ESTIMASI FUNGSI HAZARD DENGAN MENGGUNAKAN WAVELET ABSTRAK

Transkripsi

1 ESTIMASI FUNGSI HAZARD DENGAN MENGGUNAKAN WAVELET Oleh: Firiai Agusia Babag Avip Priaa Maradipura Jurusa Pedidika Maeaika FPMUPA ABSTRAK Pada akhir-akhir ii dikalaga ahli-ahli saisik sedag raai dibicaraka suau ekik baru uuk iferesi oparaerik yag dikeal dega sebua eori wavele. Pegguaa wavele dala odel regresi oparaerik elah dilakuka oleh Aoiadis (994) dega eguaka kerel wavele E (.,.). Selajuya dega eujukka bahwa esiaor wavele aalog dega esiaor dere orogoal da esiaor kerel yag sudah dikeal sera dega egguaka asusi yag saa uuk h seperi yag diguaka uuk r, Aoiadis (994) edefiisika esiaor wavele uuk fugsi hazard sebagai dega E (,s) () kz,k, k ĥ() E (, s)dĥ adalah kerel wavele yag didefiisika oleh Mayer (99). Hasil aalisis lebih laju eujukka bahwa esiaor wavele uuk fugsi hazard bersifa ĥ () ĥ() oral asioik dega raa-raa ol akbias asioik, kosise, da da varias ()w ()(). d Kaa kuci: esiaor dere orhogoal, esiaor kerel, esiaor wavele, da fugsi hazard. Pedahulua Misalka T adalah variabel rado uggal oegaif koiu pada ierval [,) yag eujukka aha hidup idividu dala suau popuasi. Jika f() da F() asig-asig adalah fugsi desias da fugsi disribusi dari T, aka fugsi hazard uuk T didefiisika sebagai F( ) F() F'() f () h() li... (.) S() S() S() dega S() = - F() adalah fugsi survival, da F(). Uuk eperoleh daa aha hidup yag erbaik dari suau populasi, dilakuka pegujia erhadap beda pada kodisi (egaga, sress) operasiya yag oral sapai seua beda ai (sapel legkap) aau pegujia diheika sebelu seua beda ai (sapel disesor). Sesor dilakuka uuk eperpedek waku aau eperkecil biaya pegujia, eruaa bagi beda-beda yag cukup hadal. Taha hidup beda yag ai diaai da diguaka uuk esiasi, isalya esiasi fugsi hazard h. Dala esiasi h, beberapa eori oparaerik berkoserasi pada fugsi hazard kuulaif (dala Ralau-Hase (983), h.455). Sebuah esiaor aleraif uuk H yag lebih baik dala apila uuk sapel berukura kecil daripada esiaor Kapla-Meier yag diperoleh dega Firiai Agusia Jurusa Pedidika Maeaika

2 egguaka eode produc lii esiasi, disebu esiaor Nelso-Aale uuk fugsi hazard kuulaif H yag diperoleh dega egguaka odel iesias uliplikaif proses eghiug. Selajuya dega egasusika bahwa odel iesias uliplikaif Aale berlaku uuk [,] sera dega egguaka fugsi-fugsi kerel uuk eperhalus esiaor Nelso-Aale uuk fugsi hazard kuulaif, Ralau-Hase (983) epelajari esiaor kerel uuk fugsi hazard. Pada akhir-akhir ii dikalaga ahli-ahli saisik sedag raai dibicaraka suau ekik baru uuk iferesi oparaerik yag dikeal dega sebua eori wavele. Pegguaa wavele dala odel regresi oparaerik elah dilakuka oleh Aoiadis (994) dega eguaka kerel wavele E (.,.) yag didefiisika oleh Mayer (99). Selajuya Aoiadis eujukka bahwa esiaor wavele aalog dega esiaor dere orogoal da esiaor kerel yag sudah dikeal. Perasalaha yag aka dikaji dala ulisa ii adalah : () bagaiaa cara egesiasi fugsi hazard dega egguaka wavele? Dega kaa lai, berdasarka esiaor kerel uuk fugsi hazard versi Ralau-Hase, aka dicari esiaor wavele uuk fugsi hazard h dega egguaka kerel wavele, sera () bagaiaa sifa-sifa dari esiaor yag diperoleh?. Ladasa Teori. Fugsi Survival, Fugsi Hazard, da Fugsi Hazard Kuulaif Misalka T adalah variabel rado uggal oegaif koiu pada ierval [,) yag eujukka aha hidup idividu dala suau popuasi. Jika f() da F() asig-asig adalah fugsi desias da fugsi disribusi dari T aka selai fugsi hazard, dala disribusi uji hidup didefiisika beberapa fugsi-fugsi beriku. Fugsi survival aau fugsi reliabilias, Fugsi hazard kuulaif S () Pr(T ) f (x)dx F()... (..) H () h(x)dx log S()... (..). Tipe-Tipe Peyesora Sesor dilakuka uuk eperpedek waku aau eperkecil biaya pegujia, eruaa bagi beda-beda yag cukup hadal. Misalka beda diuji pada kodisi (egaga, sress) operasiya yag oral, dala sesor ipe I ; pegujia aka diheika jika elah dicapai waku ereu (waku pesesora). Dala sesor ipe II, pegujia aka diheika seelah kegagala aau keaia beda ke-r (r) diperoleh..3 Sise Orooral dari Fugsi-Fugsi L (R) f : R C; f (x) dx yag dilegkapi dega hasilkali dala da ora yag didefiisika sebagai f,g f (x)g(x) dx da f f (x) dx adalah ruag Hilber. Dua fugsi f da f L (R) disebu orogoal jika f,f =. Barisa fugsi f j disebu orooral jika f i,f j = uuk seiap i, jn dega i j da f j uuk seiap jn. Selajuya Firiai Agusia Jurusa Pedidika Maeaika

3 f j disebu sise orooral legkap (CONS) jika f j orooral da fugsi yag orogoal pada seiap f j hayalah fugsi ol. Sera f j disebu basis orooral uuk L (R) jika f j sise orooral legkap (CONS)..4 Teori Wavele Ogde (997) edefiisika sebuah wavele sebagai suau fugsi gelobag (wavy fucio) yag disederhaaka da dikosruksi dega hai-hai sehigga eiliki sifa-sifa aeaika yag dapa dipercaya. Ide dari pegkoruksia wavele adalah bagaiaa eilih suau fugsi uggal (yag disebu wavele) keudia dibeuk keluarga fugsi j,k yag diperoleh dega cara edelasi da eraslasi sehigga aka didapa basis di L (R). Dega kaa lai j,k ebagu L (R) da seiap fl (R) dapa diyaaka sebagai kobiasi liear dari j,k. Suau fugsi L (R) disebu wavele orogoal jika keluarga fugsi j,k yag didefiisika sebagai j,k (x) = j ( j x-k) erupaka basis orooral uuk L (R). Keluarga ruag bagia eruup V j : jz dari L (R) yag eeuhi sifa : iklusi, aksialias, desii, skala, da basis disebu Aalisis Muliresolusi (AMR) pada L (R). Sedagka yag eeuhi sifa basis disebu fugsi skala pada AMR. Akibaya jika j,k (x) = j ( j x-k), j,kz aka uuk seiap jz, j,k (x); kz erupaka basis orooral uuk V j. Jika j,k (x) = j ( j x-k) dega j,kz aka j,k : j,kz erupaka basis orooral uuk L (R)..5 Kerel Wavele E (.,.) Misalka hl (R) da V j adalah subruag eruup dari L (R). Proyeksi dari h pada V j dapa diuliska sebagai h E (h)(u) c (u..(.5.) dega c h, h(v) j,k j,k R j,k (v) dv j j,k j,k ) kz Misalka diperkealka proyekor yag berhubuga dega iegral kerel, yaiu h E j(h)(u) E j(u, v)h(v) dv...(.5.) yag juga eyaaka proyeksi dari h pada V j. Dari (.5.) da (.5.) diperoleh E (u,v) (u) (v...(.5.3) j j,k j,k ) kz yaiu sebuah fugsi yag didefiisika oleh Mayer (99) sebagai kerel wavele. Karea j,k (u) = j ( j u - k) da j,k (v) = j ( j v - k) aka kerel wavele (.5.3) dapa diyaaka dala beuk j j j j (u, v) ( u k) ( v k) kz R E...(.5.4).6 Proses Meghiug (Couig Process) Proses eghiug adalah suau pedekaa aleraif uuk egebagka prosedur iferesi daa uji hidup ersesor. Dala proses eghiug didefiisika proses iesias uuk proses eghiug; proses iesias kuulaif; arigale proses eghiug; arigale uu; sera iegral sokasik..7 Model Iesias Muliplikaif Aale Model iesias uliplikaif proses eghiug diberika oleh Firiai Agusia Jurusa Pedidika Maeaika 3

4 () = h()y(), uuk [,]... (.7.) dega h(.) adalah fugsi osokasik ak dikeahui, disebu fugsi iesias (fugsi hazard) Y(.) adalah proses sokasik erobservasi. Jika diguaka eori-eori iegral sokasik, arigale da proses eghiug aka berdasarka odel (.7.) aka diperoleh : Esiaor Nelso-Aale uuk H(), yaiu J Ĥ () dn... (.7.) Y Iegral sokasik uuk proses J(u)Y(u) yag dapa diraalka berkeaa dega suau arigale, yaiu J W () dm... (.7.3) Y W() juga arigale. Besara rado uuk daa ersesor yag saa dega H() dala suau rage diaa daa diperoleh dega egabaika W(), yaiu * H () d... (.7.4) Jh Perlu dicaa bahwa H() adalah esiaor oparaerik uuk besara rado H*(). 3. Esiasi Fugsi Hazard dega Megguaka Fugsi Kerel Uuk eecahka asalah peraa, dilakuka dega epelajari hasil pekerjaa Aale (978) yag eujukka bahwa esiasi h uuk daa uji hidup ersesor dapa digabarka dala suau koeks iferesi uuk suau odel iesias uliplikaif proses eghiug (N) yag diberika oleh () = h()y() (3.) dega Y() adalah proses sokasik erobservasi. Berdasarka odel (3.), Aale eperoleh esiaor fugsi hazard kuulaif H yag selajuya disebu esiaor Nelso-Aale. Esiaor ii erupaka peyepuraa uuk esiaor fugsi hazard kuulaif yag dieuka oleh Nelso dala koek reliabilias yag lebih baik peapilaya uuk sapel berukura kecil daripada esiaor yag diperoleh dega egguaka eode Kapla-Meier (produc lii esiaor). Seelah epelajari esiaor Nelso-Aale, keudia dilajuka dega epelajari esiaor kerel uuk fugsi hazard versi Ralau-Hase. Berdasarka esiaor Nelso-Aale da erasforasika waku-waku kegagala aau keaia kedala ierval saua [,], Ralau- Hase (983), eeuka suau eode esiasi fugsi hazard proses eghiug dega egguaka fugsi-fugsi kerel, yaiu s ĥ () K dĥ (3.) b b dega K(.) adalah fugsi ebaas dega iegral b adalah sebuah paraeer posiif (badwidh) J Ĥ () dn adalah esiaor Nelso-Aale uuk H (3.3) Y 4. Esiasi Fugsi Hazard dega Megguaka Wavele Firiai Agusia Jurusa Pedidika Maeaika 4

5 Sebelu eperoleh esiaor wavele uuk fugsi hazard, perlu dipelajari lebih dahulu kerel-wavele E J (.,.) yag didefisika oleh Mayer (99), yaiu E (u,v) (u) (v (4.) j j,k j,k ) kz dega j,k (x) = j ( j x - k), kz adalah fugsi skala yag didilasi da diraslasi uuk keluarga wavele ereu. Teryaa, kerel-wavele ersebu dapa diguaka uuk egesiasi fugsi regresi r yag diyaaka dala odel regresi oparaerik sadar. Seelah epelajari hubuga aara esiaor dere orogoal, esiaor kerel, da esiaor wavele uuk r, dikeahui bahwa esiaor wavele aalog dega esiaor dere orogoal da esiaor kerel yag sudah dikeal. Hubuga aara keiga esiaor ersebu elah dipelajari oleh Aoiadis(994) da Ogde (997). Berdasarka keyaaa bahwa esiaor dere orogoal wavele ekuivale dega esiaor kerel berdasarka wavele, sera dega egguaka asusi-asusi yag saa pada fugsi hazard h seperi yag diguaka pada fugsi regresi oparaerik r, Aoiadis (994) edefiisika esiaor kerel uuk fugsi hazard versi Ralau-Hase (983) dala kerelwavele, yaiu sebagai beriku. Defiisi 4. Misalka E (.,.) adalah kerel-wavele, yaiu proyeksi dari fugsi hazard h pada subruag V dari L (R). Berdasarka esiaor kerel uuk fugsi hazard versi Ralau-Hase, esiaor wavele uuk fugsi hazard didefiisika sebagai ĥ () E (, s)dh... (4.) Jika diberika suau barisa proses eghiug diesi sau apabila populasi yag dipelajari erdiri dari idividu N () dega seiap proses iesiasya berbeuk () = h()y () aka barisa dari esiaor wavele yag berkorespodesi diyaaka dega h (), yaiu ĥ () E (,s)dh... (4.3) dega J Ĥ () dn... (4.4) Y adalah esiaor Nelso-Aale uuk fugsi hazard kuulaif H () da J = I(Y ) da Y () I(T,T C... (4.5) 5. Sifa-sifa Esiaor Wavele uuk Fugsi Hazard j j j) j Sifa-sifa dari esiaor wavele uuk fugsi hazard disajika dala beuk eoreaeorea beriku. Teorea 5. Misalka didefiisika Sup E J s uuk fugsi hazard h() aka bias dari h() diyaaka sebagai dega E. Jika ĥ () E(,s)dĤ adalah esiaor wavele ĥ() h()... (5.) Firiai Agusia Jurusa Pedidika Maeaika 5

6 ( ) -, jika 3 O( ) =, jika = 3 (5.) /, jika 3 Dari eorea 5. diperoleh sifa peraa dari esiaor wavele uuk fugsi hazard, yaiu akbias asiois. Teorea 5. Misalka h d () = h( () ) adalah suau aproksiasi uuk h berdasarka pada ilai-ilai h pada iik-iik diadik berordo. Jika () E(J ()Y ()) () secara seraga dala persekiara dari da () h da koiu pada iik, aka MSE dari h d () dapa diyaaka sebagai h() E ĥ d () h() w (5.3) () dega E,sds w (5.4) k kz Dari eorea 5. diperoleh sifa kedua dari esiaor wavele uuk fugsi hazard, yaiu kosise. Teorea 5.3 Jika () E(J ()Y ()) () secara seraga dala persekiara dari da () h da koiu pada iik, aka ĥ d h() adalah oral asioik dega ea da varias h()w () bila -, -, da = o().... (4.8) Dari eorea 4.3 diperoleh sifa kedua dari esiaor wavele uuk fugsi hazard, yaiu oral asioik. DAFTAR PUSTAKA Aale, O. O. (978). Noparaeric Iferece for a Faily of Couig Processes. The Aal of Saisics, 6, 7-76 Aoiadis, A., Gregoire, G., Mc.Keague, W. (994). Waveles Mehods for Curve Esiaio. Joural of he Aerica Saisical Associaio, Dec, Vol.84, No.48, Bai, L. J. (99). Iroducio o Probabiliy ad Maheaical Saisics. Belo, Califoria : Duxbury Press. Bruce, A., Gao, H. Y. (996). Applied Wavele Aalysis wih S-Plus. New York: Spriger - Verlag. Chui, K. (99). A Iroducio o Wavele. Boso : Acadeic Press, Ic. Cox, D. R., Oakes, D. (99). Aalysis of Survival Daa. New York : Chapa & Hall. Eubak, R. L. (988). Splie Soohig ad Noparaeric Regressio. New York: Marcel Dekker.Ic. Gupa, V. P. (986). Lebesgue Measure ad Iegraio. New Delhi : Wiley Easer Liied. Hardle, W. (99). Soohig Techiques wih Ipleeaio i S. New York: Spriger- Verlag. Issogi, E. (99). Noparaeric Esiaio of a Regressi Fucio by Dela Sequeces. A. Is. Sais. Mah., 4, Firiai Agusia Jurusa Pedidika Maeaika 6

7 Kaiser, G. (994). A Friedly Guide o Waveles. Boso : Birkhauser. Klei, J. P., Moeschberger, M. L. (997). Survival Aalysis: Techiques for Cesored ad Trucaed Daa. New York : Spriger-Verlag. Lawless, J. F. (98). Saisical Models ad Mehod for Life Tie Daa. New York: Joh Willey & Sos. Lipser, R. Sh., Shiryayev, A. N. (98). A Fucioal Ceral Lii Theore for Seiarigaes. Theor. Probab. Appl. 5, 4, Malla, S. (989). Muliresoluio Approxiaios ad Wavele Orhooral Bases of L (R). Trasacios of he Aerica Maheaical Sociey, 35, MahSof. (993). User s Maual S-Plus, versio 3.. Seale : Sa Sci, a diviio of MahSof, Ic. Mayer, Y. (99). Odelees e Operaeurs I: Odelees. Paris : Hera. Ogde, T.R. (997). Essesial Waveles for Saisical Applicaio ad Daa Aalysis. Boso : Birkhauser. Ralau-Hase, H. (983). Soohig Couig Processes by Mea of Kerel Fucio. The Aals of Saisics,, Schoburg, B. (99). O he Approxiaio of he Dela Disribuio i Sobolev Spaces of Negaive Order. Applicable Aalysis, 36, Serflig, R.J. (99). Approxiaio Theores of Maheaical Saisics. New York: Joh Willey & Sos. Soejoei, Z. (996). Suau Sudi Teag Uji Hidup Dipercepa Tegaga Berigka : Perkebaga Muakhir. Meda: Makalah pada Kofresi Maeaika IX. Firiai Agusia Jurusa Pedidika Maeaika 7