BAB 2 PDB Linier Order Satu 2

Transkripsi

1 BAB 1 Konsep Dasar 1

2 BAB 2 PDB Linier Order Satu 2

3 BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu 3.1 Masalah Dalam Mekanik Misal 4x adalah perubahan jarak yang ditimbulkan benda bergerak selama waktu 4t maka kecepatan rata-rata didenisikan Selanjutnya kecepatan sesaat adalah v r = 4x 4t = x B ; x A t B ; t A : 4x v = lim v r = lim 4!0 4t!0 4t v = dx (m=): v = dv (m= 2 ) Hukum (Hukum Newton I) Hukum ini juga disebut hukum Kelembaman Newton yang berbunyi ' setiap benda akan tetap berada pada keadaan diam atau bergerak lurus beraturan kecuali jika benda itu dipaksa oleh gaya-gaya yang bekerja pada benda itu'. 24

4 BAB 3. APLIKASI PDB ORDER SATU 25 Hukum (Hukum Newton II) Percepatan yang ditimbulkan oleh gaya yang bekerja pada sebuah benda berbanding lurus (sebanding) dengan besar gaya itu, dan berbanding terbalik dengan massa kelembaman banda itu. Secara matematis dapat ditulis sebagai a = F=m atau F = ma dimana F adalah gaya dan m suatu massa. Analog dengan hukum Newton II ini, gerak jatuh bebas suatu benda dengan berat W tanpa mengikutsertakan gaya gesek udara adalah W = mg: F dalam hal ini direpresentasikan dengan W dan a = g, sehingga bisa kita tulis mg = W ma = F m dv = F m dv dx dx = F mv dv dx = F adalah model dari PDB order satu. Contoh Benda dengan berat 8 newton dijatuhkan dari suatu ketinggian tertentu, yang bearawal dari keadaan diam. Jika kecepatan benda jatuh itu v, dan kecepatan gravitasi bumi adalah g = 10m= 2, serta gaya gesek udara adalah ;2v. Tentukan ekspresi kecepatan v dan jarak x pada saat tertentu.

5 BAB 3. APLIKASI PDB ORDER SATU 26 Penyelesaian Hukum newton mengatakan F = ma atau P F = ma. Dalam hal ini f 1 = W = 8 newton (gaya kebawah), dan F 2 =gaya gesek udara = ;2v (gaya keatas) sehingga m dv = F 1 + F 2 8 dv 10 = 8 ; 2v 1 8 ; 2v dv = 10 8 Karena benda berawal dari keadaan diam maka v(0) = 0, sehingga model PDB sekarang adalah 1 8 ; 2v dv = 10 8 v(0) = 0 Integralkan kedua ruasnya didapat ; 1 2 ln(8 ; 2v) + c 0 = 10 8 t + c 1 ln(8 ; 2v) = ; 5 2 t + c 2 (8 ; 2v) = e ; 5 2 t+c 2 2v = ;Ce ; 5 2 t + 8 v = 1 2 (8 ; Ce; 5 2 t ) Dengan memasukkan nilai awal v(0) = 0 maka c = 4 sehingga ekspresi kecepatan adalah v(t) = 4 ; 2e ; 5 2 t : Selanjutnya untuk menentukan ekspresi jarak maka rubah v(t) kedalam v = dx

6 BAB 3. APLIKASI PDB ORDER SATU 27 sehingga model PDB sekarang adalalah dx x(0) = 0 = 4 ; 2e ; 5 2 t Dengan cara yang sama untuk solusi PDB ini maka ekspresi jarak terhadap waktu adalah x(t) = 4t ; 4 5 e 5 2 t Pertumbuhan dan Peluruhan Jika Q menunjukkan jumlah, kuantitas atau kualitas sesuatu dalam waktu t, maka perubahan (bertambah=pertumbuhan atau berkurang=peluruhan) yang disimbulkan dengan dq berbanding lurus dengan kuantitas Q, dengan kata lain dq dq = rq pertumbuhan = ;rq peluruhan Pertumbuhan Populasi Jika y adalah jumlah populasi dalam waktu t, k adalah konstanta proportionalitas atau tingkat pertumbuhan maka model PDB pertumbuhan populasi adalah dy = ky y(t 0 ) = y 0

7 BAB 3. APLIKASI PDB ORDER SATU 28 Selanjutnya bila k berubah-ubah maka dapat kita ganti dengan h(y) yang dapat dipilih h(y) = r ; ay maka model pertumbuhan menjadi dy = (r ; ay)y dy = r(1 ; y K )y dimana K = r a y(t 0 ) = y 0 PDB ini dikenal dengan persamaan Verhulst atau persamaan Logistik. Solusi kualitatif persamaan ini untuk r dan K positip adalah tertera dalam Gambar 3.1. Asymptotic solution y(x) x Gambar 3.1: Solusi kualitatif persamaan pertumbuhan populasi. Contoh Pertumbuhan populasi memenuhi model sebagai berikut dx = x ; 1 (10) 8 x2 Bila tahun 1980 jumlah populasinya 100,000 maka 1. berapa besar populasi tahaun tahun berapa jumlah populasi akan menjadi 2 tahun berapa jumlah populasi terbesar untuk t > 1980

8 BAB 3. APLIKASI PDB ORDER SATU 29 Penyelesaian Bila tahun 1980 jumlah populasi 100,000 maka dapat dikatakan x(1980) = sehingga model PDB sekarang adalah dx = x ; 1 (10) 8 x2 x(t 0 ) = x 0 Rubah kedalam kedalam PD dengan variabel terpisah 1 dx = (10) ;2 x ; (10) ;8 2 x Integralkan kedua ruasnya Z Z 1 (10) ;2 x(1 ; (10) ;6 x) dx = Z Z x + (10);6 1 ; (10) ;6 x dx = 100 ; ln x ; ln(1 ; (10) ;6 x) + c 0 = t + c 1 x ln 1 ; (10) ;6 x = t c 2 x 1 ; (10) ;6 x = e t 100 +c 2 x 1 ; (10) ;6 x = ce t 100 x = Terapkan nilai awal x(1980) = didapat c = (10)6 9e 19:8 x(t) = ce t (10) ;6 ce t 100 sehingga e 19:8;t=100 (3.1) Dengan demikian beberapa pertanyaan itu dapat diselesaikan sebagai berikut 1. jumlah populasi tahun 2000 artinya t = Substitusikan nilai t ini kedalam persamaan 3.1 didapat x = Dengan demikian jumlah populasi tahun 2000 adalah 119,495 orang.

9 BAB 3. APLIKASI PDB ORDER SATU jumlah populasi 2 tahun 1980, berarti x = Substitusikan nilai x ini kedalam persamaan 3.1 didapat t = Dengan demikian jumlah populasi akan dua kali lipat tahun 1980 dicapai pada tahun Besar populasi untuk waktu yang tidak terbatas (t! 1) berarti x = lim t! e 19:8;t=100 x = lim t! e 19:8 e t=100 x = 10 6 = Dengan demikian jumlah maksimum populasi untuk waktu yang tidak terbatas adalah satu juta orang Peluruhan Radioaktif Contoh Radioaktif isotop Thorium-234 meluruh pada tingkat yang sebanding dengan jumlah isotop. Jika 100 mg dari material meluruh menjadi mg dalam satu minggu, maka 1. tentukan ekspresi jumlah pada saat tertentu 2. tentukan interval waktu sehingga isotop itu meluruh menjadi setengah dari jumlah semula. Penyelesaian Gunakan rumuspeluruhan. Misal Q jumlahisotop Thorium- 234 maka dalam waktu t model peristiwa peluruhan itu adalah dq = ;rq Q(0) = 100

10 BAB 3. APLIKASI PDB ORDER SATU 31 Kemudian selesaikan PDB ini akan diperoleh Q(t) = 100e ;rt Kemudian terapkan sarat kedua, yakni dalam satu minggu (7 hari) isotop menjadi mg artinya Q(7) = 82:04 mg akan didapat nilai r, sedemikian hingga ekspresi jumlah terhadap waktu (hari) adalah Q(t) = 100e ;0:02828t : Dengan mengetahui ekspresi ini akan menjadi mudah untuk mengerjakan pertanyaanpertanyaan diatas. (Teruskan sebagai latihan.) 3.3 Hukun Pendinginan Newton Perubahan suhu suatu benda atau bahan yang mengalami proses pendinginan sebanding dengan perbedaan antara suhu benda dan suhu disekitarnya. Dengan demikian bila Suhu benda itu adalah x dan suhu sekitarnya itu adalah x s maka proses pendinginan Newton terhadap waktu t digambarkan dengan dx = k(x ; x s) k > 0 dimana k adalah konstanta tingkat pendinginan. Contoh Suatu benda dengan suhu 80 o C diletakkan diruangan yang bersuhu 50 o C pada saat t = 0. Dalam waktu 5 menit suhu benda tersebut menjadi 70 o C, maka 1. tentukan fungsi suhu pada saat tertentu 2. tentukan besarnya suhu benda pada 10 menit terakhir

11 BAB 3. APLIKASI PDB ORDER SATU kapan suhu menjadi 60 o C Penyelesaian Dengan memahami persoalan ini maka model PDB proses pendinginan dapat ditulis sebagai Solusi dari persamaan itu adalah dx = k(x ; 50) x(0) = 80 dan x(5) = 70 ln(x ; 50) + c 0 = kt + c 1 (x ; 50) = ce kt x = 50 + ce kt Masukkan nilai awal maka nilai c = 30 sehingga persamaan menjadi x = e kt Dan masukkan kondisi kedua didapat sehingga ekspresi terakhir menjadi e k = ; x(t) = ; 2 t 5 3 Selanjutnya anda selesaikan pertanyaan diatas dengan memakai ekspresi ini. 3.4 Campuran Suatu bahan dengan konsentrasi terterntu dicampur dengan bahan lain dalam suatu tempat sehingga bahan bercampur dengan sempurna dan menjadi campuran lain dengan konsentrasi berbeda. Bila Q menunjukkan jumlah bahan pada

12 BAB 3. APLIKASI PDB ORDER SATU 33 saat tertentu, maka perubahan Q terhadap t ditunjukkan dengan dq. Kemudian bila proses yang terjadi adalah terdapat campuran masuk dan campuran yang keluar, dimana laju jumlah bahan masuk dinyatakan dengan proses IN dan laju jumlah bahan keluar dinyatakan dengan proses OUT maka dq = IN ; OUT v =r liter/min k =s gram/liter v =r liter/min K= L liter Q(0) = Q_0 gram Gambar 3.2: Proses campuran dalam tangki. Dimana bila laju masuk sama dengan laju keluar maka Contoh IN = kv = sr gram=liter OUT = Q K v = Qr L gram=liter Suatu tangki mula-mula berisi 200 liter larutan yang mengandung 100 gram garam. Larutan (lain) yang mengandung garam dengan konsentrasi 1 gram/liter masuk kedalam tangki dengan laju 4 liter/menit dan bercampur dengan sempurna, kemudian campuran itu diperkenankan keluar dengan laju 4 liter/menit. 1. Formulasikan masalah nilai awal tersebut

13 BAB 3. APLIKASI PDB ORDER SATU Tentukan jumlah garam Q setiap saat. Penyelesaian Formula campuran adalah dq = IN ; OUT: Diketahui s = 1 gram=liter r = 4 liter=menit L = 200 liter dan Q(0) = 100 didapat Sehingga IN = kv = s gram=liter r liter=menit = 4 gram=liter OUT = Q K v = Q K gram=liter r liter=menit = 4Q 200 gram=liter 1. Model PDBnya adalah dq = 4 ; 4Q 200 = 4 ; Q 50 Q(0) = Dengan menyelesaikan PDB ini didapat ekspresi jumlah garam setiap saat Q(t) = 200 ; 100e ;t=50

14 BAB 3. APLIKASI PDB ORDER SATU 35 Latihan Tutorial 3 1. Suatu benda yang massanya 50 kg dari keadaan diam di suatu puncak bergerak diatas bidang miring dengan panjang 20 m dari puncak ketanah, dan sudut kemiringan 45 o (lihat Gambar 1). Bila koesien gesek kinitis k = 0:2. Tentukan: (i) ekspresi fungsi kecepatan dalam waktu t, (ii) berapa jarak yang ditempuh benda selama 5 detik, dan (iii) berapa waktu t yang dibutuhkan untuk mencapai tanah. N f gesek 45 o W 45 o Gambar 3.3: Gerakan benda pada bidang miring. fpetunjuk : uraikan gaya-gaya yang bekerja pada benda dan ingat f gesek = k N g. 2. Suatu benda dengan massa konstan m ditembakkan tegak lurus keatas menjauhi permukaan bumi dengan kecepatan awal V 0 km= 2. Bila diasumsikan tidak ada gesekan udara namun berat benda berubah dalam jarak-jarak tertentu terhadap bumi, maka tentukan (a) model matematik dari kecepatan V (t) selama benda itu meluncur (b) tentukan V 0 untuk mencapai ketinggian maksimum 100 km

15 BAB 3. APLIKASI PDB ORDER SATU 36 (c) tentukan maksimum V 0 supaya benda yang ditembakkan tadi tidak kembali kebumi. (Petunjuk : gunakan g = 0:098 km= 2, jari-jari bumi R = 6378:388 km dan fungsi berat dalam jarak x terhadap bumi yang umumnya dinyatakan sebagai w(x) = mgr2 (R+x) 2 ) 3. Model pertumbuhan populasi dapat ditulis dalam persamaan dy = ry; 1 T y; 1 untuk r dan T konstanta positip, maka (a) gambar grak f(y) dan y. (b) tentukan model grak y dan t untuk memberikan gambaran solusi kualitatif dari PD tersebut. 4. Jam WIB seseorang mengambil secangkir kopi panas dari microwave oven dan meletakkan di ruang tamu dengan maksud untuk meminumnya setelah agak dingin. Awal mula suhu kopi adalah 95 o C. Selanjutnya 10 menit kemudian besar suhu kopi menjadi 75 o C. Asumsikan suhu ruang tamu itu adalah konstan 27 o C. (a) Berapa besar suhu kopi pada jam WIB (b) Orang ini suka meminum kopi yang suhunya antara 55 o C sampai 60 o C, maka antara jam berapa dia harus minum kopi itu. 5. Sebuah tangki besar awal mula berisi 300 liter larutan yang mengandung 5 kg garam. Larutan lain yang mengandung garam de-ngan konsentrasi 1kg/liter dituangkan kedalam tangki dengan laju 5 liter/menit dan campu- 2 ran dalam tangki mengalir keluar dengan laju 3 liter/menit.

16 BAB 3. APLIKASI PDB ORDER SATU 37 (a) Tentukan model matematik tentang banyaknya garam dalam tangki setiap saat. (b) Bila kapasitas maksimum tangki 750 liter tentukan domain waktu t sehingga model diatas tetap berlaku. (c) Pada poin (b) berapa besar konsentrasi larutan pada saat tangki penuh. (d) Bila tangki tidak mempunyai kapasitas maksimum, tentukan konsentrasi larutan untuk jangka waktu tak terbatas. 6. Suatu tangki berkapasitas 500 liter mula-mula berisi 200 liter larutan yang mengandung 100 gram garam. Larutan (lain) yang mengandung garam dengan konsentrasi 1 gram/litermasuk kedalam tangki dengan laju 3 liter/menit dan campuran dalam tangki diperkenankan keluar dengan laju 2 liter/menit. Tentukan model matematik yang menyatakan banyaknya garam dalam tangki setiap saat (sebelum dan sesudah tangki penuh).