PengantarProses Stokastik I.GUSTI AYU MADE SRINADI

Transkripsi

1 egatarroses Stokastik I.GUSTI AYU MADE SRINADI FAKULTIAS MIA JURUSAN MATEMATIKA UNIVERSITAS UDAYANA

2 ENGANTAR Baha ajar ag egatar roses Stokastik ii, dirasaka sagat eberika afaat utuk eabah baha ustaka di Jurusa Mateatika, Fakultas MIA Uiversitas Udaaa, serta eruaka salah satu buku egaga bagi ahasiswa ag egabil ata kuliah egatar roses Stokastik. Materi-ateri ag disajika dala baha ajar eliuti: Review Beberaa Kose eluag da eubah Acak, roses Stokastik, roses Markov, roses oisso, da roses Iut - Outut. Dala setia Bab eguraika teori-teori, disertai dega ebuktiaebuktia teorea. eajia cotoh-cotoh latiha soal diuraika secara jelas da bertaha sehigga diharaka daat eudahka ebaca utuk eahai isi ateri. ada akhir setia Bab disajika Soal-soal latiha, ag daat diafaatka oleh dose egau sebagai tugas terstruktur, utuk egetahui daa sera ahasiswa terhada isi ateri. egalaa, egetahua da ateri keustakaa ag terbatas, eruaka kedala dala eusua baha ajar ii, sehigga jauh dari seura. Kritik da sara dari berbagai ihak, utuk ikut eeuraka baha ajar ii aka diteria dega seag hati. Akhir kata, seoga baha ajar ii berafaat bagi kita seua. Deasar, Seteber eusu i

3 DAFTAR ISI ENGANTAR..... DAFTAR ISI. i ii BAB I. REVIEW BEBERAA KONSE ROBABILITAS DAN VARIABEL RANDOM..... robabilitas.. Variabel Rado. 8.. Fugsi ebagkit Moe Distribusi Bersarat. 7 BAB II. ROSES STOKASTIK egertia roses Stokasik Sesifikasi roses Stokastik. 9 BAB III. RANTAI MARKOV/ROSES MARKOV Ratai Markov. 8.. robabilitas Trasisi 8.. Fugsi Trasisi da Distribusi Awal Fugsi Trasisi da Lagkah Matriks Trasisi Sifat-sifat State Suatu Ratai Markov Dekoosisi Ruag State Hittig Tie Distribusi Statioer dari Suatu Ratai Markov Teori Keutusa Markov BAB IV. ROSES OISSON Distribusi oisso Distribusi-distribusi ag Berhubuga dega roses oisso roses oisso No Hooge.. 4 BAB V. ROSES INUT OUTUT ersaaa roses Iu t Outut Siste Atria... DAFTAR USTAKA 6 ii

4 egatar roses Stokastik BAB I REVIEW BEBERAA KONSE ROBABILITAS & VARIABEL RANDOM eluag & eubah Acak Koetesi Dasar : Mahasiswa egigat da eguasai kose eluag da eubah acak diskret auu kotiu ag baak diguaka dala roses stokastik. Tujua ebelajara :. Megigat kebali kose eluag, terutaa eluag bersarat ada eubah acak diskret da eubah acak kotiu.. Megigat kebali eetua ilai haraa dari eubah acak diskret da kotiu.. Megigat sifat-sifat ilai haraa da raga suatu eubah acak. ercobaa Rado adalah ercobaa ag keugkia hasila daat diterka tetai tidak daat diketahui dega asti keugkia aa ag terjadi ucul. Eerie eruaka ercobaa ag daat diulag dega kodisi ag saa, sedagka hasila belu tetu saa. Misal : satu uag dilear sekali, satu dadu dilear dua kali, dua ata uag dilear sekali, da lai-lai. Ruag sale suatu eeriet ialah hiua seua hasil eeriet ag ugki. Ruag sale serig disebut Sace / State Sace S atau Ω. Kejadia /Evet E eruaka hiua bagia dari Ω E Ω.. robabilitas... Defiisi robabilitas robabilitas eruaka satu alat ag sagat fudaetal utuk egebagka roses stokastik, baik teori auu alikasi odel-odel stokastik ada berbagai bidag ilu. Berdasarka erkebagaa, secara foral robabilitas didefiisika dala berbagai cara eliuti : a. Defiisi secara klasik rior

5 egatar roses Stokastik Jika suatu ercobaa rado daat eberika hasil utuall eclusive salig asig da A eataka hasil ag diakibatka oleh suatu atribut kejadia A, aka eurut defiisi robabilitas klasik, robabilitas A didefiisika sebagai A bilaga ecaha, A b. Defiisi Frekuesi osterior Salah satu keleaha robabiltas klasik adalah ada kejadia ag eghasilka suatu hasil ag ifiit. Dala keadaa deikia, orag serig eadag robabilitas dega eerhatika haraa frekuesi relative dala jagka ajag. Cotoh : adag suatu ercobaa elearka sebuah dadu sebaak kali. Hasil ercobaa ii disajika dala tabel berikut : Tabel. Hasil eleara Sebuah dadu kali Hasil Frekuesi Frekuesi Relatif Haraa Frekuesi Jagka ajag 5,7,667 54,8,667 48,6, ,7, ,6, ,57,667 Total,, erhatika bahwa, jika A suatu kejadia dala ercobaa rado, aka robabilitas A diberika oleh : A A liit c. Defiisi Subjektif Dala beberaa erilaku kehidua, kadag-kadag kita edegar atau ebuat erataa seerti : - Beraa robabilitas D ke- aka terjadi ada akhir tahu ii? - Beraa robabilitas bahwa istri/acar saa ecitai saa? - Beraa robabilitas bahwa Si-A aka ulag ke ruah sekarag? Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa

6 egatar roses Stokastik Dari ertaaa-ertaaa tersebut ugki setia orag ag kita taaka aka euai jawaba ag berbeda-beda. Si-A ugki egataka bahwa robabilitas aka terjadia D ke- ada akhir tahu ii adalah,; si B egataka,; si C egataka,8 da seterusa. robabilitas ag disebutka tersebut disebut robabilitas Subjektif. d. Defiisi Aioatis robabilitas klasik auu frekuesi eerluka suatu sarat ercobaa dega hasil ag terjadi berdasarka sarat uifor. ada sisi lai, ugki kita sulit eeroleh sarat itu. Utuk tujua tersebut erlu didefiisika robabilitas ag daat eggabarka sifat-sifat esesial robabilitas ag disebutka sebelua. Defiisi robabilitas ag diaksud adalah robabilitas aioatik. robabilitas ii ertaa kali dikealka oleh Kologorov ada tahu 9. Sebelu edefiisika robabilitas aioatic, ag ada dasara berhubuga secara lagsug dega teori ukura dala aalisis real, sagat beralasa jika ertaa kali kita edefiisika suatu kose etig aitu FIELD da σ- FIELD. DEFINISI Suatu hiua F dikataka suatu Field Aljabar jika : i Ω F ii A F A c F iiia, A F A A F DEFINISI Suatu hiua F dikataka suatu σ-field σ-aljabar jika : i Ω F ii A F A c F iiia, A,, A F A j j F Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa

7 egatar roses Stokastik Dala edefiisika robabilitas aioatik, kita aka ebatasi diri ada hiua Field atau σ-field, khususa Borel-Field. Field dega elee berilai real DEFINISI Suatu ukura robabilitas adalah suatu fugsi hiua ag didefiisika ada σ- field F : : F R da eeuhi: i o egative, aitu A, A F ii ored, aitu Ω iii adalah σ-aditif, aitu : Jika A, A,, A F da A i A j φ utuk i j aka A A j j j Berdasarka defiisi ii kita aka daat elihat sifat-sifat, aitu :. φ. A A c, A F. A A A A tidak turu 4. σ-fiite, aitu A j F, j,,, dega A i A j φ, i j kejadia salig leas/ salig asig aka : j A j j A 5. A B A B A B, A,B F 6. Sub-aditif, aitu : j j A j A j da j j j A j j A j, Aj F Ketidaksaaa Boole Salah satu sifat ag sagat etig juga sebagai berikut: Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 4

8 egatar roses Stokastik Jika {A } suatu barisa kejadia dega A ooto aik A atau A ooto turu A aka : liit A liit A Suatu barisa A dikataka ooto aik jika A A A. Sebalika A dikataka ooto turu jika A A A. liit Selajuta, jika A aka A A da jika A aka A liit A... robabilitas Bersarat DEFINISI Jika A F sedeikia higga A >, aka robabilitas bersarat Coditioal robabilit B F diberika A, ditulis dega B A didefiisika sebagai : A B B A ; B F A ada keataaa B A adalah suatu ukura robabilitas, karea : i B A ; B F ii Ω A A Ω A A A iii Jika A j F, j,, dega A i A j φ; i j aka j A j A j A j A A A j A j A A j A A j Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 5

9 egatar roses Stokastik Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 6 j j A A A j A j A Selajuta isalka A, A, F sehigga A i A j φ; i j da Ω j j A, kita katakaa bahwa A, A, eruaka artisi dari Ω. Utuk sebarag B F kita eroleh : j A j B B Jadi j A j B B. j j j A A B ; utuk A j >, j,, TEOREMA robabilitas Total Jika {Aj, j,, } suatu artisi dari Ω dega A j >, j aka utuk B F didaat :. j j j A A B B Teorea di atas ada dasara daat diguaka utuk eghitug A j B. Utuk setia j,, ada keataaa : B B A B A j j. B A A B j j.. j j j j j A A B A A B

10 egatar roses Stokastik Berdasarka uraia di atas, kita euai teorea berikut : TEOREMA Teorea Baes Jika {Aj, j,, } suatu artisi dari Ω dega A j >, da jika B > aka: A j B B A j B A j. A j j. A j Cotoh : Tiga aggota suatu koerasi dicaloka ejadi ketua. robabilitas Ali terilih,; robabilitas Badu terilih,5; sedag robabilitas Cokro terilih,. Jika Ali terilih, aka eluag keaika iura koerasi,8; jika Badu terilih, eluag keaika iura, da jika Cokro terilih, eluag keaika iura aalah,4. Bila seseorag erecaaka asuk ejadi aggota koerasi, tetai eudaa beberaa iggu da keudia beberaa iggu da egetahui bahwa iura telah ailk. Tetuka eluag bahwa Cokro terilih jadi ketua? Berdasarka ersoala ii, isalka : A A A B Maka : : Ali ag terilih : Badu ag terilih : Cokro ag terilih : orag ag eaikka iura A A B B B A B A j B j B A. A B A B A. A. A B A. A Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 7

11 egatar roses Stokastik,4,,8,,,5,4,.. Variabel Rado,8,4,5,8,8,7 8 7 Utuk eelajari roses stokastik dierluka suatu egertia da kose tetag variable rado....defiisi, Eksektasi da Variasi Sebuah Variabel Rado Misalka Ω, F suatu ruag sael. Suatu fugsi berilai tuggal dari Ω ke R bilaga real diaaka variabel rado jika baaga ivers di bawah dari seua hiua-hiua Borel di dala R adalah evet kejadia, aitu : - B {w ; w B} F utuk seua B B Berdasarka defiisi di atas, utuk R da karea iterval -, ] B aka adalah suatu variabel rado jika - -, ] {w }eruaka kejadia di dala F. Akibata kita euai teorea berikut : TEOREMA adalah suatu variabel rado jika da haa jika utuk setia R {w ; w } { } F Cotoh Misalka hiua A Ω, didefiisika fugsi idikator : w I A ; w ; w A A Meruaka suatu variabel rado. Misalka B hiua Borel B B, ada beberaa keugkia: Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 8

12 egatar roses Stokastik i B da B aka I B ii B da B aka B A I A iii B da B aka I B iv B da B aka I B A A φ A c A A A c Ω Jadi Cotoh : Φ ; B, B c A ; B, B I A B atau I A B {φ, A c, A, Ω} F A ; B, B Ω ; B, B ada eleara dua keig ata uag satu kali, ata uag eiliki sisi H agka da T gabar aka Ω {HH, HT, TH, TT}. F adalah hiua seua subset dari Ω. Didefiisika sebagai w adalah baaka H dala w, sehigga : HH ; HT TH ; TT Jadi : Φ {TT}, {TT, HT, TH} Ω ; < ; < ; < ; - -, ] F Dala raktek, defiisi variabel rado dibuat sederhaa agar lebih udah diahai, sebagai berikut : DEFINISI Diberika ruag robabilitas Ω,F,. Variabel rado adalah suatu fugsi dega doai Ω da kodoai bilaga real. Cotoh erhatika ercobaa elearka sebuah tetrahedral dadu bersisi eat sebaak dua kali. Diasusika setia oor ag aka ucul euai keugkia ag saa. Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 9

13 egatar roses Stokastik Misalka kita tertarik ada kejadia skor aksiu dala eleara tersebut, aka ruag sael ercobaa ii adalah : Ω {,,,,,,,4,,,,,,,,4,,,,,,,,4,4,,4,,4,,4,4} Jadi w ai, j, w i, j, i, j,,, 4 eruaka suatu variabel rado. Maka w {,,, 4} Kose dasar variabel rado bergua utuk ebagu kose tetag fugsi distribusi dikaitka dega ukura robabilitas. DEFINISI Misalka variabel rado ag didefiisika ada ruag robabilitas Ω, F, dega eataka ukura robabilitas. Fugsi distribusi ditulis dega labag F didefiisika sebagai : F j f d j ; ; Diskret Kotiu Dega f eruaka fugsi robabilitas. Jika kotiu, aka berlaku hubuga d f F F' d ada cotoh eleara tetrahedral, dieroleh fugsi robabilitas da distribusi sebagai berikut : Tabel. Fugsi robabilitas 4 f Fugsi Distribusi : Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa

14 egatar roses Stokastik F ; < ; < ; ; ; < < 4 4 Sifat-sifat ag diiliki fugsi distribusi : liit i F liit ii F liit iii F kotiu kaa, aitu F h F h iv F fugsi ag tidak turu, aitu jika a<b aka Fa Fb Sifat iv udah dilihat dari keataa : o -, b] -, a] [a, b] ; a < b o -, b] -, a] [a, b] o -, b] -, a] Note : Jadi Fb Fa Kose-kose dasar lai ag sagat etig dala eelajari roses Stokastik adalah Eksektasi, Variasi, Covariasi da Keideedea suatu variabel. DEFINISI Misalka variabel rado dega fugsi robabilitas f. Eksektasi dari didefiisika sebagai : Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa

15 egatar roses Stokastik E j f d j ; ; diskrit kotiu Eksektasi serig ula diberi sibol µ atau µ. Sifat-sifat Eksektasi Nilai Haraa Jika g da h fugsi-fugsi dari variabel rado, aka : i Ec c, utuk c kostata ii E[c g] c E[g], c kostata iii E[c g d h] c E[g] d E[h], c da d kostata iv E[c g d] c E[g] d v Jika g h aka E[g] E[h], DEFINISI Variasi raga variabel rado diberika oleh : Var E[ E] E[ - µ ] Notasi lai ag serig diberika utuk Var adalah σ atau σ. Ukura eebara data selai variasi adalah stadar deviasi ag didefiisika sebagai akar ostitif dari variasi. σ σ Var σ Sifat-sifat Variasi i Jika c kostata, aka Var ii Varc c Var iii Varcd c Var, c da d kostata iv Var E[ ] [E] E[ ] - µ... Kovariasi da Korelasi Dua Variabel Rado Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa

16 egatar roses Stokastik DEFINISI Misalka da Y dua variabel rado ag didefiisika ada ruag robabilitas ag saa. Covariasi atara da Y didefiisika sebagai : Cov,Y E[-µ Y-µ ] Koefisie korelasi atara da Y didefiisika sebagai : ρ Cov, Y ρ[, Y ] ; σ >, σ > σ σ Kovariasi da korelasi variabel rado da Y egukur suatu hubuga liear dari da Y, artia Cov, Y aka ositif jika -µ da Y-µ euju ke tada ag saa, sebalika Cov, Y aka egatif jika -µ da Y-µ euju ke tada ag berlawaa. Sifat-sifat covariasi da variasi : i Cov a, by a b Cov, Y ; a da b kostata ii Cov a, by Cov, Y iii Cov, ab a Var iv Cov, Y E Y - µ µ Cov, Y jika da Y ideede v Var Y Var Var Y Cov, Y Secara Uu : Var i a i i i a i Var i Jika,,..., ideede aka : Var i a i i i a i Var i i< j Cov, Y Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa

17 egatar roses Stokastik vi C ov a, i i i j a jy j i j a b i j Cov, Y i j.. Fugsi ebagkit Moe Moet Geeratig Fuctio MGF Suatu ilai khusus dari eksektasi ag sagat bergua dala egebaga teori da alikasi statistika adalah MGF. Defiisi : Jika variabel rado, aka ilai haraa : M t E e t i t e e t i f d ; diskret ; kotiu diaaka MGF dari, jika ilai haraa ii ada utuk h < t < h, h >. erhatika bahwa jika kita egeksasi fugsi e t ke dala Deret Maclauri, aka dieroleh M t r t r r E r! Selajuta juga dieroleh hubuga : i ii M M t t e f d da M f d E t t e f d da M f d E r M r t r r r t e f d da M f d E r Aabila sekarag diberika kuatitas : Rt l M t Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 4

18 egatar roses Stokastik Dieroleh : R M t M t da R M E µ ; M Ee M t M R [ M t ] [ M t ] M t M t t da R M M [ M ]. M [ M ] [ M ] E [E] σ Sifat-sifat MGF : Jika variabel rado, a suatu kostata, Y a, da Y a b, aka : M Y t M t M at a Y bt M t M t e M at a b Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 5

19 egatar roses Stokastik Moe Faktorial da Factorial Moet Geeratig Fuctio FMGF Defiisi : Jika variabel rado aka Moe Faktorial ke-r dari didefiisika sebagai : E[--...-r] sedagka FMGF dari didefiisika sebagai : G t Et FMGF juga serig diberi aa robabilit Geeratig Fuctio GF. erhatika bahwa : G t Et Ee l t M l t. Aabila G t dituruka terhada t, didaat : G t E t da G E t E G t E - t da G E - G r E r Tabel. Rigkasa MGF Beberaa Fugsi Distribusi robabilitas Diskret da Kotiu Distribusi Fugsi robabilitas f MGF Mea da Variasi Beroulli f ;, e t q, q Bioial f ;,,..., Bioial r r f ; r, Negatif r r,... Geoetrik f q ;,,... [ e ] t q qe qe t r t, q r rq, q, Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 6

20 egatar roses Stokastik Hergeoetrik oisso Diskret uifor Uifor kotiu f M N M N λ e λ f ;,,,...! f ;,,...,N N f ; a < < b b a - M, N M N e t e λ λ, λ t e e. t N e bt at e e b a t t N N, M N N N N a b b a, Noral µ σ f e ;- << π σ Gaa Eksoesial f α θ e ; << α θ Γ α θ f e ; > θ e µ t σ t µ, σ α αθ, αθ θ t θ t θ, θ.4. Distribusi Bersarat Coditioal Distributio Dala eelajari suatu roses stokastik, kita serig ejuai distribusi robabilitas bersarat suatu variabel rado terasuk ula eksektasi bersarat variabel rado tersebut Defiisi : Distribusi robabilitas bersarat variabel rado da dega fugsi robabilitas bersaa f, didefiisika sebagai : f, f ; f > f f serig disebut sebagai distribusi robabilitas dari aabila diberika. Dega defiisi ag serua dieroleh distribusi robabilitas bersarat aabila diberika sebagai : Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 7

21 egatar roses Stokastik Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 8, f f f ; f > ada kasus kotiu, robabilitas bersarat kejadia berbetuk [a b] aabila diberika adalah : [a b ] b a d f b a d f f,,, d f d f b a erhatika bahwa distribusi robabilitas bersarat f eeuhi suatu fugsi distribusi robabilitas eliuti : i, f f f ii, d f f d f, d f f f f Cotoh : Distribusi robabilitas bersaa atara da Y diberika oleh tabel berikut. Y

22 egatar roses Stokastik robabilitas bersarat diberika oleh : Y, Y, Y Y Y, Y Y ; ; ; ; Y, Y, Y Y Y, Y Y ; ; ; ; Dega cara serua coba tetuka :. Y Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 9

23 egatar roses Stokastik. Y Defiisi : Misalka da Y variabel rado ag didefiisika ada suatu ruag robabilitas Ω,F, da h suatu fugsi ag terukur Borel. Asusika bahwa Eh ada. Eksektasi bersarat h aabila diberika Y ditulis dega sibol Eh didefiisika sebagai : Eh h Y h f d ; jika, diskret da Y ; jika, kotiu da f > > Sifat-sifat Eksektasi Bersarat : i Ec c ; c kostata ii Ea b ae b ; a, b kostata iii Jika aka E iv Jika aka E E v Jika g, g fugsi-fugsi Borel da Eg da Eg ada, aka : E[a g a g ] a Eg a Eg Cotoh : Misalka,Y euai distribusi robabilitas bersaa f,, < < <. Tetuka :. f. f. E 4. E eelesaia : Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa

24 egatar roses Stokastik Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa. f d d f f f,, ; utuk < <. f d d f f f,, ; utuk < <. E d d f ; < < 4. E d d f ; << Juga daat dihitug E da Var sebagai berikut : E d d f Var E [E ] 4 ; < < Sifat-sifat lai Eksektasi Bersarat a. Jika Eh ada, aka Eh E[Eh ], khusus utuk h dieroleh E E[E ] b. Jika E < aka Var Var[E ] E[Var ] c. Jika E < aka Var Var[E ] erhatika bahwa jika da variabel rado dega fugsi robabilitas bersaa f, da fugsi argial asig-asig f da f, aka : f, f. f f. f

25 egatar roses Stokastik Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa Jika da ideede, aka f, f f f f f f f, f f f f f f Cotoh : Diberika fugsi robabilitas bersaa da Y, dega : f, ; < <, < < f,, d d f f f ; < < Bila diigika eghitug [ < < ½ ¼ ] aka : [ < < ½ ¼ ],5,5 d f,5,5,5 4,5,5,5,5 d 4 4,5,5 4 Beberaa Hal etig Lai Misalka variabel rado vektor berdiesi k da g fugsi terukur berilai real, didefiisika ada R k sedeikia sehigga g eruaka suatu variabel rado. Jika c >, aka : [g c] ] [ c g E Kasus Khuus

26 egatar roses Stokastik. Misalka variabel rado da dega egabil g - µ r ; µe, r > ; aka : r [ - µ c] [ - µ r c r E µ ]. Misalka variabel rado da dega easagka g - µ, µ E aka : [ µ c] [ µ c ] Var [ µ c] c σ [ µ c] c c c r E µ Bila c kσ, ketaksaaa Chebshev dala eetua selag keercaaa Cofidece Iterval / CI aka dieroleh sebagai berikut : [ µ kσ ] k Ketaksaaa Chebshev Ketaksaaa Markov Laws of The Large Nuber LLN Kose etig dala LLN Huku Bilaga Besar adalah Strog Laws of The Large Nuber SLLN da Weak Laws of The Large Nuber WLLN. Teorea SLLN Jika j, j,,..., idetik ideede iid dega ea berhigga µ aka :... as µ, Teorea WLLN Jika j, j,,..., idetik ideede iid dega ea berhigga µ aka :... µ, Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa

27 egatar roses Stokastik Cetral Liit Theore CLT / Teorea Liit usat Teorea CLT Misalka,,..., variabel rado iid dega ea µ < da variasi σ <, isalka ula : Maka : µ t G da Φ e dt σ π d G Φ, R Teorea Slutsk Jika d d da Y c,, c aka : i d Y c, ii Y d c, iii Y d c, Cotoh soal. ada suatu esta datag orag, asig-asig eerahka satu sau taga diletakka di kerajag. Setelah seua sudah eerahka sau taga, asigasig dega ata tertutu egabil satu sau taga dari dala kerajag itu. Jika eataka baaka orag ag egabil sau tagaa sediri, beraakah E da Var? eelesaia : Bila eataka baaka orag ag egabil sau tagaa sediri, da didefiisika : i Maka ; orag ke - i egabil sau tagaa sediri ; orag ke - i egabil sau taga orag lai i i ; i da i - Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 4

28 egatar roses Stokastik E i. i. i Var i E i [E i ] - Cov i, j E i j [E i E j ] dega i j ; keduaa egabil sau tagaa sediri ; jika tidak deikia E i j. i, j. i, j atau i, j atau i, j i. j i.. Cov i, j - Maka E E i i E i i i. da Var Var i i Var i. i i< j -. Cov i, j Jadi E da Var. Sebuah kotak berisi bola utih da bola hita. Diabil k bola sekaligus dari kotak tersebut. Jika eataka baaka bola utih ag terabil, tetuka : a. i, utuk i,,..., k b. E eelesaia : Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 5

29 egatar roses Stokastik Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 6 a. Baak ruag sael : Ω k Baak bola utih dari k bola ag terabil i i i k Maka i Ω k i k i i b. E k i k i i k i k i k i k i k i k i k k k i k i i i k i k i i k

30 egatar roses Stokastik Soal Latiha. Diketahui fugsi distribusi sebagai berikut : F Tetuka : a. Grafik lot dari F! b. Fugsi desitas fugsi robabilitas f! c. Nilai ¼ ¾ ; ; < < ;. Suatu varibel rado euai fugsi desitas f Tetuka fugsi distribusi, ea da varias dari tersebut! ; ; ; laia. Sebuah uag setibag dilearka saai ucul sisi saa dua kali berturuta utuk ertaa kalia. Bila N eataka julah leara ag dierluka, tetuka : a. Tetuka fugsi robabilitas utuk N b. Bila A eataka kejadia bahwa N gea da B eataka kejadia bahwa N 6, aka tetuka A, B da AB 4. Variabel rado da Y salig ideedet dega fugsi keekata robabilitas sebagai berikut : ½ ; ½ ; ; ; ½ 6 Tetuka fugsi keekata robabilitas z z, utuk Z Y 5. Bila adalah variabel rado ag berdistribusi eksoesial dega araeter λ. Tetuka ea dari. Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 7

31 egatar roses Stokastik BAB II ROSES STOKASTIK Koetesi Dasar : Mahasiswa ebedaka aca-aca sesifikasi roses Stokastik Tujua ebelajara :. Meahai egertia roses stokastik.. Meguraika sesifikasi roses stokastik eurut sifat state sace da araeter sacea.. egertia roses Stokastik Sejak dahulu eafaata odel ag egguaka robabilitas lebih diseagi dibadig odel ag deteriistik. egaata dilakuka ada saat-saat ag berbeda, tidak dilakuka ada suatu eriode waktu tertetu, sehigga eagkut asalah robabilitas. Baak feoea fisika, sosial, tekik da aajee saat ii diselidiki eruaka feoea ag rado dega suatu robabilitas. roses Stokastik Stochastic rocesses adalah hiua variabel rado ag eruaka fugsi dari waktu tie. araeter waktu disii diartika dala arti luas. roses stokastik serig juga disebut roses Rado Rado rocesses. erhatika cotoh berikut : Cotoh. Sebuah dadu dilear i Seadaia variabel rado eataka hasil leara ke-, >, aka {, > } eruaka hiua variabel rado, utuk ag berbeda aka didaat variabel rado ag berbeda, ii ebetuk roses stokastik. ii Seadaia Y baaka ea ag taak dala leara ertaa. Tia ilai aka eghasilka variabel rado Y ag berbeda aitu Y {, }, Y {,,}, Y {,,,} da seterusa, jadi {Y, > }eruaka hiua variabel rado, ii juga eruaka roses stokastik. iii Bila Z eataka baak titik ag taak aiu selaa leara ertaa, {Z, } juga eruaka roses stokastik. Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 8

32 egatar roses Stokastik Cotoh. Terdaat r buah kotak, tersedia tak terhigga bola. Bola diasukka ke dala kotak secara acak. Jika eataka baaka kotak ag terisi bola setelah leara ke-, aka {, }eruaka roses stokastik. Atau seadaia Y eataka baaka bola ag asuk ada kotak o. 4 setelah leara ke-. Disii {Y, }juga eruaka roses stokastik. Cotoh. adag variabel rado ag eataka baaka egujug ag asuk toko swalaa selaa suatu eriode waktu tertetu, t, t. Hiua t dega t T aka eruaka roses stokastik {t, t T}... Sesifikasi roses Stokastik Hiua harga-harga ag ugki utuk suatu variabel rado dari suatu roses stokastik {, }disebut Ruag State State Sace. Suatu roses stokastik serig ditulis dega sibul {t, t T}dega t eruaka hiua bagia dari {-,. araeter ada roses stokastik dibedaka ejadi dua jeis, aitu : i roses stokastik dega araeter waktu kotiu jika T eruaka suatu iterval dega ajag ositif ii roses stokastik dega araeter waktu diskret jika T eruaka hiua bagia dari suatu bilaga bulat. Dala roses stokastik, Ruag State S dari roses tersebut eiliki 4 keugkia, aitu : i. roses stokastik dega araeter diskret, daat eghasilka ruag state diskret ii roses stokastik dega raeter diskret, daat eghasilka ruag state kotiu iii roses stokastik dega araeter kotiu, eghasilka ruag state diskret Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 9

33 egatar roses Stokastik iv roses stokastik dega araeter kotiu, eghasilka ruag state kotiu. Dari cotoh-cotoh di atas, daat kita tetuka araeter da state sacea sebagai berikut :.Jika sebuah dadu dega ea sisi dilearka kali. Misalka didefiisika eataka variabel rado hasil leara ke-,. Maka : i {, } eruaka suatu roses stokastik ii roses stokastik ii eruaka roses stokastik dega araeter diskret iii Ruag state roses stokastik ii adalah {,,, 4, 5, 6} bersifat diskret.. Jika ada cotoh di atas didefiisika eruaka variabel rado ag eataka baaka agka ea ag taak dala leara ertaa, aka : i {, } eruaka suatu roses stokastik ii roses stokastik ii eruaka roses stokastik dega araeter diskret iii Ruag state roses stokastik ii eliuti : Utuk : ruag statea {, } Utuk : ruag statea {,, } Utuk : ruag statea {,,, } Da seterusa, ruag statea diskret. Misala t variabel rado ag eataka baaka egujug ag datag ada sebuah swalaa selaa eriode waktu, t aka : i {t, t T} eruaka suatu roses stokastik ii roses stokastik ii eruaka roses stokastik dega araeter kotiu iiiruag state roses stokastik ii eliuti : Utuk : eataka baak egujug ag datag dari swalaa buka saai ja berikuta,,,,... Utuk : eataka baak egujug ag datag dari swalaa buka saai ja berikuta,,,,... Da seterusa, ruag statea diskret Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa

34 egatar roses Stokastik 4. Misala t eataka teeratur aksiu suatu teat ada iterval waktu, t, aka : i t, t T} eruaka suatu roses stokastik ii roses stokastik ii eruaka roses stokastik dega araeter kotiu iii Ruag state roses stokastik ii eliuti : Utuk : eataka teeratur aksiu suatu teat saai ja berikuta, suatu iterval ilai tertetu Utuk : eataka teeratur aksiu suatu teat saai ja berikuta, suatu iterval ilai tertetu Da seterusa, ruag state bersifat kotiu. Hubuga atara Dala kasus-kasus tertetu, variabel rado, { } adalah ideedet satu dega ag lai. Misal ada cotoh, : eataka variabel rado hasil leara ke-,, bila sebuah dadu dilear. Tetai Y : baak ea ucul ada leara ke-, eruaka kasus ag tidak ideede, karea Y estia tergatug Y, tidak ugki Y bila Y. roses dega icreet ideedet Jika utuk seua t, t,..., t, diaa t < t <...< t variabel rado t - t, t - t,..., t - t - ideedet, aka {t, t T} dikataka roses stokastik icreet ideedet. Seadaia haa dibicaraka roses dega araeter waktu da ruag diskret, T {,,,...}, t i i-, t i i-, Z i i - i-, i,,... da Z. Terdaat roses {Z, } da Z eruaka variabel rado ideedet. Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa

35 egatar roses Stokastik roses Markov / Ratai Markov Marcov Chai Jika roses stokastik {t, t T} euai sifat :,,..., utuk seua ilai,,,...,, da sebarag, serta,,,..., S ruag state, roses tersebut disebut roses Markov atau ratai Markov. Uua roses Markov didefiisika sebagai berikut : Bila t < t <... < t < t a t b t,..., t a t b t Maka roses ii disebut roses Markov atau Ratai Markov Cotoh : adalah keadaa esi ada hari ke-. Disii ilai atau, jika esi rusak da jika esi baik. Jadi S {, } Ruag state {, } utuk setia. Mesi ulai ada suatu hari rusak atau baik. Seadaia diketahui ada hari ke- esi rusak, robabilitasa ada hari itu daat dierbaiki berarti hari berikuta baik dalah, atau. Sedagka jika ada hari-hari ke- esi diketahui baik, robabilitasa ada hari berikuta rusak q, atau q. roses ii eruaka roses Markov, karea keadaa esi ada hari esok haa tergatug keadaa esi hari ii, tidak tergatug ada hari-hari sebelua. Cotoh : Model Kotak ola Kotak isia b bola biru da r bola utih. Sebuah bola diabil dari kotak itu da bola ag terabil dikebalika da ditabah c bola wara saa dega bola terabil c> Jika variabel rado didefiisika sebagai berikut : ; ada egabila ke - edaat bola ; ada egabila ke - edaat bola Aakah {, } eruaka ratai Markov? utih Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa biru

36 egatar roses Stokastik Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa r b r r b b.. c r b c r r b r c r b r r b b r b r.. c r b b r b r c r b c b r b b r b b,...?,...?,,,,,,.,. c r b c b. c r b b. r b r c r b c b. c r b c b. r b b c r b r b c b b, r c b c b r b b c r b r b c b b, c r b c b, c r b c b

37 egatar roses Stokastik Didaat k,, k, Jadi {, } buka ratai Markov. Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 4

38 egatar roses Stokastik Soal Latiha. Tuliska state sace da araeter sace eristiwa/hal berikut : i ertadiga seak bola ii Harga saha di Bursa Efek Jakarta. Jelaska bagaiaa eristiwa berikut daat diodelka sebagai roses stokastik? Defiisika state sace da araeter sacea ag sesuai eurut ada : i eebara suatu jeis eakit ii roses eijaa buku di erustakaa. Sebuah abrik euai esi, diaa satu beroerasi, ag lai sebagai cadaga. robabilitas esi rusak adalah, diagga kerusaka terjadi ada akhir kerja. erusahaa eekerjaka seorah ahli oerasi esi tersebut da dierluka waktu hari utuk eerbaiki kerusaka ag terjadi. Defiisika suatu roses stokastik ag eggabarka roses kerja esi di abrik tersebut. Tulis seua trasisi ag ugki atara state-state ag ada. 4. Ekserie : dadu sisi 6 dilear. Tetuka sesifikasi roses stokastik ag terjadi : a. {, }, : julah titik ag taak ada leara ke- b. {Y, }, Y : baaka titik aksiu ada leara ke- c. {Z, }, Z : julah titik aksiu saai leara ke- 5. eristiwa : asie ag dirawat di RS A. Tetuka sesifikasi roses stokastik ag terjadi : a. t: baak asie ag datag selaa waktu, t Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 5

39 egatar roses Stokastik b. Yt: laa egobata asie saai sebuh selaa waktu, t c. Zt: biaa egobata asie ruiah selaa dirawat dala waktu, t Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 6

40 egatar roses Stokastik BAB III RANTAI MARKOV/ ROSES MARKOV MARKOV CHAIN Koetesi Dasar : Mahasiswa au eguraika tetag ratai Markov Tujua ebelajara :. Meahai tetag Ratai Markov. Meguasai kose atriks eluag trasisi dari Ratai Markov. Meguraika sifat-sifat State dari Ratai Markov 4. eetua distribusi jagka ajag liitig distributio irreducible arkov chai.. Ratai Markov Sifat Markov Dala roses stokastik, baak sekali roses ag euai sifat khas, seerti sifat Markov. Meelajari sifat arkov sagat berafaat, karea : i Secara teoritis sifat Markov sagat kaa da daat disajika secara sederhaa ii Baak sekali siste kehidua sehari-hari daat diodelka dega egguaka sifat Markov Ratai Markov daat dialikasika utuk sste diskret discrete sste auu siste kotiu cotiuous sste. Siste diskret adalah siste ag erubaha kodisia state daat diaati/terjadi secara diskret. Sedagka siste kotiu adalah siste ag erubaha kodisi da erilaku siste terjadi secara kotiu. Ada beberaa sarat agar ratai arkov daat dialikasika dala evaluasi keadala siste. Sarat-sarat tersebut adalah: i Siste harus berkarakter lack of eor, diaa kodisi siste di asa edatag tidak diegaruhi ideedet oleh kodisi sebelua. Artia kodisi siste saat evaluasi tidak diegaruhi oleh kodisi sebelua, kecuali kodisi sesaat sebelu kodisi saat ii. Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 7

41 egatar roses Stokastik ii iii Siste harus stasioer atau hooge, artia erilaku siste selalu saa seajag waktu atau eluag trasisi siste dari satu kodisi ke kodisi laia aka selalu saa seajag waktu. Dega deikia aka edekata Markov haa daat dialikasika utuk siste dega laju kegagala ag kosta. State is idetifiable. Kodisi ag diugkika terjadi ada siste harus daat diidetifikasi dega jelas. Aakah siste eiliki dua kodisi beroerasi gagal, tiga kodisi % sukses, 5% sukses, % gagal da lai sebagaia. ada bab ii, dibahas Ratai Markov Diskret. Misalka S eataka hiua state,,,,... da eataka state siste ada waktu da eruaka variabel rado ag didefiisika ada suatu ruag robabilitas. Suatu siste dikataka euai sifat Markov atau Ratai Markov jika eeuhi sarat : o,,, robabilitas bersarat disebut robabilias trasisi utuk ratai Markov ii... robabilitas Trasisi robabilitas trasisi suatu roses arkov diataka sebagai : o,,, Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 8

42 egatar roses Stokastik Ii berarti bahwa kodisi o,,, - - tidak euai egaruh terhada keadaa tersebut, ag eegaruhi robabilitas haa. Jadi keadaa state sebelua tidak beregaruh terhada keadaa besok, ag eegaruhi haa keadaa sekarag. Secara forula ditulis : ij [ j i], i,j dega ij da jj iiii, ii Catata : Jika[ j i][ j i],,,, aka robabilitas trasisia bersifat stasioer... FUNGSI TRANSISI da DISTRIBUSI AWAL Misalka, suatu ratai Markov dega state sace S Disii S adalah uu, baak aggota S belu tetu seerti cotoh di atas. Fugsi,, S da S ag didefiisika sebagai :,,, S diaaka Fugsi Trasisi Trasitio Fuctio utuk ratai tersebut. Berdasarka defiisi di atas dieroleh sifat : i,,, S Karea eruaka suatu robabilitas utuk, S ii S, utuk setia S Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 9

43 egatar roses Stokastik S, S, S Karea ratai Markov euai robabilitas statioer, aitu: tidak tergatug ada ilai, aka :,, utuk. Dari sifat Markov, dieroleh : o,,,, Dega kata lai: Suatu ratai Markov state ada waktu ke-, aka robabilitas ada waktu ke waktu berikuta di state saa dega,, tidak tergatug ada bagaiaa ratai itu saai di., disebut robabilitas trasisi satu lagkah Oe Ste Trasitio robabilit dari ratai Markov tersebut. Fugsi π, S didefiisika sebagai : π, S disebut Distribusi Awal Iitial Distributio utuk ratai tersebut. Dari defiisi di atas dieroleh : i π, S S ii π Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 4

44 egatar roses Stokastik Distribusi bersaa,,..., daat dieroleh dega fugsi trasisi da distribusi awal. Cotoh :.,.,. π.,,,.,,.,. π Dega iduksi dieroleh :,,..., -,. -, -..., π Bukti : i Utuk,,. ii o, π... Bear Misalka Bear utuk k,,..., k k k k,,..., k- k- k- k-,,..., k- k-... k-, k. k-, k-..., π iii Harus daat dibuktika Bear utuk k,k,...,, k k k k,,..., k k k k,,..., k k... k, k. k, k-..., π Daat dirigkaska, distribusi ersaa,,..., adalah :,,..., -,. -, -..., π π,... -, Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 4

45 egatar roses Stokastik Cotoh : Sebuah esi ada waktu ulai diakai sebarag hari adalah rusak atau baik. Seadaia esi tersebut rusak ada awal hari ke-, robabilitas bahwa selaa hari tersebut daat dierbaiki da ada awal hari berikuta hari ke baik saa dega. Seadaia esi ada awal hari ke- baik, robabilitasa esi rusak ada awal hari ke- adalah q. Diketahui ula bahwa π eataka robabilitas esi rusak ada awal hari ke-ol, aitu esi datig dari abrik sebelu diakai robabilitasa rusak adalah π. Dega deikia, robabilitas esi dala keadaa baik ada awal hari ke-ol adalah π - π. Misalka state eataka esi rusak da state eataka esi baik, eataka variabel rado ag eujukka keadaa esi ada hari ke-. Jadi dala cotoh ii didaat : S {, },,,,... q o π o - π π Karea di sii S haa eiliki state, aitu da, aka : - q artia jika diketahui ada hari ke- esi rusak, robabilitas ada hari berikuta hari ke- asih teta rusak adalah -. artia jika diketahui ada hari ke- esi baik, robabilitas ada hari berikuta hari ke- esi teta baik adalah q. Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 4

46 egatar roses Stokastik Daat disusu atriks trasisi statea sebagai berikut : state q q Masalaha sekarag adalah, beraa : a. robabilitas hari ke- esi rusak taa diketahui keadaa esi hari sebelua b. robabilitas hari ke- esi baik taa diketahui keadaa esi hari sebelua Uraia :,,.. q q q q q Utuk q q q πo q Utuk q q q [ q πo q]q q πo q [ q] Utuk q q q [ q πo q q]q q πo q [ q q ] Utuk 4 q q q [ q πo q q q ]q q 4 πo q [ q q q ] Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 4

47 egatar roses Stokastik Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa dst... Utuk kasus trivial, q aka πo da -πo πo. Utuk q>, j j q eruaka deret geoetri dega rasio q, dieroleh : q q q q q j j Akibata dieroleh : q q q q q q π q q q q q π Akibata - - q q q q q π q q q q q q q π q πo q j j q q πo q q q

48 egatar roses Stokastik q q q π q q q q π q q q π q q Berdasarka eguraia daat dirigkaska : q π q q q q q π q q Misalka da q kedua-duaa tidak saa dega ol da juga tidak saa dega, aka < q <, akibata --q <, akibata utuk dieroleh: liit q q da liit q ada cotoh di atas, sifat-sifat Markov tidak diguaka. Misalka sifat-sifat Markov dieuhi, aka kita daat eetuka distribusi bersaa joit distributioa dari o,,,...,. Sebagai cotoh utuk, isalka o,, berilai atau, aka :,,,.,,.. Disii kita aka bisa eghitug da dega egguaka,q da π. Tetai kita tidak aka bisa eghitug ilai dari Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 45

49 egatar roses Stokastik, taa egguaka sifat Markov. Jika sifat Markov berlaku aka :,,,.,.. Misalka o,, da aka :,,.. q.. π Selajuta juga daat dihitug distribusi bersaa o,, utuk state-state ag lai :,, π - π,,.. - π,,.. -q -q π Secara keseluruha, dala betuk tabel dieroleh :,, - π - π q π -q π q - π q - -π q π q -π Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 46

50 egatar roses Stokastik -q q π -q q -π -q π -q -π Beberaa Cotoh Ratai Markov. Ratai Ehrefest Ehrefest Chai Diberika dua buah kotak kotak I da kotak II da d bola dega oor,,...d. Awala sebagia bola diletakka ada kotak I da sisaa di kotak II. Tersedia loter dega oor,,...,d. Mula-ula diabil selebar loter secara rado, dilihat oor beraa ag terabil, diidah dari kotaka da diasukka ke kotak lai. roses ii dilakuka tak higga kali. egabila loter secara rado da dikebalika sebelu egabila berikuta. Jika, eataka baaka bola ada kotak I setelah trial ke-, aka eruaka ratai Markov dega ruag state S{,,,...,d}, tetuka fugsi trasisi dari ratai tersebut! eelesaia : Misalka ada bola ada kotak I ada waktu ke-, aka terdaat d- bola ada kotak II. ada waktu ke- aka egabil sebuah bola dari kotak I, tergatug ada loter ag terabil. Jadi robabilitas utuk egabil bola ada kotak I adalah da bola diidahka ke d dala kotak II. Ii berarti bahwa baaka bola di kotak I ada waktu ke- saa dega -, atau : Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 47

51 egatar roses Stokastik -,- d Dega cara ag saa aka didaat, d d da, utuk - atau, sehigga dieroleh fugsi trasisi :, d d d ; utuk ; utuk - ; utuk ag lai. Ratai ejudi Gebler s Rui Chai Misalka seorag ejudi, setia kali ai dia asag dolar. robabilitas dia aka eag adalah, da robabilitas dia kalah adalah q, q -. Meag berarti dia daat satu dolar, kalah berarti kehilaga dolar. Modal ejudi bisa ecaai habis da aka teta saa dega seterusa. Misalka, eataka odal ejudi ada waktu ke-, aka fugsi trasisia adalah : -,-q, Atau q ; utuk -, ; utuk ; utuk ag lai DEFINISI Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 48

52 egatar roses Stokastik Suatu state a S dari ratai Markov diaaka State Absorbig jika : a,a atau a, utuk a. ada cotoh, Ratai ejudi di atas, adalah ratai absorbig, karea,, sebab setelah odal habis, seterusa odala habis,,. ada ratai Markov ii ruag statea, S{,,,,...} odal ejudi bisa tak berhigga..4 FUNGSI TRANSISI LANGKAH ada ebahasa sebelua kita telah eelajari fugsi trasisi satu lagkah,, selajuta dielajari fugsi trasisi lagkah dari suatu ratai Markov. Defiisi Fugsi trasisi lagkah dari suatu ratai Markov, diberika oleh, ag eataka robabilitas dari suatu state ke state dala lagkah, aitu :,,... S S S,,... Utuk, dieroleh :,,, Utuk, dieroleh :,, utuk, utuk laia Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 49

53 egatar roses Stokastik Teorea Fugsi lagkah, dari suatu ratai Markov euai sifat :,, z z z, Sebagai suatu catata, fugsi trasisi lagkah daat diataka sebagai agkat dari fugsi trasisi satu lagkah Bukti :,, z z, z, z z, z z, z, z z z z, z z z, z, z z z z, Terbukti,, z z, Sifat uu dari fugsi trasisi lagkah disajika teorea berikut. Teorea Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 5

54 egatar roses Stokastik Jika,,,z, da z, eataka fugsi-fugsi trasisi,, da lagkah dari suatu ratai Markov, aka : Bukti :, z,z z,,, z z, z z, z, z z, z, z z z z, z z z, z z,z z, Terbukti, z,z z, Dega diberika fugsi trasisi lagkah dari suatu ratai Markov, diharaka daat egguaka fugsi ii utuk eetuka distribusi ag berkaita dega distribusi awal π. i Jika π distribusi awal dari ratai Markov, aka : Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 5

55 egatar roses Stokastik,, π ii,, erhatika bahwa, jika kita egetahui distribusi dari, kita daat egguaka ersaaa ii utuk ecari distribusi dari. Dega diketahuia distribusi, daat diguaka utuk ecari distribusi dari, da seterusa. Dega cara serua, kita daat egguaka ersaaa ii utuk ecari distribusi. iii,...,,..., π,...,,,...,...,,...,, π,......,,,...,, Atau ersaaa iii daat diataka sebagai :,...,,...,,,... -, Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 5

56 egatar roses Stokastik Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 5.5 MATRIKS TRANSISI Misalka sekarag, ruag state S berhigga. S{,,...,d}. Matriks trasisi dega ukura dd diberika oleh : d,,,,,,,,, d d d d d d d Sedag atriks trasisi lagkah diberika oleh :, z S zz,, ; S{,,,..., } z z z z z z z z z,zz,,zz,,zz,,zz,,zz,,zz,,zz,,zz,,zz,. Matriks trasisi lagkah dala atriks diataka sebagai : dd d d d d d d d d

57 egatar roses Stokastik erhatika bahwa dari ersaaa i, π Jika distribusi awal π eruaka vektor baris dega diesi d, aitu : π π, π,..., π d Maka dieroleh : π π Dega π,,..., d adalah vektor baris berukura d. Dari ersaaa ii,,, eberika : π π Cotoh : Diberika ratai Markov dua state dega atriks trasisi q q>. Bila π da π q ; q q q q q q π q q q q q q q π q Maka dieroleh : q Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 54

58 egatar roses Stokastik Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 55, q q q q, q q q, q q q q q, q q q q Akhira dieroleh : q q q q q q q Cotoh : Diberika ratai Ehrefest dega S{,,,} da distribusi awal π ¼, ¼,¼,¼ da atriks trasisi. Maka : π π ¼, ¼,¼,¼ 5 5 π π

59 egatar roses Stokastik Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 56 π π π ¼, ¼,¼,¼ Cotoh : Diketahui ratai Markov dega S{,,} da atriks trasisi -lagkah : Buktika bahwa 4 4 Terbukti 4 Maka daat diataka bahwa : ;utuk gea utuk gajil ; 4

60 egatar roses Stokastik Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 57 Cotoh. atau atau atau , T atau atau atau Jadi 4 T 4 4, T 4, T.6 SIFAT-SIFAT STATE DARI SUATU RANTAI MARKOV State dala ratai Markov euai sifat berlaia, beberaa sifat state ag aka dielajari diataraa : i State Absorbig State ii euai sifat a,a ii State Trasie Suatu state S disebut Trasie jika ρ T < < Ii berarti bahwa ratai Markov ag berula dari belu tetu belu asti kebali ke-. Ada keugkia tidak kebali ke- da dari tidak kebali ke- -dari kebali ke- -ρ > Seadaia S {,,, 4 }, tetuka ilai 4 T 4! 4, T

61 egatar roses Stokastik iii State Rekure Suatu state S disebut rekure, jika ρ T < Ii berarti bahwa ratai Markov ag berula dari asti aka kebali ke- ada suatu waktu ag berhigga. Igat bahwa : ρ T < euai arti bahwa robabilitas ratai Markov berula dari aka ecaai ada waktu berhigga Jika state absorbig, aka eruaka state rekure. Ii daat dierlihatka berdasarka keataa bahwa state absorbig aka, T Ii berarti bahwa ρ, akibata eruaka state rekure Nau belu tetu berlaku kebalikaa Dibetuk suatu fugsi idikator utuk hiua {} deikia : ; z I z ; z Sedagka N eataka baak kali ratai Markov berada ada state. Karea I bila ratai ada state atau, da I bila aka terdaat hubuga: N I Kejadia {N } eataka baak kali ratai Markov ada state tidak kurag dari sekali, ii berarti saa dega {T < }, jadi: N T ρ Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 58

62 egatar roses Stokastik Seadaia da bilaga bulat ositif, aka robabilitas ratai Markov ulai dai berkujug ertaa ke- setelah lagkah T, da kujuga berikuta ke- setelah lagkah berikuta eiliki robabilitas T, sehigga robabilitas ratai Markov ulai dari berkujug ertaa ke- setelah lagkah da kujuga berikuta ke- setelah lagkah berikuta Jadi : T. T i N T. T T T ρ ρ ii N ρ ρ, iii N N - N ρ ρ - ρ ρ ρ ρ - ρ, iv N - N - ρ Dari iii N : robabilitas ratai ulai dari egujugi sebaak kali saa dega robabilitas ratai ulai egujugi ertaa kali keudia kebali ke- sebaak - kali keudia tak kebali lagi ke- ρ ρ - ρ. Aka diguaka otasi E utuk eataka harga haraa eectatio suatu variabel acak terdefiisika dala ratai Markov ulai dari. Berdasarka cotoh di atas : i E I. I. I.. Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 59

63 egatar roses Stokastik, ii E N E I Didefiisika, E I G, E N, G, eataka harga haraa baaka kujuga ke- bila ratai Markov ulai dari. Teorea I i Jika state trasie aka N< da G, G, berhigga utuk seua S ρ ρ, S ii Jika suatu state rekure, aka N da G, N T < ρ, S Jika ρ aka G,, sedagka jika ρ > aka G,. Teorea I eruaka dasar utuk ebedaka state trasie da rekure. Jika state trasie, aka tidak adag dari aa ratai Markov itu ulai, aka baaka kujuga ke- adalah berhigga. Bila state rekure, aka bila ratai Markov ulai dari aka aka kebali ke- tak terhigga kali. Bila ratai ulai dari,, ada keugkia tak erah siggah ke-, tetai bila sekali daat siggah ke- aka aka tak terhigga kali siggah ke-. Bukti : i Utuk state trasie, karea ρ < aka: N liit N Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 6

64 egatar roses Stokastik Note : liit ρ ρ ρ ρ liit. ρ N T T T T ρ ρ Akibat N < - N - ada sisi lai dieroleh : G,E N N { N - N } { ρ ρ ρ ρ } ρ ρ { ρ } - - { } ρ - ρ ρ { - ρ } ρ ρ ρ ρ Tugas I No. Buktika ρ ρ ii Utuk rekure, aka ρ N liit ρ liit N liit ρ ρ ρ Keadaa khusus aka N ρ.. ρ ρ Akibata G,E N Bila state trasie,, G, liit <, utuk S aka, Defiisi Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 6

65 egatar roses Stokastik Suatu ratai Markov disebut ratai Trasie jika seua state adalah trasie. Suatu ratai Markov disebut ratai Rekure jika seua state adalah rekure. Ratai Markov dega ruag state berhigga euai alig sedikit satu state rekure. Dega deikia ratai Markov dega state berhigga tidak ugki eruaka ratai Trasie. Bukti : S : state berhigga. Adaika seua state trasie, aka: liit, Dega deikia dieroleh hubuga : liit, liit S liit S S liit Terjadi kotradiksi, egadaia harus diigkar, jadi jika S state berhigga, aka tidak ugki eruaka ratai Trasie..7 DEKOMOSISI RUANG STATE Defiisi Misal, S da tidak harus berbeda, dikataka euju jika ρ > Lea Misalka da state dala S, euju jika da haa jika,> utuk seua bilaga bulat ositif. Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 6

66 egatar roses Stokastik Bukti : Jika euju aka ρ T < >, jadi terdaat sehigga T >. Ii berarti,>. Sebalika jika,> aka T < > atau ρ >. Ii berarti euju. Teorea II Jika state rekure da euju, aka rekure da ρ ρ. Defiisi-defiisi irreducible : i Suatu hiua C ag tidak kosog dikataka tertutu, jika tidak ada state dala C euju sebarag state di luar C, atau ρ, S da S ii Hiua C ag tidak kosog dikataka tertutu, jika jika,, C, C, Atau daat ula didefiisika ag lebih leah : Hiua C ag tidak kosog dikataka tertutu, jika,, C, C. Disii aabila C tertutu, aka ratai Markov berula dari C aka selalu tiggal di C dega robabilitas. Aabila a state absorbig, aka {a} adalah tertutu. iii Hiua tertutu C dikataka irreducible jika utuk seua da C, euju. Akibat dari Teorea II, bila hiua C tertutu irreducible aka setia state dala C adalah rekure atau setia state dala C adalah trasie Corollar Seadaia C suatu hiua tertutu irreducible ag aggotaa rekure, aka : i ρ Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 6

67 egatar roses Stokastik ii N iii G, Defiisi Suatu ratai Markov irreducible ialah suatu ratai dega ruag state S ag irreducible, artia ratai dega setia state euju state ag lai Ratai Markov seerti ii adalah trasie atau rekure. Dari collorar di atas daat disiulka bahwa ratai Markov Rekure Irreducible ecaai setia state tak terhigga kali dega robabilitas. Teorea III Diberika C hiua berhigga tertutu irreducible, aka tia aggota C adalah rekure. adag suatu ratai Markov dega baaka aggota state berhigga, Teorea III egataka bahwa ratai irreducible esti rekure. Bila ratai tidak irreducible daat ditetuka state aa ag rekure da aa ag trasie berdasarka Teorea II da Teorea III Cotoh adag ratai Markov dega atriks trasisi sebagai berikut : Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 64 5

68 egatar roses Stokastik Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa Tetuka state aa ag rekure da aa ag trasie? Lagkah erulaa dicari state aa ag euju state lai dala ratai Markov ii. Dibuat suatu atriks dega elee atau tergatug state aakah euju atau tidak, aakah ρ > atau ρ. Bila,> aka ρ > tetai sebalika tidak bear, seadaia bila, tetai,,., 5. 4 > aka ρ >, terdaatlah atriks : State adalah absorbig, aka state adalah rekure. Dari atriks, itu kelihata bahwa state {, 4, 5} adalah tertutu irreducible, aka eurut Teorea III state {, 4, 5} adalah state rekure. State da kedua-duaa euju, tetai kedua-duaa tidak daat dicaai dari state. Berdasarka Teorea II

69 egatar roses Stokastik aka state {, } adalah state trasie. Maka daat disiulka bahwa state,, 4, 5 adalah rekure da state, adalah trasie. Bila S T eataka hiua seua state trasie da S R eataka hiua seua state rekure, aka dari cotoh di atas S T {, } da S R {,, 4, 5}. S R daat diecah ejadi hiua-hiua ag salig asig da asig-asig tertutu irreducible, aitu C {} da C {, 4, 5}. Teorea IV Seadaia hiua S R tidak kosog, aka S R C i i. berhigga atau tak terhigga coutable, sedag C i hiua tertutu irreducible da C i C j, i j. Bukti: ilih S R da seadaia C hiua state S R sedeikia higga euju. Kare rekure aka ρ, sehigga C. Aka dibuktika bahwa tertutu irreducible. Seadaia C da euju z, karea rekure aka z juga rekure. Karea euju da euju z aka euju z, jadi z C, ii berarti C tertutu. Bila da z C, karea rekure da euju, aka euju. Karea euju da euju z, aka euju z, ii ebuktika bahwa C irreducible. Bila C da D dua hiua tertutu irreducible S R, aka C da D salig asig atau idetik. Seadaia C da D tidak salig asig, ada C D. Misal C, euju, karea C da C irreducible. Karea D tertutu, D da euju, aka D. Maka setia C D, juga sebalika daat dibuktika setia z D z C, sehigga daat disiulka C idetik dega D. Bukti Legka Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 66

70 egatar roses Stokastik Dekoosisi ruag state S suatu ratai Markov daat diguaka utuk eelajari sifat siste itu. Jika ratai Markov ulai dari salah satu hiua tertutu irreducible C i ag aggota-aggotaa rekure, aka ratai tak erah keluar dari C i dega robabilitas, da egujugi setia state dala C i tak terhigga kali. Jika ratai Markov ulai dari state trasie S T, aka ratai aka teta di dala S T atau suatu ketika asuk dala C i da tiggal di saa seterusa da egujugi setia aggota C i tak terhigga kali. robabilitas Absorbsi Seadaia C salah satu hiua tertutu irreducible dega aggota state rekure, da ρ c T C < aitu robabilitas bahwa ratai Markov ulai dari da ugki ecaai C, karea ratai aka teta tiggal di C setelah ratai sekali ecaai C. ρ c disebut robabilias ratai ulai dari disera absorbed oleh hiua C. Jelasa ρ c, C da ρ c, jika state rekure di luar C C. Bila S T, state trasie, aka utuk eghitug ρ c agak sulit. Bila S T berhiga, da khususa S sediri berhigga, aka ugki utuk ecari ρ c, S T, dega eelesaika siste ersaaa liear dega baaka ersaaa saa dega baaka variabel ag tidak diketahui. Misal S T, ratai ulai dari asuk ke-c ada lagkah ertaa atau teta tiggal di S T ada lagkah ertaa da asuk ke C ada lagkah keudia. robabilitas keadaa ertaa, aitu robabilitas ratai ulai dari asuk ke-c ada lagkah ertaa,. Sedagka C robabilitas keadaa kedua, ρ c Jadi terdaat ρ c C S T, S T, ρ, S T c Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 67

71 egatar roses Stokastik ada ersaaa ii, bila S T tak berhigga, agak susah ecari eelesaia ersaaaa. Teorea V Seadaia S T hiua state trasie da berhigga da C hiua tertutu irreducible ag aggotaa state rekure. Maka siste ersaaa : f C, S T, f, S T euai eelesaia tuggal fρ c ; S T Bukti : Bila siste ersaaa f C, S T, f, S T berlaku Maka: f, z,z fz, z S T z C z S T f,,,z C S T z C z S T,,,z C z C S z S S T T T,z fz,,z fz T C z S T, z fz f T C, z fz z S T Dega egguaka iduksi aka terdaat : f T C, z fz ; S T z S T Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 68

72 egatar roses Stokastik liit Karea setia S T adalah trasiet, aka, utuk S da S T. Sesuai dega aggaa bahwa S T berhigga, aka utuk S T terdaatlah liit f T T C < ρ c C teorea V terbukti Cotoh ada cotoh di atas, ratai Markov euai atriks trasisi : Tetuka ilai dari ρ T < ρ {} eelesaia: Dari ersaaa ρ c C, S T, ρ, S T da telah diteuka c bahwa S T {, }; S R {,, 4, 5}; C {} da C {, 4, 5} ρ ρ {} {}, {,}, ρ ; {, } {} Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 69

73 egatar roses Stokastik ρ {},, ρ {}, ρ {} ρ {} ¼ ½ ρ {} ¼ ρ {} atau ½ ρ {} ¼ ρ {} ¼ ρ - ρ ρ {},, ρ {}, ρ {} ρ {} ρ{} ρ{} 5 5 atau 5 ρ{} - 5 ρ{} ρ - ρ Dari siste ersaaa : ρ - ρ ρ - ρ Maka dieroleh : ρ ρ ρ ρ 5 Jadi ilai ρ 5 da ρ Dari cotoh di atas, tetuka ilai : a. ρ {,4,5} b. ρ {,4,5} eelesaia : a. ρ {,4,5},, ρ {,4,5} {,} {,4,5} ρ {,4,5},,4,5, ρ {,4,5}, ρ {,4,5} ρ {,4,5} ½ ρ {,4,5} ¼ ρ {,4,5} ½ ρ {,4,5} ¼ ρ {,4,5} ρ {,4,5} ρ {,4,5}. * b. ρ {,4,5},, ρ {,4,5} {,} {,4,5} ρ {,4,5},,4,5, ρ {,4,5}, ρ {,4,5} ρ {,4,5} ρ{,4,5} ρ{,4,5} Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 7

74 egatar roses Stokastik Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 7 5 ρ{,4,5} - 5 ρ{,4,5} 5 ** Substitusi * ke ** 5. ρ{,4,5} - 5 ρ{,4,5} 5 ρ{,4,5} 5 da ρ{,4,5} 5 4 Jadi ρ {,4,5} 5 da ρ{,4,5} 5 4 Latiha Tugas.. Diketahui ratai Markov dega S {,,,,4,5} da atriks trasisi berikut : Tetuka : b. State ag trasie c. Hituglah ρ {,} Sekali ratai Markov ulai ada S T da asuk ada C hiua tertutu irreducible ag aggotaa state rekure, aka ratai itu aka egujugi setia state dala C, jadi : ρ ρ c, S T da C Maka dari cotoh di atas ρ ρ {,4,5}

75 egatar roses Stokastik. adag suatu ratai Markov dega ruag state S{,,,...} da diketahui, < <; -. Hituglah T,. Suatu ratai Markov euai ruag ruag state S{,,,,,,d} da fugsi trasisi : d, d d Tetuka ρ {}, utuk <<d d 4. adag ratai Markov dega ruag state S{,, } da fugsi trasisi :,, utuk, utuk Tetuka S T.. 5., suatu ratai Markov dega S{,,,}da atriks trasisi Hitug 5, 6, 7, 8 9!.8 HITTING TIME Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 7

76 egatar roses Stokastik Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 7 Misalka A S. Hittig Tie Waktu Tuggu/Waktu saai kea T A dari A didefiisika sebagai : T A > > > A, jika ; A, jika A; ; Mi Dega erkataa lai, T A adalah waktu ositif ertaa ratai Markov saai di A. ersaaa etig ag berkaita dega fugsi trasisi lagkah da hittig tie. Teorea Jika, fugsi trasisi lagkah dari suatu ratai Markov, aka :, ;, T Bukti : erhatika bahwa kejadia-kejadia : {T, }, eruaka kejadia-kejadia ag salig asig. { } {T, } {T, }... {T, } }, {T, { } T, T, T T, T,,...,,,

77 egatar roses Stokastik T, Berikut diberika suatu hubuga atara state absorbig dega hittig tie. Lea Jika a suatu state absorbig, aka,a T a <, Bukti: Jika a state absorbig, aka a,a; Berdasarka teorea di atas, utuk a, didaat :,a T T a a a, a T a erhatika bahwa : T, T z, z, zz, z Utuk ag lebih besar diguaka forula : T,z T ; z z Forula tersebut daat diiterretasika sebagai berikut : T eruaka robabilitas ratai Markov ulai dari ecaai alig sedikit dala lagkah. Hal ii saa dega ratai ulai dari ecaai z dala satu lagkah da dari z ecaai dala lagkah, asalka z. Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 74

78 egatar roses Stokastik.9 Distribusi Stasioer dari Suatu Ratai Markov Misalka, eruaka ratai Markov dega state sace S da fugsi trasisi. Jika π, S eruaka bilaga ositif ag julaha saa dega satu, da berlaku : π, π, S Maka π disebut distribusi statioar Statioar Distributio Seerti kita lihat ada ebahasa-ebahasa sebelua, utuk eetuka suatu distribusi dari, sagat ditetuka oleh distribusi awal dari suatu ratai tersebut. Aabila distribusi awal diberika, aka eugkika utuk eeroleh distribusi dari suatu. ada ebahasa disii, distribusi aka ditetuka taa eerhitugka sutu distribusi awal ratai tersebut, khususa ag cuku besar. Misalka suatu distribusi stasioar π ada da eeuhi: liit, π, S Berdasarka sifat ii aka diselidiki distribusi dari suatu,, aka edekati π. Distribusi π ii serig disebut Distribusi Stead State Stead State Distributio. ertaa harus dierhatika dahulu sifat-sifat ag diiliki oleh Statioar Distributio. Lea.8. Jika π suatu distribusi stasioer, aka Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 75

79 egatar roses Stokastik π, π, S Bukti : Karea π suatu distribusi stasioer, aka euai sifat bahwa : π, ada sisi lai didaat : π, S π, π, zz, z π, z z, z π zz, z π Sifat distribusi stasioer dala lea di atas daat digeeralisasi utuk sebarag bilaga ositif. Sifat geeralisasi diberika oleh teorea berikut ag ebuktiaa dega iduksi da edasarka ada hubuga :, z, zz, Teorea.8. Jika π eruaka distribusi stasioer da, eataka fugsi trasisi lagkah dari suatu state ke state, aka : π, π, S Distribusi stasioer disebut juga Distribusi Jagka ajag liitig distributio dari suatu Ratai Markov. Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 76

80 egatar roses Stokastik Jika suatu ratai Markov { } dega atriks trasisi dega N state {,,,,N} aka dieroleh SL : π i N k π k ki Da π π π N, da ππ,π,,π N disebut distribusi jagka ajag liitig distributio dari roses Markov. Cotoh : a b a b Maka dieroleh SL : -a π b π π a π -b π π Da π π Dega eelesaika SL tersebut dieroleh π π, π π b/ab da π a/ab Latiha : Tetuka distribusi jagka ajag dari atriks-atriks trasisi berikut: a.,7,5,,6,,4,5 Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 77

81 egatar roses Stokastik b.,,5,4 c.,5,,,4,5,,,,7 Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 78

82 egatar roses Stokastik. Teori Keutusa Markov Eected Average Cost er Uit Tie Sebelua telah dibahas, agar liit robabilitas kodisi stead state ada, aka ruag state dari ratai Markov harus eruaka ruag state berhigga irreducible, ositif recurret, aitu : li kk iiii kk ππ jj Diaa π j eeuhi ersaaa stead state. Sifat ii sagat etig dala eghitug biaa rata-rata tia uit daru ratai Markov jagka ajag. Misal tibul biaa C t bila roses ada state t, ada waktu t, utuk t,,, Dala hal ii C t adalah variable acak ag daat berilai salah satu dari C, C,, CM da fugsi C adalah ideede dari t. Eksektasi biaa rata-rata ag tibul dala eriode daat diataka sebagai : Dega egguaka hasil bahwa : EE CC tt tt li iiii kk ππ jj Maka daat dibuktika bahwa dala jagka ajag tia eriode adalah : kk MM li EE CC tt CCjjππ jj tt Cotoh: Sebuah took ejual kaera da egabila dari seorag distributor ada tia akhir iggu. Adaika D i eujukka dead ada iggu ke-i da diasusika asig-asig berdistribusi oisso dega λ. Toko tersebut jj Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 79

83 egatar roses Stokastik egguaka siste ivetori s, S, aitu jika ada iggu tertetu julah kaera kurag dari s < aka took tersebut egorder kaera dari distributor S ada akhir iggu tersebut. Jika s aka tidak ada egordera. Misalka : julah kaera ula-ula dst.. julah kaera ada akhir iggu ertaa julah kaera ada akhir iggu kedua Jadi { ;,,, } eruaka ratai Markov beraraeter diskret. Sebagai ruag statea adalah S {,,, } ag eujukka julah kaera di toko tersebut ada iggu tertetu. Dieroleh hubuga : a{ DD, } ; bbbbbbbb < a{ DD, } ; bbbbbbbb Selajuta daat dihitug : [ ] [D ] ee! 6ee,8 [ ] [D ] ee,84! ee [ ] [D ] ee,68 ee [ ] [D ] ee,68 ee!! [ ] [D ] ee,68,6.. dst. Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 8

84 egatar roses Stokastik Dieroleh atriks robabilitas trasisi satu lagkah :,8,6,64,8,84,68,68,84,68,68,68,68,68 Berdasarka ersaaa Chaa Kologorov dieroleh :,49.,8,5,49,89,5,9,86,,,,,65,,97,65 4.,89,8,84,89,86,85,84,86,6,68,6,6,64,66,7,64 Dala kodisi tertetu igi dihitug [ j]. Itu itu dierluka kodisi awal ag didefiisika sebagai berikut: ππ ii [ ii]; ii Karea dari cotoh di atas diketahui julah kaera ag ada di toko ulaula aka kodisi awal cotoh di atas adalah : ππ ππ ππ dddddd ππ Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 8

85 egatar roses Stokastik [ jj] [ jj, ii] [ jj ii]ππ ii ii ππ jj ππ jj ππ jj ππ ii Dari cotoh di atas, igi dihitug [ ]. Maka dieroleh : [ ] ππ ππ ππ ππ.,65,65 Secara Uu : ππ jj [ jj] Didefiisika vektor robabilitas state π [ππ, ππ, ππ, ] Dieroleh : ππ jj [ jj] Secara atriks : ππ ππ Megguaka cotoh di atas, aka dieroleh : π [ππ, ππ, ππ, ππ ] [,,,] π,8,6,68 [ ] [,8,84,68,68],64,8,84,68,68,68,84,68,68,68 Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 8

86 egatar roses Stokastik π [ππ, ππ, ππ, ππ ] [,8,84,68,68] Ii eerlihatka, isal π,68 eataka bahwa robabilitas terdaat kaera di toko tersebut iggu dea adalah,68. π π π π,49,5,49,89, [ ],8,5,, [,49,86,,65],9,,86,,65,97,65 Iterretasi : i robabilitas terdaat ol kaera ada iggu kedua adalah,49 atau 4,9 % ivetori ol kaera ada iggu kedua ii 8,6% ivetori kaera ada iggu kedua iii,% ivetori kaera ada iggu kedua iv 6,5% ivetori kaera ada iggu kedua Berikuta, dari atriks robabilitas trasisi ada cotoh di atas,jika dicari atriks ,89,8,84,89,86,85,84,86,6,68,6,6,64,89,66,8,7,84,64,89,86,85,84,86,6,68,6,6,64,66,7,64 Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 8

87 egatar roses Stokastik,86,86,86,86,86,86,86,86,86,86,86,86,86,86,86,86 Seua elee atriks berilai saa, artia robabilitas roses dala state setelah 8 iggu cederug ideede dari kodisi awal. Deikia seterusa, jika dihitug 9,,, aka dieroleh atriks ag saa, artia roses ecaai stead state irobabilitas jagka ajag ratai Markov. Dega egguaka ersaaa di atas : ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ,8,6,64,8,84,68,68,84,68,68,68,68,68,8 ππ,6 ππ,64 ππ,8 ππ ππ Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 84

88 egatar roses Stokastik,84 ππ,68 ππ,68 ππ,84 ππ ππ,68 ππ,68 ππ,68 ππ ππ,68 ππ,68 ππ ππ ππ ππ ππ ππ Dieroleh ππ,86 ; ππ,85; ππ,64; ππ,66 ag eruaka usurusur dari atriks 8. Jadi setelah beberaa iggu ag cuku laa, robabilitas edaatka,,, da kaera berturut-turut adalah,86 ;,85;,64 da,66 Eected recurrece tie : μμ iiii ππ ii ; μμ,5 ππ,86 μμ,5 ππ,85 μμ,79 ππ,64 μμ 6, ππ,66 Adaika ada akhir iggu ada kaera ag belu laku terjual, aka ada biaa eeliti sebagai berikut : jika t aka C; jika t aka C; jika t aka C 8; jika t aka C 8. Dala jagka ajag, eksektasi biaa tia iggu adalah: MM jj li EE CC tt tt CCjjππ jj,86,85 8,64 8,66 5,67 Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 85

89 egatar roses Stokastik Latiha Ratai Markov. Suatu roses Markov,,, dega atriks eluag trasisi sebagai berikut :,5,5,5,5,5,5 Tetuka eluag utuk : a., b., c.,, d. Jika diketahui roses berawal dari, tetuka i ii,. Diketahui ratai Markov, dega State Sace S {a, b, c} da atriks eluag trasisia : Bila distribusi awal π /5, /5, /5, hitug : a. b, b, a b. b, b, a c. a, c, c, 4 a, 5 b. Utuk aa [, ], suatu roses Markov dega state,,, eiliki atriks eluag trasisi sebagai berikut : Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 86

90 egatar roses Stokastik aa aa 4 4 Tujukka aakah roses Markov bersifat irreducible? Jika irreducible, tetuka distribusi jagka ajag roses Markov tersebut! 4. Tetuka sifat-sifat state dari roses Markov dega S{,,,} da atriks eluag trasisia sebagai berikut :,,7,,,4 Bila ada, hitug seua eluag absorbsi dari roses Markov di atas! Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 87

91 egatar roses Stokastik BAB IV ROSES OISSON Koetesi Dasar : Mahasiswa au eguraika tetag roses oisso Tujua ebelajara :. Meahai tetag roses oiso. Meguasai distribusi-distribusi ag berhubuga dega roses oisso. Meguasai alikasi roses oisso da Kehidua Real ada ebahasa terdahulu kita telah ebicaraka suatu roses Stokastik dega ruag state S ag diskrit da araeter diskrit. ada ebahasa berikut, kita aka ebicaraka roses Stokastik dega ruag state S ag diskrit da araeter kotiu. Salah satu cotoh roses stokastik ii adalah roses oisso Model roses stokastik seaca ii sagat etig, dari sudut adag teori juga euai baak alikasi ag egikuti odel tersebut, isala : i ii iii Baaka egujug ada sebuah swalaa Baaka kecelakaa lalu litas ada suatu jala, di sebuah kota Baak telo berderig ada suatu iterval waktu tertetu, dll roses oisso eruaka suatu odel stokastik ag ebetukaa didasarka ada distribusi oisso da sifat-sifat keideedeaa. ertaataa aka diuraika distribusi oisso da beberaa sifat etiga. 4.. Distribusi oisso Suatu variable rado dikataka euai distribusi oisso dega araeter µ, jika euai fugsi robabilitas f sebagai berikut : Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 88

92 egatar roses Stokastik µ e µ f ;,,,! E µ da Var µ Bukti : E e µ f! µ µ µ e µ! e µ µ µ µ µ µ e µ e e µ!! E- f e µ µ! e µ µ µ µ µ µ e e! µ Var E [E] E- E - [E] µ µ - µ µ Sifat-sifat distribusi oisso Berikut diberika dua sifat etig ag berkaita dega distribusi robabilitas oisso. Kedua sifat tersebut disajika dala teorea berikut : Teorea 4. Jika da Y variable rado ideedet asig-asig berdistribusi oisso dega araeter µ da ν, aka julah Z Y berdistribusi oisso dega araeter µ z µ ν. Bukti : Y k k, Y k Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 89

93 egatar roses Stokastik ky k ;, Y salig ideedet k k µ k ν ν µ e e k k! k! µ ν k k e! µ ν! k k! k! µ ν e k k µ ν! k k µ ν e µ ν oisso dega araeter µ ν! Terbukti bahwa Z Y berdistribusi oisso dega araeter µ ν. Teorea 4. Jika N variable rado berdistribusi oisso dega araeter µ, distribusi bersarat M diberika N berdistribusi Bioial dega araeter da, aka distribusi tidak bersarat M adalah oisso dega araeter µ. Bukti : Mk M k k k, N M k N N k! k! k! k µ k k µ e µ k! k! k µ µ e µ k! e k k µ e! µ Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 9

94 egatar roses Stokastik µ e k! k µ oisso dega araeter µ Jadi M berdistribusi oisso dega araeter µ. Selajuta berdasarka distribusi oisso da sifat-sifat keideedea, kita aka edefiisika suatu roses oisso. Defiisi 4. Suatu roses stokastik {t, t } dikataka roses oisso dega rate itesitas λ > eruaka roses ag eeuhi sifat-sifat : i ii Utuk titik-titik waktu t < t <t < <t, icreet rocess : t - t, t - t, t - t,, t - t - eruaka variable rado ideedet iii Utuk s, t>, variable rado st s berdistribusi oisso dega fugsi robabilitas : st-s k k λt λt e k! ; k,,, Jadi jika t suatu roses oisso rate λ> aka Etλt da Vart σ t λt Teorea 4. Nt Jika Nt roses oisso dega rate λ aka lit λ ε utuk t t setia bilaga ε >. Bukti : Karea Nt roses oisso dega rate λ, aka E[Nt] λt da Var[Nt] λt Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 9

95 egatar roses Stokastik Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 9 c t c t Nt λ λ c t t c t Nt λ λ t t Nt ε λ ε λ, dega ε t c t t Nt t t lit lit ε λ ε λ, utuk ε > Teorea di atas eataka bahwa rate λ dari roses oisso Nt daat dihairi dega t Nt Bukti : Dega ketidaksaaa Chebshev : { E k} k Var, k > ada roses oisso ii, variabel acak Nt dega ea λt da variasi λt, aka { } k t k t Nt λ λ k t t k t Nt λ λ t t Nt ε λ ε λ t t Nt t t lit lit ε λ ε λ, utuk ε > terbukti Berikut diberika distribusi Bioial dala koteks roses oisso Teorea 4.4

96 egatar roses Stokastik Jika {t} eruaka suatu roses oisso dega rate λ>, aka utuk <u<t da k berlaku :! uk t k! k! u t k u t k Bukti : uk t u k, t t u k da t - u t k u k t - u k t e λu λu k! k e e λtu λt λt! λt u k! k! u k! k! k t u t k! u k! k! k t u k t.t k k! u k! k! t k u t k terbukti Selajuta isalka N[a,b] eataka baaka kejadia ag terjadi ada iterval [a,b]. Misalka ada t <t <t <... aka N{a,b] eataka baaka ilai-ilai t i ada a <t i <b. Berdasarka defiisi ii, kita eiliki sifat-sifat berikut : i Ideedet Baak kejadia ag terjadi dala iterval-iterval ag salig asig disjoit adalah ideedet, aitu utuk sebarag bilaga bulat Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 9

97 egatar roses Stokastik ositif,, 4,... da titik-titik t < t <t <t <...<t, variabel rado : N[t,t ], N[t,t ],..., N[t -,t ] : adalah ideedet Nt t t Nt,t Nt -t Nt,t Nt -t tidak tergatug ada Nt ii Utuk sebarag t da bilaga ositif h, robabilitas dari Nt,th haa tergatug ada ajag iterval h da tidak ada t, Hoogeitas dala waktu. t t k t robabilitas baak kejadia/eristiwa ag terjadi selaa waktu t atau dala selag waktu t, t t utuk setia ilai t. iii Terdaat suatu kosta λ, sehigga robabilitas alig tidak satu kejadia dala iterval dega ajag h adalah : [Nt,th ] λh oh, h Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 94

98 egatar roses Stokastik iv robabilitas dua atau lebih kejadia ag terjadi dala iterval dega ajag h adalah Oh atau : [Nt,th ] Oh, h erhatika bahwa berdasarka i da ii, distribusi dari N[s,t] adalah saa seerti N[,t-s]. Selajuta utuk eggabarka distribusi robabilitas dari siste, cuku ditetuka robabilitas dari N[,t] utuk sebarag ilai t. Jika k t [N,t]k], aka berdasarka i - iv, k t berdistribusi oisso, aitu : λt e k t k! k λt, k,,,... Dega E[Nt] λ t Var [Nt] λ t Cotoh. Jika kedataga orag ke suatu Bak egikuti roses oisso dega rata-rata orag tia eit, aka : i robabilitas dala selag waktu ja 6 eit ada sebaak orag ag datig adalah : N6 6 e!.6 Dega Nt eataka baaka suatu eristiwa ag terjadi ada iterval waktu,t, dega kata lai Nt eataka baaka eristiwa ag terjadi selaa waktu t. ii robabilitas ada 5 orag datag dala iterval waktu..5 jika diketahui bahwa atara iterval waktu 9.. ada orag ag datag adalah : Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 95

99 egatar roses Stokastik N55 N6 N55 ; karea sifat ideedet Akibata : N55 5 e 5! 5.5 Cotoh. Kedataga elagga {t} dala sebuah swalaa diasusika egikuti roses oisso dega rate λ4 er ja. Aabila swalaa buka ukul 9. aka robabilitas teat satu elagga datag ada 9. da total 5 elagga ada. adalah. satua waktu : ja, eit ½ ja, 9.. ½ ja, aka : ½ da ½ 5 ½ da ½-½4 ½. ½-½4 4. e 4. 4 e 4.! 4. 8 e e, e 8 4! 4 Dekoosisi roses oisso Suatu iliha acak dari suatu roses oisso eghasilka roses oisso. Seadaia Ntbaaka eristiwa E ag terjadi dala iterval t, adalah roses oisso dega araeter λ. Sedagka terjadia eristiwa E aka tercatat euai robabilitas, da tercatata suatu kejadia adalah ideede dega kejadia ag lai, juga terhada Nt. Jika Mt baaka kejadia ag tercatat dala selag waktu t, aka Mt juga eruaka roses oisso dega araeter λ. Bukti : eristiwa Mt daat terjadi seerti berikut Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 96

100 egatar roses Stokastik A r eristiwa E terjadi r saai dega waktu t da teat diatara r kejadia tercatat, robabilitas setia kejadia tercatat adalah, sedag r,,,... A r eristiwa E terjadi r kali saai dega waktu t kejadia tercatat bila diketahui baaka kejadia adalah r : λt r e λt r! r q r Maka Mt A r r r λt e r r e λt r! λt λt r λt λqt!r! e λt! r r λqt r! r q r e λ t λ t! e λqt e λt q λt! e λt λt! oisso dega araeter λ. Cotoh. Seadaia baaka kelahira di suatu ruah sakit egikuti distribusi oisso dega araeter λ. Bila seorag bai aka lahir robabilitasa lakilaki adalah, aka baaka kelahira laki-laki di ruah sakit itu egikuti distribusi oisso dega araeter λ disii kejadia ag tercatat adalah kelahira laki-laki. Tetua baaka kelahira waita di ruah sakit itu egikuti distribusi oisso dega araeter λ-. Dari cotoh ii daat Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 97

101 egatar roses Stokastik ditarik kesiula secara uu jika Nt roses oisso dega araeter λ daat didekoosisi ejadi r aca roses oisso da,,..., r robabilitas edekoosisia ejadi r aca roses oisso ag ideede, aka roses oisso Nt terdekoosisi ejadi r roses oisso ag ideede dega araeter λ, λ,..., λ r, di aa... r. Cotoh. Suatu suber radioaktif eacarka artikel dega rata-rata 5 artikel ereit sesuai dega roses oisso. Tia artikel ag diacarka euai robabilitas,6 utuk dicatat. Variabel acak Nt eataka baaka artikel ag tercatat selaa selag waktu t. Tetuka robabilitas bahwa ada artikel ag tercatat sela selag waktu 4 eit! eelesaia : Diketahui :,6, t4 eit, λ 5.,6 Ditaa : N4...? N4 e λt λt k! k.4 e.4, 4! Cotoh 4. Karawa ada eerbit ajalah bagia laggaa ecatat rata-rata 6 laggaa baru/hari, da baaka laggaa baru ag edaftarka diri erhari egikuti roses oisso. Setia laggaa baru aka ejadi laggaa selaa tahu atau tahu dega robabilitas da. Jika karawa itu aka edaatka bous a ruiah utuk setia laggaa tahu da b ruiah utuk laggaa tahu, aka tetuka haraa besara bous ag aka diteria selaa selag waktu t hari? eelesaia : Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 98

102 egatar roses Stokastik Nt baak laggaa ag edaftar selaa selag waktu t Nt berdistribusi oisso dega E[Nt]λt 6t N t baak laggaa ag edaftar utuk tahu dala selag waktu t tahu N t baak laggaa ag edaftar utuk tahu dala selag waktu t tahu Sehigga terdaat hubuga NtN t N t N t egikuti roses oisso dega araeter Jadi N t euai ea EN t 4t N t euai ea EN t 6. t. Bila t besara bous ag diteria selaa selag waktu t, ii berarti : t a N t b N t Et Ea N t b N t a E[N t] b E[N t] a 4t b t 4.. Distribusi-distribusi ag Berhubuga dega roses oisso Suatu roses oisso N[s,t] eataka baaka kejadia ag terjadi dala iterval [s,t]. Sedagka roses oisso t eataka baaka kejadia ag terjadi saai waktu t. Jadi t N[,t] ag serig ditulis dega Nt. Kejadia-kejadia oisso ag terjadi ada suatu ruag daat diodelka dega baik sebagai suatu roses titik. Hal ii daat digabarka dala suatu ilustrasi berikut : Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 99

103 egatar roses Stokastik Misalka W eataka waktu eatia saai terjadia sebaak kejadia. Karea deikia, W serig disebut waktu tuggu atau waitig tie, serig ditulis W. W W W W Berikut diberika teorea ag eataka waktu tuggu W berdistribusi gaa. Teorea 4.5 Jika W eataka waktu eatia saai terjadia kejadia aka W berdistribusi Gaa dega fugsi robabilitas : f w λ t λt t e ;,,,,4,... ; t! Bukti: Kejadia W t terjadi, terdaat alig tidak kejadia dala iterval [,t]. Diketahui baaka kejadia dala iterval [,t]. Kita tahu bahwa baaka kejadia dala iterval [,t] berdistribusi oisso dega ea λt, aka distribusi kuulatif W didaat dari : Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa

104 egatar roses Stokastik F W t w t t k - λt k k e k! λt λt k e k! λt Dega ederivatifka Fw t, dieroleh fugsi robabilitas f W t f W t d F dt W t d dt k k λt e k! λt d dt d dt e e λt k λt λt k! k λt λt!! λt! λt...! λe λt λt λt!! λt! λt... e! λt λ λt λ λt λ!! λt! λt...! t λe λt λ! λt λ t e! terbukti Akibat Jika W eataka waktu eatia saai terjadia satu kejadia, aka W berdistribusi eksoesial dega fugsi robabilitas : f W t λe λ t, t Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa

105 egatar roses Stokastik Selajuta kita igi egetahui distribusi dari iterval waktu ag beruruta suatu roses oisso. Distribusi iterval ii adalah eksoesial ag secara legka diberika dala teorea berikut. Teorea 4.6 Jika S eataka variabel rado ag eataka iterval atara dua kejadia ag salig beruruta dari roses oisso, aka S berdistribusi eksoesial egatif dega fugsi robabilitas : f S s λe λ s, s > Bukti S eataka iterval waktu ag beruruta dua roses oisso. F S s S s S>s suatu eristiwa i tidak terjadi dala iterval t i, t i s jika diketahui eristiwa i terjadi ada waktu t i Ns Nt i i e -λ s, s > ersaaa terakhir eberika fugsi distribusi robabilitas S sebagai berikut : fs s d ds F s S d λs e ds λe -λ s, s> Teorea berikut eajika hubuga atara variabel rado iterval waktu beruruta suatu eristiwa A dega distribusi eristiwa A tersebut. Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa

106 egatar roses Stokastik Teorea 4.7 Jika iterval dua kejadia ag salig beruruta suatu eristiwa A adalah berdistribusi ideede idetik berua eksoesial egatif dega fugsi robabilitas : f S s λe -λ s, s> aka eristiwa A ebetuk roses oisso Bukti Karea S i eruaka iterval atara kejadia ke-i- da ke-i suatu roses oisso, aka eurut teorea 4.6 S i berdistribusi eksoesial dega fugsi robabilitas: f S s λe λ s, s > Selajuta, isalka W S i i Karea S i ideede da idetik, aka W berdistribusi Gaa dega fugsi robabilitas : λ u λu f u e, u >! ada ihak lai dieroleh : F W t W t W > t Nt < t Nt - F N - Dega F N : eataka fugsi distribusi dari N da F W eataka fugsi distribusi W. Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa

107 egatar roses Stokastik F N - F W t t λ u e du! λu λt e d Γ λt e d Γ i λt e i λt i! Akibata dieroleh hubuga : Nt F N F N - e i λt i λt i! λt - i e i λt i! e λt λt!,,,,... Jadi Nt eruaka roses oisso 4.. roses oisso No Hooge Dala roses oisso t, robabilitas dari suatu kejadia terjadi ada suatu sebarag iterval ag edek rorsioal dega kostata λ. Hal ii daat digabarka sebagai berikut : λh e [th t ]! λh λh-λh ½ λ h -... λh oh Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 4

108 egatar roses Stokastik Dala beberaa alikasi ugki robabilitas di atas tergatug ada suatu rate λ λt ag eruaka fugsi dari t. roses ag deikia ii disebut sebagai roses oisso No Hooge atau No Statioar. Jadi jika t adalah suatu roses oisso No Hooge dega rate λt, aka : i t s ag eataka baak kejadia dala suatu iterval s,t berdistribusi oisso dega araeter : t s λ udu ii Icreet dari iterval-iterval disjoit eruaka variabel rado ideedet Cotoh : Misalka diketahui eritaa ertologa dala suatu lokasi egikuti roses oisso o hooge dega fugsi rate : t ; t < λ t ; t < 4 t; t < 4 Dega t eruaka ukura dala ja dari ulai buka fasilitas tersebut. Beraa robabilitas bahwa eritaa terjadi dala dua ja ertaa oerasi, selajuta beraa robabilitas eritaa terjadi ada ja kedua? eelesaia : o ada dua ja ertaa, ilai ea µ adalah : µ t dt dt e sehigga, 4! o ada dua ja berikuta : Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 5

109 egatar roses Stokastik 4 µ 4 t dt 4t t 4 e Jadi 4-, 77! Selesaika Soal-soal berikut!. Diketahui baaka asie ag datag di ruah sakit Sehat egikuti roses oisso dega rata-rata 5 asie erhari. Sedagka baaka asie ag sebuh da eiggalka ruah sakit rata-rata orag erhari da egkuti roses oisso. Tetuka : i robabilitas baaka asie ag datag selaa 4 hari haa orag ii robabilitas bahwa baaka asie ag eiggalka ruah sakit selaa hari tidak kurag dari asie iii Jika Nt baaka asie ag belu sebuh selaa waktu t hari, aka beraakah robabilitas bahwa setelah lia hari tidak ada asie ag tiggal atau N5? iv Beraa ENt v Beraa Var [Nt]. Baaka orag ag datag di suatu toko serba ada ebetuk roses oisso dega rata-rata orag tia eit. Seseorag ag datag ria dewasa, utri dewasa atau aak-aak adalah ideedet dega robabilitas asig-asig, da. Tetuka : i ii robabilitas bahwa baaka orag ag datag di toko serba ada itu 5 ria dala selag waktu 4 eit Meurut egaata ada 5 orag ag datag di toko serba ada itu selaa selag waktu eit. Beraa robabilitasa ada orag ag datag dala selag waktu eit ertaa? Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 6

110 egatar roses Stokastik iii iv v Jika Nt baak egujug toko serba ada adalah ria atau aak-aak dala selag waktu t eit, beraa N? Seorag egujug ria aka eghabiska R., utri R. da aak-aak R 5., beraa haraa baak uag ag aka didaat toko serba ada selaa selag waktu eit? robabilitas bahwa ag datag di toko serba ada selaa selag waktu eit ada utri atau aak-aak.. Baaka kecelakaa di suatu daerah egikuti roses oisso dega rata-rata tia hari. Sedagka j adalah baaka orag ag terlibat dala kecelakaa ke-j egikuti distribusi : j k -k, k Beraa ea baak orag ag terlibat dala kecelakaa eriggu? Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 7

111 egatar roses Stokastik BAB V ROSES INUT OUTUT BIRTH DEATH ROCESSES 5. ersaaa roses Iut-Outut roses iut-outut eruaka erluasa dari roses oisso, sebagai iut isala adalah orag ag datag ke suatu siste da sebagai outut adalah orag ag telah selesai edaat elaaa dari siste tersebut. Dala roses ii, orag ag datag diasusika sesuai dega roses oisso da waktu elaaaa sesuai dega distribusi eksoesial. Beberaa sibol ag diguaka atara lai : t [Nt ] robabilitas terdaat orag dala siste ada iterval waktu t; λ arrival rate laju kedataga rata-rata bila ada orag dala siste µ dearture rate laju elaaa rata-ratabila ada orag dala siste Asusi-asusi ada roses iut-outut sesuai dega roses oisso, kecuali dala roses ii ada oututa. Asusi-asusia adalah :. [terdaat iut dala t, t t oulasi] λ t. [terdaat outut dala t, t t oulasi] µ t. [terdaat iut dala t, t t oulasi] - λ t 4. [terdaat outut dala t, t t oulasi] - µ t Dega egguaka asusi-asusi tersebut daat dibuktika bahwa roses iut-outut eeuhi siste ersaaa beda diferesial sebagai berikut : Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 8

112 egatar roses Stokastik dd tt λ dddd tt µ tt, dd tt λ dddd µ tt λ tt µ tt, Dala kodisi stead-state t aka : dd tt dddd da dd tt dddd Dieroleh : State robabilit - λλ μμ λλ λλ μμ μμ λλ λλ λλ μμ μμ μμ λλ λλ λλ μμ μμ μμ Bila diabil CC λλ λλ λλ μμ μμ μμ. aka CC ;,,, dega sarat Jadi [ CC ] sehigga CC. Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 9

113 egatar roses Stokastik 5. Siste Atria Salah satu eeraa roses iut-outut adalah siste atria. Dala siste ii laju kedataga da elaaa diagga teta. Besara-besara ag igi dihitug adalah : robabilitas terdaat orag dala siste stead state L s rata-rata elagga dala siste L q rata-rata elagga dala atria W s rata-rata waktu tuggu dala siste W q rata-rata waktu tuggu dala atria Ruus : LL ss λλww ss ; LL qq λλww qq ; λλ λλ ; 5.. Siste M/M/ Dieroleh : Dala siste ii diabil λλ λλ;,,, μμ μμ;,,, CC λλ μμ ρρ ;,,, ρρ ρρ ρρ ; ρρ LL ss ρρ λλ ρρ μμλλ LL qq λλ μμ μμλλ Cotoh A : Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa

114 egatar roses Stokastik Sebuah kliik suatu erusahaa eerkerjaka seorag dokter utuk elaai kesehata karawaa. Adaika asie ag datag ke olikliik tersebut sesuai dega roses oisso dega rata-rata 4 orag tia ja. Dokter daat elaai 5 asie tia ja adai waktu elaaa berdistribusi eksoesial. Dega egadaika erusahaa tersebut beroerasi 4 ja, hitug : a. robabilitas dokter sibuk da tidak sibuk da iterretasika hasila b. Rata-rata baak asie di kliik tersebut c. Rata-rata baak asie ag atri d. Rata-rata waktu tuggu asie e. Misal ada kerugia sebesar R,- utuk tia ja euggu tia ekerja, aka hitug rata-rata kerugia tia hari karea adaa waktu tuggu tersebut f. robabilitas terdaat lebih dari asie dala olikliik da siulka hasila g. Adaika dokter tersebut eerceat elaaaa dega 6 asie tia ja, hitug kebali oit a e! eelesaia : λ 4, µ 5, da ρ,8 a. ρρ λλ μμ,8 robabilitas dokter sibuk. Maka robabilitas dokter tidak sibuk : - ρ, b. Rata-rata baak asie di kliik : LL ss λλ 4 4 orag tia ja μμλλ 54 c. Rata-rata baak asie ag atri : LL qq λλ μμ μμλλ tia ja d. Rata-rata waktu tuggu asie: WW qq LL qq,,8 ja 48 eit λλ 4, orag Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa

115 egatar roses Stokastik e. Tia hari rata-rata ada asie. Eksektasi waktu ag hilag karea adaa waktu tuggu tersebut adalah 96,8 76,8 ja. Jadi besar kerugia karea adaa waktu tuggu tersebut adala 76,8 RRRR R. 5.6,- f. robabilitas terdaat lebih dari k orag dala siste adalah : [ > kk] ρρ kk, g. Bila λ4, µ 6; rata-rata waktu elaaa /µ /6 ja eit aka : LL qq λλ 4 6, orag μμ μμλλ 664 WW qq LL qq, ja eit λλ 4 Disii terlihat bahwa sebelu ada erubaha, rata-rata waktu elaaa adalah eit dega waktu tuggu 48 eit. Setelah erubaha keceata, rata-rata asie dilaai eit da waktu tuggu eit. Jadi egheata waktu adalah sebesar : 5 4%, sehigga 48 egheata biaa tia hari sebesar 96,4 RRRR. RRRR. 8.64, 5.. Siste M/M/K Siste atri jalur gada/ K jalur araeter roses iut-outut : λ λλ,,,,,,,,.. ;,,,, KK. KK μμ KKKK ; KK, KK,, KK CC λλ μμ! λλ μμ KK λλ KK! KKKK KK λλ μμ KK! KK λλ μμ KK!,,,,,, KK λλ μμ KK KK! λλ KK μμ KK, KK, KK, Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa

116 egatar roses Stokastik KKKK! KK KK ρρ KK!,,,,, KK, KK, KK, LL qq KK KK jj jj jj jj λλ μμ KK KK! ρρ jj LL qq KKKK ρρ KK KK! ρρ λλ μμ KK ρρ KK! ρρ WW qq LL qq λλ, WW WW qq μμ ; LL λλ WW qq μμ LL qq λλ μμ Cotoh B: Bila dari kasus ada Cotoh A, tetai di sii olikliik tersebut ditabah seorag dokter lagi, ag keahliaa saa dega dokter ertaa da daat elaai 5 asie tia ja. Jadi siste ii sesuai dega M/M/ : λ 4; µ 5; K Maka : ρρ λλ KKKK 4 5,4,8,8,8,4 Utuk,4,8,4 Utuk,4,8!, Utuk,4,8.,6 Utuk 4 4,4,84., Utuk 5 5,4,85,. Utuk > 5 diabaika Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa

117 egatar roses Stokastik Rata-rata baak asie di olikliik dihitug sebagai berikut : LL,9 LL qq,8.,8,4,5 WW qq,5 4,8 ja TT 4 4,8,65 ja sebelu 76,8 ja. Besara kerugia karea adaa waktu tuggu tersebut rata-rata adalah,65 R R 7 tia hari. Jadi ada egheata sebesar R 5.6, R 7. R 46.,- tia hari karea ada eabaha teaga dokter. Cotoh C : Adaika suatu siste S terdiri atas kooe A da B ag diasag sejajar, diaa siste berfugsi baik bila salah satu kooe tersebut berfugsi baik. A B Adaika laju kerusaka kooe A adalah λλ aa da laju kerusaka kooe B adalah λλ bb. Hitug robabilitas siste S berfugsi baik? Kooe State 4 A B B R R B B R B R Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 4

118 egatar roses Stokastik B : Baik R : Rusak Berdasarka diagra tersebut dieroleh siste ersaaa : dd tt dddd λλ aa λλ bb tt tt ee λλ aa λλ bb tt dd tt dddd λλ aa tt λλ bb tt tt ee λλ bb tt ee λλ aa λλ bb tt dd tt dddd λλ bb tt λλ aa tt tt ee λλ aa tt ee λλ aa λλ bb tt Jadi robabilitas siste S berfugsi baik adalah : [S berfugsi baik] t t t Beberaa siste lai dala siste atria diataraa : Siste M/M//K Siste M/M/S/K Siste Atria Seri Tade/Network i ii Siste Atria Seri Stasio da Kaasitas Nol Siste Atria Seri K Stasio dega Kaasitas Tak Terbatas Jurusa Mateatika, FMIA, Uiversitas Udaaa Halaa 5