Vol No Jurnal Sans Teknolog Industr APLIKASI METODE SINGULAR VALUE DECOMPOSITION(SVD) PADA SISTEM PERSAMAAN LINIER KOMPLEKS Ftr Aryan Dew Yulant Jurusan Matematka Fakultas Sans Teknolog UIN SUSKA Rau Emal: bahaq_fatmah78@yahoocom ABSTRAK Sstem Persamaan Lnear (SPL) dapat dbentuk ke dalam persamaan matrks AX =B Koefsen pada sstem persamaan lnear ada yang berbentuk blangan rl ada yang berbentuk blangan kompleks Metode SVD merupakan suatu metode yang mendekomposskan suatu matrks A menjad tga komponen matrks USV H Metode SVD dapat dgunakan untuk mencar solus dar sstem persamaan lnear kompleks yang konssten maupun sstem persamaan lnear kompleks yang tdak konssten Solus yang dperoleh dar sstem persamaan lnear kompleks yang konssten dengan menggunakan SVD adalah solus tunggal banyak solus Segkan solus yang dperoleh dar sstem persamaan lnear kompleks yang tdak konssten dengan menggunakan SVD adalah solus pendekatan terbak Katakunc: bass ortonormal sstem persamaan lnear kompleks Sngular Value Decomposton (SVD) ABSTRACT Lnear Equaton System (SPL) nto equaton of matr AX = B Coeffcent of lnear equaton system there s whch s the n form of real number and there s whch s the n form of comple number Method of SVD a method for decomposton matr A become three component of matr USV H Method of SVD earn s used to look for soluton from lnear equaton system comple consstent and also lnear equaton system comple not the consstence Whle soluton obtaned from lnear equaton system complenot the consstence s soluton of best approach Keywords: lnear equaton system comple orthonormal base Sngular Value Decomposton (SVD) PENDAHULUAN Sstem persamaan lnear merupakan sekumpulan persamaan lnear yang terdr dar koefsen varabel Koefsen pada sstem persamaan lnear ada yang berbentuk blangan rl ada yang berbentuk blangan kompleks Sstem persamaan lnear mempunya beberapa bentuk pemecahan atau solus yatu solus tunggal banyak solus tdak ada solus Beberapa metode yang dapat dgunakan untuk menyelesakan sstem persamaan lnear taranya Operas Bars Elementer (OBE) Sngular Value Decomposton (SVD) Metode OBE adalah metode yang sangat dasar sekal dalam menyelesaakn suatu sstem persamaan lner bak SPL rl maupun SPL Kompleks [] Berdasarkan bentuk SPL ada yang konssten ada yang tdak konssten mempengaruh hasl solus dar SPL tersebut Metode OBE hanya dapat menyelesakan SPL yang konssten Metode SVD adalah suatu metode yang juga dapat menyelesakan SPL rl maupun SPL kompleks yang berbentuk konssten Tetap SVD mempunya kelebhan yatu dapat meyelesaskan SPL yang berbentuk tdak konssten dalam hal n solus yang dperoleh adalah solus pendekatan terbak Metode SVD adalah suatu metode yang mendekomposskan suatu matrks 7
Vol No Jurnal Sans Teknolog Industr menjad tga komponen matrks d mana merupakan matrks unter berukuran merupakan matrks yang berukuran yang semua entr d luar dagonalnya merupakan matrks unter berukuran [4] Metode SVD telah dgunakan oleh beberapa penelt sebelumnya taranya menggunakan SVD untuk menentukan nvers Moore Penrose dar suatu matrks Penelt selanjutnya menggunakan SVD untuk mengurang nose yang terdapat pada ctra dgtal dengan bantuan DFT (Dscrete Fourer Transform) Kemu menggunakan SVD untuk menyelesakan sstem persamaan lnear dengan koefsen blangan rl Metode SVD untuk menyelesakan Sstem Persamaan Lner Kompleks pada tulsan n dbatas hanya pada bentuk SPL kompleks yang tdak konssten Aplkas metode SVD yang dgunakan pada tulsan n juga berbentuk contoh-contoh Sstem Persamaan Lner Kompleks yang dbatas oleh banyak persamaan dengan banyak varabelnya banyak persamaan dengan banyak varabelnya METODE DAN BAHAN Adapun metodolog peneltan yang penuls gunakan adalah metode stud lteratur dengan langkah-langkah sebaga berkut: Dberkan sstem persamaan lnear kompleks Mengubah suatu sstem persamaan lnear kompleks ke dalam bentuk persamaan matrks Mencar nla egen vektor egen dar matrks dengan cara membentuk matrks baru 4 Mendekomposskan matrks menjad tga komponen matrks a adalah matrks unter berukuran Bass ortonormal dar ddefnskan sebaga []: b adalah matrks yang berukuran yang semua entr d luar dagonalnya adalah elemenelemen dagonalnya memenuh Semua yang dtentukan adalah tunggal dsebut nla-nla sngular dar matrks c adalah matrks unter berukuran matrks Agar vektor-vektor kolom membentuk hmpunan ortonormal maka vektor-vektor egen dar tersebut dnormalsaskan yatu: 5 Membentuk bass-bass ortonormal Menentukan solus dar suatu sstem persamaan lnear kompleks Bahan-bahan penunjang untuk pembahasan selanjutnya akan dpaparkand bawah n Sstem Persamaan Lnear Sstem persamaan lnear adalah sekumpulan persamaan lnear yang terdr dar persamaan dengan varabel dalam bentuk standar yang dapat dsusun yang mana adalah konstanta Huruf adalah koefsendar varabel 8
Vol No Jurnal Sans Teknolog Industr pada persamaan blangan adalah konstantadar persamaan Sstem persamaan lnear pada persamaan d atas yang terdr dar persamaan lnear dengan varabel ekuvalen dengan persamaan matrks atau yang mana adalah matrks koefsen kolom dar varabel-varabel adalah vektor adalah vektor kolom dar konstanta Beberapa bentuk pemecahan atau solus dar sstem persamaan lnear adalah sebaga berkut: Solus tunggal Dkatakan memlk solus tunggal apabla terdapat satu ttk potong dar sstem persamaan lnear Banyak solus Dkatakan memlk banyak solus apabla terdapat banyak ttk potong dar sstem persamaan lnear Tdak ada solus Dkatakan tdak ada solus apabla tdak ada ttk potong dar sstem persamaan lnear Koefsen pada sstem persamaan lnear ada yang berbentuk blangan rl ada yang berbentuk blangan kompleks Selanjutnya akan dberkan penjelasan tentang sstem persamaan lnear yang berkoefsen blangan rl sstem persamaan lnear dengan koefsen blangan kompleks Sstem Persamaan Lnear Rl Sstem persamaan lnear rl merupakan sstem persamaan lnear dengan koefsen blangan rlmetode dasar yang serng dgunakan untuk menyelesakan sstem persamaan lnear rl adalah Operas Bars Elementer (OBE) OBE merupakan suatu metode untuk Sstem Persamaan Lnear Kompleks Sstem persamaan lnear kompleks merupakan sstem persamaan lnear dengan koefsen blangan kompleks Blangan kompleks adalah blangan yang terdr dar blangan rl blangan majner Menurut Ncholson () sstem persamaan lnear kompleks dapat juga dselesakan dengan menggunakan Operas Bars Elementer 4 Metode Sngular Value Decomposton (SVD) Sngular Value Decomposton atau Dekomposs Nla Sngular yang selanjutnya dtuls dengan SVD adalah suatumetode yangmendekomposskan suatu matrks menjad tga komponen matrks yang mana salah satu dar matrks tersebut entrnya merupakan nla sngular dar matrks Proses dekomposs n serng juga dsebut dengan faktorsas Berkut akan dberkan defns dar nla sngular Defns : Dketahu matrks dengan yang mana Nla egen dar matrks adalah Akar nla egen postf dar dsebut dengan nla sngular dar matrks dnyatakan dengan untuk setap 5 Ortogonal Bass Ortonormal Defns : Dketahu vektor maka hasl kal dalam vektor adalah yang mana adalah konjugat dar Selanjutnya akan dberkan defns mengena ortogonal Defns :Vektor dkatakan ortogonal jka hanya jka 9
Vol No Jurnal Sans Teknolog Industr Berkut akan dberkan teorema mengena bass ortonormal Teorema : Jka adalah bass ortonormal untuk ruang hasl kal dalam adalah sebarang vektor dalam maka Nla Egen Vektor Egen Defns 4 : Dketahu adalah matrks maka vektor tak nol d dalam dnamakan vektor egen dar jka adalah kelpatan skalar dar yatu: untuk suatu skalar Skalar dsebut nla egen dar dkatakan vektor egen yang bersesuaan dengan 7 Matrks Kompleks Matrks kompleks yatu matrks dengan entr-entr blangan kompleks Msalkan A adalah matrks kompleks jka adalah blangan kompleks maka adalah konjugatnya Konjugat dar matrks kompleks yang dtuls adalah matrks yang dperoleh dar dengan cara menghtung konjugat dar setap entr Notas konjugat Yatu dgunakan untuk transpos kompleks Sepert yang telah dketahu bahwa sstem persamaan lnear dapat dbentuk ke dalam persamaan matrks () yang mana matrks merupakan matrks koefsen yang akan dcar bentuk SVD-nya Suatu sstem persamaan lnear kompleks akan konssten jka hanya jka matrks pada persamaan () berada dalam Untuk mengetahu bahwa berada dalam maka akan duj apakah sama dengan proyeks pada yang mana drentang oleh vektor Proyeks pada dberkan oleh persamaan d bawah n: () Berdasarkan bentuk SPL Kompleks persamaan () d atas maka terdapat d dua kasus yatu: Kasus untuk Pada kasus untuk maka sstem persamaan lnear kompleks konssten mempunya palng sedkt satu solus Karena maka sehngga menurut persamaan () dperoleh persamaan Beberapa lteratur menggunakan gant sebaga Defns 5 : Sebuahmatrks dengan entrentr blangan kompleks dsebut unter jka Dengan catatan haruslah matrks bujursangkar dapat-dbalk oleh karena maka () dengan mensubsttuskan persamaan () pada persamaan () ddapatkan HASIL DAN PEMBAHASAN Berkut n akan djelaskan bagamana metode SVD dapat dgunakan untuk menyelesakan sstem persamaan lnear 7
Vol No Jurnal Sans Teknolog Industr (4) yang merupakan solus dar sstem persamaan lnear kompleks pada persamaan () Nla solus dar sstem persamaan lnear kompleks bergantung pada ruang nol dar matrks yatu Sehngga ada dua subkasus yatu: a Jka maka sstem persamaan lnear kompleks mempunya satu solus atau solus tunggal yang mana solusnya dberkan oleh persamaan (4) b Jka maka sstem persamaan lnear kompleks mempunya banyak solus Solusnya dberkan oleh: Kasus untuk Pada kasus untuk maka sstem persamaaan lnear kompleks tdak konssten dalam hal n solus yang dperoleh adalah solus pendekatan terbak Solus pendekatan terbak tersebut adalah vektor sehngga yang mana d dalam adalah vektor yang terdekat dengan Solus pendekatan terbak dberkan oleh persamaan (4) dsebut sebaga solus pendekatan terbak artnya jka adalah vektor d terdekat dengan maka yang Sehngga vektor lurus dengan setap vektor d termasuk vektor yang merentang yatu vektor-vektor dengan ortonormal maka berlaku: Hal n menunjukkan bahwa akan tegak adalah vektor yang adalah tegak lurus dengan setap vektor d persamaan (4) merupakan solus pendekatan terbak Selanjutnya akan dberkan beberapa contoh penyelesaan sstem persamaan lnear kompleks yang tdak konssten dengan menggunakan metode SVD Beberapa contoh sstem persamaan lnear kompleks yang dberkan berdasarkan dengan persamaan varabel Contoh : Dberkan sstem persamaan lnear kompleks dengan persamaan varabel sebaga berkut: 5 4 5 5 4 5 5 Penyelesaan: Mengubah sstem persamaan lnear kompleks ke dalam bentuk persamaan matrks 7
Vol No Jurnal Sans Teknolog Industr 5 4 5 4 5 Nla sngular dar matrks adalah Mencar nla egen vektor egen a Ddapat nla-nla egen dar adalah b vektor-vektor egennya adalah Ddapat vektor egen untuk yatu: Maka ddapat matrks sngular yatu 5955 S 8547 4 878 b Menyusun matrks dengan 57 persamaan: maka ddapat: Ddapat vektor egen untuk yatu: Ddapat vektor egen untuk yatu: Ddapat vektor egen untuk yatu: Ddapat vektor egen untuk yatu: Mendekomposskan matrks menjad tga komponen matrks a Menyusun matrks 79 S 955 79 84 4 899 U 7 45 7 78 59 9 8 8 588 57 99 475 84 8 57 44 84 77 5 c Menyusun matrks dengan persamaan: maka ddapat matrks sebaga berkut: 58 59 55 8 577 78 585 48 97 9 5 8 87 4 487 59 95 498 4 45 589 dperhatkan matrks unter agar matrks unter menjad matrks perseg berukuran harus dtambahkan satu kolom lag yang mana kolom tersebut salng 7
Vol No Jurnal Sans Teknolog Industr 7 ortonormal dengan vektor kolom lannya Msalnya dambl sehngga 8 95 59 487 589 4 87 8 7 45 5 9 8 7 7 4 97 78 55 899 5 498 48 59 4 585 577 58 84 U Sehngga bentuk SVD dar matrks adalah: 5 USV A H 4 Menentukan bass-bass ortonormal untuk a Untuk bass Bass dar adalah 589 45 4 498 95 4 5 97 48 585 59 87 9 78 577 487 8 8 55 59 58 7 899 4 84 b Untuk bass Bass dar adalah 8 7 7 5 u c Untuk bass Bass dar adalah 5 77 84 44 57 475 99 57 8 588 8 59 7 84 8 9 78 45 79 955 79 d Untuk bass Bass dar adalah 5 Menentukan solus dar suatu sstem persamaan lnear kompleks Berdasarkan perhtungan tersebut dperoleh atau Karena berart Maka sstem persamaan lnear kompleks d atas tdak konssten akan tetap
Vol No Jurnal Sans Teknolog Industr solus pendekatan terbaknya dapat dcar yatu: 4 4 4 5 7 7 5 5 5 Jad solus pendekatan terbak yang dperoleh dar sstem persamaan lnear kompleks d atas adalah Penyelesaan: Dengan aturan yang sama pada contoh d atas maka d dapat solus pendekatan terbak dar sstem persamaan lnear kompleks d atas adalah Untuk mengetahu bahwa merupakan solus pendekatan terbak akan dtunjukkan bahwa sehngga dperoleh sebaga berkut: Untuk mengetahu bahwa merupakan solus pendekatan terbak akan dtunjukkan bahwa sehngga dperoleh sebaga berkut: Contoh : Dberkan sstem persamaan lnear kompleks dengan persamaan varabel sebaga berkut: Berdasarkan dua contoh penyelesaan SPL kompleks yang tdak konssten tersebut dapat dsmpulkan bahwa solus pendekatan terbak yang dperoleh adalah solus pendekatan terbak yang memlk tngkat kesalahan yang relatve kecl karena solus pendekatan terbak dar dua contoh tersebut memlk hasl kal yang mendekat nol 74
Vol No Jurnal Sans Teknolog Industr KESIMPULAN DAN SARAN Kesmpulan Berdasarkan pembahasan dperoleh hasl peneltan yatu metode Sngular Value Decomposton (SVD) dapat dgunakan untuk menyelesakan sstem persamaan lnear kompleks Berdasarkan contoh yang dberkan merupakan sstem persamaan lnear kompleks yang tdak konssten dengan menggunakan langkah-langkah SVD dalam penyelesaan sstem persamaan lnear kompleks solus yang dperoleh adalah solus pendekatan terbak yatu: a Contoh dengan persamaan varabel dperoleh solus pendekatan terbaknya adalah : b Contoh dengan persamaan varabel dperoleh solus pendekatan terbaknya adalah : Adwjaya dkk (9) Dekomposs Nla Sngular Dscrete Fourer Transform untuk nose Flterng pada Ctra Dgtal Semnar nasonal Aplkas Teknolog Informas (SNATI ) Yogyakarta Anton Howard () Elementary Lnear Algebra Eghth Edton John Wley New York Churchll Ruel V James Ward Brown (99) Comple Varables and Applcatons Ffth Edton McGraw-Hll Sngapore Leon Steven J () Aljabar Lnear Aplkasnya Eds Kelma Erlangga Jakarta Lpschutz Seymour Marc Lars Lpson () Aljabar Lnear Schaum s Eds Ketga Erlangga Jakarta Ncholson W Keth () Elementary Lnear Algebra Frst Edton McGraw-Hll Sngapore Sutojo T dkk () Teor Aplkas Aljabar Lnear Matrks And Yogyakarta Marya Dna (8) Menentukan Invers Moore Penrose dar suatu Matrks dengan Menggunakan Dekomposs Nla Sngular Semarang Unverstas Dponegoro DAFTAR PUSTAKA Ahmad Irdam Hadr Luca Ratnasar () Menyelesakan Sstem Persamaan Lnear Menggunakan Analss SVD UEJS (Undp E- Journal System Portal) Vol ;4-45 Kalman Dan (99) A Sngularly Valuable Decomposton : The SVD of a Matr The College Mathematcs Journal Vol 7 No January 75
Vol No Jurnal Sans Teknolog Industr 7