Oleh : Enny Supartini Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Padjadjaran

Transkripsi

1 Abstrak MENGESTIMASI BEBERAPA DATA HILANG (MISSING DATA) DAN ANALISIS VARIANS UNTUK RANCANGAN BLOK ACAK SEMPURNA Oleh : Enny Supartn Departemen Statstka, Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam, Unverstas Padadaran arthn@yahoo.com Dalam peneltan yang bersfat percobaan, pada pelaksanaannya bsa terad bahwa data percobaan yang dperoleh tdak lengkap, hal n terad karena adanya data yang hlang (mssng data), dengan teradnya beberapa data yang hlang maka akan mempersult analssnya terutama dalam Rancangan Blok Acak Sempurna, karena akan menyebabkan ketdak sembangan Rancangan n, untuk mengatasnya adalah dengan mengestmas data yang hlang tersebut. Jka terad dua data yang hlang maka untuk mengestmasnya bsa menggunakan metoda Yates, sedangkan ka data yang hlang lebh dar dua maka bsa dgunakan metoda Bggers, pada dasarnya untuk mengestmas data yang hlang pada kedua metoda tersebut dengan cara memnmumkan umlah kuadrat error atau dengan Least Squares Methode, sedangkan apabla data sudah destmas maka untuk analss varansnya bsa dgunakan Analss Varans Alternatf. Hasl analss varans alternatve untuk perkembangan embro pada meda yang dberkan kadar glukosa yang berbeda ternyata kadar glukosa pada meda berpengaruh terhadap perkembangan embro. Kata Kunc : Data hlang, Least Squares Methode, rancangan blok acak lengkap, metode Yates, metode Bggers Prosdng Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka UMS

2 I. Pendahuluan. Untuk peneltan yang bersfat percobaan maka harus memlh rancangan percobaan yang sesua dengan permasalahan yang dtelt supaya memperoleh nformas yang lengkap, apabla unt ekspermen pada percobaan n bersfat heterogen, maka rancangan yang sesua adalah menggunakan rancangan blok acak, dalam hal n unt ekspermen yang bersfat heterogen dkelompokan dulu kedalam blok (kelompok) yang bersfat homogen tetap dantara blok bersfat heterogen, Hnkelmann [3]. Apabla dalam pelaksanaannya masng-masng blok mempunya unt ekspermen yang sama banyaknya dengan perlakuan maka rancangan n merupakan rancangan blok acak lengkap yang sembang dan memenuh sfat orthogonal. Ketka dalam pelaksanaanya percobaan tdak bsa menghaslkan data yang lengkap karena teradnya data yang hlang (mssng data), msalnya percobaan tersebut dlakukan terhadap mahluk hdup yatu ternak atau tanaman, maka data hlang tersebut bsa dsebabkan oleh ternak atau tanaman yang mat sebelum hasl percobaan dperoleh, hal n merupakan salah satu penyebab tdak lengkapnya data hasl percobaan. Ketdak lengkapan data hasl percobaan yang dsebabkan oleh data hlang akan mempersult analssnya, karena akan menyebabkan ketdak sembangan rancangan blok acak dan rancangan n akan menad non orthogonalmenurut Subramany[6],.Untuk mengatas hal n bsa menggunakan dua cara yatu dengan mengulang kembal percobaan atau dengan mengestmas data hlang tersebut berdasarkan pada data yang ada. Dengan melakukan kembal percobaan akan menad tdak efsen karena akan menambah waktu dan baya dan uga konds ekspermen sudah tdak sama lag dengan ekspermen sebelumnya. Ada beberapa konds data hlang dalam rancangan blok acak lengkap yatu satu data hlang, dua data hlang atau lebh dar dua data yang hlang. Kalau satu data hlang maka data tersebut dapat destmas sepert pada Montgomery [5], sedangkan apabla yang hlang dua data maka bsa menggunakan metode Yate s, sedangkan apabla data hlang lebh dar dua maka bsa menggunakan pendekatan dengan metode Bggers [1]. II. Metodolog Peneltan Berdasarkan latar belakang masalah yang dbahas pada bagan I, maka akan dcar solusnya untuk medapatkan estmator/penduga data yang hlang pada rancangan blok acak lengkap, dmana terdapat lebh dar dua data yang hlang. Prosdng Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka UMS

3 .1. Rancangan blok acak lengkap (.4) Dalam Montgomery [5], suatu rancangan percobaan dengan k buah perlakuan dan n buah blok/kelompok maka model lnernya adalah sebaga berkut : Y (.1) dengan = 1,,,k dan =1,, n sedangkan, efek rata-rata efek perlakuan ke efek blok ke kekelruan acak untuk perlakuan ke, blok ke Menurut Box [], asums untuk desan blok acak adalah, k : NID(0, (.) ) apabla model lner n merupakan model tetap maka asums lannya adalah, k dan (.3) b 1 dengan hpotess statsts menurut Lehmann [4]. sebaga berkut : H 0 1 k :... 0 H 1 : palng sedkt satu perlakuan ke dengan τ ± 0 Varas dar nla-nla observas sebaga pengaruh dar perlakuan, blok dan error, dapat dlhat dar besar Jumlah Kuadrat, yatu Jumlah Kuadrat Total (JKT), Jumlah Kuadrat Perlakuan (JKP), Jumlah Kuadrat Blok (JKB) dan Jumlah Kuadrat Error (JKE) k yang dapat dperoleh sebaga berkut : JKP ( J / n) J.. / N 1 1. JKB ( J / k) J.. / N k Mengestmas Data Hlang dengan Metode Yate... dan JKR J / N n n JKE Y JKP JKB JKR Untuk mengestmas data yang hlang dapat dperoleh dengan memnmalkan Kuadrat Tengah Error pertama kal dkembangkan oleh Yates. Prosdng Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka UMS

4 Persamaan untuk menduga satu data hlang dengan metode Yate s adalah sebaga berkut :. (.5) dengan, Yˆ ab k Y n Y Y ( n 1)( k 1) Yˆ penduga data yang hlang ab a b n = banyaknya blok dalam rancangan percobaan k = banyaknya perlakuan a b total nla pengamatan pada blok ke = total nla pengamatan pada perlakuan ke Y = total nla pengamatan keseluruhan Y Y Persamaan untuk menduga dua data hlang mssal Y 11 dan Y 1 dengan menggunakan metode Yate s yatu dengan memnmumkan Jumlah Kuadrat Error maka dperoleh penduga data hlang untuk Y 11 adalah sebaga berkut : (.6) Yˆ 11 n Y ( k 1) Y Y Y ( n 1)( k ) 1 1 dan penduga data hlang untuk Y 1 adalah sebaga berkut : n Y 1 ( k 1) Y Y1 Y ˆ(.7) Y1 ( n 1)( k ).3. Mengestmas Data Hlang dengan Metode Bgger s Apabla data hlang lebh dar dua maka untuk mengestmas data hlang dapat dgunakan metode Bggers[6] yang menggunakan pendekatan matrks, dengan langkah-langkah sebaga berkut : Memsalkan data yang hlang adalah Y cd, untuk memperoleh estmator/penduga untuk data hlang dperoleh dengan memnmumkan Jumlah Kuadrat Error sepert berkut n : JKE Y Y Y Y k n k n Y JKE Y Y Y n k nk k n k n Prosdng Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka UMS

5 (.8) k n 1 ˆ JKE Y Ycd Y Yc Yc 1 1 n ( ) 1 1 ˆ - Y Yd Y d G Y cd k ( ) nk 1 1 cd c c d d n k Yˆ Y Y Y Y 1 G nk ( ) ( ) Y Dengan G = total semua nla pengamatan dengan terdapat data hlang. Untuk memperoleh penduga data hlang JKE dturunkan terhadap, kemudan dsamadengannolkan menurut sepert berkut n, JKE 0 Y ˆcd Maka dperoleh, nkyˆcd k Y c n Y d Y k Y c n Y d G ( ) ( ) ( ) (.9) Yˆcd dar persamaan (.9) dkelompokkan ke dalam suku-suku yang berhubungan dengan kelompok-kelompoknya, perlakuan kelompok dan tanpa kelompok dperoleh persamaan sebaga berkut : ˆ ˆ ˆ ˆ nkycd k Y Ycd n Y Ycd Y Yd Yc Ycd ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k Y n Y G( n 1)( k 1) Yˆ (1 k) Y (1 n) Y Y (.10) c d cd c d ( ) c k Y n Y G d Dengan cara yang sama dapat dperoleh (p-1) data yang hlang, akan dperoleh p buah persamaan yang analog dengan persamaan (.9) dan (.10), dalam bentuk matrk dapat dtuls sebaga berkut : A pxp Y pxl =Q pxl (.11) Dengan, A pxp = matrks smetr dengan elemennya sepert pada table.1 X pxl = matrks dar data hlang Prosdng Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka UMS

6 Q pxl = matrk nla ky c + ny d G dar persamaan yang bersesuaan Maka dperoleh persamaan Y pxl = A -1 Q pxl (.1) Dengan empat data yang hlang msalnya Y kv, Y kw, Y kx, Y kz, untuk memperoleh elemen-elemen matrk A pxp dperoleh dengan cara sebaga berkut : Tabel.1 Elemen-elemen untuk matrk A pxp Subskrp Kv kw Kx Kz Kv (n-1)(k-1) 1-n 1-k 1 Kw 1-n (n-1)(k-1) 1 1 Kx 1-k 1 (n-1)(k-1) 1 Kz (n-1)(k-1) Untuk persamaan (.11) dalam bentuk matrk adalah sbb: ( k 1)( n) (1 n) (1 k) 1 Ykv kyk nyv G (1 n) ( k 1)( n 1) 1 1 Y kw kyk nyw G (1 k) 1 ( k 1)( n1) 1 Y kx kyk nyx G (.1) ( k 1)( n1) Ykz kyk nyz G.4. Analss Varans untuk Rancangan Blok Acak dengan beberapa data hlang Untuk melakukan analss varans rancangan blok acak lengkapdengan beberapa data hlang, setelah data hlang destmas dan struktur data menad lengkap maka analss varans alternatve menurut Wdharsh [7] yatu dengan melakukan beberapa penyesuaan dengan langkah-langkah sebaga berkut : 1. Dengan menggunakan data yang tdak lengkap dapat dhtung : Jumlah Kuadrat Total bntang untuk data tdak lengkap (.13) k n.. * JKT y y JKT 1 1 k n * Y 1 1 N Y Prosdng Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka UMS

7 Kemudan dapat dhtung Jumlah Kuadrat yang lannya yatu Jumlah Kuadrat Blok bntang, (.14) J K B dan * N n k 1 Y. n. Setelah data hlang destmas dan dletakan pada sel data hlang, selanutnya dhtung Jumlah Kuadrat Error dengan data sudah dlengkap dengan data hasl estmas atau JKE 3. Kemudan htung Jumlah Kuadrat Perlakuan bntang dengan penyesuaan sebaga berkut: JKP * = JKT * - JKB * - JKE (.15) N Y Untuk analss varansnya maka akan dperoleh Tabel Anava sepert berkut: Tabel.. Anava dengan penyesuan Sumber Deraat Jumlah Kuadrat Tengah F htung Varas bebas Kuadrat Blok n-1 JKB * KTB * =JKB * /(n-1) KTB * /KTE Perlakuan k-1 JKP * KTP * =JKP * /(k-1) KTP * /KTE terkoreks Error nk-nk+1-p JKE KTE=JKE/(nk-nk+1-p) Total nk-1-p JKT Untuk mengu pengaruh dar blok krtera unya akan menolak H 0 ka, F htung F (n-1)(nk-n-k+1-p)(α), untuk mengu pengaruh perlakuan, krtera unya adalah : F htung F (k-1)(nk-n-k+1-p)(α) III. Hasl dan Pembahasan Dalam peneltan n data yang akan danalss adalah data yang dambl dar Bomertka Trust yang dunduh dar Yatu peneltan mengena perkembangan suatu embro yang dkembangkan pada delapan konds yang berbeda dan dber perlakuan lma konsentras glucose yang berbeda dengan menggunakan rancangan blok acak lengkap, tetap sebelum peneltan selesa ada empat embro yang mat sehngga danggap sebaga Prosdng Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka UMS

8 data hlang, hasl percobaannya sepert dapat dlhat pada Table 3.1. dalam hal n data hlang tersebut adalah unt ekpermen pada blok 3 perlakuan 3, blok 3 perlakuan 5, blok 7 perlakuan 3 dan blok 8 perlakuan 4, atau kalau dnotaskan sebaga varable respon Y 33,Y 35, Y 73 dan Y 84, yang merupakan empat data hlang, yang mengakbatkan data hasl percobaan menad tdak lengkap, hal n akan mempersult analssnya. Tabel 3.1. Data hasl percobaan perkembangan embro dmana ada empat data hlang Blok I II III IV V VI VII VII Kadar glukosa dalam larutan(mg/ml) 0,5 1,0,0 4, ,88 1,15 1,33 1,39 1,57 1,06 1, 1,63 1,54 1,37 0,97 1,34-1,66-1,09 1,1 1,16 1,50 1,48 1,14 1,37 1,58 1,5 1,44 1,13 1,33 1,65 1,57 1,47 1,00 1,1-1,45 1,5 1,1 1,30 1,35-1,61 8,70 10,63 10, , ,18 5,38 48,31 Sebaga solusnya data hlang harus destmas dengan langkah-langkah sebaga berkut : 1. Menentukan matrk A dengan menggunakan rumusan sepert pada Tabel.1, akan dperoleh matrk sebaga berkut, A = Kemudan dtentukan nvers dar matrk A dan dperoleh sebaga berkut : A -1 = 0,039 0,010 0,005 0,00 0,010 0, ,00 0,005 0,000 0,037 0,001 0,00 0,00 0,001 0,036 Prosdng Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka UMS

9 . Menentukan matrkqsepert drumuskan pada persamaan (.1) sepert berkut : 5(8.70) 8(3,97) 48,31 6,95 Q = 5(10,46) 8(3,97) 48,31 35,75 5(8,70) 8(5,18) 48,31 36,63 5(10,63) 8(5,38) 48,31 47,88 3. Estmas data hlang dengan menggunakan persamaan (.1) dperoleh : Y = Y = 0,039 0,010 0,005 0,00 0,010 0, ,00 0,005 0,000 0,037 0,001 0,00 0,00 0,001 0,036 y33 1,50 y 35 1,53 y 73 1,44 y84 1,56 6,95 35,75 36,63 47,88 Sehngga dperoleh y 33 = 1,50; y 35 = 1,53; y 73 =1,44 dan y 84 = 1,56 Tabel 3.. Data hasl percobaan perkembangan embro dmana empat data hlang sudah destmas Blok Kadar glukosa dalam larutan (mg/ml) Total 0,5 1,0,0 4,0 8.0 I 0,88 1,15 1,33 1,39 1,57 6,3 II 1,06 1, 1,63 1,54 1,37 6,8 III 0,97 1,34 1,50 * 1,66 1,33 * 7,00 IV 1,09 1,1 1,16 1,50 1,48 6,44 V 1,14 1,37 1,58 1,5 1,44 7,05 VI 1,13 1,33 1,65 1,57 1,47 7,15 VII 1,00 1,1 1,44 * 1,45 1,5 6,6 VII 1,1 1,30 1,35 1,56 * 1,61 6,94 Total 8,39 10,1311,641,19 11,99 48,31 Catatan: data dengan tanda (*) merupakan hasl estmas data hlang Untuk analss selanutnya penduga data hlang dletakkan d sel yang kosong sepert pada Tabel 3.. kemudan danalss dengan menggunakan analss varans alternatve, Wdharsh [7] Selanutnya adalah melakukan analss varans alternatve sepert delaskan pada bagan.4. dengan langkah-langkah sepert berkut : Prosdng Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka UMS

10 1. Dar Table 3.1. dengan terdapat data hlang dan menggunakan persamaan (.13) dperoleh umlah kuadrat total bntang yatu JKT * = 1,568 kemudan dengan menggunakan persamaan (.14) dperoleh umlah kuadrat blok bntang yatu : JKB * = 0,119. Dar Tabel 3.. dmana sel table sudah dlengkap dengan hasl estmas data hlang sepert pada Table 3.. maka dengan menggunakan persamaan (.15) maka dperoleh umlah kuadrat error yatu JKE = 1,1876. Dar hasl perhtungan dapat dsusun dalam table Anava berkut n, Tabel 3.3. Anava Alternatf Sumber Deraat Jumlah Kuadrat F htung F tabel Varas bebas Kuadrat Tengah Blok mengabakan 7 0,119 0,0170 1,5596,4 perlakuan Perlakuan 4 1,1876 0,969 7,385,78 terkoreks Error 4 0,614 0,0109 Total 35 Berdasarkan analss varan dengan α=5% dperoleh hasl penguan hpotess bahwa untuk u pengaruh blok ternyata tdak ada pengaruh dar Blok, sedangkan untuk u pengaruh perlakuan ternyata ada pengaruh perlakuan terhadap perkembangan embro. Prosdng Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka UMS

11 IV. Smpulan 4.1. Smpulan Dar hasl perhtungan, analss dan pembahasan dapat dsmpulkan, 1. Dalam rancangan blok acak lengkap apabla terdapat data hlang maka akan mempengaruh hasl analssnya karena akan menghlangkan kesembangan rancangan tersebut dan menad tdak orthogonal, oleh karena tu data hlang harus destmas dulu dengan menggunakan metode Bggers dmana penduga atau estmator dperoleh dengan memnmumkan umlah kuadrat error, untuk analssnya dgunakan Analss Varans Alternatf. Hasl analss varans alternatve untuk perkembangan embro pada meda yang dberkan kadar glukosa yang berbeda ternyata kadar glukosa pada meda berpengaruh terhadap perkembangan embro.. Prosdng Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka UMS

12 V. Daftar Pustaka 1. Bggers, J.D. (1959) The Estmaton of Mssng and Mxed-up Observaton n several Expermental Desgn. Bometrka Vol. 46 no 1/ pp Box, G. P., Hunter, W. G., and Hunter J. S., (1978) Statstcal for Expermenters, New York, John Wley. 3. Hnkelmann, K. And Kempthorne (1994) Desgn and Analyss of Experment, New York, John Wley. 4. Lehmann E., (1986) Testng Statstca1.l Hypothess, New York, John Wley. 5. Montgomery, Douglas C., (009) Desgn and Analyss of Experment 5 th ed. New York, John Wley. 6. Subramany, J. (199)Analyss of Means for Ekspermental Desgn wth Mssng Obsevaton. Commun. Statst-Theory Meth., 1(7), Taml Nadu, Inda 7. Wdharsh, Tatk. (009) Estmas Mssng Data pada Rancangan Acak Kelompok Lengkap. Prosdng Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka UMS