PENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT

PENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT DIKTAT Oleh: Rippi Maya Eliva Sukma Cipta PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 016

Kata Pegatar Diktat ii disusu sebagai baha ajar kuliah Matematika Diskrit ( SKS) di program studi Pedidika Matematika UIN-SGD Badug. Ada 3 Bab dalam diktat ii. Bab I berisi tetag Iduksi Matematik. Pada bab ii aka dibahas beberapa prisip iduksi matematik (PIM), yaitu sederhaa, yag dirampatka da kuat. Bab II tetag Rekuresi. Pada bab ii, aka dibahas tetag barisa yag terdefiisi secara rekursif da relasi rekuresi. Bab III tetag Prisip Peghituga, yag haya aka membahas kaidah pejumlaha da perkalia, prisip iklusi eksklusi, da prisip sarag merpati. Diktat ii masih jauh dari sempura. Oleh sebab itu, agar mahasiswa dapat memahami secara keseluruha materi Matematika Diskrit, maka hedakya mahasiswa membaca buku Matematika Diskrit dari sumber lai yag lebih legkap. Namu, dega segala keterbatasaya, diktat ii diharapka dapat bermafaat bagi mahasiswa khususya da pembaca pada umumya. Badug, September 016 Peulis Rippi Maya rippimaya@gmail.com Eliva Sukma Cipta elivasukmacipta@gmail.com i

DAFTAR ISI Kata Pegatar. i Daftar Isi... ii BAB 1 INDUKSI MATEMATIK 1 1.1 Prisip Iduksi Sederhaa...1 1. Prisip Iduksi yag Dirampatka.8 1.3 Prisip Iduksi Kuat.1 1.4 Betuk Iduksi Secara Umum. 16 BAB REKURSI...19.1 Barisa yag Terdefiisi secara Rekursif.... 19. Solusi Rekuresi yag Berkaita dega Poliom Karakteristik 6.3 Solusi Relasi Rekuresi: Fugsi Pembagkit... 3 BAB 3 PRINSIP PENGHITUNGAN.. 37 3.1 Kaidah Peumlaha da Perkalia..37 3. Prisip Iklusi-Eksklusi......... 4 3.3 Prisip Sarag Burug Merpati...53 DAFTAR PUSTAKA 60 ii

BAB I INDUKSI MATEMATIK Iduksi matematik merupaka salah satu metode pembuktia yag baku di dalam matematika, yag meyataka kebeara dari suatu peryataa tetag semua bilaga asli atau kadag-kadag semua bilaga bulat. Metode pembuktia ii sagat petig dalam matematika. Beberapa Prisip Iduksi Matematik (PIM) yag perlu diketahui: 1. Sederhaa. Yag dirampatka (geeralized) 3. Kuat 1.1 Prisip Iduksi Sederhaa Prisip Iduksi Sederhaa Misal P ( ) adalah suatu proposisi (peryataa) tetag bilaga bulat positif. Aka dibuktika bahwa P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif. Utuk membuktika P ( ) bear, cukup ditujukka: (i) P(1) bear, (ii) Jika Pbear, ( ) maka P ( 1) juga bear utuk setiap 1, sehigga P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif. Tahap (i) dalam pembuktia disebut basis iduksi, semetara tahap (ii) disebut lagkah iduksi. Asumsi yag dikemukaka dalam tahap (ii) disebut sebagai hipotesis iduksi. Cotoh 1.1: Dega iduksi matematik, buktika bahwa: ( 1)( ) 1 3 1, utuk semua 1. 3 Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

Bukti : Misalka Basis Iduksi: Utuk 1: Ruas kiri: ( 1)( ) P( ) :1 3 1, utuk semua 1. 3 1(), da Ruas kaa: 1()(3) 3 Karea kedua ruas berilai sama, maka P (1) bear. Lagkah Iduksi: Hipotesis iduksi: Adaika Aka dibuktika P ( ) bear, yaitu: bear, yaitu ( 1)( )( 3) 1 3 1 ( 1)( ). 3 Lagkah-lagkah pembuktiaya sebagai berikut: Jadi P ( 1) bear utuk setiap 1. ( 1)( ) 1 3 1 3 P ( 1) ( 1)( ) 1() (3)... ( 1) ( 1)( ) ( 1)( ) 3 ( 1)( ) 3( 1)( ) 3 ( 1){ ( ) 3( )} 3 ( 1)( 5 6) ( 1)( )( 3) 3 3 Kesimpula: Karea P(1) da P(+1) bear utuk setiap 1, maka P ( ) juga bear utuk semua bilaga bulat positif. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

3 Cotoh 1.: Dega megguaka iduksi matematik buktika bahwa: ( 1)( 1) 1 3 5... (1), utuk semua 1. 3 Bukti: ( 1)( 1) Misalka P( ) : 1 3 5... ( 1), utuk semua 1. 3 Basis iduksi: Utuk 1: Ruas kiri: 1 (1) 1 (1) 1 1 1 3 (1) 1 1 da ruas kaa: 1. 3 3 Lagkah-lagkah pembuktiaya sebagai berikut: Karea kedua ruas berilai sama, maka bear. Lagkah iduksi Hipotesis iduksi: Adaika bear yaitu ( 1)( 1) 1 3 5... ( 1). 3 Aka dibuktika + juga bear, yaitu 1 1 3 1 3 5... 1 1 1 1 1 3 5... 1 1 1 3 1 1 3 1 3 3 1 1 3 1 3 1 5 3 3 1 1 3 3 11 3 3 Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

4 Jadi P ( 1) bear utuk setiap 1. Kesimpula: Karea P (1) da P ( 1) terbukti bear utuk setiap 1, utuk semua bilaga bulat positif 1. maka P bear Cotoh 1.3: Dega iduksi matematik, buktika bahwa 1. 1 habis dibagi 3, utuk semua Bukti: Misalka P ( ) : 1 habis dibagi 3, utuk semua 1. Basis Iduksi: (1) Utuk 1: 1 4 1 3 adalah kelipata 3 yag habis dibagi 3. Jadi P(1) bear. Lagkah Iduksi: Hipotesis Iduksi: adaika P ( ) bear, yaitu 1 habis dibagi 3, utuk semua 1, maka terdapat k, sehigga 13 k. Aka dibuktika P ( 1) bear, yaitu 1 habis dibagi 3, utuk semua 1. ( 1) Lagkah-lagkah pembuktiaya sebagai berikut: ( 1) 1 1 4. 1 Berdasarka hipotesis iduksi, 1 habis dibagi 3 da 3. adalah (3 1) 1 kelipata 3 yag habis dibagi 3, sehigga jumlah dibagi 3. Jadi P ( 1) bear utuk setiap 1. 3. 1 3. da 1 juga habis Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

5 Kesimpula: Karea P (1) da P ( 1) terbukti bear utuk setiap 1, maka P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif 1. Cara lai utuk lagkah iduksi: Karea 1 3 k, k, maka 1 3k 3k1, sehigga Karea 3 4k 1 adalah kelipata 3 yag habis dibagi 3, maka P ( 1) bear utuk setiap 1. ( 1) 1 1 4. 1 4 3k 1 1. 1k 3 3 4k 1 Kesimpula: Karea P (1) da P ( 1) terbukti bear utuk setiap 1, maka P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif 1. Cotoh 1.4: Dega iduksi matematik, buktika bahwa 1. Bukti: 3 1 habis dibagi 8, utuk semua Misalka P ( ) : 3 1 habis dibagi 8, utuk semua 1. Basis Iduksi:.1 Utuk 1: 3 1 9 1 8 habis dibagi 8. Jadi P(1) bear. Lagkah Iduksi: Adaika P ( ) bear, yaitu 3 1 habis dibagi 8, utuk semua 1 (hipotesis iduksi). Maka terdapat bilaga bulat k, sehigga 3 18k. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

6 Aka dibuktika P ( 1) bear utuk semua 1 1, yaitu 3 1 habis dibagi 8. Lagkah-lagkah pembuktiaya sebagai berikut: ( 1) 3 1 3 1 9.3 1 Berdasarka hipotesis iduksi, 3 1 habis dibagi 8 da 3. 3 adalah (8 1)3 1 3. 3 3 1 kelipata 8 yag habis dibagi 8, sehigga jumlah 3. 3 da 3 1 dibagi 8. Jadi P ( 1) bear utuk setiap 1. juga habis Kesimpula: Karea P (1) da P ( 1) terbukti bear utuk setiap bilaga bulat positif 1, maka P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif 1. Cara lai utuk lagkah iduksi: Karea 3 1 8 k, k, maka 3 1 8k 3 8k1, sehigga Karea 8 9k 1 adalah kelipata 8 yag habis dibagi 8, maka P ( 1) bear utuk setiap bilaga bulat positif 1. ( 1) 3 1 3 1 9.3 1 9 8k 1 1. 7k 8 8 9k 1 Kesimpula: Karea P (1) da P ( 1) terbukti bear utuk setiap bilaga bulat positif 1, maka P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif 1. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

7 Soal-soal Latiha Buktika peryataa berikut ii dega megguaka iduksi matematik 1.. 1 1 1 3..., 1. 6 1 1 a 1 a a... a, 1 a 3. 4 6... ( 1), 1. 4. 31 1 4 7... (3 ), 1. 5. 4... utuk semua 0 da a 1. 1 1 3, 1. ( 1) 6. (a) 1 3..., utuk setiap bilaga asli. 3 3 3 3 ( 1) (b) 1 3..., utuk setiap bilaga asli. 4 (c) Guaka hasil pada soal (a) da (b) utuk meyataka bahwa 3 3 3 3 1 3... 1 3..., utuk semua 1. 7. 8. 3 habis dibagi, utuk 1. habis dibagi 3, utuk 1. 9. 8 3 habis dibagi 5, utuk 1. 10. 5 1 habis dibagi 4, utuk 1. 11. 3 5 habis dibagi 6, utuk semua. 1. 7 habis dibagi 5, utuk setiap. 3 3 3 13. 1 habis dibagi 9, utuk 1. 14. 1 10 10 1 habis dibagi 3, utuk 1. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

8 1. Prisip Iduksi yag Dirampatka Prisip Iduksi yag Dirampatka (geeralized) Misal P ( ) adalah proposisi (peryataa) tetag bilaga bulat. Aka dibuktika P ( ) bear utuk semua bilaga bulat 0. Utuk membuktika P ( ) bear, cukup ditujukka: (i) P ( 0) bear, (ii) Jika P ( ) bear, maka P ( 1) juga bear utuk setiap 0, sehigga P ( ) bear utuk semua bilaga bulat 0. Cotoh 1.5: Dega iduksi matematik buktika bahwa! positif 4., utuk semua bilaga bulat Bukti: Misal P():!, utuk semua bilaga bulat positif 4. Basis iduksi: Utuk = 4: 4! 4 da 4 16, sehigga 4 4!. Jadi P(4) bear. Lagkah iduksi: Adaika P ( ) bear, yaitu! utuk semua bilaga bulat positif 4. 1 Aka dibuktika + juga bear yaitu 1!. Lagkah-lagkah pembuktiaya sebagai berikut: 1! 1! 1 berdasarka hipotesis iduksi 1. karea 4 maka 1 5 1 Jadi 1!. Dega kata lai P ( 1) bear utuk setiap 4. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

9 Kesimpula: Karea P(4) da P ( 1) terbukti bear utuk setiap 4, maka P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif 4. Cotoh 1.6: Buktika bahwa, utuk 5. Bukti: Misalka P(): Basis iduksi:, utuk 5. Utuk = 5: 5 3 5 5. 5 5 Jadi P(5) bear. Lagkah iduksi: Adaika P(): Aka dibuktika ( 1), utuk 5 bear (hipotesis iduksi) 1 P bear, yaitu 1. Lagkah-lagkah pembuktiaya sebagai berikut: 1. berdasarka hipotesis iduksi 5 3 (karea 5 5 ) 1 1 (karea 5 3 15 1) 1 Jadi 1. Dega kata lai P ( 1) bear utuk setiap 5. Kesimpula: Karea P(5) da P ( 1) terbukti bear utuk setiap 5, maka P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif 5. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

10 Cotoh 1.7: Sebuah toko buku mejual amplop dalam paket yag berisi 5 amplop da 7 amplop. Fatimah aka membeli amplop. Buktika dega iduksi matematik bahwa utuk setiap 4, toko buku ii dapat memeuhi pesaa tepat amplop. Asumsika bahwa persediaa utuk setiap paket amplop tidak terbatas. Bukti: Misalka P ( ) adalah proposisi yag meyataka bahwa utuk membeli (memesa) amplop sebayak ( 4 ), diperluka paket amplop berisi 5 amplop da 7 amplop. Basis iduksi: Utuk 4 (5) (7) 4. Artiya utuk membeli amplop sebayak 4, diperluka paket amplop berisi 5 amplop da paket amplop berisi 7 amplop. Jadi P (4) bear. Lagkah Iduksi: Hipotesis Iduksi : Misalka Pbear. ( ) Aka dibuktika + bear. Ada dua kemugkia solusi: 1) Misalka Fatimah aka memesa amplop sebayak amplop, maka ia sedikitya aka meerima 1 paket amplop berisi 7 amplop. Dega meggati paket berisi 7 amplop dega 3 paket berisi 5 amplop aka diperoleh amplop sebayak 1 amplop. ) Misalka utuk memesa amplop sebayak amplop ( 4 ), tidak ada paket amplop berisi 5 amplop, haya paket amplop berisi 7 amplop yag tersedia. Maka dega meggati 4 paket amplop berisi 5 amplop dega 3 paket amplop berisi 7 amplop, aka diperoleh amplop sebayak 1 amplop. Jadi P ( 1) bear utuk setiap 4. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

11 Kesimpula: Karea P(4) da P ( 1) terbukti bear utuk setiap 4, maka P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif 4. Jadi utuk memesa amplop sebayak amplop, cukup dilakuka dega memesa paket yag berisi 5 amplop da amplop saja. Cotoh 1.8: Utuk membayar biaya pos sebesar se selalu dapat diguaka peragko 3 se da peragko 5 se saja. Buktika peryataa tersebut dega iduksi matematik. Bukti: Misal: : utuk membayar biaya pos sebesar se selalu dapat diguaka peragko 3 se da peragko 5 se. Basis Iduksi: Utuk 8: 8 1(3) 1(5). Artiya utuk membayar peragko seilai 8 se dapat diguaka 1 peragko 3 se da 1 peragko 5 se. Jadi P (8) bear. Lagkah Iduksi: Hipotesis Iduksi : Adaika bear. Aka dibuktika + bear. Ada dua kemugkia solusi: 1) Misalka kita bayar biaya pos seilai se dega sedikitya 1 peragko 5 se. Dega meggati 1 peragko 5 se dega peragko 3 se aka diperoleh biaya pos seilai +. ) Misalka utuk biaya pos seilai se ( ) dega sedikitya 3 peragko 3 se. Dega meggati 3 peragko 3 se dega peragko 5 se aka diperoleh biaya pos sebesar + se. Jadi P ( 1) bear utuk setiap. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

1 Kesimpula: Karea P(8) da P ( 1) terbukti bear utuk setiap, maka P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif 8. Jadi utuk semua selalu dapat diguaka peragko 3 se da 5 se utuk membayar biaya pos. Soal-soal Latiha 1. Buktika bahwa <! utuk semua bilaga asli > 6.. Buktika bahwa 3 1 utuk semua bilaga asli 0. 3. Sebuah kios peukara uag haya mempuyai pecaha uag seilai Rp. 000,00 da Rp. 5.000,00. Utuk uag seilai berapa saja yag dapat ditukar dega kedua pecaha uag tersebut? Buktika kebeara jawaba ada dega megguaka iduksi matematik. 4. Buktika bahwa utuk membayar biaya pos sebesar se selalu dapat diguaka peragko 5 se da peragko 6 se saja. 5. Buktika bahwa utuk membayar biaya pos sebesar se selalu dapat diguaka peragko 3 se da peragko 8 se saja. 1.3 Prisip Iduksi Kuat Prisip Iduksi Kuat Misalka adalah peryataa tetag bilaga bulat. Aka dibuktika bear utuk semua bilaga bulat. Utuk membuktika ii cukup ditujukka: (i) P( 0 ) bear, (ii) Jika, +,..., bear maka + juga bear, utuk setiap bilaga bulat, sehigga P() bear utuk semua bilaga bulat 0. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

13 Catata: Iduksi kuat mirip iduksi yag dirampatka. Perbedaaya terdapat pada lagkah (ii). Iduksi kuat megambil hipotesis yag lebih kuat, yaitu:,,..., bear. Prisip ii memugkika kita mecapai kesimpula yag sama meskipu memberlakuka pegadaia yag lebih bayak. Cotoh 1.9: Guaka iduksi kuat utuk membuktika bahwa setiap bilaga asli adalah bilaga prima atau merupaka hasil kali bilaga prima. Bukti: Misalka P ( ) adalah proposisi bahwa setiap bilaga asli adalah bilaga prima atau merupaka hasil kali bilaga prima. Basis Iduksi: Utuk =, maka peryataa di atas bear karea adalah bilaga prima. Lagkah Iduksi: Hipotesis iduksi: Adaika P(), P(3),..., P( ) bear. Artiya bahwa setiap bilaga asli tersebut (, 3,, ) merupaka bilaga prima atau merupaka hasil kali bilaga prima. Aka ditujukka: + juga merupaka bilaga prima atau hasil kali bilaga prima. Ada dua kasus yag perlu dibuktika, yaitu jika + prima atau + buka prima: Jika + prima, maka jelas peryataa bear; Jika 1 buka prima, maka 1 dapat difaktorka, yaitu 1 dega ab, yag memeuhi a, b 1. Berdasarka hipotesis iduksi, a da b merupaka bilaga prima atau merupaka hasil kali bilaga prima, sehigga + juga merupaka hasil kali prima. Jadi, setiap bilaga asli adalah bilaga prima atau merupaka hasil kali prima. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit ab

14 Cotoh 1.10: Guaka prisip iduksi kuat utuk membuktika bahwa utuk meyelesaika suatu puzzle dega potoga, diperluka lagkah. Bukti: Misalka P ( ) adalah proposisi yag meyataka bahwa utuk meyelesaika suatu puzzle dega potoga, diperluka lagkah. Basis Iduksi: Utuk puzzle dega 1 potoga tidak diperluka cara meyelesaikaya. Jadi P (1) bear. Lagkah Iduksi: Hipotesis Iduksi: adaika P(1), P(), P(3),..., P( ) bear. Artiya utuk meyelesaika puzzle dega lagkah. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit =,,,..., potoga diperluka Aka ditujukka bahwa puzzle dega + potoga memerluka lagkah utuk meyelesaikaya. Bagi + potoga mejadi dua bagia yaitu da bagia, sehigga + = +. Meurut hipotesis iduksi: - utuk meyelesaika puzzle dega potoga diperluka lagkah, - utuk meyelesaika puzzle dega potoga diperluka lagkah. Apabila kedua lagkah tersebut digabugka dega satu lagkah terakhir utuk meyatukaya, maka diperoleh: 1 1 Jadi P ( 1) bear utuk setiap 1. Kesimpula: ( 1) ( 1) 1 1 1 1. Karea P(1) da P ( 1) bear utuk setiap 1, maka P ( ) bear utuk setiap bilaga positif. Dega kata lai, utuk meyelesaika puzzle dega potoga diperluka lagkah.

15 Cotoh 1.11: Buktika dega iduksi kuat bahwa utuk membayar biaya pos sebesar se selalu dapat diguaka peragko 4 se da atau peragko 5 se saja. Bukti: Misal: : utuk membayar biaya pos sebesar se selalu dapat diguaka peragko 4 se da atau peragko 5 se. Basis Iduksi: Utuk = =. Artiya utuk membayar peragko seilai 1 se dapat diguaka 3 peragko 4 se. Jadi P (1) bear. Lagkah Iduksi: Hipotesis Iduksi: Adaika,,,..., bear = = + + = + = + + = + = + + = = + + = = + + + = + = + + + P( ) k(4) l(5) dega kl,. Aka dibuktika bahwa P ( 1) bear. Berdasarka hipotesis iduksi, diperoleh pola peggatia peragko, yaitu 1 peragko 4 se dapat digati dega 1 peragko 5 se atau 3 peragko 5 se digati dega 4 peragko 4 se, sehigga diperoleh biaya pos seilai + se. Jadi + bear utuk setiap. Kesimpula: Karea P (1) da + bear utuk setiap, maka bear utuk semua. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

16 1.4 Betuk Iduksi Secara Umum Agar iduksi matematik dapat diguaka utuk pembuktia yag berkaita dega bilaga atau obyek secara umum, tidak haya berkaita dega bilaga bulat positif saja, maka dibuat betuk iduksi secar umum. Syaratya, himpua bilaga atau obyek tersebut harus mempuyai keteruruta da eleme terkecil. Berikut ii adalah defiisi terurut dega baik. Defiisi 1.1: Terurut dega baik (Well OrderigPriciple ) Relasi bier < pada himpua R dikataka terurut dega baik, jika: 1. Diberika,,, < da < < (sifat trasitif). Diberika, : < atau < atau =, 3. Jika A himpua bagia tidak kosog dari R, terdapat eleme x A sedemikia sehigga utuk semua. Dega kata lai, setiap himpua bagia tidak kosog R memuat eleme terkecil. Dari defiisi terurut dega baik tersebut, didefiisika iduksi secara umum. Defiisi 1.: Iduksi secara umum Misal: X terurut dega baik oleh <. adalah peryataa perihal eleme dari X. Utuk membuktika bear utuk semua x X, cukup ditujukka: 1. P( ) bear, dega adalah eleme terkecil dalam X,. jika P(y) bear utuk <, maka P(x) juga bear utuk setiap > dalam X, sehigga Px ( ) bear utuk semua x X. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

17 Cotoh 1.1: Perhatika barisa bilaga bulat yag didefiisika sebagai berikut: jika = da =, = {, + jika =, + jika Cotoh barisa bilaga, =, =, + = + =, =, + = + =, =, + = + =, =, + = + =, =, + = + =, =, + = + =, =, + = + =, =, + = + = Buktika dega iduksi matematik, bahwa utuk pasaga tak egatif m da, berlaku, = +. Bukti: Misalka Px ( ) adalah peryataa yag berkaita dega S m, yag didefiisika pada soal di atas. Basis Iduksi: x0 0,0 adalah eleme terkecil di dalam X, sehigga P( x0 ) S0,0. S0,0 0 0 0, sedagka berdasarka defiisi S0,0 0. Jadi Px ( 0) bear. Lagkah Iduksi: Misalka P( y) m S ', ' da P x S, ( ) m. Adaika, = + bear utuk semua, <, (Hipotesis Iduksi). Aka dibuktika bahwa, = + juga bear utuk semua ( m, ) (0,0) di X. Dega kata lai, berdasarka defiisi di atas aka ditujukka bahwa, = +, baik utuk = atau. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

18 Kasus I: Jika =, maka dari defiisi, =, +. Sm1, m 1, Karea, <, maka dari hipotesis iduksi Sm, Sm1, 1 m 1 1 m. Jadi S, P( x) bear. sehigga m Kasus II: Jika, maka dari defiisi, =, +. Karea, <, maka dari hipotesis iduksi S m sehigga m, 1 1, Sm, Sm, 1 1 m 1 1 m. Jadi S, P( x) bear. Dari kasus I da II disimpulka bahwa, = + bear utuk (m,) di X. Kesimpula: Karea P( x0 ) S0,0 da P( x) Sm, bear maka terbukti bahwa, = + bear utuk semua pasaga tak egatif m da. m Latiha 1.14: Perhatika barisa bilaga yag didefiisika sebagai berikut:, =, = {, + jika =, + jika Buktika dega iduksi matematika bahwa utuk semua pasaga bilaga bulat positif, berlaku S, ( m ) 1. m Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

19 BAB REKURSI.1 Barisa yag Terdefiisi secara Rekursif Misalka adalah bilaga asli. dapat ditulis sebagai.... Dega kata lai, 1 k k da utuk k 1,... (i) Peryataa (i) tersebut merupaka salah satu cotoh dari defiisi rekursif. Peryataa tersebut dega jelas meyataka defiisi, jika 1. Kemudia dega megasumsika terdefiisi utuk k, maka aka didefiisika utuk k 1. Berdasarka Prisip Iduksi Matematik (PIM), telah terdefiisi utuk semua bilaga bulat 1... Cotoh lai dari defisi rekursif adalah: da utuk 0! 1 k 0, k 1! k 1. k! yag berdasarka PIM,! telah terdefiisi utuk setiap 0. Barisa bilaga-bilaga serig didefiisika secara rekursif. Barisa adalah fugsi-fugsi yag domaiya merupaka himpua bulat tak berhigga (serig diyataka dega ) da yag daerah hasilya (rage) merupaka himpua bilaga real. Karea domaiya dapat dihitug, maka biasaya suatu barisa diyataka dega meyebutka daerah hasilya. Sebagai cotoh, barisa di maa fugsi f : didefiisika oleh f ( ), biasaya secara umum diyataka oleh 1,4,9,16,... Bilaga-bilaga dalam barisa tersebut diyataka sebagai suku-suku barisa (the terms of the sequece). Barisa,4,8,16,... dapat didefiisika secara rekursif sebagai: a da utuk k 1, a a... (ii) 1 k1 k Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

0 Bila dijabarka, a a 4, a a 4 8, a a 1 3 8 16, 4 3 da seterusya. a k1 a disebut relasi rekuresi da k a1 disebut kodisi awal. Defiisi rekursif lai yag mugki utuk barisa (ii) adalah Atau a da utuk k 0, a a 0 k1 k a1 da utuk k, ak ak 1. Setelah meyebutka beberapa suku barisa, dapat diduga rumus umum utuk a. Utuk cotoh di atas, rumus umumya adalah a, da ii disebut. sebagai solusi relasi rekuresi. Cotoh: 1. Tuliska eam suku pertama dari barisa yag didefiisika oleh a 1, a 3a 1, utuk k 1. 1 k1 Perkiraka rumus utuk a da buktika dega PIM bahwa rumusmu bear. k Jawab: a 1, Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit a a a a a 1 3a 1 3(1) 1 4, 1 3a 1 3 4 1 13, 3 3a 1 3(13) 1 40, 4 3 3a 1 3(40) 1 11, 5 4 3a 1 3(11) 1 364. 6 5 1 a 3 1. Meurut dugaa, rumus utuk barisa di atas adalah Bukti dega PIM: 1 1, 3 1 1 a1 (bear). 1 Utuk

1 1 diasumsika bear. k Utuk k 1, a k 3 1 1 3 1 bear. k1 Aka dibuktika a k 1 Berdasarka defiisi relasi rekuresi, a k1 1 3 3 1 3ak 1 3 3 1 1 3 1 3 1. Suatu barisa didefiisika oleh k k k1.. terbukti. a 1, a 4 da a 4a 4 a, 0 1 1 Tuliska eam suku pertama dari barisaya. Perkiraka rumus utuk a da periksa keabsaha dugaamu. Jawab: Perhatika bahwa a 1, a 4, 0 1 1 0 3 1 4 3 5 4 3 a 4a 4a 4 4 4 1 1, a 4a 4a 4 1 4 4 3, a 4a 4a 4 3 4 1 80, a 4a 4a 4 80 4 3 19. Dugaaya adalah a a a a 3 4 5 1.. 3 4 8 3(8) 8 4(8) 80 64 16 4(16) 16 5(16) 19 160 3 5(3) 3 6(3) Bukti: Utuk Utuk 0 0, (0 1) 1(1) 1 a0 bear 1 1, (1 1) 4 a1 bear Asumsika bahwa utuk k > 1, da a ( 1), utuk semua dalam selag Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit 0 k. Aka dibuktika rumus bear utuk = k, yaitu a ( k 1) k. Karea k

k da dari defiisi ak 4ak 1 4ak, maka dega meerapka hipotesis iduksi utuk k - 1 da k ( 0 k ak k, sehigga k a k k 1 k k 4. 4 1 1 k 1 ), diperoleh 1 k ak k da k k k k k k k. k. k. k 1 terbukti. Jadi berdasarka PIM, rumusya berlaku utuk semua 0. Perhatika bahwa dari defiisi diperoleh rumus a Da dari defiisi diperoleh rumus a 1, a 4,da utuk 1, a 4a 4a. 0 1 1 1 1. a 1, a 4, da utuk 1, a 4a 4 a, 1 1 1. Barisa Aritmetika Defiisi: Barisa aritmetika dega suku pertama a da selisih d, adalah barisa yag didefiisika oleh a1 a, da utuk k 1, ak 1 ak d Barisa aritmetika umum mempuyai betuk: Sehigga utuk 1, suku ke- barisa adalah a, a d, a d, a 3 d,... a a ( 1) d Jumlah suku barisa aritmetika dega suku pertama a da selisih d adalah S a 1 d Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

3 Cotoh: 100 suku pertama dari barisa -17, -1, -7, -, 3, mempuyai jumlah 100 S 17 99 5 50 34 495 3.050 Da suku ke-100 adalah a100 17 99(5) 478. Jika diketahui bilaga 038 termasuk salah satu suku barisa tersebut, maka dapat ditetuka suku ke berapa bilaga 038 tersebut: a 17 ( 1)5 038 17 5 5 038 5 038 060 41 Jadi bilaga 038 merupaka suku ke-41 dari barisa tersebut. Defiisi:. Barisa Geometri Barisa geometri dega suku pertama a da rasio r adalah barisa yag didefiisika oleh a a da utuk k 1, a r. a. 1 k1 k Barisa geometri secara umum mempuyai betuk 3 a, ar, ar, ar,..., ar,... da suku ke- adalah 1 ar.. Jumlah suku barisa geometri, dega r 1 adalah Cotoh: a(1 r ) S 1 r 1. Jumlah 9 suku barisa geometri dega 1 a 8 da 1 r adalah Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

4 9 9 1 1 1 1 36 7 1 36 1 37 8 S 8. 1 3 3 3 1 Suku ke-30 dari barisa geometri tersebut adalah a 30 9 1 1 36 9 7 8 3. Barisa Fiboacci Sekilas tetag asal usul barisa Fiboacci. Leoardo Fiboacci/Leoardo of Pisa (1180-18) adalah salah seorag matematikawa terkemuka yag mecetuska barisa Fiboacci, yag berkaita dega pertumbuha kelici. Misalka kelici yag baru lahir mempuyai keturua pada akhir bula ke-dua kehidupaya. Setelah masa itu, mereka meghasilka sepasag kelici setiap bula (satu jata, satu betia). Dega asumsi bahwa pada awalya ada satu pasag kelici, maka berapa kelici yag hidup setelah 1 tahu? Barisa yag meyataka bayakya pasaga kelici pada akhir bula, disebut Barisa Fiboacci. Setelah 1 bula, haya ada 1 pasag kelici, tetapi pada bula-bula berikutya, pasaga ii bertambah dega kelahira keturua-keturuaya, sehigga setelah bula, ada pasag kelici. Pada akhir bula tertetu, bayakya pasaga kelici adalah bayakya kelici yag hidup pada akhir bula sebelumya ditambah bayakya pasaga yag hidup bula yag lalu, karea setiap pasaga yag hidup dua bula yag lalu, meghasilka sepasag keturua. Barisaya diyataka sebagai berikut: 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1,, yag didefiisika secara rekursif sebagai berikut: f 1, f 1, da utuk k, f f f. 1 k1 k k1 Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

5 Suku ke- dari barisa Fiboacci adalah bilaga bulat yag terdekat dega bilaga 1 1 5. 5 Beberapa ilaiya adalah 0,7361; 1,1708; 1,89443; 3,0655; 4,95967; 8,049; 1,98460 da 1,0095. Bilaga bulat yag terdekat dega bilaga-bilaga tersebut adalah 8 suku pertama dari barisa Fiboacci, yag sudah disebutka sebelumya. Perlu diperhatika bahwa barisa yag kelihataya terdefiisi secara rekursif, teryata tidak medefiisika barisa yag sebearya, sebagaimaa terlihat dalam cotoh berikut ii. Cotoh: Perhatika defiisi rekursif berikut ii: 1 ak /, jika kgeap a1 1, da utuk k 1, ak. 1 a3k 1, jika k gajil Bila diuraika relasi rekuresiya, maka diperoleh suku-suku barisa sebagai berikut: a 1, a 1 a 11. 1 1 a 1 a 1 (1 a ) a (1 a ) 3 a 5. a 3 8 4 4 1 a 3. 4 a 1 a 1 (1 a ) a (1 a ) 5 14 7 7 0 3 a 3 (1 a ) 4 a 4 (1 a ) 0 10 10 5 5 5 a (tidak mugki 0 5) Jadi tidak ada barisa yag telah didefiisika. Latiha: 1. Tuliska 6 suku pertama dari barisa yag didefiisika sebagai berikut: Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

6 1 ak /, jika k geap a1 1 da utuk k 1, ak 1 a3k 1, jika k gajil.. Berika defiisi rekursif utuk barisa-barisa berikut ii: a. 3 4 1,5,5,5,5,... b. 5,3,1, 1, 3,... c. 4,1,3,,5, 7,1, 19,31,... d. 1,,0,3, 1,4,,.... Solusi Rekuresi yag Berkaita dega Poliom Karakteristik Dalam sub bab ii aka dibahas prosedur utuk peyelesaia relasi rekuresi yag berbetuk: Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit a ra 1 sa f ( ),... (i) Dega r da s kostata, f( ) adalah fugsi dari. Relasi rekuresi tersebut dikeal sebagai relasi rekuresi liier orde ke-dua dega koefisie kostata. Jika f( ) 0, maka relasiya disebut homoge. Orde ke-dua merujuk pada defiisi relasi rekuresi yag meyataka bahwa a sebagai fugsi dari dua suku yag medahuluiya. Cotoh 1: Berikut ii adalah beberapa cotoh relasi rekuresi liier orde ke-dua dega koefisie kostata. 1. a a, 1 a yaitu relasi rekuresi yag mucul dalam defiisi barisa Fiboacci. Relasi ii homoge dega r s 1. Perhatika bahwa relasi rekuresi tersebut merupaka modifikasi dari betuk a, 1 a a 1 seperti pada defiisi barisa Fiboacci.. 5 1 6 a a a r 5, da s 6 da f., dega 3. a 3a 1. Ii relasi homoge dega r 3, da s 0.

7 Cotoh : Perhatika dua relasi rekuresi berikut: 1. a 5a 1 3a 3. Ii buka relasi rekuresi orde ke-dua.. a a a 1.. Ii relasi rekuresi yag tidak liier. Relasi rekuresi homoge a ra 1 sa dapat ditulis dalam betuk a r. a s. a 0, yag berkaita dega poliom kuadrat: 1 disebut poliom karakteristik dari relasi rekuresi. x rx s, yag Cotoh: Relasi rekuresi a 5a 1 6a mempuyai poliom karakteristik da akar-akar karakteristik da 3. x 5x 6 Teorema: Misalka x1da x adalah akar-akar poliom x rx s. Maka solusi dari relasi rekuresi a r. a 1 s. a, adalah a c1x 1 cx, jika x1 x. a c1x 1 c x, jika x1 x x Pada masig-masig kasus, c1da c adalah kostata yag ditetuka oleh kodisi awal. Latiha 1: Selesaika relasi rekuresi a 5a 1 6 a,, bila diketahui a0 1, a1 4. Latiha : Selesaika relasi rekuresi a 4a 1 4 a,, dega kodisi awal a 1, a 4. 0 1 Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

8 Latiha 3: Tetuka rumus suku ke- dari barisa Fiboacci, bila diketahui kodisi awalya a 0 a1 1 buka a1 a 1. Perhatika betuk umum relasi rekuresi orde ke-dua: a ra 1 sa f ( ). (i). Misalka diperoleh satu solusi khusus p dari relasi rekuresi di atas, maka p rp 1 sp f ( ). (ii) Misalka t adalah solusi lai dari relasi rekuresi (i) di atas, maka t r t 1 st f ( ).. (iii) Dega meguragka persamaa (iii) dega (ii), diperoleh t p r t p s t p. (iv). 1 1 Persamaa (iv) ii meujukka bahwa t p memeuhi relasi rekuresi homoge a ra 1 sa. Tulis t p q, maka t p q, dega p adalah solusi khusus dari persamaa (i) da homoge yag berkaita. Teorema: Misalka q memeuhi relasi rekuresi p adalah solusi khusus utuk relasi rekuresi a ra 1 sa f ( ), dega kodisi awalya diabaika. Misalka q adalah solusi utuk relasi rekuresi homoge a ra 1 sa, dega kodisi awal diabaika. Maka p q adalah solusi utuk relasi rekuresi a ra 1 sa f ( ). Kodisi awal meetuka kostata-kostata di q. Cotoh: Selesaika relasi rekuresi a 3 a 1, 1, dega a0 1. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

9 Jawab: I. Mecari solusi khusus p Karea f liier, maka pilih p fugsi liier, yaitu p a b, dega a da b aka ditetuka. Substitusika a + b ke dalam relasi rekuresi yag diketahui sehigga diperoleh: a b 3a b 1 3a 3b 13b. Dega demikia, a 3a 3b da b1 3b, sehigga diperoleh 4a 3b 0 4a 3b 1 3 3 1 4a 3 a. 4b 1 b 4 4 16 4 3 1 Jadi p adalah solusi khusus utuk relasi rekuresi tersebut, dega 16 4 megabaika kodisi awal. II. Mecari solusi homoge q Relasi rekuresi homoge yag berkaita dega kasus ii adalah a 3a 1, yag poliom karakteristikya adalah x adalah -3 da 0. Jadi solusi relasi rekuresi homogeya adalah 3x, dega akar-akar karakteristikya 3 0 3 q c c c 1 1 III. Meerapka kodisi awal utuk memperoleh solusi ohomoge a p q Dari solusi khusus p da homoge q yag diperoleh, dapat ditetuka 3 1 1. 16 4 solusi relasi ohomogeya, yaitu a p q c 3 Karea a0 1, maka a 0 0 3 1 0 c 3 13 1 3 1 c1 1 c1. 16 4 16 16 Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

30 Jadi solusiya adalah a 3 Latiha: 3 1 13. 16 4 16 Selesaika a a 13a 5,, dega a0, a1 1. Jawab: I. Mecari solusi khusus p f, maka pilih p 5. Substitusika p tersebut ke dalam Karea 5 persamaa rekuresi yag ada, sehigga diperoleh. Karea 5 0, maka 5 p 5. 1 Jadi solusi khusus p p 3p 5 1 1 a5 3a5 a 5 a 5 3a 5 5 5 5 5 10a3a5 5 5 5a 10a 3a 5 5 5 1a 5 a p 5. 1 1 II. Mecari solusi relasi rekuresi homoge: q Dari relasi rekuresi homoge a a 1 3a, maka dapat ditetuka poliom karakteristik yaitu x x 3, yag mempuyai akar-akar karakteristik: -1 da 3. Jadi solusi homogeya adalah q c 1 c 3. 1 Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

31 III. Meerapka kodisi awal utuk meetuka solusi relasi rekuresi ohomoge a p q Berdasarka teorema, relasi rekuresi yag diketahui mempuyai solusi Dari kodisi awal a0 diperoleh Dari kodisi awal a0 1 diperoleh 5 5 a q p c1 1 c 3. 1 5 0 0 0 a0 5 c1 1 c 3 1 5 5 49 c1 c c1 c 1 1 1 5 1 a 1 1 1 1 5 c1 1 c 3 1 5 15 113 5 c1 3c 1 c1 3c 1 1 1 1 17 7 Dega megguaka metode elimiasi, diperoleh hasil c1 da c, 4 8 sehigga solusi relasi rekuresi liier orde ke-dua adalah Latiha: 5 17 7 a 5 1 3. 1 4 8 I. Carilah solusi relasi rekuresi homoge berikut: 1. a a 1 a a0 a1 6,, jika diketahui 1, 3.. a a 1 a a0 a1 6 7,, jika diketahui 3, 17. 3. a a 1 a a0 a1 6 9,, jika diketahui 5, 3. 4. a a 1 a a0 a1 9 6,, jika diketahui 3, 1. II. Carilah solusi relasi rekuresi ohomoge berikut: 1. 1 a 4a 4 a,, diketahui a0 5, a1 9 Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

3. a 4a 1 8, 1, diketahui a0 1. 3. 1 a 5a 6a 3,, diketahui a0, a1 14 4. 5. 179 1 a 6a 1 9a 3,, diketahui a0, a1 18 18 a a a, diketahui a0 0, a1 3 5 1 3,.3 Solusi Relasi Rekuresi: Fugsi Pembagkit Fugsi Pembagkit adalah suatu poliom yag berlagsug selamaya (goes o forever), yaitu sebuah ekspresi dalam betuk f ( x) a a x a x a x... a x... 3 0 1 3 Tidak seperti poliom pada umumya, di maa koefisie a i semuaya ol setelah titik tertetu, fugsi pembagkit biasaya mempuya tak higga bayakya suku tak ol. Ada kaita yag jelas atara fugsi pembagkit dega barisa a, a, a,..., sebut saja 1 3 a a x a x a x... a, a, a, a,... 3 0 1 3 0 1 3 Defiisi: Fugsi pembagkit dari suatu barisa a1, a, a 3,... adalah ekspresi f x a a x a x ( ) 0 1... Cotoh: Fugsi pembagkit dari barisa 1,,3, bilaga asli adalah f ( x) 1 x 3 x..., semetara fugsi pembagkit dari barisa aritmetik 1,4,7,10, adalah f x x x x 3 ( ) 1 4 7 10... Fugsi pembagkit dapat dijumlahka da dikalika suku demi suku seperti pada poliom. Jika f x a a x a x da ( ) 0 1... g x b b x b x maka ( ) 0 1... f ( x) g( x) a b a b x a b x... 0 0 1 1 f ( x) g( x) a b a b a b x a b a b a b x... 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

33 Catata: Meski fugsi pembagkit mempuyai takberhigga bayakya suku, amu defiisi pejumlaha da perkalia tidak melibatka jumlah takberhigga; sebagai cotoh, koefisie Latiha: Jika tetuka f x x x x x dalam perkalia f ( x) g( x ) adalah jumlah berhigga ( ) 1...... a b a b a b... a b. 0 1 1 0 3 da f ( x) g( x) da f ( x) g( x ). Jawab: g( x) 1 x x x... 1 x..., 3 f ( x) g( x) 1 x x... x... 1 x x x... 1 x... 1 1 1 1 1 1... 1 1 x x x x x 4... 3 f ( x) g( x) 1 x x... x.... 1 x x x... 1 x... x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x... 4 6 1 x x x... Bagi mahasiswa yag perah belajar kalkulus lebih dari satu tahu, dapat melihat kemiripa yag jelas di atara fugsi pembagkit da deret kuasa da aka merasa yama dega keyataa bahwa fugsi pembagkit serig diyataka sebagai kuosie dari poliom. Sebuah cotoh yag petig adalah 1 1 x 3 1 x x x... yag meujukka bahwa 1/(1-x) adalah fugsi pembagkit dari barisa 1,1,1, 1 x1 x x... x... 1 1 1 1 1 x 1 1 1 1 x... 1 1 1 1 x... 1 0 0... 0... x x x 1., Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

34 Rumus lai yag sagat bermafaat adalah yag meujukka bahwa bilaga asli. 1 1 x 3 1 3 4... 1... x x x x 1 1 x adalah fugsi pembagkit dari barisa Misalka f( x ) adalah fugsi pembagkit dari barisa 0,1,,3,, yaitu Maka f x x x x x x 3 4 ( ) 01 3 4...... f x x x x x x 3 4 ( ) 3 4...... x x x x x 3 1 3 4... 1... 1 x 1 x x 1 x Latiha: Selesaika relasi rekuresi a 3 a 1, 1 diketahui a0 1. Jawab: Perhatika fugsi pembagkit f ( x) a a x a x a x... a x... dari 3 0 1 3 barisa a0, a1, a, a3,..., a,... Kalika dega 3x da tuliska hasil kali 3 xf ( x ) di bawah f( x ) sehigga suku-suku yag melibatka Hasil peguragaya adalah 3 0 1 3 x sesuai tempatya: f ( x) a a x a x a x... a x... 3 xf ( x) 3a x 3a x 3 a x... 3 a x... 3 0 1 1 f ( x) 3 xf ( x) a a 3a x a 3 a x... a 3 a x... 0 1 0 1 1 Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

35 Karea a0 1, a1 3a0 da secara umum, a 3a 1, hal ii meujukka bahwa 13x f x 1. Jadi f x sebelumya diperoleh 1 1 3x da dega megguaka rumus 1 3 1 3x 3x 3 x... 3 x... 1 3x x x x x 3 1 3 9 7... 3... Dapat disimpulka bahwa a yag merupaka koefisie dega 3. Jadi Latiha: a 3 adalah solusi dari relasi rekuresi di atas. x di f( x ), harus sama Selesaika relasi rekuresi a a 1 a, diketahui a0 3, a1 -. Jawab: Misalka f( x ) adalah fugsi pembagkit dari barisa dalam pertayaa di atas, maka f x a0 a1x ax ax...... xf x a x a x... a x... 0 1 1 x f x a x... a x... 0... f x xf x x f x a a a x a a a x a a a x 0 1 0 1 0 1 38x karea a0 3, a1 da a a 1 a 0 utuk 0 sehigga 1 x x f x 38x 1 x f x 3 8x. 1 f x 38x 1 x 3 1 x 3x 4 x... 1 x... 3 8x 3 3 x 7x 1 x... 3 1 8 x... 3 3 x 7x 1 x... 5 3 x... da a 3 5 adalah solusi relasi rekuresi yag diharapka. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

36 Latiha: Dega megguaka fugsi pembagkit, carilah solusi relasi rekuresi berikut ii. Guaka metode poliom karakteristik utuk memeriksa kebeara jawabamu. 1. a 3a 1 10a,, bila diketahui a0 1, a1 4.. a 4a 1 3a,, bila diketahui a0, a1 5. 3. a 10a 1 5a,, bila diketahui a0 1, a1 5. 4. a a 1 3, 1, bila diketahui a0 1. 5. a 5a 1 3, 1, bila diketahui a0. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

37 BAB 3 PRINSIP PENGHITUNGAN Prisip peghituga merupaka bagia dari Kombiatorika, yag mempelajari struktur diskret yag terhitug atau berhigga, yag berkaita dega pegatura obyek-obyek. Solusi yag diigika adalah jumlah atau bayakya cara/pegatura obyek-obyek tertetu dalam himpuaya. Dalam prisip peghituga ii aka dipelajari prisip/kaidah pejumlaha da perkalia, prisip iklusi-eksklusi, da prisip sarag burug merpati. 3.1 Kaidah Pejumlaha da Perkalia Cotoh: 1. Ada 5 karakter yag terdiri dari dua huruf yag diikuti dega 3 agka, yag mucul di belakag satu series mikrokomputer buata salah satu pabrik elektroik. Bayakya kemugkia pegatura karakter dalam series tersebut adalah: a) 6x6x10x10x10=676.000, jika karakterya dapat diulag; b) 6x5x10x10x10=650.000, jika hurufya tidak dapat diulag; c) 6x5x10x9x8=468.000, jika tidak ada karakter yag dapat diulag.. Seorag dose mempuyai 5 mahasiswa di kelas Kalkulus da 31 mahasiswa di kelas Statistik. 13 mahasiswa dari dose tersebut megikuti kuliah. Ada 3 kejadia yag mucul dari peristiwa ii: a) Kejadia pertama adalah bahwa seorag mahasiswa yag dipilih secara acak megikuti kuliah Kalkulus, tapi buka Statistik. Hal ii terjadi dalam 1 cara, yaitu 5-13=1. b) Kejadia ke dua adalah bahwa seorag mahasiswa yag dipilih secara acak megikuti kuliah Statistik, tapi buka Kalkulus. Hal ii terjadi dalam 18 cara, yaitu 31-13=18. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

38 c) Kejadia ke tiga adalah bahwa seorag mahasiswa yag dipilih secara acak megikuti kuliah Statistik da Kalkulus. Hal ii terjadi dalam 13 cara. Jadi bayakya mahasiswa yag megikuti kedua kuliah tersebut adalah 1+18+13=43 orag. Dega memperhatika kedua cotoh tersebut dapat dilihat bahwa cotoh pertama diselesaika dega megguaka perkalia da cotoh yag kedua dega megguaka pejumlaha. Atura atau kaidah yag diguaka dalam meyelesaika masalah seperti pada cotoh tersebut dikeal dega ama Pricipal of Coutig (Kaidah Meghitug). Kaidah ii terdiri dari kaidah perkalia (multiplicatio rule) da kaidah pejumlaha (additio rule). a. Kaidah Perkalia Misalka ada barisa dari r kejadia E 1, E,, E r sedemikia sehigga: i. Ada i cara di maa E i mucul (i = 1,,,r), da ii. Bayakya cara suatu kejadia dalam barisa dapat terjadi tidak bergatug pada bagaimaa kejadia dalam barisa sebelumya terjadi. Dega kata lai, dua kejadia itu bebas satu sama lai. Maka ada ( 1 ).( ) ( r ) cara di maa semua kejadia dalam barisa tersebut terjadi. b. Kaidah Pejumlaha Misalka ada r kejadia E 1, E,, E r sedemikia sehigga: i. Ada i hasil utuk E i (i = 1,,,r), da ii. Dua kejadia tidak dapat terjadi secara bersamaa. Maka ada ( 1 ) + ( ) + + ( r ) cara di maa salah satu kejadia dapat mucul (terjadi). Latiha.1: Tetuka bayakya bilaga bulat gajil dari 0 sampai 99. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

39 Jawab: Bayakya bilaga gajil dari 0 sampai 99 adalah 50. Dega megguaka kaidah perkalia, dapat diperoleh hasil sebagai berikut: i. Bilaga bulat di atara 0 da 99 mempuyai digit satua da digit puluha, jika agka 0 sampai 9 ditulis sebagai 00, 01,, 09. ii. Misalka E adalah kejadia memilih digit dari digit satua. Hal ii dapat dilakuka dega 5 cara (karea bilaga gajil, maka digit yag dipilih adalah 1,3,5,7,9). iii. Misalka F adalah kejadia memilih digit dari digit puluha, maka hal ii dapat dilakuka dega 10 cara (yaitu agka 0,1,,9). Perhatika bahwa bayakya cara dalam E dapat terjadi tapa tergatug pada bagaimaa F dapat terjadi, demikia pula sebalikya. Maka barisa F, E dapat mucul dalam 50 cara. Latiha.: Misalka soalya sama seperti pada Latiha.1, amu dega digit yag berbeda. Jawab: Kasus I: i. E dapat dipilih dega 5 cara. ii. F dapat dipilih dega 9 cara. Perhatika bahwa bayakya cara F terjadi tidak bergatug pada bagaimaa E terjadi. Maka dega atura perkalia, barisa E, F dapat terjadi dalam 45 cara. Jadi ada 45 bilaga bulat gajil yag berbeda. Kasus II: i. Jika F adalah kejadia pertama, maka F dapat dipilih dega 10 cara. ii. E sebagai kejadia ke dua dapat dipilih dega 5 cara, jika F ya geap da 4 cara jika F ya gajil. Dega kata lai bayakya cara di maa E terjadi bergatug kepada kejadia F mucul, sehigga atura perkalia tidak dapat diberlakuka utuk barisa F, E. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

40 Latiha.3: Tetuka bayakya bilaga geap dari 100-999 yag tidak mempuyai pegulaga digit. Jawab: Kasus I: bilagaya berakhir dega agka 0 Karea bilagaya terdiri dari tiga digit da digit ke-tiga sudah diambil oleh agka 0, maka tiggal dua digit yag harus ditetuka bayakya piliha. Utuk digit pertama, ada 9 piliha (yaitu 1-9) da utuk digit ke-dua, ada 8 piliha (agka 0 da digit pertama tidak termasuk), sehigga secara keseluruha ada 98 7 bilaga geap yag berakhir dega agka 0. Kasus II: bilagaya tidak berakhir dega agka 0 Digit terakhir ada 4 piliha (yaitu,4,6,8), digit pertama ada 8 piliha (agka 0 da digit terakhir tidak termasuk) da digit ke-dua ada 8 piliha (digit pertama da terakhir tidak termasuk), sehigga secara keseluruha ada 488 56 bilaga geap yag tidak berakhir dega agka 0. Berdasarka kaidah pejumlaha, ada 7 56 38 bilaga geap dari 100-999 dega tidak ada pegulaga digit. Latiha.4: Soalya sama dega Latiha.3. Perhatika kasus II di atas. Utuk soal ii, pemiliha bilaga dimulai dari digit terakhir, digit pertegaha da digit pertama, dega memisahka kasus mejadi digit pertegaha adalah 0 da digit pertegaha adalah buka 0. Jawab: Kasus I: jawabaya sama dega soal Latiha.3 kasus pertama, ada 7 bilaga geap yag berakhir dega agka 0. Kasus II: bilagaya tidak berakhir dega agka 0 Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

41 a. Jika digit pertegaha adalah 0, maka digit terakhir ada 4 piliha (,4,6,8) da digit pertama ada 8 piliha (digit terakhir da 0 tidak termasuk), sehigga ada 48 3 bilaga geap dega tipe ii. b. Jika digit pertegaha buka agka 0, maka digit terakhir ada 4 piliha (,4,6,8), digit pertegaha ada 8 piliha (0 da digit terakhir tidak termasuk) da digit pertama ada 7 piliha, sehigga ada 487 4 bilaga dega tipe ii. Utuk kasus II ada 3 + 4 = 56 bilaga geap dega tipe ii. Jadi secara keseluruha, ada 7 + 56 = 38 bilaga geap dari 100-999 yag tidak mempuyai pegulaga digit. Latiha.5: Soalya sama dega Latiha.3, tetapi peyelesaiaya dibagi dalam 4 kasus, yaitu: i) Dua digit pertama geap, ii) Dua digit pertama gajil, iii) Digit pertama geap, digit ke-dua gajil, iv) Digit pertama gajil, digit ke-dua geap. Jawab: Pemiliha digit pertama da ke-dua dibagi dalam empat kasus: Kasus 1: Jika dua digit pertama geap, maka utuk digit pertama ada 4 piliha (,4,6,8), digit ke-dua ada 4 piliha (digit pertama tidak termasuk) da digit terakhir ada 3 piliha (agka 0, digit pertama da digit ke-dua tidak termasuk), sehigga ada 443 48 bilaga dega tipe ii. Kasus : Jika dua digit pertama adalah gajil, maka utuk digit pertama ada 5 piliha (1,3,5,7,9), digit ke-dua ada 4 piliha (digit pertama tidak termasuk) da digit terakhir ada 5 piliha (0,,4,6,8), sehigga ada 545 100 bilaga dega tipe ii. Kasus 3: Jika digit pertama geap da digit ke-dua gajil, maka utuk digit pertama ada 4 piliha (,4,6,8), digit ke-dua ada 5 piliha (1,3,5,7,9) da digit Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

4 terakhir ada 4 piliha (digit pertama tidak termasuk), sehigga ada 454 80 bilaga dega tipe ii. Kasus 4: Jika digit pertama gajil da digit ke-dua geap, maka utuk digit pertama ada 5 piliha (1,3,5,7,9), digit ke-dua ada 5 piliha (0,,4,6,8) da digit terakhir ada 4 piliha (digit ke-dua tidak termasuk), sehigga ada 554 100 bilaga dega tipe ii. Jadi secara keseluruha, bayakya bilaga geap yag tidak mempuyai digit yag berulag ada 48 100 80 100 38. 3. Prisip Iklusi-Ekslusi Proposisi: Misalka himpua A da B adalah subset dari himpua berhigga U. Maka (a) A B A B A B (b) AB mi A, B, miimum dari A da B (c) A \ B A A B A B c (d) A U A, dega U adalah himpua semesta (e) A B A B A B A B A B A\ B B \ A (f ) A B A B Prisip Iklusi-Eksklusi: Diketahui sejumlah berhigga himpua berhigga A1, A,..., A. Bayakya eleme dalam gabuga himpua berhigga tersebut adalah A A... A A A A A A A 1 i i j i j k i i j i jk 1... 1 A A... A 1 Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

43 Latiha.6: Tetuka bayakya bilaga bulat dari 1 sampai 300 yag: a) Habis dibagi palig sedikit salah satu dari 3, 5, atau 7. b) Habis dibagi 3 da 5, tetapi tidak habis dibagi 7. c) Habis dibagi 5, tetapi tidak habis dibagi 3 maupu 7. Jawab: Misalka himpua A, B da C adalah himpua-himpua bilaga bulat dari 1 sampai 300 yag habis dibagi 3, 5 da 7: 1 300,3, B 1 300,5 A C 1 300,7., da a). Bayakya bilaga bulat dari 1 sampai 300 yag habis dibagi palig sedikit salah satu dari 3,5 atau 7, berarti mecari: A B C A B C A B AC B C A B C. A 300 / 3 100, B 300 / 5 60, C 300 / 7 4. A 300 300 B 0, 35 15 B 300 300 C 8, 57 35 A 300 300 C 14, 37 1 A 300 300 B C 357 105. Jadi A B C 100 60 4 0 14 8 16. Dega demikia, bayakya bilaga bulat dari 1 sampai 100 yag habis dibagi palig sedikit salah satu dari 3, 5, 7 adalah 16 bilaga. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

44 Catata: Fugsi Bawah (The Floor Fuctio) Utuk suatu bilaga real x, batas bawah dari x, ditulis x, adalah bilaga bulat terbesar yag kurag dari atau sama dega x, yaitu bilaga bulat tuggal x yag memeuhi x 1 x x. Cotoh: 3,05 3,,95, 4 4, 5,17 6, 1,87. b). Bayakya bilaga bulat yag habis dibagi 3 da 5 tetapi tidak habis dibagi 7 adalah bayakya bilaga bulat dalam himpua A B \ C, sehigga peyelesaiaya sebagai berikut: A B \ C A B A B C 0 18. c). Bayakya bilaga bulat yag habis dibagi 5, tetapi tidak habis dibagi 3 atau 7 adalah bilaga bulat dalam himpua B \ ( A C) sehigga peyelesaiaya sebagai berikut: Berdasarka prisip iklusi-eksklusi, Sehigga B \ A C B B A C B B A B C B A B C B A B C B A B C B A B C B AC 0 8 6, B \ AC B B AC 60 6 34. Jadi bayakya bilaga bulat yag habis dibagi 5 tetapi tidak habis dibagi 3 da 7 adalah sebayak 34 bilaga. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

45 Latiha.7: Tetuka bayakya bilaga bulat dari 1 sampai 500 yag a). habis dibagi 3 atau 5. b). habis dibagi 3 tetapi tidak oleh 5 atau 6. Jawab: Misalka A, B da C adalah himpua-himpua bilaga bulat yag habis dibagi 3, 5 da 6: 1 500,3, B 1 500,5, C A 1 500,6. a). Bayakya bilaga bulat dari 1 sampai 500 yag habis dibagi 3 atau 5 adalah A B A B A B 166 100 33 33.. Keteraga: A 500 166, 3 B 500 100, 5 A 500 B 33. 35 b). Bayakya bilaga bulat yag habis dibagi 3, tetapi tidak habis dibagi oleh 5 atau 6 adalah bayakya bilaga dalam himpua A \ B C : A\ B C A A B C A A B A C. (1) Berdasarka prisip iklusi-eksklusi, A B AC A B AC A B AC A B AC A B C Dega perhituga diperoleh hasil: () A 500 500 B 33, 35 15 A 500 500 C 83, lcm(3, 6) 6 A 500 500 B C 16, lcm(3,5, 6) 30 sehigga persamaa () mejadi: A B AC 33 8316 100, da persamaa (1) mejadi Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

46 A\ B C 166 100 66. Jadi bayakya bilaga bulat yag habis dibagi 3, tetapi tidak habis dibagi 5 atau 6 ada 66 bilaga. Catata: lcm = least commo multiple (kelipata persekutua terkecil) Latiha.8: Tetuka bayakya bilaga bulat dari 1 sampai 50 yag habis dibagi oleh salah satu dari tiga bilaga bulat berikut: 4, 6 da 15? Jawab: Misalka P, Q da R adalah himpua-himpua bilaga bulat dari 1 sampai 50 yag habis dibagi 4, 6 da 15. 1 50, 4, Q 1 50,6, R P 1 50,15. Maka bayakya bilaga bulat yag habis dibagi salah satu tiga bilaga bulat 4, 6 atau 15 adalah: P Q R P Q R P Q P R Q R P Q R.. (3) Dega perhituga diperoleh: 50 50 50 P 6, Q 41, R 16, 4 6 15 50 50 P Q 0, 50 50 P R 4, lcm 4,15 60 lcm 4, 6 1 50 50 Q R 8, lcm 6,15 30 50 50 P Q R 4 lcm 4, 6,15 60, sehigga hasil perhituga dari persamaa (3) adalah P Q R 6 4116 0 48 4 91. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

47 Jadi bayakya bilaga bulat dari 1 sampai 50 yag habis dibagi oleh salah satu dari tiga bilaga 4, 6, atau 15 ada 91 bilaga. Latiha.9: a). Tetuka bayakya bilaga bulat dari 1 sampai 1000 yag tidak habis dibagi, 3, 5 atau 7. b). Tetuka bayakya bilaga bulat di atara 1 da 1000 yag tidak habis dibagi, 3, 5 atau 7. Jawab: a). Misalka K, L, M da N adalah himpua-himpua bilaga bulat dari 1 sampai 1000 yag habis dibagi, 3, 5 da 7. 1 1000,, L K 1 1000,5, N M 1 1000,7. 1 1000,3, Maka bayakya bilaga bulat dari 1 sampai 1000 yag tidak habis dibagi, 3, 5 atau 7 adalah C K L M N 1000 K L M N K L M N K L M N K L K M K N L M L N M N K L M K L N L M N K L M N 500 333 00 14 166 100 71 66 47 8 33 3 9 4 1175 478 65 4 758. Jadi bayakya bilaga bulat dari 1 sampai 1000 yag tidak habis dibagi, 3, 5 atau 7 adalah C K L M N 1000 K L M N 1000 758 4 bilaga. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

48 Keteraga: K 1000 1000 1000 500, L 333, 3 00, M 5 N 1000 1000 1000 14, 7 K L 166, 3 100, K M 5 K N 1000 1000 71, 7 66, L M 1000 35 47, L N 37 M N 1000 1000 8, 57 33, K L M 35 K L N 1000 1000 3, 37 9, L M N 357 K 1000 L M N 4. 357 b). Dega cara yag sama seperti pada peyelesaia soal a), diperoleh hasil jawaba sebagai berikut: Misalka R, S, T da U adalah himpua-himpua bilaga bulat di atara 1 da 1000 yag habis dibagi, 3, 5 da 7. 1 1000,, S 1 1000,3, T R U 1 1000,7. 1 1000,5, Maka bayakya bilaga bulat di atara 1 da 1000 yag tidak habis dibagi, 3, 5 atau 7 adalah C R S T U 998 R S T U R S T U R S T U R S R T R U S T S U T U R S T R S U S T U R S T U 499 33 199 14 166 99 71 66 47 8 33 3 9 4 117 477 65 4 756. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

49 Jadi bayakya bilaga bulat di atara 1 da 1000 yag tidak habis dibagi, 3, 5 atau 7 adalah C R S T U 998 R S T U 998 756 4 bilaga. Keteraga: R 998 998 998 998 499, S 33, 3 T 199, 5 14, U 7 998 998 998 R S 166, 3 RT 99, 5 71, R U 7 998 998 ST 66, 35 47, S U 998 37 8, T U 57 998 998 R L T 33, 35 3, R S U 37 S T U 998 998 9, 357 4. R S T U 357 Latiha.10: Tetuka bayakya bilaga prima yag tidak lebih dari 100. Jelaska jawabamu. Jawab: Bayakya bilaga bulat positif yag tidak lebih dari 100 adalah 100 bilaga. Berdasarka The Sieve of Eratosthees (sariga Eratosthees), bilaga prima yag tidak lebih dari 100 dapat dicari dega acua bahwa bilaga prima p tidak boleh lebih dari akar 100 ( p 100 ). Karea p 10 maka bilaga prima p adalah, 3, 5, da 7. Tuliska bilaga bulat positif secara terurut dari sampai 100, lalu elimiasi bilaga-bilaga yag merupaka kelipata p, 3p, 4p, 5p,... Perhatika bahwa bilaga-bilaga yag tidak terelimiasi adalah bilagabilaga bulat yag tidak habis dibagi, 3, 5, atau 7. Utuk meghitug bayakya bilaga prima adalah dega jala meghitug bayakya bilaga Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

50 bulat positif yag tidak habis dibagi, 3, 5 atau 7, dikuragi 1 (bilaga 1 buka prima), ditambah dega 4 bilaga prima pertama, yaitu, 3, 5 da 7. Misalka himpua A, B, C da D adalah himpua-himpua yag elemeya habis dibagi, 3, 5 atau 7. 1 100,, B 1 100,3, C 1 100,5 A D 1 100,7., Maka dega megguaka prisip iklusi-eksklusi, diperoleh rumus utuk meghitug bayakya bilaga bulat yag habis dibagi, 3, 5 atau 7. A B C D A B C D A B AC A D B C B D C D A B C A B D AC D B C D A B C D dega: A 100 100 50, 33, B 100 3 0, C 5 D 100 14, 7 A 100 B 16, 3 A 100 C 10, 5 A 100 D 7, 7 B 100 C 6, 35 B 100 D 4, 37 C 100 D, 57 A 100 B C 3, 35 A 100 B D, 37 A 100 C D 1, 57 B 100 C D 0, 357 A 100 B C D 0. 357 Maka bilaga bulat dari 1 sampai 100 yag habis dibagi, 3, 5 atau 7 adalah: A B C D (50 33 0 14) (16 10 7 6 4 ) (3 1 0) 0 117 45 6 0 78 Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit

51 Bayakya bilaga bulat yag tidak habis dibagi, 3, 5 atau 7 adalah 100 78 = (termasuk bilaga 1). Jadi bayakya bilaga prima yag kurag dari 100 adalah bayakya bilaga bulat yag tidak habis dibagi, 3, 5 atau 7 dikurag 1 (bilaga 1) ditambah 4 bilaga prima pertama (, 3, 5 da 7), yaitu -1 + 4 = 5 bilaga prima. Latiha.11: Hituglah bayakya bilaga prima yag kurag dari 00. Jelaska jawabamu dega megguaka prisip iklusi-eksklusi. Latiha.1: Tetuka bayakya bilaga dari sampai 100 yag merupaka kuadrat sempura, pagkat tiga sempura atau pagkat lebih tiggi. Jawab: Perhatika himpua obyek-obyek {,3,,100}. Misalka eleme dari himpua ii mempuyai sifat i jika eleme tersebut sama dega pagkat ke i dari suatu bilaga bulat. Karea 7 >100, maka tidak ada pagkat 7 dalam himpua da sifat-sifat yag ada haya sifat,3,4,5,da 6. Maka bayakya eleme yag mempuyai sifat,3,4,5 da 6 adalah A A3 A4 A5 A6 A A3 A4 A5 A6 A,3 A,4 A,5 A,6 A3,4 A3,5 A3,6 A4,5 A4,6 A5,6 A,3,4 A,3,5 A,3,6 A,4,5 A,4,6 A,5,6 A3,4,5 A3,4,6 A4,5,6 A,3,4,5 A,3,4,6 A3,4,5,6 A,3,4,5,6 1. Keteraga: Misalka: A = bayakya obyek yag mempuyai sifat = Obyek-obyekya adalah 100 110 1 9. 4,3 9, 4 16,5 5,6 36,7 49,8 64,9 81,10 100. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit