SYARAT PERLU DAN SYARAT CUKUP MATRIKS CLEAN PADA M 2 (Z) ABSTRACT

Transkripsi

1 SYARAT PERLU DAN SYARAT CUKUP MATRIKS CLEAN PADA M 2 (Z) Miftakhul Rohmah 1, Sri Gemawati 2, Asli Sirait 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawida Pekanbaru (28293), Indonesia MiftaQc8@gmailcom ABSTRACT An n n matri over a commutative ring with identit is clean if it is the sum of an idempotent matri and unit This paper discusses necessar and sufficient criteria a b for 2 2 matri A, where a, b, c, d are integer numbers, to be clean Kewords: Clean matri, idempotent matri, unit matri, Diophantine equation ABSTRAK Sebuah matriks berukuran n n atas ring komutatif dengan identitas, dikatakan clean jika matriks tersebut merupakan penjumlahan dari matriks idempoten dan matriks unit Artikel ini membahas sarat perlu dan sarat cukup suatu matriks a b berukuran 2 2, A dengan a, b, c, d adalah bilangan bulat, untuk menjadi clean Kata kunci: Matriks clean, matriks idempoten, matriks unit, persamaan Diophantine 1 PENDAHULUAN Salah satu teori ang dipelajari dalam ilmu Aljabar adalah matriks Matriks banak digunakan untuk menelesaikan masalah-masalah persamaan linear Matriks merupakan susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks 1, h22 Selain matriks, teori lain ang dipelajari dalam ilmu Aljabar aitu ring Ring merupakan suatu himpunan tak kosong dengan dua operasi, aitu operasi penjumlahan dan operasi perkalian 2, h174 Suatu ring ang terhadap operasi perkalian bersifat komutatif dinamakan ring komutatif, dan suatu ring ang mempunai elemen identitas terhadap operasi perkalian disebut ring dengan elemen satuan 2, h178 Repositor FMIPA 1

2 Sebuah matriks n n atas ring komutatif dengan identitas dikatakan clean jika matriks tersebut merupakan penjumlahan matriks idempoten E dan matriks unit U Matriks clean terbagi menjadi 2 bagian, aitu 0-clean dan 1-clean Nilai 0 dan 1 diperoleh berdasarkan nilai determinan dari matriks E Di dalam artikel ini dibuktikan mengenai sarat perlu dan cukup untuk matriks a b 2 2, matriks A dengan a, b, c, d adalah bilangan bulat, untuk menjadi clean Artikel ini merupakan penjabaran dari jurnal ang berjudul A Note on Clean Matrices in M 2 (Z) 5 2 SYARAT PERLU DAN SYARAT CUKUP UNTUK MATRIKS CLEAN DI M 2 (Z) Pada bagian ini, dibahas mengenai sarat perlu dan sarat cukup pada matriks clean 2 2 dengan entri-entrina adalah bilangan bulat (M 2 (Z)) 21 Matriks Idempoten Definisi 1 (Matriks Idempoten) 3, h 76 Sebuah matriks E n n disebut matriks idempoten jika memenuhi En n 2 E n n Lema 2 (Matriks Idempoten) 5 Misalkan E M w z 2 (Z) merupakan matriks idempoten jika dan hana jika merupakan salah satu dari bentuk matriks berikut 1 1 0, 0,, 1 1 0,, 0 Bukti: Asumsikan bahwa matriks E M w z 2 (Z) adalah idempoten, menurut Definisi 1, maka ditunjukkan bahwa matriks E memenuhi bentuk sebagai berikut, (1) w z w z w z dari persamaan (1) diperoleh 2 + w (2) + z (3) w + zw w (4) w + z 2 z (5) Repositor FMIPA 2

3 Pandang persamaan (2)-(5), jika salah satu dari 0 atau w 0, maka persamaan (3) dan persamaan (4) menjadi Selanjutna dari persamaan (2) dan (6) diperoleh w + zw w + z 1 (6) 2 + w w z (7) Jika 0 pada persamaan (7), diperoleh w Jadi diperoleh matriks E dengan bentuk 1 Selanjutna untuk w 0 pada persamaan (7), diperoleh, ang mengakibatkan matriks E berbentuk w w w 1 Perhatikan jika koefisien dari 0 dan w 0, maka matriks w w 1 berbentuk dan begitu juga sebalikna 1 Andaikan koefisien 0 dan w 0, maka peroleh 0 0 0, (8) 0 z 0 z 0 z dari hasil perkalian (8) diperoleh 2 dan z 2 z, memenuhi sarat idempoten aitu E 2 E Untuk itu E bisa mengikuti salah satu bentuk berikut 0 0,,, Selanjutna dibuktikan jika bentuk matriks E mengikuti salah satu bentuk ang diberikan pada Lema 2, maka matriks E adalah idempoten Untuk E, maka Repositor FMIPA 3

4 1 0 Untuk E Untuk E Untuk E Untuk E Untuk E 1 0 1, maka 1 0, maka, maka , maka 0, maka Bentuk matriks ang diberikan pada Lema 2 terbukti memenuhi E 2 matriks-matriks pada Lema 2 adalah matriks idempoten E maka Lema 3 5 Untuk p 0, matriks-matriks idempoten 1 p 1 p,,,, p 0 p 1 mengikuti bentuk matriks atau dengan p Bukti: Untuk matriks E mengikuti bentuk matriks 1 dengan 1 dan p, maka matriksna adalah sebagai berikut 1 p 1 p 1(1 1) Repositor FMIPA 4

5 1 0 Untuk matriks E mengikuti bentuk matriks p 0 1 matriksna adalah sebagai berikut 1 1(1 1) p 1 1 p 0, maka Untuk matriks mengikuti bentuk matriks dan matriks p p mengikuti bentuk matriks Selanjutna untuk matriks merupakan idempoten jika z 0 dan w w z 1 0 sebarang, dan jika z 1 dan w 0 maka matriks mempunai bentuk w z sebagai berikut 1 0, w 0 Demikian pula untuk matriks merupakan idempoten jika z 0 dan w z w 0, dan jika z 1 dan w sebarang, maka matriks mempunai bentuk sebagai berikut w 1, Maka himpunan matriks idempoten mengikuti bentuk sebagai berikut { } 1 0 X,,, (9) w 0 w 1 22 Persamaan Diophantine Persamaaan Diophantine terdiri dari persamaan Diophantine linear dan persamaan Diophantine nonlinear Persamaan ini pertama kali ditulis oleh Diophantus (250 M) Persamaan Diophantine adalah persamaan polinomial ang penelesaianna berupa bilangan bulat dan penelesaianna mempunai solusi ang banak Bentuk umum dari persamaan Diophantine aitu A 2 + B + C 2 + D + E + F 0, (10) dengan A, B, C, D, E, F adalah konstanta Ada beberapa kasus ang mungkin dalam mencari penelesaian persamaan Diophantine (10), antara lain aitu Kasus Linear A B C 0 Kasus Simpel Hperbolik A C 0, B 0 w z Repositor FMIPA 5

6 Kasus Elips B 2 4A C < 0 Kasus Parabolik B 2 4A C 0 Kasus Hperbolik B 2 4A C > 0 Persamaan Diophantine ang akan dibahas pada tulisan ini adalah persamaan Diophantine berderajat dua dengan dua variabel sebagai berikut ( b) 2 + (a d) + (c) 2 + (b) + (det(a) a 1) 0 (11) ( b) 2 + (a d) + (c) 2 + (b) + (det(a) a + 1) 0 (12) Persamaan Diophantine pada (11) dan (12) memiliki solusi penelesaian trivial dengan nilai 1, 0 dan 0, 0 Selain solusi trivial, persamaan Diophantine pada (11) dan (12) juga memiliki solusi penelesaian nontrivial jika 0 dan (1 ) ( habis membagi (1 )) 23 Sarat Perlu dan Sarat Cukup untuk Matriks Clean Sebuah matriks n n atas ring komutatif dengan identitas dikatakan matriks clean jika matriks tersebut merupakan jumlah dari matriks idempoten E dan sebuah unit U Definisi 4 4 Misalkan e merupakan elemen idempoten di K Suatu matriks M M n (K) dapat ditulis sebagai E + U, untuk suatu E E 2 dengan det(e) e dan suatu U GL n (K), dikatakan M adalah e-clean Dalam bentuk khusus, untuk n 1, element e-clean dari K M 1 (K) hana bentuk e + u dimana u U(K) Definisikan terdapat sebuah matriks A 2 2 dengan,, w, z adalah w z bilangan bulat dan asumsikan bahwa matriks A adalah matriks clean Berdasarkan Definisi 4, jika matriks clean maka dapat dibentuk menjadi E + U dengan E adalah matriks idempoten Jika det(e) 1, maka matriks clean disebut dengan matriks 1 clean Jika det(e) 0, maka matriks clean disebut dengan matriks 0 clean Teorema 5 5 A merupakan 1 clean jika dan hana jika det(a)-t r(a) 0 atau det(a)-t r(a) 2 Bukti: Asumsikan jika matriks A adalah 1 clean, maka det(a) - T r(a) atau det(a)-t r(a) 2 Berdasarkan Definisi 4, pilih matriks E pada Lema 2 ang memiliki det(e) 1, karena matriks E adalah matriks identitas, maka dapat ditulis sebagai berikut A I + U, dapat dijabarkan sebagai berikut w z 1 0 ±1 det(a) T r(a) 0 atau 2, Repositor FMIPA 6

7 terbukti jika A adalah 1 clean, maka det(a)-t r(a) 0 atau det(a)-t r(a) 2 Selanjutna dibuktikan bahwa det(a)-t r(a) 0 atau 2 adalah 1 clean, sebagai berikut det(a) T r(a) 0 atau 2, dapat dijabarkan menjadi dapat disederhanakan menjadi (z w) ( + z) atau ±1, w z A E U Karena A memenuhi bentuk A E +U maka A adalah clean, dan det(e) 1 maka terbukti A adalah 1 clean Berikut diberikan beberapa matriks E ang bisa menjadi unit a b Lema 6 5 Misalkan matriks A dengan a, b, c, d adalah bilangan bulat, maka matriks E sebagai berikut 1 Jika E maka A E adalah unit A adalah unit Jika E maka A E adalah unit det(a) d + bw ±1 w 0 3 Jika E maka A E adalah unit det(a) a + bw ±1 w 1 1 w 4 Jika E maka A E adalah unit det(a) d + cw ±1 0 w 5 Jika E maka A E adalah unit det(a) a + cw ±1 Bukti: 1 Untuk matriks E Asumsikan jika A E adalah unit maka dibuktikan A adalah unit a b A E A, karena A E adalah unit, maka terbukti A adalah unit Jika A adalah unit maka dibuktikan bahwa A E adalah unit sebagai berikut a b A E A, karena A diketahui adalah unit, maka A E adalah unit Repositor FMIPA 7

8 1 0 2 Untuk matriks E w 0 Asumsikan jika A E adalah unit maka membentuk persamaan det(a) d + bw ±1 a 1 b A E c w d det(a E) det(a) d + bw ±1, terbukti untuk A E unit diperoleh det(a) d + bw ±1 Selanjutna dari persamaan det(a) d+bw ±1 dibuktikan bahwa A E adalah unit det(a) d + bw ±1 a b 1 0 A E w 0 Dari persamaan det(a) d + bw ±1 diperoleh matriks A E 3 Untuk matriks E w 1 Asumsikan jika A E adalah unit maka membentuk persamaan det(a) a + bw ±1 a b A E c w d 1 det(a E) det(a) a + bw ±1, terbukti untuk A E unit diperoleh det(a) d + bw ±1 Selanjutna dari persamaan det(a) d+bw ±1 dibuktikan bahwa A E adalah unit det(a) a + bw ±1 a b A E w 1 Dari persamaan det(a) a + bw ±1 diperoleh matriks A E 1 w 4 Untuk matriks E Asumsikan jika A E adalah unit maka membentuk persamaan det(a) d + cw ±1 a 1 b w A E det(a E) det(a) d + cw ±1, Repositor FMIPA 8

9 terbukti untuk A E unit diperoleh det(a) d + cw ±1 Selanjutna dari persamaan det(a) d + cw ±1 dibuktikan bahwa A E adalah unit det(a) d + cw ±1 a b 1 w A E Dari persamaan det(a) d + cw ±1 diperoleh matriks A E 0 w 5 Untuk matriks E Asumsikan jika A E adalah unit maka membentuk persamaan det(a) a + cw ±1 a b w A E 1 det(a E) det(a) a + cw ±1, terbukti untuk A E unit diperoleh det(a) a + cw ±1 Selanjutna dari persamaan det(a) a + cw ±1 dibuktikan bahwa A E adalah unit det(a) a + cw ±1 a b 0 w A E Dari persamaan det(a) a + cw ±1 diperoleh matriks A E Matriks E ang diberikan adalah unit jika dilakukan operasi A E Pemilihan bentuk matriks E merupakan hal ang penting karena E merupakan sarat perlu untuk matriks clean Begitu juga untuk A E haruslah unit karena merupakan sarat cukup untuk matriks clean Teorema 7 5 Diberikan E merupakan sebuah matriks idempoten dengan det(e) 0 dan E / X, dimana X merupakan himpunan matriks pada persamaan (9) Maka A E merupakan unit jika dan hana jika mengikuti salah satu bentuk persamaan Diophantine berikut ( b) 2 + (a d) + (c) 2 + (b) + (det(a) a 1) 0 (13) ( b) 2 + (a d) + (c) 2 + (b) + (det(a) a + 1) 0, (14) mempunai solusi (, ) dengan 0, 1, 0 dan (1 ) a b Bukti: Diketahui matriks A X merupakan himpunan matriks seperti pada persamaan (9) Jika E / X, maka berdasarkan Lema 2 E t E Ambil Repositor FMIPA 9

10 E dari Lema 2 1 Asumsikan jika A E adalah unit, maka membentuk persamaan Diophantine a b A E det(a E) a c 1 b d 1 + ±1 det(a E) (a )(d 1 + ) (b )(c (1 ) ) ±1, (15) dari persamaan (15), diperoleh persamaan diophantine sebagai berikut det(a E) ( b) 2 + (a d) + (c) 2 + (b) + (det(a) a ± 1) 0 (16) Selanjutna jika terdapat persamaan Diophantine, maka dibuktikan bahwa A E adalah unit ( b) 2 + (a d) + (c) 2 + (b) + (det(a) a ± 1) 0 (a )(d 1 + ) (b )(c a b c d 1 + ±1 det(a E) ±1 (1 ) ) ±1 Dari persamaan Diophantine terbentuk matriks det(a E) ±1, dimana ±1 merupakan nilai unit Jadi, dapat disimpulkan bahwa persamaan Diophantine adalah unit a b Teorema 8 5 Diberikan matriks A merupakan 0 clean jika dan hana jika memenuhi salah satu sarat berikut 1 A merupakan unit 2 det(a) d + bw ±1 untuk setiap w 3 det(a) a + bw ±1 untuk setiap w 4 Persamaan Diopantine ( b) 2 +(a d) +(c) 2 +(b)+(det(a) a 1) 0 memiliki solusi non-trivial 5 Persamaan Diopantine ( b) 2 +(a d) +(c) 2 +(b)+(det(a) a+1) 0 memiliki solusi non-trivial Repositor FMIPA 10

11 Diberikan matriks A CONTOH tunjukkan bahwa A adalah clean dan memenuhi 0-clean dan 1-clean Penelesaian: Menurut Definisi 4 matriks dikatakan clean jika memenuhi A E + U Matriks E diperoleh dengan menggunakan Teorema 7, dengan mensubstitusikan nilai A ke persamaan Diophantine (16) dan (14), diperoleh persamaan sebagai berikut ( b) 2 + (a d) + (c) 2 + (b) + (det(a) a ± 1) (7 3) + (1) 2 + (11) + ( ± 1) (3 ± 1) 0 (17) Diperoleh nilai A 11, B 4, C 1, D 11, E 3 ± 1, dan F 0, kemudian substitusikan sebagai berikut B 2 4A C 16 4 ( 11) > 0, karena nilai B 2 4A C > 0 menurut (16), ini merupakan kasus Hiperbolik Dengan menggunakan kasus Hiperbolik dengan 0 dan 2, dan merupakan solusi nontrivial dengan 0 Selanjutna dengan mensubstitusikan nilai dan, diperoleh matriks E sebagai berikut (18) Selanjutna dibuktikan bahwa matriks (18) adalah idempoten, sebagai berikut Bentuk matriks pada (18) adalah bentuk matriks seperti pada Lema 6 di bagian 5 Pada Lema 6 sudah di buktikan bahwa A E adalah unit Maka nilai unit adalah sebagai berikut Karena matriks A dapat dibentuk menjadi E + U, maka matriks A adalah matriks clean Selanjutna untuk mencari 0-clean, maka det(e) 0 sebagai berikut , Repositor FMIPA 11

12 karena det(e) 0, maka matriks A adalah 0-clean dengan bentuk matriks sebagai berikut Selanjutna akan diperiksa apakah matriks A memiliki bentuk 1-clean Berdasarkan Teorema 5, dikatakan 1-clean jika A I + U atau A I U sebagai berikut DAFTAR PUSTAKA 1 Anton, H 1987 Aljabar Linear Elementer, Edisi Kelima Terj dari Elementar Linear Agebra, Fifth Edition, oleh Silaban, Ph D & Susila, I N Erlangga, Jakarta 2 Gilbert, J & L Gilbert 1991 Elements of Modern Algebra, Third Edition PWS-KENT Publishing Compan, Boston 3 Jacob, B 1989 Linear Algebra WH Freeman and Compan, New York 4 Khurana, D & TY Lam 2004 Clean Matrices and Unit Regular Matrices Journal of Algebra, 280 (2004) h Rajeswari, KN & R Aziz 2009 A Note On Clean Matrices in M 2 (Z) International Journal of Algebra, 3, 2009 no 5, h Repositor FMIPA 12