Modifikasi Statistik Uji-T pada Test Inferensia Mean Mereduksi Pengaruh Keasimetrikan Populasi Menggunakan Ekspansi Cornish-Fisher

Transkripsi

1 Statistika, Vol. No., 97 0 Nopember 0 Modifikasi Statistik Uji-T pada Test Iferesia Mea Mereduksi Pegaruh Keasimetrika Populasi Megguaka Ekspasi Corish-Fisher Joko Riyoo Staf.Pegajar Fakultas Tekologi Idustri Uiversitas Trisakti Jakarta (Kampus A Jl.Kiyai Tapa No.,Jakarta0) ABSTRACT This article cosiders a procedure that reduces the effect of populatio skewess o the distributio of the variabel-t so that tests about the mea ca be more correctly computed with a modificatio of the t variabel.a modificatio of the t variabel is obtaied usig the Corish-Fisher expasio. Key Words:Skewess,t variable,corish-fisher expasio. ABSTRAK Paper ii membahas suatu prosedur yag meguragi pegaruh kemiriga dari populasi pada distribusi studet-t sehigga uji iferesi mea dapat terhitug lebih baik dega suatu modifikasi variable studet-t.modifikasi dari variabel studet-t diperoleh megguaka ekspasi Corish-Fisher. Kata Kuci :Kemiriga,Variabel studet-t,ekspasi Corish-Fisher.. PENDAHULUAN. Dalam Statistik iferesia mea satu populasi serig dipakai statistik : T Y ( S / ) / utuk meguji hipotesa: Ho : versus satu dari tiga kemugkia alteratif yaitu : () H 0 () H > 0 () H < 0 Dega asumsi : (i) Yi berdistribusi idepede (ii) Populasi berdistribusi ormal Hasil dalam teori statistik yag cukup baik dibuat oleh studet (908) bahwa T t(-) adalah distribusi studet t dega derajat kebebasa (-). Dega asumsi di atas, dipuyai uji pada level α : utuk Ho : vs H : 0 tolak Ho jika TC > t α / utuk Ho : vs H : > 0 tolak Ho jika TC > t α utuk Ho : vs H : < 0 tolak Ho jika TC < - t α dega TC Y o ( S / ) / 97

2 98 Joko Riyoo Tetapi jika asusmsi kedua tak terpeuhi yaitu populasi tidak berdistribusi ormal, Cicchitelli (989) dega studi Mote Carlo medapatka bahwa kemiriga populasi mempegaruhi statistik T di atas sehigga kita tidak dapat medekatiya dega distribusi studet t(-) apalagi jika ukura sampel kecil.johso (978) telah membuat modifikasi dari statistik T di atas utuk meguragi pegaruh kemiriga populasi terhadap statistik T tersebut.dalam tulisa ii aka dibahas modifikasi statistik T tersebut megguaka ekspasi Corish-Fisher.. EKSPANSI CORNISH-FISHER Adaika diberika Y,Y,...,Y adalah sampel radom dari suatu distribusi G dega mea, variasi da,,... masig-masig adalah mome cetral ketiga, keempat,... dari G. Utuk sebarag variabel radom Y dega distribusi G, betuk ekspasi Corish-Fisher diberika dega : CF() Y ( )... 6 dimaa adalah variabel ormal stadar. Karea Var( ) Y Sehigga : ( ) CF Y da (.) ( ) Y E( Y ) ( ) E Y i i EY ( i ) i O ( )... (.) 6 Dari ekspasi di atas dapat dicatat bahwa kemiriga populasi adalah koefisie dari suku ( -) serta tampak dalam suku-suku lai tetapi dega order yag lebih kecil. Kuci dalam medapatka modifikasi variabel T dalam pedekata Johso adalah megelimiasi suku yag melibatka dalam variabel T pembagu yag diberika pada bagia bawah berikut: Diberika variabel T pembagu TJ ( Y ) λ γ ( Y ) S...(.) λ dalam TJ dipilih sehigga suku kosta dalam ekspasi Corish-Fisher dari TJ berjumlah ol sehigga bias order yag lebih redah terelemiasi γ dipilih sehigga koefesie dari suku dalam ekspasi Corish-Fisher dari TJ adalah ol (dega demikia megelimiasi pagaruh kemiriga order yag lebih redah). Dapat ditujukka bahwa γ da λ sebagai berikut : Karea : Es ( ) da var( S ) ( ) var( S )... Statistika, Vol., No., Nopember 0

3 Modifikasi Statistik Uji-T pada sehigga ekspasi Corish-Fisher dari Y da S, suku-suku lebih tiggi diabaika adalah : ( ) ( ) CF Y CF(S ) 6 dimaa da adalah variabel radom ormal stadar. Gatika ilai Y da S dalam (.) dega ekspasiya, maka dega pegabaia suku O( - ), ekspasi Corish-Fisher dari TJ adalah : γ CF( TJ) λ γ 6 dega da * variabel radom ormal stadar yag idepede. * Bukti : S TJ ( Y ) ( Y ) λ γ Y S ( Y ) S.!... Statistika, Vol., No., Nopember 0

4 00 Joko Riyoo sehigga: γ CF( TJ) γ γ γ γ γ γ λ !... γ CF( TJ) γ γ γ γ γ λ 6 6 γ.!... γ λ CF( TJ) 6 6 γ Tulis ρ * dimaa ρ adalah kolerasi atara X da S da * adalah variabel radom ormal idepede terhadap. ρ ( ) sehigga : [ ( )] { } γ λ CF( TJ) 6 6 γ CF( TJ) λ 6 6 Dega meyeleksi γ da λ sehigga koefesie dari adalah ol juga suku kosta berjumlah ol, ekspresi hasil aka meguragi bias, didapat : γ λ Statistika, Vol., No., Nopember 0

5 Modifikasi Statistik Uji-T pada... 0 γ 6 γ γ γ γ da 6 λ 6 λ λ Jadi CF( TJ) O ( ) K u O - ( ) ( ) 6 da TJ ( Y ) ( Y )...(.) S...(.5) Terlihat bahwa TJ yag diberika oleh (.5) tidak dapat dihitug dega H :, karea da biasaya tidak diketahui. Johso meyaraka meggati da dega estimasi ( ) sampel $ Y Y i da variasi sampel S i. Ekspasi Corish-Fisher masih (.) Utuk cotoh pegguaaya uji hipotesis H0 : melawa satu dari tiga alteratif kemugkia, maka dipuyai uji level α sebagai berikut : TT : utuk H0 : vs H : 0, tolak H0 jika TJH > t α /....(.6) TU : utuk H0 : vs H : > 0, tolak H0 jika TJH > t α.... (.7) Tl : utuk H0 : vs H : < 0, tolak H0 jika TJH < -t α.... (.8) dimaa TJH ( Y ) $ /( 6s ) ( $ /( s) )( Y ) 0 s da t α otasi bagia atas 00α titik persetil dari distribusi t dega derajat bebas (-). (.9) Statistika, Vol., No., Nopember 0

6 0 Joko Riyoo. KESIMPULAN Dari uraia di atas terlihat bahwa statistik: TJ pembagu: S ( Y ) ( Y ) 6 ( Y ) λ γ ( Y ) TJ S yag diperoleh melalui statistik T Dega meyeleksi γ da λ sehigga koefesie dari & suku kosta pada ekspasi Corish-Fisher ya berjumlah ol, ekspresi hasil aka meguragi bias. DAFTAR PUSTAKA []. Bejamii,Y(98), Is T-Test Really Coservative whe the Paret Distributio is Log- Tailed,J.Am.Statist.Assoc.,78, []. Dudewicz,E.j&Mishra,S.N.(988),Moder Mathematical Statistics,Joh Wiley& Sos. []. Hall,P.(99),The Bootstrap ad Edgeworth Expasio,Spiger-Verlag Ic. New York. []. Lehma,E.L.(98),Theory of Poit Estimatio,Joh Wiley & Sos. [5]. Johso,Norma J.(978), Modified t Test ad Cofidece Itervals for Asymmetrical Populatios,J.Am.Statist.Assoc.,7,56-5. [6]. Wallace,DavidL.(958), Asymptotic Approximatios to Distributios, Aals of Mathematical Statistics,9, Statistika, Vol., No., Nopember 0