (, + 5. (, + +. (, + 6 5. (, + z + + z Matematika Teknik /Turunan Parsial 9