TRANSFORMASI FOURIER DAN TRANSFORMASI FOURIER QUATERNION

Transkripsi

1 TANSFOMASI FOUIE DAN TANSFOMASI FOUIE QUATENION Muh. Irwan i Muhammad idwan ii i Prodi Matematika, UIN Alauddin, muhirwan@uin-alauddin.ac.id ii Prodi Matematika, UIN Alauddin, muhammadridwan@uin-alauddin.ac.id ABSTAK, pada paper ini menjelaskan transformasi Fourier baik yang bernilai real maupun yang bernilai quaternion. Perbedaan mendasarnya terletak pada kernel transformasi, dimana pada transformasi Fourier quaternion dibedakan menjadi tiga jenis, yaitu sisi kiri, sisi kanan dan dua sisi. Adapun sifat-sifat yang dibuktikan seperti pergeseran, modulasi, pengskalaan dan lain-lain (TFQ sisi kanan). Kata Kunci: Transformasi Fourier, Transformasi Fourier Quaternion 1. PENDAHULUAN Salah satu perluasan dari bilangan quaternion adalah transformasi Fourier quaternion (TFQ). Transformasi Fourier quaternion memiliki peranan penting dalam berbagai bidang ilmu. Diantaranya, pada bidang komputer grafik, komputer vision, kompressi data, pemrosesan gambar, fisika dan analisis pewarnaan gambar [1],[2],[6],[7]. Berdasarkan letak kernelnya, TFQ dibedakan menjadi tiga tipe, yaitu tipe I TFQ (dua sisi), tipe II TFQ (sisi kiri) dan tipe III TFQ (sisi kanan). Adanya tiga tipe TFQ disebabkan karena sifat yang nonkomutatif terhadap operasi perkalian yang merupakan sifat dasar dari bilangan quaternion. Beberapa penelitian telah dilakukan terhadap TFQ diantaranya, Implementasi TFQ dari konvolusi dan Korelasi pada kompleks 2-D FFT [7], prinsip ketidakpastian untuk TFQ sisi kanan [3], prinsip ketidakpastian Heisenberg untuk TFQ dua sisi [8], transformasi kanonikal linear quaternion satu sisi [6], transformasi Fourier quaternion pada lapangan quaternion dan perluasannya [4], dan korelasi untuk TFQ tipe dua [2]. Pada penelitian ini, akan diperkenalkan transformasi Fourier quaternion dua sisi dengan beberapa teorema yang berkaitan dengan sifatsifatnya. 2. TINJAUANPUSTAKA Bilangan Quaternion Himpunan bilangan quaternion dituliskan dengan simbol H sebagai penghargaan bagi Sir William oman Hamilton, dimana elemenelemen dari bilangan quaternion merupakan kombinasi linear dari bilangan skalar riil dan tiga bagian imajiner ii, jj dan kk yang dituliskan sebagai H = {qq = qq 0 + iiqq 1 + jjqq 2 + kkqq 3 qq 0, qq 1, qq 2, qq 3 }. Jika qq 2 dan qq 3 bernilai nol maka persamaan (2.4) merupakan suatu bilangan kompleks. Sedangkan jika qq 0 = qq 1 = qq 2 = qq 3 = 0, maka persamaan (2.4) merupakan elemen identitas penjumlahan quaternion. Jika qq 0, qq 1 = qq 2 = qq 3 = 0 maka persamaan (2.4) disebut elemen identitas perkalian quaternion (J.P. Morais, dkk. 2012). Selanjutnya, persamaan (2.4) dapat dituliskan menjadi qq = SSSS(qq) + qq Dalam hal ini SSSS(qq) = qq 0 adalah bagian skalar dari qq, dan qq = iiqq 1 + jjqq 2 + kkqq 3 sebagai bagian vektor (vector part) dari qq. Perkalian elemenelemen dari suatu bilangan quaternion berdasarkan aturan Hamilton dapat dituliskan sebagai ii 2 = jj 2 = kk 2 = iiiiii = 1 jjjj = kkkk = ii, iiii = jjjj = kk jjjj = kkkk = ii. Dapat diperhatikan bahwa operasi penjumlahan dan pengurangan quaternion dilakukan seperti pada operasi penjumlahan dan pengurangan suku banyak. Jika pp, qq H dengan pp = pp 0 + iipp 1 + jjpp 2 + kkpp 3 dan qq = qq 0 + iiqq 1 + jjqq 2 + kkqq 3 dimana pp 0, pp 1, pp 2, pp 3, qq 0, qq 1, qq 2, qq 3 maka 43

2 JUNAL MSA VOL. 5 NO. 2 ED. JULI - DESEMBE017 pp + qq = (pp 0 + qq 0 ) + ii(pp 1 + qq 1 ) + jj(pp 2 + qq 2 ) + kk(pp 3 + qq 3 ). Dengan cara yang sama, operasi pengurangan pada bilangan quaternion pp qq = (pp 0 qq 0 ) + ii(pp 1 qq 1 ) + jj(pp 2 qq 2 ) + kk(pp 3 qq 3 ). Selanjutnya, operasi perkalian pp dan qq dilakukan berdasarkan perkalian polinom yaitu pppp = pp 0 qq 0 pp. qq + pp 0 qq + qq 0 pp + pp qq, dimana pp. qq = (pp 1 qq 1 + pp 2 qq 2 + pp 3 qq 3 ) adalah hasil kali titik (dot product) dan pp qq = ii(pp 2 qq 3 pp 3 qq 2 ) + jj(pp 1 qq 3 pp 3 qq 1 ) + kk(pp 1 qq 2 pp 2 qq 1 ). Hasil perkalian pppp dengan qqqq tidak selalu sama, ini karena perkalian silang dari pp dan qq tidak komutatif. Sehingga dapat dikatakan bahwa pppp = qqqq jika dan hanya jika pp 0 = qq 0 dan pp = qq. Definisi 2.2. Untuk sebarang pp H dengan pp = pp 0 + iipp 1 + jjpp 2 + kkpp 3 dimana pp 0, pp 1, pp 2, pp 3, konjugasi dari pp adalah pp = pp 0 + iipp 1 + jjpp 2 + kkpp 3 = pp 0 iipp 1 jjpp 2 kkpp 3. Dan modulo p dituliskan dengan p dan didefinisikan sebagai pp = pp pp pp pp 3 2 uang LL 11 () dan LL 22 () Sebelum mendefinisikan transformasi Fourier dan membuktikan beberapa sifat-sifatnya, terlebih dahulu akan dibahas tentang fungsi yang terdefinisi pada. Misalkan ff terintegralkan pada, maka ruang LL 1 = LL 1 () sebagai semua ruang fungsi ff yang terintegralkan mutlak pada, yaitu LL 1 = ff ff(xx) <. uang LL 1 dilengkapi dengan norm 1 yang dirumuskan [4], ff 1 = ff(xx) dddd. Selanjutnya, didefinisikan juga untuk ruang LL 2 () sebagai ruang fungsi ff yang kuadratnya terintegralkan [4],, LL 2 = ff ff(xx) 2 <. uang LL 2 dilengkapi dengan norm 2 yang dirumuskan [4], ff 2 = ff(xx) 2 dddd 1/2 Perlu diperhatikan bahwa tidak semua ff LL 1 juga ff LL POSEDU PENELITIAN Penulisan paper ini digunakan dengan langkahlangkah sebagai berikut: a. Mendefinisikan transformasi Fourier b. Menguraikan sifat-sifat transformasi Fourier c. Mendefinisikan transformasi Fourier quaternion d. Menguraikan sifat-sifat transformasi Fourier quaternion 4. PEMBAHASAN Pada bagian ini akan dibahas tentang transformasi Fourier dan transformasi Fourier quaternion. Transformasi Fourier Definisi. Misalkan ff LL 1, yakni ff 1 = ff dddd <. Transformasi Fourier dari ff, dituliskan dengan F dan didefinisikan oleh [4], F{ff}(ωω) = ff(xx)ee iiiiii dddd, ωω.. 44

3 JUNAL MSA VOL. 5 NO. 2 ED. JULI - DESEMBE017 Sedangkan invers transformasi Fourier didefinisikan dengan F 1 (ωω) = ff(xx) = 1 F{ff}(ωω)eeiiiiii dddd, xx 2ππ Misalkan ff LL 1, dan aa, dengan ff = ff( xx) maka transformasi Fourier dari ff adalah F{ff}( ωω). F{ff}(ωω) = ff( xx)ee iiiiii dddd, = ff( xx)ee ii( ωω)( xx) dddd, = F{ff}( ωω) Dimana ff( xx) disebut sebagai time reversal dan F{ff}( ωω) frequency reversal. Misalkan ff LL 1, dan aa, dengan ff = ff(xx aa) maka transformasi Fourier dari ff adalah F(ωω)ee iiiiii. Fourier (3.1), F{ff}(ωω) = ff(xx aa)ee iiiiii dddd, Misalkan xx aa = tt, sehingga xx = tt + aa dan dddd = dddd, F{ff}(ωω) = ff(tt)ee iiii(aa+tt) dddd = ff(tt)ee iiiiii dddd ee iiiiii = F{ff}(ωω)ee iiiiii Dengan demikian teorema terbukti. ini disebut sebagai teorema pergeseran atau translasi dimana xx digeser sejauh aa. Jika aa > 0, maka grafik digeser ff(xx) kekanan sejauh aa satuan dan jika aa < 0, maka grafik ff(xx) digeser ke kiri sejauh aa satuan. Sedangkan untuk hasil transformasi Fourier terdapat tambahan kernel ee ωωωω hal ini disebabkan oleh manipulasi aljabar. Misalkan ff LL 1, dan aa, dengan ff = ee iiiiii ff(xx) maka transformasi Fourier dari ff adalah F{ff}(ωω aa). F{ff}(ωω) = ee iiiiii ff(xx)ee iiiiii dddd = ff(xx)ee iiiiii iiiiii dddd = ff(xx)ee iiii(aa ωω) dddd = F{ff}(ωω aa) Baris keempat pembuktian adalah bukti yang diharapkan dari teorema ini. Sedangkan F{ff}(ωω aa) disebut Frequency shift.. Misalkan ff LL 1, dan aa, dengan ff = δδ 1 ff xx maka transformasi Fourier dari ff δδ adalah F{ff}(δδδδ).. Bukti. Fourier (3.1), F{ff}(ωω) = δδ 1 ff xx δδ ee iiiiii dddd = δδ 1 ff(uu) ee iiiiiiii δδ dddd = δδ 1 ff(uu) ee ii(ωωωω)uu δδ dddd = ff(uu) ee ii(ωωωω)uu dddd = F{ff}(δδδδ) Baris kedua diperoleh dengan memisalkan, uu = xx xx = δδδδ,dengan mendiferensialkan kedua δδ ruas diperoleh dddd = δδδδδδ. Baris terakhir pembuktian disebut Frequency scale. Transformasi Fourier Quaternion Transformasi Fourier quaternion (TFQ) merupakan perluasan dari transformasi Fourier. Sehingga sifat-sifat yang akan dibuktikan pada TFQ juga merupakan sifat-sifat yang dibuktikan pada transformasi Fourier. Sifat nonkumutatif quaternion sehingga TFQ dibedakan menjadi tiga jenis, yaitu TFQ sisi kiri, TFQ sisi kanan dan TFQ dua sisi. Namun pada paper ini hanya akan diperkenalkan TFQ sisi kanan selanjutnya adan dibandingkan hasil transformasinya dengan transformasi Fourier klasik. Beikut ini diberikan TFQ sisi kanan. Berdasarkan sifat nonkomutatif terhadap operasi perkalian maka TFQ dibedakan menjadi tiga tipe yaitu TFQ tipe I (dua sisi) 45

4 JUNAL MSA VOL. 5 NO. 2 ED. JULI - DESEMBE017 F qq {ff}(ωω) = ee iiωω 1xx 1 ff(xx)ee jjωω 2xx 2 ddxx. TFQ tipe II (sisi kanan) F qq IIII {ff}(ωω) = ff(xx)ee iiωω 1xx 1 ee jjωω 2xx 2 ddxx. TFQ tipe III (sisi kiri) F IIIIII qq {ff}(ωω) = ee iiωω 1xx 1 ee jjωω 2xx 2 ff(xx)ddxx. Sedangkan untuk invers transformasi Fourier quaternion (ITFQ) didefinisikan sebagai berikut. Tipe I ITFQ (dua sisi) F 1 qq F qq {ff}(ωω) (xx) (2ππ) 2 eeiiωω 1xx 1 F qq {ff}(ωω) ee jjωω 2xx 2 ddωω. Tipe II ITFQ (sisi kanan) F 1 qq F IIII qq {ff}(ωω) (xx) (2ππ) 2 F qq IIII {ff}(ωω) ee iiωω 1xx 1 ee jjωω 2xx 2 ddωω. Tipe III ITFQ (sisi kiri) F 1 qq F IIIIII qq {ff}(ωω) (xx) (2ππ) 2 eeiiωω 1xx 1 ee jjωω 2xx 2 F IIIIII qq {ff}(ωω) ddωω. Penggunaan unit quaternion pada kernel, tidak menimbulkan perbedaan antara satu dengan yang lain dan ini dikenal sebagai bentuk trivial. Sebelum membahas beberapa teorema yang berkaitan dengan TFQ, perhatikan penggunaan kernel berikut, ff 0 (xx) + iiff 1 (xx) ee iiiiii = ee iiiiii ff 0 (xx) + iiff 1 (xx). Hal ini disebabkan karena ee iiiiii ff 0 (xx) + iiff 1 (xx) = (cos ωωωω + ii sin ωωωω) ff 0 (xx) + iiff 1 (xx) = cos ωωωω ff 0 (xx) + cos ωωωω iiff 1 (xx) + ii sin ωωωω ff 0 (xx) + ii sin ωωωω iiff 1 (xx) = ff 0 (xx) + iiff 1 (xx) (cos ωωωω + ii sin ωωωω) = ee iiiiii ff 0 (xx) + iiff 1 (xx) Berbeda jika, perkalian dilakukan pada unsure jj dan kk, jjff 2 (xx) + kkff 3 (xx) ee iiiiii = ee iiiiii jjff 2 (xx) + kkff 3 (xx) Ini diperoleh dengan melalui proses berikut jjff 2 (xx) + kkff 3 (xx) ee iiiiii = jjff 2 (xx) + kkff 3 (xx) (cos ωωωω + ii sin ωωωω) = (jjff 2 (xx) cos ωωωω + jjff 2 (xx)ii sin ωωωω + kkff 3 (xx) cos ωωωω) + kkff 3 (xx)ii sin ωωωω = (jjff 2 (xx) cos ωωωω + jjiiff 2 (xx) sin ωωωω + kkff 3 (xx) cos ωωωω) + kkiiff 3 (xx) sin ωωωω = (jjff 2 (xx) cos ωωωω + ( ii)jjff 2 (xx) sin ωωωω + kkff 3 (xx) cos ωωωω) + ( ii)kkff 3 (xx) sin ωωωω = (cos ωωωω + ( ii) sin ωωωω) jjff 2 (xx) +(cos ωωωω + ( ii) sin ωωωω) kkff 3 (xx) = (cos ωωωω + ( ii) sin ωωωω) jjff 2 (xx) + kkff 3 (xx) = ee iiiiii jjff 2 (xx) + kkff 3 (xx). Demikian juga, jika perkalian dengan menggunakan kernel laiinya. Selanjutnya, akan dibahas teorema pertama TFQ. : Frequency reversal Misalkan ff LL 2 (: H), dengan ff = ff( xx) Maka TFQ dari ff adalah F qq {ff}( ωω) Dengan menggunakan definisi TFQ, F qq {ff}(ωω) = ee iiωω 1xx 1 ff( xx)ee jjωω 2xx 2 ddxx. Dengan manipulasi aljabar, F qq {ff}(ωω) = ee ii( ωω 1)( xx) 1 ff( xx)ee jj( ωω 2)( xx 2 ) ddxx. = F qq {ff}( ωω) Dengan demikian teorema terbukti. Linearity Misalkan ff, gg LL 2 (: H), linearitas TFQ dinyatakan dengan F qq {αααα + ββββ}(ωω) = αα F qq {ff} + ββ F qq {gg} Dengan menggunakan definisi TFQ F qq {αααα + ββββ}(ωω) = ee iiωω 1xx 1 αααα(xx) + ββββ(xx) ee jjωω 2xx 2 ddxx. = ee iiωω 1xx 1 αααα(xx)ee jjωω 2xx 2 ddxx. + ee iiωω 1xx 1 ββββ(xx)ee jjωω 2xx 2 ddxx. = αα ee iiωω 1xx 1 ff(xx)ee jjωω 2xx 2 ddxx. + ββ ee iiωω 1xx 1 gg(xx)ee jjωω 2xx 2 ddxx. = αα F qq {ff} + ββ F qq {gg} 46

5 JUNAL MSA VOL. 5 NO. 2 ED. JULI - DESEMBE017 : Spatial Shift Misalkan ff LL 2 (: H), dengan ff = ff(xx xx 00 ), maka TFQ dari ff adalah F qq {ff}(ωω) = ee iiωω 1xx 01 F qq {ff}(ωω)ee jjωω 2xx 02 F qq {ff}(ωω) = ee iiωω 1xx 1 ff(xx xx 00 )ee jjωω 2xx 2 ddxx. Misalkan xx xx 00 = vv, xx = xx 00 + vv dan ddxx = ddvv F qq {ff}(ωω) = ee iiωω 1(xx 01 +vv 1 ) ff(vv)ee jjωω 2(xx 02 +vv 2 ) ddvv. = ee iiωω 1xx 01 ee iiωω 1vv 1 ff(vv)ee jjωω 2vv 2 ddvv ee jjωω 2xx 02 = ee iiωω 1xx 01 F qq {ff}(ωω)ee jjωω 2xx 02 : Spatial Scale Misalkan ff LL 2 (: H), dengan ff = ff(αααα), αα H maka TFQ dari ff adalah F qq {ff}(ωω) = ee iiωω 1xx 1 ff(αααα)ee jjωω 2xx 2 ddxx. Misalkan αααα = uu, xx = uu αα, ddxx 1 αα dddd, F qq {ff}(ωω) αα F αα qq {ff}(ωω/αα). Dengan demikian teorema terbukti. 1uu1 ee iiωω αα1 ff(uu)ee jjωω 2uu2 αα2 ddxx. 5. KESIMPULAN Berdasarkan hasil yang diperoleh, maka diambil kesimpulan sebagai: Sifat-sifat yang dalam Transformasi Fourier juga berlaku pada trasnformasi fourier quaternion. Adapun sifat-sifat yang dimaksudkan adalah, frequency reversal, linearitas, pergeseran dan pengskalaan. 6. DAFTA PUSTAKA [1] Bahri, M,. Ashino,., and Vailancourt, Convolution theorems for quaternion Fourier transform, properties and applications, Hindawi Publishing Corporation Abstact and Applied Analysis, vol. 2013, ID : 1-2. [2] Bahri, M., Ashino, Correlation theorems for type II quaternion Fourier transform, International conference on wavelet analysis and pattern recognition [3] Bahri, M., Hitzer, Ashino,., and Hayasi, A An uncertainty principle for quaternion fourier transform. Computer and Mathematics with Applications. 56: [4] Hitzer, E. M. S Quaternion Fourier Trasform on Quaternion Field and Generalization. Advance Applications of Clifford Algebras. 17: [4] /hgunawan/my-courses/fourier-analysis/ [5] Morais, J.P., Geogiev S., Sprosieg, W eal Quaternionic Calculus Handbook. Springer Basel: Hidelberg New York London. [6] esnawati Transformasi Kanonikal Linear Quaternion. Tesis. Makassar: Program Pascasarjana- UNHAS. [7] Soo-Chang, Pei, IEEE, Ding, JJ, and Chang J.H Efficient Implementation of Quaternion Fourier Transform, Convolution, and Correlation by 2-D Complex FFT. IEEE Transactions On Signal Processing. 11: [8] Supriadi, S Prinsip Ketidakpastian Heisenberg Untuk Transformasi Fourier Quaternion Dua Sisi. Tesis, Makassar: Program Pascasarjana-UNHAS. [9] Todd, dkk Quaternion Fourier Transform for Signal and Image Processing, Fokus. 47