NILAI AKUMULASI ANUITAS AKHIR DENGAN ASUMSI DISTRIBUSI UNIFORM UNTUK m KALI PEMBAYARAN Nomi Kelari *, Hasriai 2, Musraii 2 Mahasiswa Program S Maemaika 2 Dose Jurusa Maemaika Fakulas Maemaika da Ilmu Pegeahua Alam Uiverias Riau Kamus Bia Widya 28293 Idoesia *omi96kelari@yahoo.co.id ABSTRACT This aer discusses he accumulaed value of he immediae auiy for m imes er year. The assumio of uiform disribuio is used i deermiig he accumulaed value of he immediae auiy, which is a liear aroimaio o he robabiliy ha he isurace aricia died. The accumulaed value of he auiy is iflueced by cash value auiy aid by isurace aricia, he ieres rae, ad he amou of auiy aymes made by isurace aricias. Keywords: accumulaio value, cash value of auiy, uiform disribuio. ABSTRAK Arikel ii membahas eag ilai akumulasi auias akhir uuk embayara sebayak m kali erahu. Dalam meeuka ilai akumulasi auias akhir diguaka asumsi disribusi uiform, yaiu edekaa liier erhada eluag meiggal dari esera asurasi. Nilai akumulasi auias diegaruhi oleh ilai uai auias yag dibayarka oleh esera asurasi, igka buga da bayakya embayara auias yag dilakuka oleh esera asurasi. Kaa kuci: disribusi uiform, ilai akumulasi, ilai uai auias.. PENDAHULUAN Dalam mekaisme elaksaaa asurasi, baik asurasi jiwa seumur hidu mauu asurasi jiwa berjagka da asurasi jiwa dwigua, seia asabah diharuska membayar remi ia bulaya sebagai buki bahwasaya seorag asabah resmi mejadi emegag olis ada asurasi ersebu. Ragkaia embayara remi dikeal dega isilah auias. Berdasarka sisem embayaraya, auias erbagi mejadi dua yaiu embayara auias yag dilakuka ada seia awal eriode yag disebu auias awal (due auiy) da embayara auias yag dilakuka ada seia akhir eriode yag disebu auias akhir (immediae auiy). Pembayara auias ada awalya daa dilakuka sekali dalam seahu, aka eai seirig dega berjalaya waku embayara yag dilakuka oleh ihak eraggug juga daa dilakuka sekali dalam iga bula (ri wula), sekali
dalam ema bula (kuaral) aau sekali dalam eam bula (semeser). Beuk embayara auias iilah yag disebu dega embayara auias dega m kali embayara dalam seahu. Sedagka ilai yag aka daag dari auias disebu ilai akumulasi auias. Besarya auias daa dihiug megguaka asumsi disribusi uiform yag dieroleh dari buku karaga Dickso, e al [3]. Asumsi disribusi uiform meruaka bahwa besarya eluag meiggal dari seluruh esera asurasi diagga sama besar. Pada [3], erhiuga ilai uai auias awal berjagka megguaka asumsi disribusi uiform dega saus hidu eroraga dega embayara dilakuka sebayak m kali dalam seahu. Namu ada arikel ii, yag dieuka adalah ilai akumulasi dari ilai uai auias akhir berjagka megguaka asumsi disribusi uiform uuk saus hidu eroraga dega embayara dilakuka sebayak m kali dalam seahu. 2. ASURANSI JIWA SEUMUR HIDUP DAN NILAI TUNAI ANUITAS Pada bagia ii dibahas megeai remi uggal asurasi jiwa seumur hidu, ilai uai auias seumur hidu da ilai uai auias berjagka yag dieroleh dari [4]. Premi uggal asurasi jiwa seumur hidu meruaka asurasi secara ermae dimaa remi seia ahu sama besarya. Premi uggal asurasi jiwa seumur hidu uuk m kali embayara secara diskri meruaka remi asurasi dari seseorag yag berusia ahu, dega embayara sebayak m kali dalam seahu secara diskri yag berlagsug selama esera asurasi ersebu masih hidu, dega meyaaka fakor disko, / m meyaaka eluag hidu dari seseorag yag berusia ahu higga ahu, da q + meyaaka eluag m dari seseorag berusia ahu yag aka meiggal dalam sau ahu berikuya, yag diyaaka dega ersamaa = = + m A v q. () m + m Sedagka remi uggal asurasi jiwa seumur hidu uuk m kali embayara secara koiu meruaka remi asurasi dari seseorag yag berusia ahu, dega embayara sebayak m kali dalam seahu secara koiu yag berlagsug selama esera asurasi ersebu masih hidu, dega meyaaka fakor disko, meyaaka eluag hidu dari seseorag yag berusia ahu higga ahu, da µ + meyaaka erceaa moralia dari seseorag berusia ahu, yag diyaaka dega ersamaa + = m A v µ + d. (2) Auias hidu meruaka auias yag diegaruhi oleh eluag hidu dari esera asurasi jiwa. Adau jeis auias yag diguaka ada embahasa ii adalah auias seumur hidu da auias hidu berjagka. Nilai uai auias awal seumur hidu uuk m kali embayara meruaka auias hidu dari esera asurasi jiwa yag berusia ahu, dega 2
embayara sebayak m kali dalam seahu yag berlagsug selama esera asurasi ersebu masih hidu yag diyaaka sebagai beriku ( m ) / m = v / m. m = Uuk embayara yag dilakuka di akhir eriode embayara, ilai uai auias akhir seumur hidu dega embayara m kali dalam seahu diyaaka dega ( m ) / m a = v / m. m = Kemudia, dari ersamaa () dieroleh hubuga aara remi uggal asurasi jiwa seumur hidu dega embayara sebayak m kali dalam seahu yag dioasika dega A erhada ilai uai auias seumur hidu dega embayara sebayak m kali dalam seahu yag dioasika dega, dega diegaruhi d igka disko omial yag diyaaka dega A = d a&. (3) Suau auias yag embayaraya dilakuka selama jagka waku ereu disebu ilai uai auias hidu berjagka. Nilai uai auias hidu awal berjagka meruaka auias hidu dari esera asurasi jiwa yag berusia ahu, dega embayara berlagsug selama jagka waku ereu yag elah diseakai oleh kedua esera asurasi da erusahaa asurasi jiwa yag diyaaka dega ersamaa m = : m = Selajuya, erdaa hubuga aara v / m / m :. ilai uai auias awal seumur hidu uuk embayara sebayak m kali erahu dega ilai uai auias awal berjagka uuk embayara sebayak m kali erahu, yag diegaruhi eluag hidu esera asurasi jiwa da v fakor disko yag diyaaka & = a&& v a&. a : + Uuk embayara yag dilakuka di akhir eriode embayara, ilai uai auias akhir berjagka dega embayara m kali dalam seahu diyaaka dega m / m a = /. : v m m = Sedagka, hubuga aara ilai uai auias akhir berjagka dega embayara sebayak m kali dalam seahu yag dioasika dega a da ilai uai auias awal berjagka dega embayara sebayak m kali dalam seahu, yaiu a = a& ( v ). (5) : : m : 3
Nilai uai auias ada ersamaa da (5) berlaku uuk uag eragguga sebesar saua. Jika esera asurasi megigika uag eragguga sebesar R, maka auias yag harus dibayarka sebesar R& a& da Ra. Kemudia, daa dieuka besarya ilai akumulasi auias dari esera asurasi jiwa. 3. NILAI AKUMULASI ANUITAS DENGAN ASUMSI DISTRIBUSI UNIFORM Pada bagia ii dibahas megeai asumsi disribusi uiform yag diberika oleh [] da [2], sedagka ilai uai auias, da ilai akumulasi auias berdasarka asumsi disribusi uiform diberika oleh [3]. Asumsi disribusi uiform meruaka suau meode uuk meeuka ilai uai auias dega embayara sebayak m kali dalam seahu. Asumsi disribusi uiform meuru [2] meruaka ierolasi liier ada ierval (, + ), dega meyaaka usia esera asurasi jiwa, l + meyaaka bayakya esera asurasi jiwa berusia + ahu da l + meyaaka bayakya esera asurasi jiwa berusia + ahu, yag diyaaka sebagai beriku. l + = ( ) l + l +. (6) Berdasarka ersamaa (6), dieroleh eluag hidu, eluag meiggal, da erceaa moralia dega megguaka asumsi disribusi uiform. Hal ii memegaruhi remi uggal asurasi jiwa seumur hidu uuk m kali embayara ada ersamaa (2) mejadi i A = A, (7) i dimaa A meruaka remi uggal asurasi jiwa seumur hidu dega asumsi disribusi uiform, dega i meyaaka igka buga da mmeyaaka igka buga omial. Selai iu,berdasarka [], dieroleh beberaa rumusa asumsi disribusi uiform, aara lai id α m, i. ( ) = ( m ) ( m ) i d i i m ii. β =. i d 2m dega α : = biaya euua baru olis asurasi uuk embayara sebayak m kali dalam seahu β : = biaya egumula remi seajag jagka waku eragguga remi uuk embayara sebayak m kali dalam seahu. Uuk memeroleh ilai akumulasi auias akhir dega asumsi disribusi uiform uuk embayara sebayak m kali dalam seahu, dimulai dega megubah beuk ersamaa (3) mejadi : : i 4
A a& =. (8) d Subsiuka ersamaa (7) ke ersamaa (8) sehigga dieroleh id i i a& = a&. (9) i d i d Subsiusika ersamaa (i) da (ii) ke ersamaa (9) sehigga dieroleh ilai uai auias awal seumur hidu dari seseorag yag berusia ahu dega embayara sebayak m kali dalam seahu yag diyaaka dega a&& = α a& β. () Berdasarka ersamaa () yag disubsiusika ke ersamaa dieroleh ilai uai auias awal berjagka dega embayara sebayak m kali dalam seahu berdasarka asumsi disribusi uiform, yaiu a& = α a& v. () β : : [ ] Selajuya, subsiusika ilai α da β ada asumsi disribusi uiform ke ersamaa () sehigga ilai uai auias awal berjagka dega embayara sebayak m kali dalam seahu berdasarka asumsi disribusi uiform mejadi ( v ) m a& a&& : :. (2) 2m Kemudia, dega mesubsiusika ersamaa (2) ke ersamaa (5) dieroleh ilai uai auias akhir berjagka dega embayara sebayak m kali dalam seahu berdasarka asumsi disribusi uiform, yaiu ( v ) m a a + :. (3) : 2m Seelah medaaka ilai uai auias awal berjagka dega asumsi disribusi uiform uuk embayara sebayak m kali da ilai uai auias akhir berjagka dega asumsi disribusi uiform uuk embayara sebayak m kali, sehigga daa dieroleh ilai akumulasi auias berjagka dega asumsi disribusi uiform uuk embayara sebayak m kali, baik yag awal mauu yag akhir. Nilai akumulasi dari ilai uai auias awal berjagka dega embayara sebayak m kali dalam seahu, dega i igka buga, diyaaka dega ersamaa : ( ) : & s = + i a&. Kemudia, subsiusika ersamaa (2) ke ersamaa, sehigga dieroleh ilai akumulasi auias awal berjagka dega asumsi disribusi uiform uuk embayara sebayak m kali dalam seahu adalah ( m ) m & s ( + i) a&& ( + i) ). (5) : : 2m Nilai akumulasi auias akhir berjagka dega embayara sebayak m kali dalam seahu diyaaka sebagai beriku s = ( + i) a. (6) : : 5
Kemudia, subsiusika ersamaa (3) ke ersamaa (6), sehigga dieroleh ilai akumulasi auias akhir berjagka dega asumsi disribusi uiform uuk embayara sebayak m kali dalam seahu dieroleh m s ( + i) a + ( + i) ). (7) : : 2m 4. CONTOH Nyoya Mia yag berusia 3 ahu megikui rogram asurasi jiwa berjagka di salah sau erusahaa asurasi jiwa dega igka buga sebesar 2.5% da besar embayara ia ahu adalah R2... Maka, beraa ilai akumulasi yag aka dierima Nyoya Mia seelah ahu kemudia, jika: a. Pembayara dilakuka seia 3 bula di awal eriode dega megguaka asumsi disribusi uiform. b. Pembayara dilakuka seia 3 bula di akhir eriode dega megguaka asumsi disribusi uiform. Dikeahui: = 3, embayara dilakuka seia 3 bula maka bayakya embayara dalam seahu adalah m = 4, igka buga sebesar i = 2.5% maka dieroleh fakor disko sebesar v = =, 9756. +,25 a. Uuk meeuka ilai akumulasi auias awal berjagka dega embayara 4 kali dalam seahu berdasarka asumsi disribusi uiform, aka dieuka erlebih dahulu ilai uai auias awal berjagka dega embayara sekali dalam seahu sebagai beriku. = 9 = v 3 Kemudia berdasarka daa ada Tabel Moralia Idoesia Tahu 999, maka dieroleh 9 l 3+ = R2.. 3: v l a& = 3 l3 2 l32 9 l39 = R2.. + v + v +... + v l3 l3 l3 = 8,927827 & R2.. ( ) = R7.855.654. Perhiuga lebih legkaya dari auias awal berjagka dega embayara sekali dalam seahu megguaka rogram Microsof Ecel disajika ada Tabel. 6
Tabel : Auias Awal Berjagka dega Pembayara Sekali dalam Seahu Tahu Fakor Disko Peluag Hidu Auias Awal Berjagka.9756.999.9746 2.958.9979.94984 3.9286.9968.925639 4.96.9957.925 5.8839.9945.87935 6.8623.9934.85657 7.843.992.834634 8.827.998.8329 9.87.9894.792275 JUMLAH 8.927827 Selajuya, daa dieuka ilai akumulasi auias awal dega asumsi disribusi uiform dari esera asurasi jiwa yag berusia 3 ahu uuk embayara 4 kali dalam seahu. Berdasarka ersamaa (5), maka dieroleh 4 && s ( +,25) a& ( +,25) 3) 2 4 (,25) R7.855.654 (,25) (,9879) 3 8 R22.856.746,79, 95 & R22.856.746,624 s& & R22.856.747,6. s& Sehigga ilai akumulasi auias awal dega asumsi disribusi uiform uuk embayara 4 kali dalam seahu yag aka dierima oleh Nyoya Mia adalah R22.856.747,6. b. Uuk meeuka ilai akumulasi auias akhir berdasarka asumsi disribusi uiform dega embayara 4 kali dalam seahu, aka dieuka erlebih dahulu ilai uai auias akhir berjagka dega embayara sekali dalam seahu sebagai beriku. a 3 : = = v Kemudia berdasarka daa ada Tabel Moralia Idoesia Tahu 999, maka dieroleh l3+ a = R2.. v l 3 = 3 l = R2.. 3 2 l32 l4 v + v +... + v l3 l3 l3 7
a = R2.. ( 8,69969) a = R7.399.28. Perhiuga lebih legkaya dari auias akhir berjagka dega embayara sekali dalam seahu megguaka rogram Microsof Ecel disajika ada Tabel 2. Tabel 2: Auias Akhir Berjagka dega Pembayara Sekali dalam Seahu Tahu Fakor Disko Peluag Hidu Auias Akhir Berjagka.9756.999.9746 2.958.9979.94984 3.9286.9968.925639 4.96.9957.925 5.8839.9945.87935 6.8623.9934.85657 7.843.992.834634 8.827.998.8329 9.87.9894.792275.782.9879.77782 JUMLAH 8.69969 Selajuya, daa dieuka ilai akumulasi auias akhir dega asumsi disribusi uiform dari esera asurasi jiwa yag berusia 3 ahu uuk embayara 4 kali dalam seahu. Berdasarka ersamaa (2), maka dieroleh 4 s ( +,25) a + ( +,25) 3) 2 4 (,25) R7.399.28 (,25) (,9879) + 3 8 R22.272.47,429 +, 95 s R22.272.47,524 s R22.272.47,5. Sehigga, ilai akumulasi auias akhir dega asumsi disribusi uiform uuk embayara 4 kali dalam seahu yag aka dierima oleh Nyoya Mia adalah R22.272.47,5. 5. KESIMPULAN Kesimula yag eulis daaka dari embahasa yag ada yaiu ilai uai auias dega embayara di awal mauu di akhir aa megguaka asumsi disribusi uiform ilaiya lebih kecil dariada yag megguaka asumsi disribusi uiform. Sehigga ilai akumulasi auias aa megguaka asumsi disribusi uiform ilaiya juga mejadi lebih kecil dariada yag megguaka 8
asumsi disribusi uiform. Hal ii disebabka karea embayara auias yag dilakuka sebayak m kali dalam seahu selama jagka waku masa korak. Sehigga jika megguaka asumsi aka memberika keuuga bagi ihak esera asurasi dikareaka esera asurasi merasa riga dalam roses embayara auias. Sedagka bagi ihak erusahaa asurasi juga memberika keuuga. Hal ii daa diliha dari kaasias daa ada erusahaa asurasi yag selalu ada. Selai iu, uuk embayara auias yag dilakuka di awal eriode aka lebih besar dari embayara yag dilakuka di akhir eriode. DAFTAR PUSTAKA [] Bae, R. W. 29. Life Coigecies, A Logical Aroach o Acuarial Mahemaics, 29 Ediio. ACTEX Publicaios, Ic. Uied Saes of America. [2] Bowers, N. L., H. U. Gerber, J. C. Hickma, D. A. Joes, & C. J. Nesbi. 997. Acuarial Mahemaics. The Sociey of Acuaries, Uied Saes of America. [3] Dickso, D. C. M., M. R. Hardy, & H. R. Waers. 29. Acuarial Mahemaics for Life Coige Risks. Cambridge Uiversiy Press, New York. [4] Fuami, T. 993. Maemaika Asurasi Jiwa, Bagia. Terj. dari Seimei Hoke Sugaku, Joka ( 92 Revisio), oleh Herliyao, Gao. Peerbi Icororaed Foudaio Orieal Life Isurace Culural Develome Ceer, Jaa. 9