BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 robabilias Definisi robabilias adalah kemungkinan yang daa erjadi dalam suau erisiwa erenu. Definisi robabilias daa diliha dari iga macam endekaan, yaiu endekaan klasik, endekaan frekuensi relaif dan endekaan subjekif endekaan Klasik Menuru endekaan klasik, robabilias diarikan sebagai hasil banyaknya erisiwa yang dimaksud dengan seluruh erisiwa yang mungkin. Dirumuskan: A S n A (2.1) n dengan: A = robabilias erjadinya erisiwa A n A = jumlah erisiwa A n S = jumlah erisiwa yang mungkin

2 Conoh: Sebuah dadu dilemarkan, ada enam cara yang mungkin dan berkemungkinan sama, yaiu hasil lemaran ialah 1, 2, 3, 4, 5, aau 6. Sehingga 5 = 6 1 = 2 = 3 = 4 = = 6 1. Jika kejadian A adalah muncul angka gena, maka eluang munculnya angka gena dalam elemaran sebuah dadu daa erjadi sebanyak iga cara, yaiu 2, 4, aau 6. Sehingga eluang erjadinya kejadian A adalah 3 A = = endekaan Frekuensi Relaif Menuru endekaan frekuensi relaif, robabilias daa diarikan sebagai beriku: 1. roorsi waku erjadinya suau erisiwa dalam jangka anjang, jika kondisi sabil. 2. Frekuensi relaif dari seluruh erisiwa dalam sejumlah besar ercobaan. robabilias berdasarkan endekaan ini sering disebu sebagai robabilias emeris. Nilai robabilias dienunkan melalui ercobaan, sehingga nilai robabilias iu meruakan limi dari frekuensi relaif erisiwa ersebu. Dirumuskan: X f x lim, n (2.2) n dengan: X x = robabilias erjadinya erisiwa X f = frekuensi erisiwa X n = banyaknya erisiwa yang bersangkuan

3 endekaan Subjekif robabilias adalah sebaga ingka keercayaan individu aau kelomok yang didasarkan ada faka-faka aau erisiwa masa lalu yang ada aau berua erkaan saja. Misalnya, seorang direkur akan memilih seorang karyawan dari iga calon yang elah lulus ujian saringan. Keiga calon ersebu sama inar, sama lincah dan semuanya enuh keercayaan. robabilias eringgi (kemungkinan dierima) menjadi karyawan dienukan secara subjekif oleh sang direkur ercobaan, Ruang Samel dan Tiik Samel ercobaan daa diarikan sebagai suau rosedur yang sedang dilaksanakan ada kondisi erenu, yang daa diulang dalam jumlah erenu ada kondisi yang sama dan hasilnya daa diobservasi. Sebagai conoh, dua buah maa uang logam yang seimbang dilemarkan. Aabila kedua sisi maa uang ersebu dimisalkan dengan A (angka) dan G (gambar), maka semua hal yang mungkin erjadi adalah (A,A), (A,G), (G,A), (G,G). Semua hal yang mungkin ini dikaakan ruang samel. Jadi ruang samel adalah himunan semua hasil yang mungkin ada suau ercobaan. Sedangkan seia elemen aau anggoa dariada ruang samel disebu iik samel. Ruang samel disimbolkan dengan S. dari ercobaan melemar dua maa uang logam ersebu, ruang samel daa dinyaakan dengan S = {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)}. Tiik samel dari ercobaan ersebu adalah A (angka) dan G (gmbar) robabilias Beberaa erisiwa erisiwa aau kejadian adalah himunan bagian dari ruang samel ada suau ercobaan aau hasil yang dimaksud dari ercobaan yang bersangkuan.

4 erisiwa Saling Leas (Muually Exclusive) Dua erisiwa aau lebih disebu erisiwa saling leas aabila kedua aau lebih erisiwa ersebu idak bisa erjadi ada saa bersamaan. Unuk dua erisiwa A dan erisiwa B yang saling leas, maka robabilias erjadinya erisiwa ersebu adalah sebagai beriku: A B A B (2.3) Sehingga unuk iga erisiwa A, B dan C yang saling leas, robabilias erjadinya erisiwa ersebu adalah: A B C A B C (2.4) erisiwa Tidak Saling Leas (Non Muually Exclusive) Dua aau lebih erisiwa dikaan erisiwa idak saling leas aabila kedua aau lebih erisiwa ersebu daa erjadi ada saa yang bersamaan. Unuk dua erisiwa A dan B yang idak saling leas, robabilias erjadinya erisiwa ersebu adalah: A B A B A B (2.5) erisiwa Saling Bebas Dua erisiwa aau lebih dikaakan saling bebas aabila erjadinya erisiwa yang sau idak memengaruhi aau diengaruhi erjadinya erisiwa yang lainnya. Unuk dua erisiwa A dan erisiwa B yang saling bebas, robabilias erjadinya erisiwa ersebu adalah: A B A B (2.6)

5 Unuk iga erisiwa A, B dan C yang saling bebas robabilias erjadinya erisiwa ersebu adalah sebagai beriku: A B C A B C (2.7) erisiwa Tidak Saling Bebas Dua erisiwa aau lebih dikaakan erisiwa idak saling bebas aabila erjadinya erisiwa yang sau memengaruhi aau diengaruhi erjadinya erisiwa yang lainnya. Unuk dua erisiwa A dan B yang idak saling bebas, robabilias erjadinya erisiwa ersebu adalah sebagai beriku: A B A B A (2.8) Unuk iga erisiwa yang saling bebas, robabilias erjadinya erisiwa ersebu adalah sebagai beriku: A B C A B AC AB (2.9) erisiwa Bersyara erisiwa bersyara meruakan suau erisiwa yang akan erjadi dengan syara lain elah erjadi. Jika erisiwa B bersyara erhada erisiwa A, maka robabilias erjadinya erisiwa ersebu adalah sebagai beriku: A B A B A (2.10)

6 erisiwa Komlemener erisiwa komlemener adalah erisiwa yang saling melengkai. Jika erisiwa A komlemener erhada erisiwa B, maka robabilias erisiwa ersebu adalah sebagai beriku: A B 1 (2.11) 2.2 Variabel Random Variabel random aldalah suau fungsi yang harganya meruakan bilangan riil dan dienukan oleh seia elemen dari suau ruang samel. Aabila ruang samel berisi sejumlah elemen yang erbaas, maka ruang samel ersebu berisi disebu sebagai ruang samel diskri dan variabel randomnya disebu variabel random diskri. Aabila jumlah elemen ada ruang samel iu idak erbaas, maka ruang samel ersebu disebu ruang samel koninu dan variabel randomnya disebu variabel random koninu. Dalam hal ini, variabel random diskri akan memresenasikan daa yang daa dihiung, sedangkan variabel random koninu memresenasikan daa yang daa diukur. Nilai-nilai robabilias variabel random iu akan membangun benuk disribusi robabilias erenu, bergaung ada macam ercobaan dan karaker variabel randomnya. ada dasarnya, disribusi robabilias dari variabel random ini dikaegorikan sebgai disribusi robabilias diskri dan disribusi robabilas koninu. 2.3 enganar roses Sokasik roses sokasik ialah suau himunan variabel acak X yang erenu dalam suau ruang samel yang sudah dikeahui, di mana meruakan arameer waku (indeks) dari suau himunan T. Dinyaakan ruang keadaan I dari suau roses sebagai

7 himunan harga variabel acak X yang mungkin. Jika X meruakan variabel acak diskri yang erjadi dari sejumlah harga ak berhingga yang daa dihiung dalam suau himunan bilangan cacah idak negaif, maka I 0,1, 2,.... Jika X meruakan variabel acak koninu yang idak negaif, maka I x 0 x :. Dalam roses sokasik isilah variabel acak variabel keadaan. Jika 1, 2,... X 0,1,..., N dalam himunan 0,1, 2,..., N keadaan ada waku erama dan dan seerusnya. Jadi, variabel langkah. X daa diarikan sebagai dalam himunan 0,1, 2,... I, maka 1 T dan X menggambarkan X 2 menggambarkan kadaan ada waku kedua X menggambarkan keadaan ada waku aau 2.4 Ranai Markov Teori ranai Markov erama kali dikemukakan oleh Andrey Markov ada ahun 1906, seorang maemaikawan dari Rusia yang hidu ada ahun 1856 samai Ia mengungkakan eori bahwa suau kejadian yang akan daang berganung ada keadaan saa ini dan bukan ada kejadian masa lalu. Berdasarkan eori yang diungkakan oleh Markov. Dengan kaa lain, ranai Markov meruakan suau eknik yang erdaa di dalam ilmu robabilias yang bisa digunakan unuk menganalisis ergerakan suau robabilias dari suau keadaan ke keadaan lainnya Definisi Ranai markov sebenarnya meruakan benuk khusus dari model robabilias yang lebih umum dikenal dengan roses sokasik. Ranai Markov meruakan roses sokasik dari variabel-variabel acak X, 0,1, 2, 3,... yang membenuk suau dere dan memenuhi sifa Markov.

8 2.4.2 Sifa Markov Misalkan roses sokasik X, 0,1, 2,... memunyai keadaan berua himunan berhingga aau himunan erbilang. Secara umum ruang keadaan ini daa dinoasikan sebagai himunan 0,1, 2,.... Jika ada waku roses ersebu berada di keadaan i, maka kejadian ini diuliskan sebagai X i. roses sokasik disebu ranai Markov jika unuk ia 0,1, 2,..., berlaku: X j X i X i,..., X i X j X i, (2.12) Unuk seia i..., i, i, j 0 dan unuk seia n 0. ersamaa (2.12) disebu sifa Markov. 0, Mariks robabilias Transisi robabilias X j X i 1 disebu sebagai robabilias ransisi. robabilias ransisi menyaakan robabilias bersyara (condiional robabiliy) dari sisem yang berada dalam i ada saa jika dikeahui bahwa sisem ini berada dalam j ada saa 1. Misalkan roses sokasik X, 0,1,... adalah suau ranai Markov. Mariks robabilias ransisi (sau) langkah dari, adalah suau mariks dengan elemen ke i, j nya adalah. Jadi, X, 0,1,..., dinoasikan dengan i i i2 0 j 1 j

9 Elemen-elemen dari mariks bernilai ak negaif 0, unuk i, j dan jumlah elemen-elemen ada sau baris di mariks robabilias ransisi ini haruslah sama dengan sau j0 1, i 0,1, 2,.... Mariks ransisi ini digunakan dalam menganalisis kelakuan ranai markov dalam beberaa langkah ke dean dan juga seelah roses berjalan lama ersamaan Chaman-Kolmogorov Misalkan menyaakan robabilas roses ada keadaan ke i akan berada ada keadaan j seelah roses mengalami ransisi. Jadi, daa diuliskan X j X i, 0, i, 0 m j (2.13) daa diliha bahwa. Selanjunya, dengan menggunakan law of oal 1 robabiliy, unuk semua, m 0, dan semua i, j 0, m = X m j X i k0 = X j X k, X i X k X i = k0 m m kj ik 0 (2.14) 0 ersamaan (2.14) dikenal dengan ersamaan Chaman-Kolmogorov, akan memberikan suau meode unuk mengiung eluang ransisi dalam langkah. Misalkan adalah mariks dengan elemen-elemennya meruakan robabilias ransisi dalam. Dari ersamaan (2.14) dieroleh

10 (2.15) dengan kaa lain, mariks robabilias ransisi dalam langkah daa dieroleh dengan mengalikan mariks robabilias ransisi sau langkah sebanyak kali. Suau ranai Markov yang ada awalnya berada ada keadaan i seelah sau ransisi akan berada ada keadaan j yang diberikan oleh suku i, j dari mariks. Secara umum, jika didefinisikan vekor baris,,..., dengan i menyaakan robabilias ranai Markov berada si keadaan i ada ermulaan roses sehingga robabilias seelah sau ransisi ranai Markov ersebu berada di keadaan j (dengan noasi 1 j ) diberikan oleh 1 0 j k ki, i 0,1,... k 0 definisikan,, , 1, 2,... Sebagai vekor disribusi robabilias dari keadaan ranai Markov seelah ransisi. Dengan menggunakan ersamaan Chaman-Kolmogorov di aas, dieroleh 0 (2.16)