PENERAPAN DERET TAYLOR DALAM MENENTUKAN DERET FOURIER TANPA INTEGRAL APPLYING TAYLOR SERIES IN DETERMINING FOURIER SERIES WITHOUT INTEGRAL

Transkripsi

1 0 PENERAPAN DERET TAYOR DAAM MENENTUKAN DERET FOURIER TANPA INTEGRA APPYING TAYOR SERIES IN DETERMINING FOURIER SERIES WITHOUT INTEGRA Hedi Sta Pegaar UP MKU Politekik Negeri Badug) Abstrak Peelitia ii erupaka lauta dari peelitia yag berudul Meetuka Deret Fourier Fugsi Periode Sebarag Tapa Itegral. Masalahya, ugsi yag ditetuka deret Fourierya harus berbetuk polio. Selautya, dala peelitia ii ugsi yag buka polio dapat diubah ke betuk polio dega cara eerapka deret Taylor sehigga deret Fourier dapat ditetuka tapa elalui itegral. Kata kuci : Deret Fourier, Polio, Deret Taylor Abstract This Research is cotiuatio ro research that etitle deterie Fourier series a arbitrary periodic uctio without itegral. This ethod is o o use at all whe we caot id the uctio i the or o polyoial uctio. Its uctio is ot restricted to polyoial by applyig the Taylor series, Fourier series ca be deteried without itegral Keywords: Fourier series, Taylor series Without Itegral PENDAHUUAN Deret Fourier diterapka dala rekayasa Hedi, 007) sebagai cotoh dala ilu listrik, yaitu egaalisis steady state respos ragkaia terhadap iput yag berbetuk ugsi buka sius atau cosies, tetapi besiat periodik.

2 Siga-Mu Vol. No. Septeber 00 Uuya, ika koeisie Fourier tidak dapat ditetuka secara eksak, dilakuka dega pedekata uerik Washigto, 987). Bahasa perograa - seperti Derive, Maple, Matlab - eiliki kea-pua utuk eetuka koeisie Fourier elalui pedekata uerik. Tetuya, ika pirati keras tidak eadai, pedekata terbaik aka sulit didapatka. Apabila ) yag dideiisika pada iterval -, ), bagia dei bagia pada iteval berkesiabuga; tersebut pada iterval tersebut itegrabel; berperiodik dega Periode. ) dapat diyataka dala deret Fourier sebagai berikut: ) a0 a cos ) b si )...) keudia a 0, a, da b yag ditetuka dega eerapka ruus Euler sebagai berikut: a 0 ) d...) a )cos d...) b )si d...) Apabila ) ugsi sederhaa, seperti ugsi dari gelobag persegi, gigi gergai atau ugsi polio, persaaa,, da tidak sulit ditetuka. Dala praktik, apabila ) berbetuk seperti e, persaaa,, da tidak dapat dicari secara eksak Peelitia ii bertuua utuk egubah persaaa da eadi betuk peulaha ugsi yag dapat diterapka utuk sebarag ugsi. Selautya, diterapka deret Fourier pada asalah ragkaia listrik yag terdiri atas Resistor R), Iduktor ), da kapasiror C dihubugka seri dega suber tegaga Et) yag buka sius atau cosies, tetapi berperiodik

3 Peerapa Deret Taylor Dala Meetuka Deret Fourier Tapa Itegral TINJAUAN PUSTAKA '' '' ) '' ). Meetuka Koeisie Fourier Tapa Itegral Matheus, 999) ) adalah ugsi yag epuyai periode yag berbetuk polio-polio g, g, g... < g di dala iterval < g ) bila 0, 0 ) g ) bila g ) bila..5) g ) bila, ) aka ) ugki epuyai locata di 0,,,.... Begitu pula dega turuaturuaya ', '', ''',... Selautya, diotasika = da seterusya, =,,,.... a da b ditetuka dega peulaha sebagai berikut: a = si ' cos '' si ''' cos.....6) b = cos ' si '' cos ''' si.....7) locata di ) ) ' = locata ' di, ' ' ) ' ) '' = locata '' di. Pegitegrala Nuerik Chapra, 00) Jika persaaa,, da tidak dapat ditetuka secara eksak, uuya dilakuka elalui

4 Siga-Mu Vol. No. Septeber 00 pedekata uerik dega cara egaproksiasi itegralya dega atura sipso / yaitu: b a ) d didekati dega cara ebagi selag [a, b] eadi buah selag yag saa yaitu h = b a sehigga didapat titik-titik 0 = a,,,... = b. Itegral tersebut didekati dega b a ) d h 0) ) ) ))..8) i i i,,5,.. i,,6.... Deret Taylor Chapra, 00) Apabila ugsi ) da turua-turuaya ada dala suatu selag c-r,c+r), ), dapat dituliska ke dala betuk ) c) c) c) c) c) c) c)!! a) c... )...9) )! Deret ii diaaka deret Taylor. dega a) R ) c) )! da a suatu bilaga dala selag c-r, c + r) Jika i R ) 0, deret tersebut eggabarka ) pada selag tersebut.. Aproksiasi Fugsi Chapra, 00) Aproksiasi ugsi adalah edekati suatu ugsi dega egguaka ugsi yag lai. Fugsi tersebut biasaya ditetuka dega eerapka deret Taylor ika ugsi yag diaproksiasi berperiodik ditetuka dega eerapka Deret Fourier. Galat erupaka selisih yag dihasilka oleh ugsi yag diaproksiasi dega ugsi yag egaproksiasi. Dega deikia, aproksiasi terbaik adalah aproksiasi yag eghasilka graik yag irip dega ugsi yag diaproksiasi. Jika kita egaproksiasi ugsi ) oleh p) pada titik dala iterval a<<b dega =,,,, galat absolut di adalah

5 Peerapa Deret Taylor Dala Meetuka 5 Deret Fourier Tapa Itegral G = ) p ) 0) Ii diaaka deiasi atara da p di da galat persetasiya adalah ) p ) GP = 00%...) ) dega ) # 0 METODE PENEITIAN Persaa 6 da 7 tidak dapat ditetuka apabila ugsi y = ) buka ugsi polio. Selautya, ugsi tersebut aka didekati dega polio Taylor. Masalahya adalah eetuka deraat yag sesuai pada selag a<<b. Utuk itu, diguaka pedekata secara grais utuk edapatka ugsi yag sesuai dega polio Taylor, yaitu dega egguaka progra Maple versi 9.5). Selautya, dibadigka ilai- ilai ugsi polio pada selag tersebut dega ilai ugsi sebearya. Dega deikia, kesalaha dala pedekata polio terhadap ugsi yag sebearya dapat ditetuka. Jika ugsi polio pada selag a < < b tidak ada yag eeuhi, dilakuka peotoga eadi dua atau lebih dari selag tersebut yag dilautka dega eetuka polio Taylor yag sesuai pada selag bagiaya. Tahap berikutya adalah ebadigka ilai ugsi yag terpilih dega ilai ugsi yag sebearya. Apabila rata-rata galat perse kecil, peiliha ugsi polio yag sesuai sudah tepat. Jika tidak, dilakuka kebali pada titik yag lai atau eaikka deraat polioya. Selautya, ditetuka deret Fourier ugsi periodik yag ugsiya telah diyataka dega polio Taylor, yaitu dega eerapka persaaa 6 atau 7. Sebagai pebadig, ditetuka dega etode uerik yag itegralya ditetuka dega persaaa 8. Tahap berikutya adalah ebadigka deret Fourier dari dua etode ii dega ugsi yag sebearya. Pada asalah ragkaia listrik dari ragkaia seri resistor, iduktor, da kapasitor, diterapka

6 6 Siga-Mu Vol. No. Septeber 00 deret Fourier. Suber tegaga berbetuk ugsi periodik yag koeisie Fourier-ya tidak bisa ditetuka dega persaaa 6 da 7. HASI DAN PEMBAHASAN Perhatika ugsi ) berperiodik dega periode = 6 l ) ika 0 )...6) l ) ika 0 di = - -l - + ) = -l + ) + ) 8 + ) + ) + ) 6 da di = - -l - + ) = -l + ) + ) 8 ) 8 + ) +.5) Utuk 0 < <, ) = l+) dega eerapka persaaa 9, deret Taylorya adalah di = l + ) = l + ) - Dega egguaka progra Maple versi 9.5 ), sketsa graik utuk polio deraat da ugsi asliya adalah 8 + ) + ) da di = l + ) = l + ) - 6 ) - ) ) 8 ) 8 - ) +.) Karea ) ugsi gail, deret Taylor utuk -< < 0 adalah Gabar

7 Peerapa Deret Taylor Dala Meetuka 7 Deret Fourier Tapa Itegral Nilai-ilai polio Taylor da ugsi yag sebearya diperlihatka dala tabel l+) Tabel Polio Taylor Galat X= X= = = % 6.70% % 7.9% % 8.6% %.69% %.68% %.56% % 0.9% % 0.5% % 0.0% % 0.7% % 0.09% % 0.0% % 0.0% % 0.0% % 0.00% % 0.00% % 0.00% % 0.00% % 0.00% % 0.00% % 0.00% % 0.00% % 0.00% % 0.00% % 0.00% % 0.00% % 0.0% % 0.0% % 0.0% Polio Taylor di = eiliki pedekata cukup baik pada iterval 0 < <,5, sedagka di = pada iterval,5<<. Dega deikia, dipilih yag ewakili l + ) pada iterval 0< <, yaitu y = l + 8 ) +..6) ) - ) - dega 0 < <,5 da y = l + 0 ) + ) ) - )..7) dega,5< <. ) Utuk l-+) pada - < < 0 adalah y = -l + ) + ) 8 + ) + ) + 8) 6 dega -,5 < < 0 da % 0.05%

8 8 Siga-Mu Vol. No. Septeber 00 y = -l + ) + ) 8 ) 8 + ) +.9) dega - < <,5 Dega egguaka progra Maple versi 9.5 ), sketsa graik deret Fourier dua puluh suku yag pertaa adalah Karea ) ugsi gail, deret Fourie-rya berbetuk sius sehigga koeisie Fourier-ya ditetuka oleh persaaa 6, yaitu ) =,96si )- 0,00si ) +0,5si )-0,si ) +0,8si )-0,si ) +0,8si )-0,087si ) +0,099si )-0,0877si ) +0,08si )-0,077si ) +0,0686si )-0,06si ) +0,059si )-0,056si ) +0,05si )-0,086si ) +0,069si )- 0,07si ) + 0) Selautya, persaaa 6 diselesaika dega pedekata uerik dega eerapka persaaa 8 da batua progra Maple versi 9.5 ) dega iterasi 80 didapat ) =,95si ) - 0,0si ) +0,si ) - 0,9si ) +0,808si ) - 0,9si ) +0,77si ) - 0,09si ) +0,0989si ) - 0,0877si ) +0,0807si ) -0,07si ) +0,068si

9 Peerapa Deret Taylor Dala Meetuka 9 Deret Fourier Tapa Itegral )-0,069si ) +0,059si ) -0,055si ) +0,05si )-0,090si ) +0,066si )- 0,0si )+ ) Nilai-ilai ugsi Fourier dari dua etode da ugsi yag sebearya diperlihatka dala tabel. Tabel Metode Galat l+) Nuerik Taylor uerik polio %.0% %.0% %.% %.9% % 5.% %.6% %.6% %.00% %.8% %.70% %.5% %.06% %.0% %.0% %.% % 0.58% %.6% %.95% % 0.0% %.9% %.8% % 0.7% %.67% % 5.8% %.6% %.6% % 0.% % 8.6% % 6.% -6.96E E % 00.00% Sipaga Rata-rata 7.8% 7.9% Peerapa Deret Fourier pada Ragkaia istrik Perhatika ragkaia listrik yag terdiri atas resistor R), iduktor ), da kapasiror C dihubugka seri dega tegaga Et) Gabar Dega eerapka huku suber Kircho utuk tegaga, diberika persaaa dieresial d I) t dt + d E t)) dt R C Et) R di) t dt + It ) = c..) Apabila diketahui R = 00 Ω, = 0 Hedry, C = 0 - arad, persaaa eadi

10 0 Siga-Mu Vol. No. Septeber 00 d I t) di t) + 0, + I t) = dt dt d E t))...) 00 dt da apabila iput tegaga Et) berbetuk Et) = 00 t )l t ) 00t ika 0t 00 t )l t ) 00t ika t0...5) Berperiodik dega periode = 6 d E t)) 00 dt = l t ) ika 0t...6) l t ) ika t 0 Dari persaaa 0, deret Fourierya adalah d E t)) 00 dt =,96si )- 0,00si ) + 0,5si ) - 0,si ) + 0,8si )- 0,si ) +...7) Jika ruas kaa persaaa adalah salah satu deret berbetuk d I t) di t) + 0, + I t) = dt dt ksi t dega =,,,, 8) solusi keadaa stabil It) berbetuk I t) = A cos t + B si t Dega eyubstitusika ke persaaa 8, didapat 70 k A = 00 9) 9 da B = 900 k 9) 00 9) 9 Solusi keadaa stabilya adalah I = I +I + I + Aplitudo solusi I t) adalah C = A B Misalka, ruas kaa persaaa 8 adalah suku kesatu Fourier persaaa 7,96 si t) = ksi t aka k =,96 da = Jadi A =5,0 da B =,987 Da C = 7,508 dari deret

11 Peerapa Deret Taylor Dala Meetuka Deret Fourier Tapa Itegral SIMPUAN Apabila ) ugsi logarita yag terdeiisi pada iterval a < < b berperiodik dega periode, koeisie Fourier ditetuka terlebih dahulu dega eotog iterval tersebut agar didapat polio yag sesuai. Akibatya, ugsi eadi tidak kotiu di titik peotoga. Dega kata lai, ada locata ilai ugsi di titik tersebut. Karea besar locata kecil, tidak berpegaruh pada deret Fourier. Secara grais, ugsiya elilit di sekitar ugsi asliya. Sebagai pebadig, dega etode ueric, teryata hasilya tidak auh berbeda dega pedekata uerik. Dega deikia, pedekata polio Taylor dapat diterapka utuk eetuka deret Fourier sebarag ugsi tapa itegral. Polio Taylor yag sesuai dega ugsi pada iterval a < < b tidak haya secara grais saa, tetapi harus diyataka ilaiilaiya. Apakah sesuai dega yag sebearya. Hal ii egigat graik yag dibuat oleh perograa koputer bisa saa eapakka saa atara polio Taylor dega ugsi sebearya walaupu sebearya berbeda. Bahasa perograa seperti Maple 9.5 da Derive sagat ebatu dala egubah ugsi ke dala betuk polio Taylor. Dilautka dega eilih polio yag sesuai dega ugsi tersebut. Di sapig itu, adaya sotware sagat ebatu dala elakuka operasi-operasi alabar yag secara hituga aual aat ruit dilakuka. DAFTAR PUSTAKA Chapra, Steve C. 00. Nuerical Methods or Egieers: with Sotware ad Prograig Appplicatio, Ed ke-. New York: The McGraw-Hill Copaies, INC. Erwi, Kreyszig. 99. Advaced Egierig Matheatics, Ed ke- 7. New York: Joh Wiley & Sos, INC. Hedi Meetuka Deret Fourier Fugsi dega Periode Sebarag Tapa Itegral, Siga-MU Jural Peelitia & Gagasa Sais da Mateatika Terapa), Vol, No, Maret. Matheus, Joh H da Kurtis D. Fik Nuerical Methods

12 Siga-Mu Vol. No. Septeber 00 Usig Matlab, Third Editio, Pretice Hall INC). Purcell, Edwi J Kalkulus da Geoetri Aalisis, Ed. ke- 5, Jilid. Alih Bahasa I Nyoa Susila. Jakarta: Erlagga. Washigto, Ally J Basic Techical Matheatics with Calculus, Ed. ke-. Calioria: The Beai/Cuigs Publishig Copay, Ic.