MENENTUKAN PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN DENGAN METODE TITIK PEMECAH Warsito Progra Studi Mateatika FMIPA Uiversitas Terbuka warsito@ut.ac.id Abstrak Peyelesaia pertidaksaaa ( x- a, a Î R adalah x a (egguaka sifat eda bilaga real, berarti ilai x yag eeuhi pertidaksaaa adalah x yag lebih kecil dari ilai a. Cara lai eetuka ilai x pertidaksaaa tersebut dega cara egeolka faktor ( x - a, yaitu x- a = atau x = a, sehigga terjadi dua buah selag, yaitu (-, a da ( a,. Nilai x yag eeuhi pertidaksaaa diperoleh dega cara esubstitusika sebuah ilai titik uji (test poit pada selag (-, a, ( a,, atau kedua-duayaya. Titik x = a disebut titik peecah (split poit, da etode peyelesaia pertidaksaaaya disebut etode titik peecah, yag selajutya aka diguaka utuk eyelesaika pertidaksaaa berbetuk: ( x- a ( x- a ( x- a ( x- b ( x- b ( x- b, utuk, Î N bilaga asli Kata kuci : peyelesaia, pertidaksaaa,titik uji, titik peecah. PENDAHULUAN Peyelesaia pertidaksaaa ( x- a, a Î R serig egguaka salah satu sifat eda bilaga real. Dega eabahka bilaga a pada kedua ruas pertidaksaaa, aka diperoleh x a. Jadi, yag eeuhi pertidaksaaa tersebut adalah x yag lebih kecil dari a. Cara lai eetuka ilai x adalah dega cara egolka faktor ( x - a, yaitu ( x - a = atau x = a. Titik a disebut titik peecah (split poit. Kalau digabarka ke dala garis bilaga real R sehigga aka terlihat sebagai berikut.
Gabar. Garis bilaga real Disii terjadi buah selag, yaitu (-, a da ( a,. Nilai x yag eeuhi pertidaksaaa diperoleh dega cara esubstitusika sebuah ilai pada selag (-, a, ( a,, atau keduaduayaya. Titik x disebut titik uji (test poit Perasalahaya, apakah pegguaa etode titik peecah tersebut dapat diterapka utuk betuk pertidaksaaa yag lebih ruit/kopleks? Kajia ii bertujua eghitug atau ecari peyelesaia pertidaksaaa yag lebih ruit dala betuk: ( x- a( x- a ( x- a ( x- b( x- b ( x- b dega, Î N (bilaga asli da betuk varia laiya, >, atau ³. METODOLOGI Peyelesaia pertidaksaaa dega egguaka etode peecah elalui tahapa pebahasa secara beruruta pertidaksaaa betuk: (a ( x- a ; (b ( x - a ( x - a ; (c ( x a( x a - - ; (d ( x - a( x- a ( x - a ; (e ( x - a ( x - b ; da tujua akhir kajia dibahas betuk (f ( x- a( x- a ( x- a ( x- b( x- b ( x- b. HASIL DAN PEMBAHASAN (a Betuk ( x- a
Utuk ebahas betuk ( x- a, sebagai ilustrasi diselesaika pertidaksaaa betuk ( x +. Karea ( x +, aka haya ada satu faktor yaitu ( x +. Megolka faktor ( x +, berarti x + = da titik peecahya x =-. Dega deikia terjadi buah selag yaitu (-,- da (-,. Jika diabil sebarag ilai titik uji pada selag (-,-, isalka x =-, aka pertidaksaaa ejadi (- + sehigga x =- eeuhi pertidaksaaa, da kesipulaya ilai-ilai x pada selag (-,- eeuhi pertidaksaaa. Tetapi, jika diabil titik uji x = aka pertidaksaaa ejadi ( + sehigga x = tidak eeuhi pertidaksaaa, da kesipulaya ilai-ilai x pada selag (-, tidak eeuhi pertidaksaaa. Kalau digabar pada garis bilaga, terlihat pada Gabar berikut ii. Gabar. Dua selag dega satu titik peecah (b Betuk ( x - a( x - a Utuk betuk ( x - a( x - a, abil ilustrasi ( x + ( x- 3. Terdapat titik peecah, yaitu x =- da x = 3. Terjadi 3 buah selag, yaitu (-,-, (-,3, da (3,. Abil titik uji x =-, aka (- + ( - - 3 sehigga x pada (-,- tidak eeuhi. Abil titik uji x =, aka ( + ( - 3 sehigga x pada (-,3 eeuhi. Abil titik uji x = 5, aka (5 + (5-3 sehigga x pada (3, tidak eeuhi. Kalau digabar pada garis bilaga, terlihat pada Gabar 3 berikut ii. Gabar 3. Tiga selag dega dua titik peecah
Sebetulya titik uji cukup diabil satu buah saja di sebarag selag, selajutya pada selag yag bersebelaha aka otoatis bergati tada. Misalka, abil titik uji x = 5 pada selag (3, eghaslika tada, aka pada selag (-,3 aka bertada +, da selajutya pada selag (-,- bertada. Betuk (b dapat diperluas ke betuk ( x - a( x - a ( x - a (setiap faktor berpagkat. Peyelesaiaya, abil titik uji pada selag sebarag keudia selag-selag berikutya tada pertidaksaaaya aka bergatia. (c Betuk ( x - a( x- a Betuk ( x a( x a - -, abil ilustrasi ( x ( x 3 + -. Terdapat buah titik peecah, yatu x =- da x = 3. Terjadi 3 buah selag, yaitu (-,-, (-,3, da (3,. Gabar 4. Tiga selag dega dua titik peecah Titik peecah x = 3, yag berasal dari pagkat faktor geap, dapat diabaika karea tidak eberika perubaha tada. Sehigga, sebetulya dapat diaggap terdapat satu buah titik peecah daga buah selag (-,- da (-,. Ii sesuai dega salah satu sifat eda bilaga real bahwa tada pertidaksaaa tidak berubah jika kedua ruas pertidaksaaa dikalika/dibagi dega bilaga positif [dala hal ii ( x - 3 ]. (d Betuk x a x a x a ( - ( - ( - Betuk (d kalau dibagi dega faktor yag berpagkat geap, aka aka berubah ejadi:
ì ï ( x- a( x- a3 ( x- a, gasal í ï ïî ( x- a( x- a3 ( x- a-, geap Utuk gasal terdapat dega (b. + titik peecah dega + 3 selag. Utuk geap terdapat +. Peyelesaia betuk terakhir ii aalog dega peyelesaia perluasa betuk ( x - a (e Betuk ( x - b ( x - a Utuk ebahas betuk, perhatika ilustrasi tada pertidaksaaa ( x - b (buka ilaiya atara pebagia da perkalia faktor berikut ii. 8 4 > (8(4 > - 8 4 (- 8(4 8-4 (8(- 4 - - 8 4 > (- 8( - 4 > Dari ilustrasi tersebut, atar pebagia atau atar perkalia faktor yag saa aka tidak egubah tada pertidaksaaa. Dega deikia, utuk betuk yag lebih uu juga ( x - a berlaku, yaitu ( x - b dapat diubah ejadi ( x - a( x - b. Di sii terdapat titik peecah dega 3 selag. Peyelesaiaya aalog dega peyelesaia betuk (b. (f Betuk ( x- a( x- a ( x- a ( x- b( x- b ( x- b Betuk ii berdasarka (e dapat diubah ejadi:
( x - a ( x - a ( x - a ( x - b( x - b ( x - b. Keudia berdasarka betuk (d, aka dapat diubah ejadi: ( x - a ( x - a ( x - a ( x - b( x - b ( x - b yag eiliki ( 3 3 ( + + titik peecah, utuk da gasal; ( x - a ( x - a ( x - a ( x - b( x - b ( x - b yag eiliki ( 3-3 ( + + titik peecah, utuk gasal da geap; ( x - a ( x - a ( x - a ( x - b( x - b ( x - b yag eiliki (3 3-3 - ( + buah titik peecah, utuk da geap; atau ( x - a ( x - a ( x- a ( x - b( x- b ( x - b - yag eiliki (4 3 3 ( + + titik peecah, utuk geap da gasal. KESIMPULAN Betuk ( x- a( x- a ( x- a ( x- b( x- b ( x- b dapat diubah ejadi betuk: ( x - a ( x - a ( x - a ( x - b( x - b ( x - b yag eiliki ( 3 3 ( + + titik peecah, utuk da gasal. ( x - a ( x - a ( x - a ( x - b( x - b ( x - b yag eiliki ( 3-3 ( + + titik peecah, utuk gasal da geap. ( x - a ( x - a ( x - a ( x - b( x - b ( x - b yag eiliki (3 3-3 - ( + buah titik peecah, utuk da geap. ( x - a ( x - a ( x - a ( x - b( x - b ( x - b - yag eiliki (4 3 3 ( + + titik peecah, utuk geap da gasal.
Setelah pertidaksaaa berbetuk (, (, (3, atau (4 keudia diabil sebuah titik uji pada salah satu selag. Dipeuhi atau tidak dipeuhi pada selag diaa titik uji diabil aka eberika tidak dipeuhi atau dipeuhi secara bergatia pada selag berikutya. Betuk pertidaksaaa dapat diodifikasi atau disesuaika ke dala betuk pertidaksaaa yag lai yaitu betuk >,, atau ³. DAFTAR PUSTAKA Dale Varberg, Purcell, Edwi J., Rigdo, Steve E. (7. Calculus. USA: Pearso Educatio, Ic.