1. Misalka A = [a ij ] matriks berukura 2018 2018. Jika a ij = i + j utuk setiap i, j, maka rak(a) = 2. Diberika matriks A = 1 θ si2θ 2 (2cos2 si2θ 2si 2 θ ), θ R, maka 2018A 2018 2018A 2016 = 3. Misalka C(R) meyataka ruag fugsi kotiu dari R ke R. Subruag {f C(R) f = 0} memiliki dimesi 4. Misalka u = ( 2018 ), A = (u u) da 1 L = {x R 2 Ax = u}. Nilai dari mi{ x 2 x L} = 5. Misalka matriks A R mempuyai k kolom yag sama, maka multiplisitas geometri utuk ilai eige λ = 0 6. 2 a Diberika matriks A = ( 0 2 0 0 0 0 0 0 b 0 ). 2 c 0 2 Jika diketahui a, b, c {0,1}, maka ilai a, b, c sehigga matriks A dapat didiagoalisasi adalah BIDANG MATEMATIKA 1
7. Misalka f: R 3 R 3 R didefiisika sebagai f(u, v) = u 1 v 1 u 2 v 2 + 3u 3 v 3 Utuk setiap u = (u 1, u 2, u 3 ) da v = (v 1, v 2, v 3 ) di R 3. Maka f buka hasil kali dalam di R 3 karea tidak memeuhi sifat 8. Jika R suatu lapaga dega idetitas 1 0, maka ideal R yag tak ol adalah 9. Jika G sebuah grup dega subgrup H sedemikia sehigga G < 56, H > 12 da G: H > 4 maka G = 10. Misalka G grup, a di G, dikataka a berorde k jika k bilaga bulat positif terkecil sedemika sehigga a k = e dega e usur idetitas di G. Misalka S 5 grup simetri berorde 5. Orde dari (1 2)(3 4 5) 11. Bayakya koset dari 4Z adalah 12. Jika D suatu daerah itegral dega sifat setiap x di D memeuhi x 2 = x, maka usur-usur di D adalah 13. Misalka R = {a + bi a, b Z} da A = {a + bi 5 a da 5 b} bayakya usur R/A adalah BIDANG MATEMATIKA 2
14. Perhatika gelaggag polimial Z 3 [x]. Bilaga c Z 3 sehigga x 3 + cx + 1 tidak tereduksi di Z 3 [x] adalah 15. Nyataka limit berikut dalam itegral tetu π lim cos (kπ 2 2 ) k=1 16. Jika fugsi f kotiu di selag [0, ) da 0 Hituglah f(9)? x 2 f(t) dt = x(cos(πx) 1). 17. Tetuka selag dimaa fugsi f(x) = 1 x kotiu seragam. 18. Diketahui fugsi si 2x, x 0 f(x) = { ax, 0 < x < 1 x 2 + b, x 1 mempuyai turua di x = 0 da x = 1. Hituglah ilai a b? 19. Misalka x = 2 2 + 2k 1 k=1 Hituglah ilai lim x. 20. Tetuka ilai dari 1 lim k k k k k =1 BIDANG MATEMATIKA 3
21. Misalka f(x) = x 2 e x2, x R. Jika f 1 ada da terdiferesialka pada selag (0, ). Hituglah (f 1 ) (e)?. 22. Akar pagkat 3 dari i 3 ( 1 + i 3 ) 2 23. Nilai dari 5 Re (z) + 7 Im(z) jika z = (3 3i) 2018 24. Diketahui bilaga kompleks a dega a < 1. Defiisika pemetaa φ a (z) = z a 1 a z Jika z = 1, ilai dari φ a (z) 25. Diketahui γ adalah ligkara yag berpusat di 0 da berjari-jari 2. Nilai dari dz γ z2 (z 2 + 1) 26. Nilai itegral dari dz z 3 (z + 4) c jika C adalah ligkara, z + 5 = 3 27. Misalka z terletak pada ligkara z = 2. Estimasi ilai dari z z 3 z 2 2z + 2 BIDANG MATEMATIKA 4
28. Luas daerah peta dari hasil pemetaa daerah A = {z = x + iy C 1 x 2, 1 y 3} oleh trasformasi T(z) = (1 + i 3)z + 2 i 29. Solusi dari relasi recurrece a = a 1 + 2a 2 dega a 0 = 2 da a 1 = 7 30. Ada berapa solusi yag dimiliki oleh x 1 + x 2 + x 3 = 11 dega x 1, x 2, x 3 bilaga bulat tak egatif da x 1 3, x 2 4, da x 3 6? 31. Misalka terdapat laci yag berisi selusi kaos kaki cokelat da selusi kaos kaki hitam yag didistribusika secara acak. Pada saat listrik padam, berapa kaos kaki yag harus ada ambil utuk memastika bahwa diataraya terdapat sepasag kaos kaki yag sewara? 32. Sebayak 115 mahasiswa megambil mata kuliah Matematika Diskrit, 71 mahasiswa megambil mata kuliah Kalkulus, da 56 mahasiswa megambil mata kuliah Geometri. Di ataraya 25 mahasiswa megambil mata kuliah Matematika Diskrit da Kalkulus, 14 mahasiswa Megambil mata kuliah Matematika Diskrit da Geometri, serta 9 mahasiswa megambil mata kuliah Kalkulus da Geometri. Jika terdapat 196 mahasiswa yag megambil palig sedikit satu dari ketiga mata kuliah tersebut, berapa orag yag megambil ketiga mata kuliah sekaligus? BIDANG MATEMATIKA 5
33. Berapa bayakya aggota dari A B C D jika setiap himpua berukura 50, setiap irisa dari dua himpua berukura 30, setiap irisa dari tiga himpua berukura 10, da irisa dari keempat himpua berukura 2? 34. Berapa bayak strig yag dapat dibuat dega megatur kembali huruf-huruf pada kata SUCCESS? 35. Suatu barisa terdiri dari 10 bit yag dibagu secara acak. Berapakah peluag bahwa palig sedikit satu dari bit-bit tersebut adalah bit ol? ESSAY 1. Padag R 2 dega hasilkali dalam stadar. Misalka A R 2 2 memeuhi Au, Av = u, v utuk setiap u, v R 2. Tujukka bahwa A matriks ortogoal (AA T = I). 2. Misalka G grup da A = {(a, b): a, b G}. Misalka T = {(g, g): g G}. Buktika a. T G b. T subgrup ormal A jika da haya jika G abelia. 3. Tujukka bahwa barisa {x }, x = si(t) dt adalah barisa Cauchy. 4. Misalka h(z) fugsi harmoik berilai kompleks da zh(z) juga harmoik. Tujukka bahwa h(z) aalitik. 5. Misalka adalah sebuah bilaga positif. Buktika bahwa 1 t 2 ( 1) k 1 1 k ( k ) = 1 + 1 2 + 1 3 + + 1 k=1 BIDANG MATEMATIKA 6