PENDUGA RATAAN GEOMETRIK PADA SAMPEL HIMPUNAN TERURUT UNTUK DISTRIBUSI NORMAL

Transkripsi

1 JURNAL GANTANG Vol. III No., Maret 208 p-issn , e-issn Tersedia Olie di: ttp://ojs.umra.ac.id/idex.pp/gatag/idex PENDUGA RATAAN GEOMETRIK PADA SAMPEL HIMPUNAN TERURUT UNTUK DISTRIBUSI NORMAL Sukma Adi Perdaa Uiversitas Maritim Raja Ali Haji 208 Abstrak Pada kajia ii, dikembagka sebua estimator atau peduga utuk rataa geometrik pada desai sampel impua terurut. Sampel impua terurut adala sekolompok uit sampel yag diambil dari populasi dimaa aggota populasiya diurutka sebelumya berdasarka variabel tertetu yag memiliki korelasi yag kuat dega populasi yag dibicaraka sebelum pegukura yag yata teradap aggota populasi yag dibicaraka dimaa al ii aka meguragi biaya da waktu perituga. Kajia dilakuka utuk megivestigasi bias da efisiesi relatif dari peduga rataa geometrik yag dikembagka da perbadiga efisiesi relatif dilakuka utuk data dari populasi yag berdistribusi ormal. Hasil kajia meujukka peduga pada sampel impua terurut megugguli peduga pada sampel acak sederaa. Kata kuci: Sampel Himpua Terurut, Sampel Acak Sederaa, Rataa Geometrik, Efisiesi Relatif Abstract I tis study, a estimator for geometric mea of populatio i raked set samplig desig is developed. Raked set samplig is a set of samplig uits wic is draw from populatio tat ca be raked by usig aoter certai mea witout te actual measuremet of te variable of iterest wic is to measure tis variable is more costly ad time cosumig. Te study ivestigates te bias ad relative efficiecy of te proposed estimator ad te efficiecy compariso is made for ormal distributio. It is sow tat te ew estimators out perform its competitor i te literature. Keywords: Raked Set Samplig, Simple Radom Samplig, Geometric Mea, Relative Efficiecy I. Pedaulua Sala satu teori samplig yag merupaka bagia dari statistika adala memastika bawa data sampel memag mewakili populasi yag diamati. Usaa dalam memastika al ii megaraka ke beberapa metode yag diguaka dalam pegambila data sampel. Data sampel adala impua bagia dari populasi yag diambil dega tujua utuk megestimasi parameter dari populasi. Sampel acak sederaa adala sala satu metode yag diguaka dalam pegambila data sampel, 9

2 JURNAL GANTANG. Maret 208; III(): 9 5 p-issn e-issn amu metode ii relatif tidak mecakup populasi secara peu. Hal ii petig karea kekuraga dari sampel acak sederaa ii dapat meguragi keakurata dari peduga dalam meduga parameter populasi. Utuk meyikapi masala tersebut ada metode alteratif yag dapat diguaka dalam pegambila data sampel yaitu sampel impua terurut. Rataa geometrik adala sala satu perituga yag dapat diguaka sebagai ilai tega dari variabel acak di dalam keidupa yata. Sebagai coto, estimasi tigkat pertumbua yag aka datag di dalam bidag ekoomi (Spizma, 2008), mejelaska tetag kosetrasi bakteri fecal coliform utuk kualitas air, da utuk megevaluasi ivestmet returs da tigkat fluktuasi buga. Mempertimbagka keguaa dari sampel impua terurut yag mampu meigkatka akurasi dari peduga dalam meduga parameter serta aplikasi dari rataa geometrik maka perlu dilakuka sebua peelitia utuk peduga rataa geometrik pada sampel impua terurut, seigga tujua dari peelitia ii adala utuk megealka peduga utuk rataa geometrik pada sampel impua terurut serta melakuka evaluasi teradap peduga yag diusulka dega meelaa bias da efisiesi relatif dari peduga yag diusulka pada sekelompok data yag memiliki populasi yag berdistribusi ormal. Seperti diketaui bersama bawa sampel adala sebagia aggota dari popolasi yag dimbil utuk mewakili populasi berkaita dega proses pedugaa parameter populasi. Sala satu desai sampel yag serig diguaka adala sampel acak sederaa. Sampel acak sederaa adala desai sampel yag diguaka utuk memperole data uit sampel dari N data uit populasi seiagga setiap kombiasi ( N ) dari data sampel tertetu memiliki kesempata atau peluag yag sama utuk dipili (Cocra, 977). Wolfe (202) memberika defiisi bawa sampel acak sederaa dari data yag berasal distribusi peluag tertetu dega fugsi kepadata peluag f(x) da fugsi kumulatif peluag F(x) adala kumpula dari variabel acak X,, X yag memeui dua properti sebagai berikut: (i) Setiap X i, i =,, memiliki distribusi peluag yag sama. (ii) N variabel acak X,, X adala salig bebas. Peduga dari rataa aritmatik pada sampel acak sederaa diotasika x seperti pada persamaa berikut: x = x i...() da Varias dari peduga dapat diitug dega persamaa berikut: V(x ) = s2 (N )...(2) N Dimaa s 2 = (x i x ) 2...(3) Da dapat dibuktika bawa peduga x adala peduga yag tidak bias dari μ seperti yag dijelaska sebagai berikut: E(x ) = E ( x i ) = E(x i) = μ = μ = μ Setela kita memaami sampel acak sederaa selajutya didiskusika megeai sampel impua terurut. Dari (Ce, Bai, ad Sia, 2003), betuk asli dari Sampel Himpua Terurut yag disusulka ole McItyre dapat dideskripsika sebagai berikut. Pertama, pili sampel berukura uit dega sampel acak sederaa dari populasi da uit sampel tersebut diurut meurut cocomitat variable dari X, tapa pegukura aktual dari X. Da kemudia, uruta pertama dari uit ii diidetifikasi da diambil utuk perituga X. Sisa uit dari sampel yag diambil tadi lalu dibuag. Selajutya, proses sama yag lai dilakuka da lagi uit-uit dari sampel diurut dega Cocomitat variable dari X, uit uruta kedua diambil utuk perituga dari X da sisa uit dibuag. Proses ii dilakuka sebayak kali da aka didapat uit sampel sebayak uit. Lagka ii disebut sebagai satu siklus 0

3 Perdaa: Peduga Rataa Geometrik (2) sampel impua terurut. Siklus ii dapat diulag sebayak c kali da aka megasilka uit sampel sebayak = c. uit. Proses dari sampel impua terurut dapat diilustrasika pada gambar. Selajutya aka dibuktika jika μ pada sampel impua terurut adala peduga yag tidak bias utuk meduga μ dari populasi sebagaimaa proses di bawa ii. c E(μ ) = E ( X c [i]j ) j= c = E(X c [i]j ) j= = E(X [i]) = { x! (i )! ( i)! [F(x)]i [ F(x)] i f(x)dx} = { x ( )! (i )! (( ) (i ))! [F(x)]i [ F(x)] i f(x)dx} = { x ( i ) [F(x)]i [ F(x)] i f(x)dx} Gambar. Proses Sampel Himpua Terurut Peduga dari rataa aritmatik pada sampel impua terurut yag diotasika μ RSS dapat diliat pada persamaa 4 da varias dari peduga dapat diliat pada persamaa 5. ˆ RSS Var Dimaa c X i j i c j i X i (4) 2 Var( X ) i (5) 2 i X i j adala variabel X setela ˆ RSS X i diurutka, adala rataa X diatara siklus, da adala parameter rataa. = xf(x){ ( i ) [F(x)] i [ jika F(x)] i }dx Karea diketaui dari distribusi biomial { ( i ) [F(x)] i [ F(x)] i } = Seigga terbukti bawa μ merupaka peduga yag tidak bias dari µ atau E(μ ) = xf(x)dx = µ

4 JURNAL GANTANG. Maret 208; III(): 9 5 p-issn e-issn Misra da Gupta (200) meyataka bawa terdapat kodisi dimaa geometrik mea lebi sesuai diguaka dari pada aritmatic mea, cotoya adala data dega distribusi mirig ke kaa atau distribusi dega kemiriga positif. Geometrik mea secara spesifik dapat diguaka sebagai ilai tega pada rata-rata rasio, persetase da tigkat perubaa dalam satu periode dibadigka dega dega periode laiya. Meurut defiisi secara matematik, geometrik mea adala akar ke dari produk perkalia bilaga. Geometrik mea dari N uit dari populasi data dapat diitug dega persamaa berikut. N G = X. X 2 X N..(6) impua terurut dilakuka dega Matlab. Detil keteraga megeai proses simulasi dijelaska sebagai berikut:. Dibagkitka data bivariat dari data yag berdistribusi ormal dega koefisie korelasi ρ = 0.5, 0.75, 0.9,. 2. Setela data diperole, data disimulasi kali utuk metode sampel acak sederaa da sampel impua terurut utuk setiap kombiasi, = c., dimaa bayak siklis ( c ) = 2, 4, 0 da bayak impua ( ) = 3, 4, Setela data sampel dari rataa geometrik didapat utuk setiap kombiasi siklis da impua, stadar deviasi utuk setiap rataa yag diasilka diitug satu persatu. 4. Utuk megitug Mea Square Error (MSE), maka diguaka persamaa 8. Peduga dari rataa geometrik pada sampel impua terurut dapat diliat pada persamaa 7. X GRSS. c c X j i (7) i j Dimaa X GRSS adala peduga dari rataa geometrik pada sampel impua terurut, c adala ukura siklis da adala ukura impua yag diambil. II. Metode Peelitia Bukti empiris dari efisisesi peduga yag dibagu dilakuka dega simulasi. Bias da relatif efisiesi dari peduga diamati da dilakuka pegamata utuk data yag berdistribusi ormal. Proses simulasi dilakuka dega megguka matlab. Pembagkita data da perituga dari rataa geometrik, rataa aritmatika, da juga perituga stadar deviasi utuk sampel acak sederaa maupu sampel MSE = bias 2 + variace.(8) 5. Setela MSE dari setiap kombiasi siklis da impua didapatka, MSE diguaka utuk megitug Efisiesi Relatif (RE) dega persamaa 9. RE GM = MSE SRS GM MSE RSSGM....(9) III. Hasil da Pembaasa Hasil dari proses simulasi diimpu pada tabel efisesi relatif pada tabel da tabel bias pada tabel 2. Lalu ilai dari efisiesi relatif juga digambarka pada gambar 2. Pada tabel megeai asil perituga efisie relatif, diberika iformasi asil efisiesi relatif dari empat kelompok korelasi yaitu 0.5, 0.75, 0.9, da. Dimaa pada masig-masig kelompok korelasi tersebut dipisaka juga dega berbagai kategori meurut ukura impua da siklus impua ya. Siklus yag diguaka adala 2, 6, da 0 serta masigmasig siklus mempuyai ukura impua sebesar 2, 3, da 5. 2

5 Perdaa: Peduga Rataa Geometrik (2) Tabel. Nilai dari efisiesi relatif atau RE Sedagka distribusi ormal dapat terliat pada gambar di bawa ii. Gambar 2. Grafik perbadiga efisiesi relatif Tabel 2. Nilai bias dari asil simulasi Normal (20,6) ρ c AM GM E-06.23E E E E E-05.84E E E E E E E E E E E E E-06.73E E E E E E E E E E E-04.69E E E E E E E E E E E E E E E-05.26E E E E E-05.99E E E E E E E E E E-05 3

6 JURNAL GANTANG. Maret 208; III(): 9 5 p-issn e-issn Pada tabel da gambar 2 terdapat iformasi megeai efisiesi relatif dari asil simulasi data yag memiliki distribusi ormal. Berdasarka tabel da gambar, terliat bawa setiap ilai dari efisiesi relatif adala besar dari. Dimaa utuk ilai korelasi atara variabel Populasi da variabel pedampig sebesar 0.5 maka asil maksimal efisie relatif adala.888 utuk peduga rataa aritmatik da.206 utuk peduga rataa geometrik ya. Lalu utuk ilai korelasi atara variabel. Populasi da variabel pedampig sebesar 0.75 maka asil maksimal efisie relatif adala utuk peduga rataa aritmatik da.552 utuk peduga rataa geometrik ya. Serta Utuk ilai korelasi atara variabel. Populasi da variabel pedampig sebesar 0.9 maka asil maksimal efisie relatif adala utuk peduga rataa aritmatik da utuk peduga rataa geometrikya. Selajutya utuk ilai korelasi atara variabel Populasi da variabel pedampig sebesar maka asil maksimal efisie relatif adala 4.79 utuk peduga rataa aritmatik da 2.57 utuk peduga rataa geometrik ya. Ii megidikasika bawa peduga dega sampel impua terurut lebi efisie dari peduga dega megguaka sampel acak sederaa. Pada gambar 2 juga terliat bawa ketika ilai dari koefisie korelasi ditigkatka maka ilai dari efisiesi relatif juga meigkat seigga dapat dikataka koefisie korelasi mempegarui ilai dari efisiesi relatif. Dari gambar juga dapat diidikasika bawa ukura impua mempegarui efisiesi relatif, artiya semaki besar ukura impua maka semaki besar juga efisiesi relatifya. Pada tabel 2 terdapat ilai-ilai bias dari asil proses simulasi. Dari tabel 2 tersebut dapat diliat jika ilai bias utuk setiap kombiasi sagat kecil sekali baik utuk rataa aritmatika maupu utuk rataa geometrikya. Ii meujukka bawa peduga yag diguaka efektif dalam pedugaa parameter populasi. IV. Peutup Pada peelitia ii peduga yag dibagu utuk rataa geometrik pada sampel impua terurut ditujukka dega persamaa 4 da tela dilakuka evaluasi teradap peduga tersebut dega megguaka simulasi komputer utuk data yag berdistribusi ormal. Berdasarka dari asil simulasi, pedugaa rataa geometrik dega megguaka sampel impua terurut memberika efisiesi yag lebi baik dibadigka dega sampel acak sederaa utuk data dari populasi yag berdistribusi ormal. Lalu dapat juga disimpulka bawa efisiesi relatif aka meigkat jika ilai korelasi atara variabel populasi da variabel pedampig ditigkatka. Ii berarti korelasi secara sigifika mempegarui asil efisiesi relatif. Peduga rataa geometrik pada sampel impua terurut dapat disimpulka sebagai peduga yag tidak bias utuk data populasi yag meyebar pada distribusi ormal. Referesi Ce, Z., Bai, Z., & Sia, B. K. (2003). Raked set samplig, teory ad applicatios. New York: Spriger. Cocra, W. G. (977). Samplig teciques. Massacusetts: Jo Wiley & So. Dell, T. R., Clutter, J. L. (972). Raked set samplig teory wit order statistics backgroud. Biometrics, 28, Misra, S., & Gupta, R. K. (200).Estimatio of geometric mea of skewed populatios wit ad witout usig auxiliary iformatio. Joural of Probability ad Statistical Studies, 3(2), Sceaffer, R. L., Medeall. W., & Ott. L. (990). Elemetary survey samplig. Califoria: Duxbury Press. Spizma, L. (2008). A ote o utilizig te geometric mea: we, wy ad ow te foresic ecoomist sould employ te geometric mea. Joural of Legal Ecoomics, 5(),

7 Perdaa: Peduga Rataa Geometrik (2) Wolfe, D. N. (202). Raked set samplig; its relevace ad impact o statictical iferece. Iteratioal Scolarly Researc Network, 202(202). Retrieved April 4, 204, from ttp:// 2/568385/. 5

8 JURNAL GANTANG. Maret 208; III(): 9 5 p-issn e-issn