Bab 1 : Skalar dan Vektor

Transkripsi

1 Bab 1 : Skalar dan Vektor 1.1 Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada kuantitas yang nilainya dapat diwakili oleh bilangan real tunggal (positif atau negatif). x, y dan z kita gunakan dalam aljabar dasar skalar, dan jumlah mereka wakili adalah skalar. Bidang (skalar atau vektor) dapat didefinisikan secara matematis karena beberapa fungsi yang menghubungkan asal berlainan ke titik umum dalam ruang. Kedua bidang skalar dan medan vektor ada. Misalnya suhu di seluruh semangkuk sup dan kepadatan pada setiap titik di bumi adalah contoh dari bidang skalar. Contoh untuk bidang vektor medan magnet bumi, gradien tegangan di kabel, dll 1.2 Aljabar Vektor Sesuai hukum paralelogram, dapat terlihat bahwa A + B = B + A atau penjumlahan vektor mematuhi hukum komutatif, penjumlahan vektor juga mematuhi hukum asosiatif: A + (B + C) = (A + B) + C Catatan: ketika vektor digambar sebagai panah panjang yang terbatas, lokasi didefinisikan berada di ujung ekor panah. Aturan untuk pengurangan vektor berikut dengan mudah dibentuk dengan bentuk penambahan, karena kita selalu dapat mengekspresikan A-B sebagai A + (- B). tanda, atau arah dari vektor kedua adalah terbalik dan vektor ini ditambahkan ke pertama oleh aturan untuk penjumlahan vektor. Vektor dapat dikalikan dengan skalar. Perkalian vektor dengan skalar juga mematuhi hukum asosiatif dan distributif aljabar, yang mengarah ke (r + s) (A + B) = r (A + B) + s (A + B) = ra + rb + sa + sb. Dua vektor dikatakan sama jika selisih mereka adalah nol atau A = B jika A - B = Sistem Kordinat Persegi Ada tiga metode sederhana untuk menggambarkan vektor secara akurat, dan sekitar delapan atau sepuluh metode yang berguna dalam kasus yang sangat khusus. Yang paling sederhana di antaranya adalah sistem koordinat persegi atau persegi Cartesian, sistem Kevin Putra P.K.R. / / Kelas G Page 1

2 koordinat. Dalam segi sistem koordinat persegi kita membentuk tiga sumbu koordinat yang saling tegak lurus satu sama lain dan memanggil mereka sumbu x, y, dan z. Titik A terletak dengan memberikan yang koordinat x, y, dan z. Jarak dari asal ke persimpangan garis tegak lurus turun dari titik ke sumbu x, y, dan z. Jika kita memvisualisasikan tiga pesawat berpotongan di titik umum P, yang berkoordinat x, y, dan z, kita dapat meningkatkan setiap koordinat nilai dengan jumlah diferensial dan mendapatkan tiga pesawat yang saling berpotongan di titik P ', yang berada di koordinat x + dx, y + dy, dan z + dz. Keenam pesawat yang saling tegak lurus berbentuk persegi yang volumenya dv = dxdydz; permukaan memiliki area diferensial ds dari dxdy, dydz, dan dzdx. Akhirnya, dl jarak dari P ke P' adalah diagonal dari paralelipiped dan memiliki panjang. 1.4 Komponen Vektor dan Unit Vektor Untuk menggambarkan vektor dalam sistem koordinat persegi, mari kita menganggap vektor r memperluas ke luar dari titik asal. Sebuah cara untuk mengidentifikasi vektor ini adalah dengan memberikan tiga komponen vektor yang terletak sepanjang tiga sumbu koordinat, dimana jumlah vektor harus sesuai dengan vektor yang diberikan. Jika komponen vektor dari vektor r adalah x, y, dan z, maka r = x + y + z. Kevin Putra P.K.R. / / Kelas G Page 2

3 Komponen Vektor memiliki besaran yang bergantung pada vektor tertentu (seperti r), tetapi mereka masing-masing memiliki arah yang diketahui dan konstan. Hal ini menunjukkan penggunaan unit vektor memiliki unit besarnya sesuai definisi; Hal ini sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat dan mereka menunjuk ke arah peningkatan nilai koordinasi. Jadi, kita harus membuat simbol untuk vektor satuan dan mengidentifikasi arahnya dengan subsckrip yang tepat. Jadi a x, a y, dan a z adalah vektor satuan dalam sistem koordinat persegi. Jika kita membahas vektor gaya F, atau setiap vektor selain perpindahan-jenis vektor seperti r, muncul masalah penyimbolan huruf yang sesuai untuk tiga komponen vektor. Masalahnya yang paling sering dihindari dengan menggunakan komponen skalar, hanya disebut komponen, F x, F y, dan F z. Kita kemudian dapat menuliskan F = F x a x + + F y a y F z a z. Vektor komponen adalah F x a x, F y a y, dan F z a z. Setiap vektor B kemudian dapat dijelaskan dengan B = B x a x + + B y a y B z a z. Besarnya B dapat ditulis B atau hanya B, dengan rumus: Sedangkan vektor satuan dalam arah r adalah r / arah vektor B dapat dituliskan dengan rumus, dan vektor satuan dalam Kevin Putra P.K.R. / / Kelas G Page 3

4 1.5 Medan Vektor Kita telah sepakat bahwa sebuah medan vektor menjadi fungsi vektor dari vektor posisi. Secara umum, besar dan arah dari fungsi akan berubah karena kita bergerak di seluruh daerah, dan nilai fungsi vektor harus ditentukan dengan koordinat dari nilai-nilai titik yang dimaksud. Karena kita hanya menggunakan sistem koordinat persegi, kita anggap vektor untuk menjadi fungsi dari variabel x, y, dan z. Jika kita mewakili lagi vektor posisi sebagai r, maka medan vektor G dapat dinyatakan dalam notasi fungsional sebagai G (r); Medan skalar T ditulis sebagai T (r). 1.6 Dot Product Diberikan dua vektor A dan B yang berlaku dot product atau produk skalar, didefinisikan sebagai produk dari besarnya A, besarnya B, dan cosinus sudut yang lebih kecil antara mereka. Dot yang muncul antara dua vektor dan harus dibuat berat untuk penekanan. Dot, atau skalar atau produk skalar, sebagai salah satu nama menyiratkan dan mematuhi hukum komutatif. Untuk tanda sudut tidak mempengaruhi istilah kosinus. Ekspresi A B dibaca "A dot B." Sebuah hasil yang lebih membantu diperoleh dengan mempertimbangkan dua vektor yang komponen perseginya diberikan, seperti A = A x a x + A y a y + A z a z dan B = B x a x + B y a y +B z a z. Dot product juga mematuhi hukum distributif dan Oleh karena itu, A B menghasilkan jumlah sembilan istilah skalar, masing-masing melibatkan dot product dari dua vektor Kevin Putra P.K.R. / / Kelas G Page 4

5 satuan. Karena sudut antara dua vektor satuan yang berbeda dari sistem koordinat persegi adalah 90, kita kemudian memakai rumus: Sebuah vektor yang di dot dengan dirinya sendiri menghasilkan besarnya kuadrat, atau bisa dituliskan dan setiap vektor satuan yang di dot dengan dirinya sendiri adalah satu kesatuan a A. a A = 1 Salah satu aplikasi yang paling penting dari dot product bahwa untuk menemukan komponen vektor dalam arah tertentu. Contohnya, kita dapat memperoleh komponen (skalar) dari B ke arah yang ditentukan oleh vektor satuan a sebagai B a = B a cos θba = B cos θba 1.7 Cross Product Diberikan dua vektor A dan B, sekarang kita mendefinisikan perkalian silang, atau produk vektor, A dan B, ditulis dengan tanda silang antara dua vektor sebagai A B dan membaca "A cross B." Sebagai suatu persamaan kita dapat menulis Membalik urutan hasil vektor A dan B dalam vektor satuan dalam arah yang berlawanan, dan kita melihat bahwa cross product tidak komutatif, untuk B A = - (A B). Contoh sederhana dari penggunaan cross product dapat diambil dari geometri atau trigonometri. Untuk menemukan daerah genjang, produk dari panjang dua sisi yang berdekatan dikalikan dengan sinus sudut antara mereka. Dengan memakai Notasi vektor untuk kedua belah pihak, maka kita dapat mengekspresikan (skalar) Area sebagai besarnya A B, atau A B. Kita telah menemukan ax ay = az, ay az = ax dan az ax = ay. Ketiga istilah yang tersisa adalah nol, untuk cross product vektor apapun dengan dirinya sendiri adalah nol, Kevin Putra P.K.R. / / Kelas G Page 5

6 karena sudut yang tercakup adalah nol. Hasil ini dapat dikombinasikan untuk memberikan Atau bisa dituliskan dalam bentuk determinan, yaitu 1.8 Koordinat Sistem Lain: Koordinat Silinder Sirkular Pada sistem koordinat silinder melingkar adalah versi tiga dimensi koordinat polar dari analisis geometri. Dalam koordinat polar, titik terletak pada bidang yang memberikan jarak ρ dari titik asal dan sudut φ antara garis dari titik asal dan garis radial, diambil sebagai φ = 0. Permukaan ini adalah silinder sirkular (ρ = konstan), bidang (φ = konstan), dan bidang lain (z = konstan). Ini sesuai dengan lokasi titik dalam sistem koordinat persegi panjang dengan persimpangan tiga bidang (x = konstan, y = konstan, dan z = konstan). Variabel dari persegi panjang dan silindris sistem koordinat secara mudah berhubungan satu sama lain. kita melihat bahwa : x = ρ cos φ y = ρ sin φ z = z Dari sudut pandang lain, kita dapat menyatakan variabel silinder dalam hal x, y,dan z: ρ = (ρ 0) φ = z = z vektor koordinat silinder : A = + + di mana masing-masing komponen diberikan sebagai fungsi ρ, φ, dan z. Untuk menemukan komponen yang diinginkan dari sebuah vektor, kita ingat dari pembahasan dot product bahwa komponen dalam arah yang diinginkan dapat diperoleh dengan mengambil dot product dari vektor dan vektor satuan dalam arah yang diinginkan. Oleh karena itu, A = A dan =A Sehingga di dapatkan : = ( + + ) = + = ( + + ) = + Kevin Putra P.K.R. / / Kelas G Page 6

7 = ( + + ) = = 1.9 Sistem Koordinat Bola Transformasi skalar dari persegi panjang ke sistem koordinat bola dibuat dengan menghubungkan dua set variabel: x = r sinθ cos φ y = r sinθ sinφ z = r cos θ Transformasi dalam arah sebaliknya dicapai dengan bantuan r = ( r 0 ) θ = ( θ ) φ = arah vektor rectangular, dengan titik z ditemukan menjadi = cos θ = -sin θ = 0 Dot product yang melibatkan dan membutuhkan lebih dulu proyeksi bola vektor satuan pada bidang xy dan kemudian proyeksi ke sumbu yang diinginkan. Sebagai contoh, diperoleh dengan memproyeksikan ke bidang xy, memberikan sin θ, dan kemudian memproyeksikan sinθ pada sumbu x, yang menghasilkan sin θ cos φ. Kevin Putra P.K.R. / / Kelas G Page 7