PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - II

Transkripsi

1 PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - II c. Metoda Persamaan Differensial Pasti (Exact) Pada kalkulus bahwa jika suatu fungsi u(x,y) mempunyai turunan parsial yang sifatnya kontinyu, turunan pasti atau total adalah : du = u u dx + x y dy Dari turunan total ini mengatakan jika u(x,y) = c = kontan, maka du = 0. Untuk contoh, jika u = x + x 2 y 3 = c, maka du = 1 + 2xy 3 dx + 3x 2 y 2 dy = 0 Atau y = 1 + 2xy3 3x 2 y 2 1

2 Suatu persamaan differensial yang mana kita dapat menyelesaikannya dengan bergerak kebelakang. Suatu persamaan differensial orde satu dengan bentuk : M x, y dx + N x, y dy = 0 (1) Dikatakan pasti jika sisi sebelah kirinya adalah turunan total atau yang bersifat pasti: du = u u dx + x y dy (2) Dari beberapa fungsi u(x,y). Maka PD dapat ditulis du = 0 Dengan integrasi, kita mendapatkan penyelesaian yang bersifat umum dalam bentuk : u(x,y) = c (3) Dengan membandingkan 2 persamaan diatas ((1) dan (2)), kita melihat bahwa persamaan (1) bersifat pasti jika ada beberapa fungsi u(x,y) sehingga : u x = M, a u = N (b) (4) y Seandainya bahwa M dan N terdefinisi dan turunan pertama parsial yang bersifat kontinyu dalam suatu daerah bidang x-y yang mana mempunyai batas suatu kurva tertutup tidak mempunyai perpotongan. 2

3 Maka daripersamaan (4): M y = 2 u y x N x = 2 u x y Dengan asumsi kekontinuan dua turunan keduanya adalah sama : M = N y x (5) Kondisi ini sifatnya tidak hanya perlu tetapi juga mencukupi untuk Mdx + Ndy untuk menjadi turunan yang sifatnya pasti. Jika persamaan (1) sifatnya adalah pasti, fungsi u(x,y) dapat diperoleh dengan menduga atau dalam dalam cara yang sistematik berikut : Dari (4.a) dengan mengintegrasikan thd x kita mempunyai : u(x,y)= Mdx + k(y) (6) 3

4 Dalam integrasi ini, y dipandang sebagai suatu konstanta k(y) menentukan nilai konstanta dari proses integrasi. Untuk menentukan k(y), kita menurunkan u dari persamaan (6) y menggunakan persamaan (4.b) untuk mendapatkan dk/dy, dan mengintegrasikan dk/dy untuk mendapatkan k. Formula (6) telah diperoleh dari (4.b). Kemudian menggantikan (6) kita mempunyai : u(x,y)= Ndy + l(x) (6*) Untuk menentukan l(x) kita menurunkan u dari (6*), menggunakan (4.a) x untuk mendapatkan dl/dx, dan mengintegrasikan. Selesaikan : x 3 + 3xy 2 dx + 3x 2 y + y 3 dy = 0 (7) Penyelesaian : Tahap 1. menguji untuk kepastian. Persamaan tersebut adalah dalam bentuk persamaan (1) dengan : M = x 3 + 3xy 2, N = 3x 2 y + y 3 maka M N = 6xy, y x = 6xy Dari persamaan ini dan persamaan (5), kita melihat bahwa persamaan (7) bersifat pasti Contoh 4

5 Tahap 2. Penyelesaian implisit. Dari persamaan (6): u = Mdx + k y = x 3 + 3xy 2 dx + k y = 1 4 x x2 y 2 + k(y) (8) Untuk mendapatkan k(y), kita menurunkan formula ini terhadap y dan dengan menggunakan formula (4.b), mendapatkan : u y = 3x2 y + dk dy = N = 3x2 y + y 3 Maka dk/dy = y 3, sehingga k = persamaan (8) y c. Dengan menyisipkan nilai dalam u x, y = 1 4 x4 + 6x 2 y 2 + y 4 + c Tahap 3. Pengujian. Perlu diingat bahwa metoda ini memberikan solusi dalam bentuk implisit, u(x,y) = c, tidak dalam bentuk explisit, y = f(x). Untuk menguji, kita dapat menurunkan u(x,y)=c secara implisit dan melihat apakah penurunan ini menghasilkan dy = M atau M dx + N dy = 0. dx N Dalam kasus ini, dengan mendifferensiasikan persamaan (9) secara implisit terhadap x, kita mendapatkan : 1 4 4x3 + 12xy x 2 yy + 4y 3 y = 0 Dengan mengelompokan komponen-komponennya, kita melihat bahwa ini sama dengan M + Ny = 0 dengan M dan N seperti pada persamaan (7) 5

6 Selesaikan PDB berikut Contoh sinx coshy dx cosx sinhy dy = 0 (10) IC : y(0) = 0 Penyelesaian : Kita dapat memverifikasikan bahwa persamaan adalah bersifat pasti. Dari persamaan (6), kita mendapatkan : u = sinx coshy dx + k y = cosx coshy + k y. Dari hasil ini, u dk = cosx sinhy +. y dy. Maka dk/dy = 0, dan k = konstanta. Penyelesaian umum adalah : u = konstanta, yang mana, cosxcoshy = c. Kondisi awal memberikan cos0 cosh0 =1 = c. Maka jawabnya adalah y = 1 Pengujian. (cosx coshy) = -sinx coshy + cosx (sinhy)y = 0 yang mana memberikan persamaan (10) 6

7 d. Metoda Faktor Pengintegrasi Kadang-kadang mempunyai suatu persamaan : P x, y dx + Q x, y dy = 0 (1) Yang sifatnya tidak pasti, tetapi jika mengalikannya dengan suatu fungsi yang sesuai F(x,y), persamaan baru FPdx + FQdy =0 (2) Adalah bersifat pasti, dapat diselesaikan dengan metoda sebelumnya. Fungsi F(x,y) disebut dengan faktor pengintegrasi dari persamaan (1) Contoh 1. Tunjukan bahwa PDB : ydx xdy = 0 adalah tidak bersifat pasti, tetapi mempunyai faktor pengintegrasi, dengan nama F = 1 x2. Kita mendapatkan persamaan yang bersifat pasti. FP dx + FQ dy = ydx xdy x 2 = d y x = 0 Penyelesaiannya adalah : y x = c 7

8 Fungsi adalah fungsi garis lurus y = cx melalui titik (0,0). Faktor-faktor pengintegrasi yang lain adalah : 1 y 2, 1 xy, 1 x 2 + y 2 karena ydx xdy y 2 = d x y, ydx xdy xy = d ln x y, ydx xdy x 2 + y 2 = d arc tan y x Contoh 3. Verifikasi bahwaf(x) = x 3 adalah suatu faktor pengintegrasi dari PDB berikut : 2 sin y 2 dx + xy cos y 2 dy = 0 Dan kemudian dapatkan penyelesaian umum. Penyelesaian : Perkalikan denganf(x) = x 3 memberikan persaman baru : 2 x 3 sin y 2 dx + x 4 y cos y 2 dy = 0 Persamaan ini adalah persamaan yang sifatnya pasti karena : 8

9 y 2x3 sin y 2 = 4x 3 y cos y 2 = x x4 y cos y 2 Kita menyelesaikan persamaan ini dengan metoda exact untuk memperoleh x 4 sin y 2 = c = konstan Bagaimana Mendapatkan faktor Pengintegrasi Dalam kasus-kasus yang lebih sederhana, faktor pengintegrasi dapat diperoleh dengan pemeriksaan atau mungkin setelah beberapa percobaan. Dalam kasus yang umum, idenya adalah sebagaiberikut : Persamaan (2) adalahmdx + Ndy = 0 dengan M = FP, N = FQ, dan adalah bersifat pasti oleh definisi dari faktor pengintegrasi. Maka kriteria kepastian yang ditulis dalam bab sebelumnya sekarang dapat dituliskan sbb : 9

10 y FP = x FQ (5) Yang mana dapat dituliskan : F y P + FP y = F x Q + FQ x Maka kita melihat bahwa faktor pengitegrasi bergantung hanya pada 1 variabel, bila F = F(x). Maka F y = 0 dan F x = F = df/dx, sehingga persamaan (5) menjadi : FP y = F x Q + FQ x Dengan membaginya dengan FQ kita mendapatkan : 1 F df dx = 1 Q P Q y x (6) Teori 1. FaktorPengintegrasi F(x) Jika persamaan (1) adalah seperti pada sisi kanan dari persamaan (6), menyebutnya R, hanya bergantung pada x, maka persamaan (1) mempunyai suatu faktor pengintegrasi F = F(x), yang mana diperoleh dengan mengintegrasikan pers (6) dan menjadikan exponen pada kedua sisinya. 10

11 lanjutan F x = exp R x dx (7) Dengan cara yang sama jika F = F(y), maka menggantikan pers (6) kita mendapatkan : 1 F df dy = 1 P Q x P y Teori 2. Faktor Pengintegasi F(y) Jika persamaan (1) adalah seperti sisi kanan dari persamaan (8) hanya bergantung pada y, maka persamaan (1) mempunyai faktor pengintegrasi F = F(y), yang mana diperoleh dari persamaan (8) dalam bentuk (8) F y = exp R y dy (9) Contoh 3. Selesaikan PDB berikut dengan teori 1. PDB : 2 sin y 2 dx + xy cos y 2 dy = 0 Penyelesaian : Kita mempunyai P = 2 sin y 2, Q = xy cos y 2, maka dalam pers (6) pada sisi kanan adalah 1 R = xy cos y 2 4y cos y 2 y cos y 2 = 3 x Maka : F x = exp 3 x dx = x3 11

12 Contoh 4.Aplikasiteori 1 dan 2 Selesaikan PDB dengan kondisi awal berikut : 2xydx + 4y + 3x 2 dy = 0 y(0.2) = -1.5 Penyelesaian : Disini P = 2xy, Q = 4y + 3x 2, Persamaan adalah tidak bersifat pasti, sisi kanan persamaan (6) bergantung pada x dan y, tetapi sisi kanan dari persamaan (8) adalah : R = 1 2xy 6x 2x = 2 y maka F(y) = y2. Adalah suatu faktor pengintegrasi persamaan (9) Perkalian dengan y 2 memberikan persamaan yang bersifat pasti. 2xy 3 dx + 4y 3 + 3x 2 y 2 dy = 0 Yang mana kita dapat menuliskan sebagai : 4y 3 dy + 2xy 3 dx + 3x 2 y 2 dy = 0 Dan menyelesaikannya dengan pemeriksaan atau dengan metoda dalam bagian sebelumnya untuk mendapatkan y 4 + x 2 y 3 = c dari persamaan ini kita memperoleh : y 4 + x 2 y 3 =