Bab 4. Sistem Persamaan Linier dan Variabel. Standar Kompetensi

Transkripsi

1 Bab 4 Sistem Persamaan Linier dan Variabel Standar Kompetensi Memahami sistem persamaan linear dua variabel, dan menggunakanna dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar.1 Menelesaikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV). Membuat model matematika dari masalah ang berkaitan dengan sitem persamaan linear dua variabel. Menelesaikan model matematika dari masalah ang berkaitan dengan sstem persamaan linear dua variabel dan penafsiranna.

2 4.1 Persamaan Linier Dua Variabel Apa ang akan kamu pelajari? Pengertian persamaan liner dua variabel Menatakan suatu pernataan dalam persamaan linier dengan dua variabel, dan sebalikna. Kata Kunci: persamaan linier satu variabel. Persamaan linier dua variabel. variabel. Masih ingatkah kamu tentang persamaan linier satu variabel? Jika tidak, sebaikna kamu pelajari kembali. Pemahaman tentang persamaan linier satu variabel diperlukan untuk dapat memahami materi pada Bab 4 ini dengan baik. A Mengingat Kembali Persamaan Linier dengan Satu Variabel Sebelumna kamu telah mempelajari persamaan linier dengan satu variable, bukan? Perhatikan masalah matematika berikut. Ida dan Dani adalah dua kakak beradik. Saat ini umur Ida 8 tahun lebih tua daripada umur Dani. Hari ini Dani genap berusia 5 tahun. Berapakah umur Ida saat ini? Apa ang kalian ketahui tentang umur Ida? Ya, dia 8 tahun lebih tua dari Dani adikna. Kalau kita misalkan umur Ida tahun, apa ang kita peroleh? - 8 umur Dani Jadi bila hari ini Dani berulangtahun ang ke 5, maka Dengan demikian, hari ini Ida berumur 1 tahun. Coba selesaikan soal berikut. Ibu membeli roti kaleng.ternata uang ibu kurang. Rp18.000,00. Ibu minta kekuranganna pada Aah. Setelah diberikan pada Ibu, sisa uang aah sama dengan dua kali haega roti. Harga roti Rp48.000,00. Berapa uang aah mula-mula? 90 Bab. 4 Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

3 Latihan 4.1A 1. Diketahui persamaan-persamaan: a. 5 b. p - p 9 c. k 5k d. - 6 e. 10p 15q 100 Sebutkan manakah ang merupakan persamaan linier dengan satu variabel? Ubahlah pertanaan-pertanaan berikut dalam persamaan linier dengan satu variabel, dan tentukan penelesaianna.. Kelereng Budi 7 buah lebih banak dibandingkan kelereng Ahmad. Kelereng Budi sebanak 0 buah. Berapa banakna kelereng Ahmad?. Banak buku Reni 1 buah kurangna dari buku Salsa. Banakna buku Reni 14 buah. Berapa banak buku Salsa. Sumber : Sumber : 4. Pak Ali puna 500 ekor angsa. Beliau menjual beberapa ekor angsa ang sudah tua. Setelah dijual tinggal 74 ekor. Berapa ekor angsa ang dijual? 5. Bu Rita membeli butir telur aam kampung. Jika Bu Rita membaar dengan uang Rp5.000,00 maka uang pengembalianna Rp.00,00. Berapa harga 1 butir telur aam kampung? 6. Keliling sebuah persegi 0 cm. Berapa senti meter panjang sisina? 7. Harga kg apel dan kg jeruk adalah Rp8.000,00. Jika harga 1 kg jeruk Rp7.000,00. Berapa harga 1 kg apel? Sumber : Matematika SMP Kelas VIII 91

4 B Pengertian Persamaan Linier dengan Dua Variabel Perhatikan permasalahan berikut. Fia bermaksud membeli buah jeruk dan buah apel. Dia merencanakan membeli sebanak 10 biji buah. Berapa banakna masing-masing buah apel dan buah jeruk ang mungkin dibeli oleh Fia? Lengkapilah tabel berikut ang menunjukkan kemungkinan jawabanna. Jeruk Apel Persamaan ang menggambarkan berapa banak masingmasing buah ang dibeli Fia adalah: 10 mewakili banakna jeruk mewakili banakna apel banakna buah ang dibeli Tabel di atas menunjukkan banak buah ang mungkin di beli oleh Fia. Dia bisa membeli 10 apel semua, atau 8 apel dan jeruk, atau ang lainna. Banak apel dan jeruk dapat bervariasi. Bila mewakili jeruk dan mewakilik apel. Maka berapa banak masing-masing Fia ang dibeli Fia dapat dituliskan sebagai persamaan linier dua variabel dan. Dari persamaan linier dua variabel 10, kamu dapat menatakan variabel dalam variabel, aitu Bab. 4 Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

5 Coba natakan variabel dalam variabel! Beberapa contoh persamaan linier dengan dua variabel antara lain: p - q 5 k l 0 Carilah contoh persamaan linier dengan dua variabel ang lain! Natakan sebuah variabel dalam variabel ang lain pada contoh-contoh persamaan linier dua variabel ang kamu berikan! Sekarang perhatikan pernataan berikut. Ani membeli dua buah buku dan tiga pensil. Harga seluruhna Rp.000,00. Ubahlah pernataan di atas dalam kalimat matematika! Coba berikan beberapa contoh permasalahan lain ang dapat dinatakan dengan persamaan linier dengan dua variabel, dan natakan persamaanna! Latihan 4.1B 1. Diketahui persamaan-persamaan: a. 5 b. p q 9 c. k 5m d e f. 0 5 Manakah ang merupakan persamaan linier dengan dua variabel? Ubahlah pernataan-pernataan berikut dalam persamaan linier dengan dua variabel.. Keliling sebuah persegipanjang adalah 84 cm.. Seorang pedagang telah menjual kg beras dan 8 kg gula. Uang ang diterimana Rp ,00. Matematika SMP Kelas VIII 9

6 4. Pak Budi membeli kg cat tembok dan 1 kg cat kau. Harga seluruhna Rp50.000,00 5. Keliling sebuah segitiga samakaki adalah 78 cm. 6. Jumlah kelereng Budi dan Adi adalah 4 butir. Untuk soal nomor 7 s.d. 10, buatlah soal cerita ang sesuai dengan persamaan ang diberikan p q p - q Untuk soal nomor 7 s.d. 10, natakan sebuah variabel dalam variabel ang lain dalam persamaan tersebut. 94 Bab. 4 Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

7 4. Sistem Persamaan Linier Dua Variabel Apa ang akan kamu pelajari? Perbedaan persama-an linier dua variabel (PLDV) dan sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV). Mengenali SPLDV dalam berbagai bentuk dan variabel. Membedakan akar dan bukan akar PLDV dan SPLDV. Menjelaskan arti kata dan pada solusi SPLDV. Menentukan penelesaian SPLDV dengan substitusi, eleminasi dan grafik. Kata Kunci: Sistem persamaan linear dua variabel. Metode grafik. Metode Substitusi Metode Eleminasi Pergi Ke Toko Cat Pak Budi dan Pak Ahmad pergi ke toko bangunan bersama-sama. Pak Budi membeli 1 kg cat kau dan kg cat tembok dengan harga seluruhna Rp ,00. Sedangkan Pak Ahmad membeli kg cat kau dan kg cat tembok dengan harga seluruhna Rp ,00. Sementara itu Pak Ali menginginkan membeli kg cat kau dan 5 kg cat tembok. Berapa rupiah Pak Ali harus membaar? Berapa orang ang membeli cat? Berapa jenis cat ang dibeli mereka? Sekarang mari kita tabelkan persoalan tersebut. Nama Jenis Cat Uang Pembeli Tembok Kau Pembaaran P Budi Kg 1 Kg Rp P Ahmad Kg Kg RP Apabila harga cat tembok perkilo adalah T rupiah dan cat kau adalah K rupiah, maka data-data tabel tersebut dapat kita tuliskan kembali menjadi bentuk aljabar sebagai berikut. Berapa harga cat? Dari persoalan pembelian cat tersebut dapat dinatakan sebagai T 1 K T K Berapa nilai T dan K ang memenuhi bentuk aljabar tersebut? Perhatikan harga cat ang dibeli oleh P.Budi. Matematika SMP Kelas VIII 95

8 Contoh 1 Pak Budi membaar T dan 1 K seharga Dengan demikian harga 1 K sama dengan dikurangi dengan harga T (kenapa?). Kita tuliskan K T Perhatikan harga cat ang dibeli oleh P Ahmad. Pak Ahmad selain membaar T juga membeli K berarti K ( T ) (dari mana?) T. Dengan demikian T K T T (dari mana?) - T T (kenapa?) T (kenapa?) T (dari mana?) Jadi harga cat tembok perkilogram adalah Rp Sekarang berapa K? K adalah K T Jadi harga cat kau perkilogram adalah Rp ,00. Coba kamu periksa apakah harga-harga cat ini sesuai dengan data pembelanjaan Pak Budi dan Pak Ahmad? Bentuk aljabar ang memenuhi pembelanjaan Pak Budi adalah persamaan linear variabel. Demikian juga untuk Pak Ahmad. Harga masing-masing jenis cat ang dibeli Pak Budi dan Pak Ahmad bernilai sama. Jadi dua persamaan linear variabel ang dihasilkan saling terkait (istilahna simultan). Dua persamaan linear variabel ang saling terkait dinamakan sistem persamaan linear variabel atau secara singkat sistem persamaan linear. Misalkan diberikan sistem persamaan linear berikut Bab. 4 Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

9 Natakan apakah pasangan berurutan (, 5) merupakan penelesaian sistem? Jawab: Substitusikan pasangan berurutan (,5) pada masing-masing persamaan. 9 4 () 5 9 4() (benar) (benar) Apakah kesimpulanmu? Soal 1 Natakan apakah (1,0) adalah penelesaian dari sistem persamaan linear - 4 dan 5. A Metode Grafik Ingat harga cat ang dibaar oleh Pak Budi dan Pak Ahmad? Ya harga cat memenuhi sistem persamaan linear variabel berikut Perhatikan bahwa persamaan ang dihadapi oleh Pak Budi berbentuk persamaan linear demikian juga ang dihadapi Pak Ahmad. Ingat pelajaran terdahulu, persamaan linear berarti persamaan untuk garis lurus. Dengan demikian bila kita natakan masing-masing persamaan tersebut dalam koordinat Cartesius, apa ang kamu peroleh? Matematika SMP Kelas VIII 97

10 Kedua garis saling berpotongan (kenapa?) pada satu titik (0000,10000) Dengan demikian harga harga 1 kg cat kau.. rupiah harga 1 kg cat tembok.. rupiah. Dengan demikian Pak Budi harus membaar kg cat tembok dan 1 kg cat kau sebesar : { (..) 5(..) } rupiah.. rupiah. Contoh Tentukan penelesaian sistem persamaan linear 6 dan - - dengan metode grafik. Jawab: Gambarlah grafik masing-masing persamaan pada salib sumbu ang sama, aitu : 98 Bab. 4 Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

11 Kedua garis tersebut berpotongan di titik (0,). Jadi (0,) adalah satu-satuna penelesaian dari sistem persamaan linear dengan dua peubah tersebut. Atau dengan kata lain (0, ) merupakan akar dari sistem persamaan linear dua variabel. Soal Selesaikan sistem persamaan linear 1 dan - 4 dengan metode grafik. Soal Selesaikan sistem persamaan linear - 4 dan dengan metode grafik. Soal 4 Carilah dua bilangan ang memiliki jumlah 6 dan selisihna 4. Natakan masalah ini dalam suatu sistem persamaan. Matematika SMP Kelas VIII 99

12 Latihan 4..a 1. Dengan kertas berpetak tentukan penelesaian dari setiap sistem persamaan linear berikut. a. 1 dan - 7 b. - dan - 7. Natakan apakah setiap pasangan terurut bilangan berikut ini merupakan penelesaian dari sistem persamaan linear: a. - 8 b. - 0 c (,-1) (,1) (1,1). Dengan menggunakan kertas berpetak, selesaikan masing-masing sistem persamaan linear berikut dengan metode grafik. Periksalah setiap penelesaian ang kamu peroleh. a. b c. d Natakan dalam suatu persamaan linear, kemudian carilah penelesaianna. a. Jumlah dua bilangan adalah 19 dan selisihna 5. Bilangan-bilangan berapakah itu? b. Jumlah dua bilangan 10. Dua kali bilangan ang besar dikurangi tiga kali bilangan ang kecil adalah 5. Bilangan-bilangan berapakah itu? B Metode Eliminasi Perhatikan koefisien-koefisien variabel dan dari sistem persamaan linear berikut Bab. 4 Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

13 Koefisien variabel adalah 1 untuk persamaan pertama dan 4 untuk persamaan kedua. Sekarang, marilah kita samakan koefisien dari kedua persamaan Sekarang kedua koefisien sudah sama, atau persamaan tersebut dapat dituliskan Apa artina? Artina, kita dapat menggunakan salah satu atau 4 5. Oleh karena itu 5 1-4, (kenapa?) atau Selanjutna karena 1, maka atau. Sekarang mari kita sederhanakan langkah-langkah di atas. Kita mulai dari penamaan koefisien Apabila kita lakukan penamaan koefisien variabel, kita peroleh Jadi penelesaianna adalah dan 1 dan himpunan penelesaianna adalah {(, 1)}. Ujilah jawaban ini. Ingat! Langkah ang dilakukan dalam menelesaikan sistem persamaan linier diatas disebut dengan metode eliminasi Matematika SMP Kelas VIII 101

14 Soal 5 Selesaikan sistem persamaan linear 1 7 dengan metode eliminasi. Soal 6 Selesaikan sistem persamaan linear 7 1 dengan metode eliminasi. Latihan 4..b Dengan menggunakan metode eliminasi, selidiki apakah pasangan bilangan berurutan berikut merupakan atau tidak merupakan penelesaian dari sistem persamaan linear berikut ini (,-1) ( 7, ) (, ) Tentukan himpunan penelesaian dari sistem-sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Bab. 4 Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

15 C Metode Substitusi Contoh 4 Cara lain penelesaian sistem persamaan linear adalah dengan metode substitusi. Substitusi artina mengganti, aitu menggantikan variabel ang kita pilih pada persamaan pertama dan digunakan untuk mengganti variabel sejenis pada persamaan kedua. Contoh 4 Selesaikan sistem persamaan linear 1 1 dengan metode substitusi. Jawab: Persamaan pertama 1 dapat diubah menjadi 1 -. Selanjutna pada persamaan kedua 1, variabel diganti dengan 1 -, sehingga persamaan kedua menjadi: (1 - ) Selanjutna 7 disubstitusikan dalam persamaan pertama, aitu: Jadi himpunan penelesaian sistem persamaan 1 dan 1 adalah { (5, 7) }. Matematika SMP Kelas VIII 10

16 104 Bab. 4 Sistem Persamaan Linier Dua Variabel Selesaikan sistem persamaan linier q p q p dengan metode substitusi. Selesaikan sistem persamaan linear a b b a dengan metode substitusi. Untuk soal nomor 1 sampai dengan, selidiki apakah pasangan bilangan berurutan berikut merupakan penelesaian dari sistem persamaan linear berikut ini atau tidak (-1, ) (-, -) ( -7,-) Tentukan himpunan penelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan metode substitusi (untuk soal nomor 4 s.d 10) Harga 6 ekor kambing dan 4 ekor sapi adalah Rp ,00. Harga 8 ekor kambing dan ekor sapi adalah Rp ,00. Berapa harga 1 ekor kambing, dan berapa harga 1 ekor sapi? Soal 7 Soal 8 Sumber : Rohadi.files.wordpress.com Latihan 4..c

17 11. Ani membeli 4 buah buku dan 5 buah bolpoin seharga Rp4.000,00. Ida membeli 6 buah buku dan buah bolpoin seharga Rp7.00,00. Tentukan harga buah buku dan 5 buah bolpoin! 1. Dua buah sudut dari suatu segitiga saling berkomplemen. Sudut ang satu 8 lebih besar dari sudut ang lain. Tentukan besar ketiga sudut dari segitiga tersebut. Matematika SMP Kelas VIII 105

18 Refleksi Setelah mempelajari Bab 4 coba kamu ingat, adakah bagian ang belum kamu fahami? Jika ada, coba pelajari kembali atau diskusikan dengan temanmu! Buatlah rangkuman tentang apa ang telah kamu fahami dan catatlah hal-hal ang sulit kamu fahami. Coba kamu jelaskan bagaimana cara menelesaikan sistem persamaan linier dua variabel dengan cara grafik, eliminasi dan substitusi. Pada saat pembelajaran apakah kamu merasakan tidak senang karena takut, jemu, sulit memahami atukah merasakan senang? Sampaikan hal itu kepada Bapak/Ibu guru. Rangkuman 1. Ada tiga cara untuk menelesaikan sistem persamaan linier dua variabel aitu cara grafik, cara eliminasi dan cara substitusi.. Penelesian sistem persamaan linier dua variabel pada cara grafik adalah perpotongan dua garis. Cara eliminasi dilakukan dengan mengeliminir (menghilangkan) salah satu variabel secara bergantian. 4. Cara substitusi dilakukan dengan menatakan salah satu variabel dalam variabel ang lain kemudian memasukkanna (mensubstitusikan) pada persamaan ang lain. 106 Bab. 4 Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

19 Evaluasi Bab 4 1. Jumlah dua bilangan dua kurangna dari hasil kalina. Jika bilangan itu dan, maka kalimat itu dapat ditulis dengan... a.. b.. c.. d... Berikut ini ang merupakan persamaan linier dua variabel adalah... a. t 5 8t 6 b. 6 t t 7 c. 7 d. w t w 6w. Jika t m, maka 7 m t... a. 11m 5 b. m 6 c. m 6 d. 11 m 6 4. Penelesaian dari sistem persamaan adalah... a. 1; b. 1; c. ; 1 d. 1 ; 5. Berikut ini ang merupakan persamaan linier satu variabel adalah... a b. 6t t c. z 5 4z d. 6 4 t Untuk soal nomor 6 sampai 10 kerjakan disertai dengan langkah-langkahna. 6. Seorang pedagang beras pada suatu pagi berhasil menju-al 80 kg beras dan 1 kg beras ketan. Uang ang diteri-mana Rp4.000,00. Keesokan harina dia berhasil menjual 0 kg beras dan 0 kg beras ketan. Uang ang diterima sebesar Rp0.000,00. Dengan harga berapa ia menjual 1 kg beras dan 1 kg beras ketan? 7. Tentukan penelesaian dari setiap sistem a. 4s t 18 0 s 4t 6 0 b. 6m n m n 19 Matematika SMP Kelas VIII 107

20 8. Pemecahan Masalah. Jumlah dua buah bilangan. Dua kali bilangan pertama ditambah tiga kali bilangan kedua adalah 84. Bilanganbilangan manakah itu? 9. Pemecahan Masalah. Jumlah dua buah bilangan 67 dan selisihna 1. bilangan-bilangan manakah itu? 10. Dua buah sudut saling bersuplemen. Sudut ang satu 74 lebih besar dari sudut ang lain. Tentukan besar kedua sudut tersebut. 108 Bab. 4 Sistem Persamaan Linier Dua Variabel