PEMODELAN BIVARIATE POLINOMIAL LOKAL PADA JUMLAH KEMATIAN IBU DAN BAYI DI JAWA TENGAH

PEMODELAN BIVARIATE POLINOMIAL LOKAL PADA JUMLAH KEMATIAN IBU DAN BAYI DI JAWA TENGAH Alan Prautama, Suart, Dw Isryant, dan Tan Wayu Utam Deartemen Statstka, Fakultas Sans dan Matematka, Unverstas Donegoro, Semarang, Indonesa Emal: alan.rautama@gmal.com Abstrak. Analss regres meruakan analss dalam metode statstka untuk memodelkan ubungan antara varabel reson dengan varabel redktor. Analss regres daat dlakukan secara arametrk dan nonarametrk. Analss regres nonarametrk dlakukan aabla bentuk kurva regresnya tdak dketau. Sala satu metode dalam analss regres nonarametrk adala olnomal lokal. Polnomal lokal dlakukan berdasarkan embobotan kernel, sengga membutukan bandwdt. Pemlan bandwdt otmal menggunakan Generalzed Cross Valdaton (GCV). Pada eneltan n dkembangkan model regres bvarate olnomal lokal ada kasus emodelan jumla kematan bu dan bay d Jawa Tenga. Varabel redktor yang dgunakan adala jumla tenaga keseatan. Nla bandwdt otmla yang ddaatkan adala 1. Nla MSE yang daslkan dar model jumla kematan bu adala 1.017741 dan Nla MSE yang daslkan dar model jumla kematan bay adala 1.380833. Keywords: Bvarate, Polnomal Lokal, Jumla kematan bu, Jumla kematan bay. 1. Pendauluan Analss regres meruakan analss dalam metode statstka untuk memodelkan ubungan antara varabel reson dengan varabel redktor. Pendekatan regres daat dlakukan secara arametrk dan nonarametrk. Pendekatan nonarametrk dlakukan aabla bentuk kurva fungsnya tdak dketau, sedangkan endekatan arametrk dlakukan aabla bentuk kurva fungsnya dketau. Pendekatan arametrk meruakan endekatan yang sederana muda dlakukan, al n seert emodelan regres lner sederana mauun berganda, akan teta metode n sangat ketat dengan asums. Berbeda dengan endekatan arametrk, endekatan nonarametrk leb komleks ddalam emodelan. Akan teta endekatan nonarametrk tdak membutukan asums. Beberaa Prosdng Semnar Nasonal VARIANSI 018 09

endekatan nonarametrk antara lan Kernel, Slne truncated, Wavelet, Polnomal Lokal, deret Fourer. Polnomal lokal meruakan sala satu metode dalam emodelan regres nonarametrk dengan menggunakan deret Taylor yang dbobot dengan menggunakan kernel. Polnomal lokal mamu memodelkan data yang bersfat acak. Karena dgunakan fungs kernel sebaga embobotannya, maka dtentukan bandwdt otmum dengan menggunakan metode emlan bandwdt. Metode emlan bandwdt daat dlakukan dengan menggunakan beberaa metode antara lan Mean Square Error (MSE), Cross Valdaton (CV), Generalzed Cross Valdaton (GCV), Unbas Rsk (UBR). Penentuan bandwdt daat mengakbatkan oversmootng atauun undersmootng ddalam emodelannya. Ole karena tu derlukan enentuan bandwdt yang otmum. Polnomal lokal daat dkembangkan dengan dua bua varabel reson atau secara bvarate ddalam emodelannya. Pemodelan bvarate dlakukan aabla kedua bua varabel reson tersebut memunya keterkatan satu dengan yang lannya. Keterkatan tersebut dtanda dengan terdaatnya korelas antar kedua bua varabel tersebut. Pada eneltan n akan dkembangkan emodelan regres nonarametrk olnomal lokal bvarate. Kasus yang akan dgunakan adala emodelan jumla kematan bu dan bay d Jawa Tenga sebaga varabel reson, dengan varabel redktonya adala jumla tenaga meds.. Landasan Teor.1. Regres Nonarametrk Persamaan model regres daat dtulskan sebaga berkut (Eubank, 1988): y X, 1,,..., n. 0 1 Jka dtuls dalam bentuk matrks derole model regres: Prosdng Semnar Nasonal VARIANSI 018 10

Y = Xβ + ε Pada endekatan regres nonarametrk dmana bentuk kurvanya tdak dketau, fungs regres dasumskan termuat dalam suatu ruang fungs (Eubank, 1988). Model regres nonarametrk berbentuk:, 1,,..., y t l dengan y adala varabel reson. Fungs yang tdak dketau bentuknya dengan t sebaga varabel redktor dan dasumskan berdstrbus N 0, dan kurva dasumskan smoot (mulus) dan berada ada suatu ruang tertentu... Fungs Kernel Sala satu metode estmas ada Polnomal Lokal adala menggunakan WLS (Wegted Least Square) sengga derlukan embobotan. Sala satu embobotan yang dgunakan untuk mendaatkan estmas adala Fungs Kernel (Eubank, 1988). Fungs Kernel K dengan bandwdt ddefnskan sebaga berkut: 1 x K x K ; x dan 0. sedangkan menurut Hardle (1990) terdaat beberaa jens fungs Kernel Tabel 1. Fungs Kernel 1. Kernel Unform: 1 ; I x 1 K x. Kernel Twwegt: K x 35 1 x 3 ; 3 I x 1 3. Kernel Segtga: 1 x ; I x 1 K x 4. Kernel Cosnus: K x cos x; 4 I x 1 5. Kernel Earcnkov : K x 3 1 x ; I x 4 1 6. Kernel Gaussan: 1 1 K x ex x Prosdng Semnar Nasonal VARIANSI 018 11

7. Kernel Kuadrat: K x 15 1 x ; 16 I x 1.3. Model Regres Polnomal Lokal Dberkan t meruakan kurva yang tdak dketau bentuknya sengga dlakukan estmas nonarametrk. Sala satu endekatan untuk mengestmas t adala dengan metode Polnomal Lokal. Estmator Polnomal Lokal derole dengan deret Taylor yang memuat olnomal berderajat. Jka t dderetkan menurut deret Taylor dengan olnomal derajat maka ddaat (1) ( ) t t t t t t t t! (1) Dengan t t, t Jka dmsalkan. daat dtuls menjad r t r t dengan r 0,1,,..., maka ersamaan (1) r! t t t t t t t t. () 0 1 Persamaan daat dtuls sebaga berkut: η t T x β dengan t t t t t t T x 1 dan t t t t β 0 1 T Untuk mendaatkan estmator ˆβ dlakukan dengan memnmumkan krtera Wegted Least Square (WLS) sebaga berkut: n 1 y yˆ K ( t t). (3) Prosdng Semnar Nasonal VARIANSI 018 1

( / ) () K K dengan K meruakan fungs kernel dan adala sebua bandwdt, sengga krtera WLS daat dtuls sebaga berkut: y - Xβ T K y - Xβ dmana x x x X= 1,,, n ; K dag( K( t1 t),, K( tn t)) sengga ddaat estmas untuk ˆβ dberkan ole: -1 ˆ T T β = X K X X K y (Wu dan Zang, 005)..4. Pemlan Bandwdt Otmal Bandwdt adala sebaga engontrol antara fungs dengan data agar fungs yang daslkan menjad smoot (mulus). Pemlan bandwdt yang otmal akan mengaslkan estmator yang bak terada model. Pemlan bandwdt yang terlalu kecl akan mengaslkan kurva estmas yang sangat kasar (undersmootng). Sementara jka emlan bandwdt terlalu besar akan mengaslkan kurva fungs estmas yang sangat smoot (4) (oversmootng). Ole karena tu emlan bandwdt yang otmal sangat entng dalam analss regres nonarametrk (Budantara, 000). Sala satu cara menentukan bandwdt yang otmal dengan menggunakan metode GCV (Generalzed Cross Valdaton). Fungs GCV dberkan sebaga berkut: MSE GCV 1 tr n dengan n 1 I - A( ) n 1 MSE y ˆ y, dan A ( ) derole dar ubungan ˆ ( ) y = A y. Nla GCV terkecl akan memberkan nla bandwdt yang otmal. Prosdng Semnar Nasonal VARIANSI 018 13

Menurut Wels dan Yee (005) emlan bandwdt breson ada dasarnya dlakukan secara bersama-sama untuk mendaatkan bandwdt yang otmal. Akan teta dalam alkasnya sangat sult. Ole karena tu eneltan Wels dan Yee (005) enentuan bandwdt dlakukan secara tersa untuk masng-masng reson. 3. Metodolog Peneltan Pada eneltan n data yang dgunakan adala jumla kematan bu dan jumla kematan bay d Jawa Tenga ada taun 016. Data yang dambl berua data ta kabuaten/kota d Jawa Tenga sengga terdaat 35 engamatan. Varabel redktor yang dgunakan dalam eneltan n adala jumla tenaga keseatan. Langka ertama dalam memodelkan regres olnomal lokal adala menguj aaka terdaat korelas antar varabel reson. Langka selanjutnya adala menentukan bandwdt untuk masng-masng varabel reson terada varabel redktor. Penentuan bandwdt otmum menggunakan metode GCV. Setela ddaatkan bandwdt otmum, langka selanjutnya adala emodelan jumla kematan bu dan jumla kematan bay d Jawa Tenga berdasarkan jumla tenaga keseatan. Pada eneltan n fungs kernel yang dgunakan adala kernel Gaussan. 4. Hasl dan Pembaasan Msalnya dberkan data ( t j, y1j, yj ) serta ubungan ( tj, y 1 j) dan ( tj, y j) mengkut model regres nonarametrk. y f ( t ) 1 j 1 j 1 j y f ( t ) dengan j 1,,..., m. j j j Prosdng Semnar Nasonal VARIANSI 018 14

Aabla f1( t 1 j ) dan f( t j ) ddekat dengan Polnomal Lokal ( tj ) maka ddaat f ( t ) ( t ) ; 1, dengan j j (1) ( ) t t t t t t t t! (Wels dan Yee, 005). j j j atau bsa dtuls dalam bentuk matrks sebaga berkut: y1 f 1(t) ε1 y f (t) ε, (5) Jka djabarkan kedalam matrks sebaga berkut: y11 f1( t11) 11 y 1 f1( t1) 1 y1 n f1( t1 n ) 1 n y 1 f1( t1) 1 y f1( t) y f ( t ) n 1 n n ; Dmana f 1(t) dan f (t) dasumskan kurva regresnya tdak dketau bentuknya. Msalkan dberkan olnomal ( u j ) derajat sebaga berkut: () 1 ( u) ( u) ( uj ) ( u) ( uj u) ( u) ( uj u)... ( uj u) (6)!! Jka ddalam model breson data longtudnal, kurva regres f ( t ) ddekat dengan olnomal lokal derajat maka: () 1 f ( t) f ( t) f ( tj ) f ( t) ( tj t) f ( t) ( tj t)... ( tj t) (7)!! j Jka r t f r dengan r 0,1,,..., maka ersamaan (6) daat dtuls r! menjad: ( ) 0 ( ) 1 ( )... ( ) j j j j f t t t t t t t. (8) Prosdng Semnar Nasonal VARIANSI 018 15

Jka dtuls dalam bentuk matrks derole model: y = B + ε (9) dengan 10 ( t11 t) 11 ( t11 t) 1 ( t11 t) 1 10 ( t1 t) 11 ( t1 t) 1 ( t1 t) 1 10 ( t1 n t) 11 ( t1 n t) 1 ( t1 n t) 1 y1 y - - - ; B y 0 ( t1 t) 1 ( t1 t) ( t1 t) 0 ( t t) 1 ( t t) ( t t) 0 ( tn t) 1 ( tn t) ( tn t) Persamaan (9) daat dtuls dalam bentuk: y = Dα +ε Matrks embobot yang dgunakan adala banyaknya engamatan * * 1 1 1 ( W ) W dag,,, n n n dan Dberkan K meruakan matrks embobot kernel. Jka δ dag( K ( t t), K ( t t),, K ( t t)) ; 11 1 1n ω dag( K ( t t), K ( t t),, K ( t t)) ; 1 n maka matrks embobot kernel K δ ω. K adala sebaga berkut: Aabla dberkan matrks W yang meruakan matrks embobot, meruakan matrks embobot kernel, maka untuk memerole estmator K Prosdng Semnar Nasonal VARIANSI 018 16

Jml. Kematan Bay Jml. Kematan Bay α dan β dlakukan otmas Wegted Least Square (WLS). Jka ( α,β ) meruakan fungs WLS maka T -1 ( α,β ) (y - y) ˆ W K (y - y) ˆ (4.11) Berkut dsajkan scatterlot dar data eneltan 500 500 400 400 300 300 00 00 100 100 0 0 00 400 600 800 1000 Jumla Tenaga Keseatan 100 1400 1600 0 0 00 400 600 800 1000 Jumla Tenaga Keseatan 100 1400 1600 Gambar 1. Scatterlot Jumla Kematan Ibu dan Jumla Kematan Bay terada jumla tenaga keseatan Berdasarkan Gambar 1, terlat bawa lot menyebar secara acak. Selan tu terlat ola jumla kematan bu dan jumla kematan bay terada jumla tenaga keseatan, lotnya sangat mr. Karena bentuk kurva regresnya acak, kta tdak bsa langsung memutuskan untuk dmodelkan secara lner. Sengga dengan kurva yang acak (tdak dketau olanya) maka bsa dlakukan emodelan secara nonarametrk. Berkut dsajkan statstka deskrtf dar data eneltan. Tabel. Statstka Deskrtf data eneltan Varable Mnmum Maxmum Mean Varance Jumla Kematan Bay (Y 1 ) 16 444 156.7 71. Jumla Kematan Ibu (Y ) 0 54 17. 114.99 Jumla tenaga keseatan (X) 97 1474 90.7 77964 Prosdng Semnar Nasonal VARIANSI 018 17

Berdasarkan Tabel terlat bawa jumla kematan bay tertngg mencaa 444 jwa yatu d kabuaten Brebes. Sedangkan terendea mecaa 16 jwa yatu d kota Magelang dengan rata-rata angka kematan bay d Jawa Tenga mencaa 156 jwa. Sedangkan jumla kematan bu terenda mencaa 0 jwa yatu d kota Magelang, tertngg mencaa 54 jwa yatu d kabuaten Brebes. Rata-rata jumla kematan bu mencaa 17 jwa. Untuk varabel jumla tenaga keseatan, rata-ratanya berksar 90.7 Berdasarkan asl analss nla korelas antara jumla kematan bu dan bay mecaa 0.8 (sgnfkan dengan alfa 5%), artnya bsa dkatakan bawa kedua varabel tersebut memunya keterkatan yang tngg. Sengga varabel Y 1 dan Y daat dmodelkan secara bvarate. Langka selanjutnya adala enentuan bandwdt otmum menggunakan metode GCV dengan fungs kernel Gaussan. Bandwdt otmum yang ddaat bernla 1 dengan nla orde adala 1, nla GCV otmum yang ddaat adala 1.17945 dengan nla arbted fxed ont adala -0.1386513 untuk Y 1, sedangkan untuk Y nla bandwdt otmum sama dengan Y 1 akan teta nla GCV otmumnya adala 1.06186. Berkut asl emodelan olnomal lokal yang ddaat sebaga berkut: Pemodelan jumla kematan bu dmodelkan sebaga berkut: y 0.0400630 0.3336435 t 0.1386513 1 1 1 Nla MSE yang daslkan dar model jumla kematan bu adala 1.017741 y 0.14444 0.46479 t 1.06186 Nla MSE yang daslkan dar model jumla kematan bay adala 1.380833 Prosdng Semnar Nasonal VARIANSI 018 18

5. Kesmulan Estmas arameter model olnomal lokal bvarate ddaatkan sebaga berkut: ˆ T -1-1 T -1 θ = (X W K X) X W K y Estmator olnomal lokal bvarte mengandung nla embobotan dar varabel reon dan dar kernel. Pada emodelan jumla kematan bu dan jumla kematan bay model yang ddaatkan sebaga berkut: Pemodelan jumla kematan bu dmodelkan sebaga berkut: y 0.0400630 0.3336435 t 0.1386513 1 1 1 Nla MSE yang daslkan dar model jumla kematan bu adala 1.017741 y 0.14444 0.46479 t 1.06186 Nla MSE yang daslkan dar model jumla kematan bay adala 1.380833 6. Ucaan Terma Kas Terma kas keada unverstas Donegoro atas dukungan eneltan Rset Pengembangan dan Peneraan (RPP) taun 018. Daftar Pustaka Bellouse, D.R., dan Stafford, J.E. (001), Local Polynomal regresson n Comlex Surveys, Statstcs Canada, Catalouge: Survey Metodology, Vol. 7, No., al. 197-03. Budantara, I.N. (000), Metode U, GML, CV, dan GCV dalam regres Nonarametrk Slne, Majala Ilma Hmunan Matematka Indonesa (MIHMI), Vol. 6, al. 85-90. Camda, N. (008), Inferens Kurva Regres Nonarametrk Berdasarkan Estmator Polnomal Lokal Dengan Error Lognormal, J. Penelt. Med. Eksakta, Vol. 7, No. 1, al. 61-69. Prosdng Semnar Nasonal VARIANSI 018 19

Draer, N.R dan Smt, H. (199), Aled Regresson Analyss nd Edton. Jon Wley & Sons Caman and Hall, New York. Eubank, R.L. (1988), Slne Smootng and Nonarametrc Regresson, Marcel Dekker, New York. Hardle, W. (1990), Aled Nonarametrc Regresson, Cambrdge Unversty Press, New York. Wels, A.H dan Yee, T.Y. (005), Local Regresson for Vector Resonses, Journal of Statstcal Plannng and Inference, Vol. 136, al. 3007-3031. Wu, H. dan Zang, J.T. (006), Nonarametrc Regresson Metods for Longtudnal Data Analyss, A Jon-Wley and Sons Inc. Publcaton, New Jersey. Prosdng Semnar Nasonal VARIANSI 018 0