Arie Wijaya, Yuni Yulida, Faisal

Transkripsi

1 Vol.9 No.1 (215) Hal HUBUNGAN ANTARA TRANSFORMASI LAPLACE DENGAN TRANSFORMASI ELZAKI Arie Wijaya, Yuni Yulida, Faisal PS Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. A. Yani Km. 36 Banjarbaru 7714, Kalsel ABSTRAK Transformasi Laplace adalah metode transformasi yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Transformasi Laplace pertama kali diperkenalkan oleh Pierre Simon Marquas De Laplace,seorang matematikawan Perancis dan seorang guru besar di Paris. Selain transformasi Laplace, juga terdapat suatu transformasi yaitu transformasi Elzaki yang merupakan transformasi khusus dari transformasi Laplace. Transformasi Elzaki diperkenalkan oleh Tarig M. Elzaki untuk mencari solusi persamaaan diferensial biasa. Pada umumnya kedua transformasi tersebut digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier, dalamproses transformasinya menggunakan integral dengan batasan dari sampai. Tidak seperti pada transformasi Elzaki, transformasi Laplace tidak mempunyai perkalian operator integral dengan variabel. Tujuan dari penelitian ini adalah mencari hubungan antara transformasi Laplace dengan transformasi Elzaki. Hasil dari penelitian ini menunjukkan bahwa transformasi Elzaki dari suatu fungsi ff() memiliki hubungan dengan transformasi Laplace yaitu TT() = 1 sedangkan untuk transformasi Laplacenya FF(ss) = ssss 1 dengan TT() dan FF(ss) berturuurut adalah transformasi Elzaki dan Laplace dari ff(). Berdasarkan hubungan di atas dapat ss diperoleh sifat-sifat transformasi Elzaki yang bersesuaian dengan transformasi Laplace. Kata kunci: Persamaan diferensial linier, transformasi Laplace, transformasi Elzaki 1. PENDAHULUAN Transformasi Laplace adalah metode transformasi yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Transformasi Laplace pertama kali diperkenalkan oleh Pierre Simon Marquas De Laplace seorang matematikawan Perancis dan seorang guru besar di Paris. Selaintransformasi Laplace juga terdapat suatu transformasi yaitu transformasi Elzaki. Transformasi Elzaki diperkenalkan oleh Tarig M. Elzaki untuk mencari solusi persamaaan diferensial linier. Pada umumnya kedua transformasi di atas dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier. Adapun kesamaannya yaitu kedua transformasinya menggunakan integral dengan batasan dari sampai. Pada transformasi Laplace tidak ada perkalian operator integral dengan variabel, sedangkan untuk transformasi Elzaki terdapat perkalian integral dengan variabel. Berdasarkan uraian di atas peneliti tertarik untuk mempelajari lebih dalam tentang hubungan antara kedua transformasi ini. 12

2 Vol.9 No.1 (215) Hal TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Transformasi Laplace Berikut ini Definisi Transformasi Laplace: Definisi 1.1[5] Misalkan ff() suatu fungsi dari yang tertentu untuk >. Transformasi Laplace dari ff(), yang dinyatakan oleh L{ff()}, didefinisikan sebagai L{ff()} = FF(ss) = ee ssss ff() dengan parameter ss adalah riil. Diberikan definisi eksistensi dari hasil transformasi Laplace Definisi 1.2[4] Sebuah fungsi ff berorde eksponensial jika terdapat konstanta αα, > dan MM > sedemikian sehingga ff() < MMee αααα, untuk setiap > dengan ff() terdefinisi. Selanjutnya diberikan sifat linier dan turunan fungsi, Teorema 1.3 [5] Jika cc 1 dan cc 2 adalah sebarang konstanta sedangkan ff 1 () dan ff 2 () adalah fungsi-fungsi dengan transformasi Laplacenya masing-masing FF 1 (ss) dan FF 2 (ss), maka L{cc 1 ff 1 () + cc 2 ff 2 ()} = cc 1 L{ff 1 ()} + cc 2 L{ff 2 ()} = cc 1 FF 1 (ss) + cc 2 FF 2 (ss). Teorema 1.4 [5] Diberikan ff() adalah fungsi kontinu untuk NN dan berorde eksponensial untuk > NN sedangkan ff () adalah kontinu sepotong-sepotong untuk NN. Jika L{ff()} = FF(ss) maka L{ff ()} = ssss(ss) ff(). Teorema 1.5[4] Diberikanff() fungsi kontinu yang mempunyai turunan ke (nn 1) dinotasikan ff (nn 1) () untuk dan diasumsikan ff(), ff (),, ff (nn 1) () semuanya berorde eksponensial ee αααα. Andaikanff (nn) () adalah kontinu sepotong-potong untuk bb. Jika L ff (nn) () ada untuk ss > αα maka L ff (nn) () = ss nn FF(ss) ss nn 1 ff() ss nn 2 ff () ff (nn 1) (). Berikut Definisi inver transformasi Laplace Definisi 1.6[5] Transformasi Laplace fungsi ff() adalah FF(ss), yaitu jika L{ff()} = FF(ss), maka ff() disebut invers transformasi Laplace dari FF(ss), ditulis dengan ff() = L 1 {FF(ss)}. Sifat konvolusi Definisi 1.7[4] Diberikanffdanggmerupakan fungsi yang kontinu sepotong-sepotong pada interval tertutup berhingga bb dan berorde eksponensial. Fungsi konvolusi dinotasikan dengan ff gg dan didefinisikan sebagai berikut ff() gg() = ff(ττ)gg( ττ). 13

3 Arie Wijaya, Yuni Yulida, Thresye- Hubungan Transformasi Laplace dengan Transformasi El Zaki Teorema1.8[4] Diberikan ff dan gg merupakan fungsi yang kontinu sepotong-sepotong pada interval tertutup berhingga bb dan berorde eksponensial ee aaaa maka L{ff gg} = L{ff}L{gg} untuk ss > aa. 2.2 Transformasi Elzaki Berikut diberikan definisi serta sifat Transformasi Elzaki Definisi 1.9[3] Transformasi Elzaki didefinisikan untuk fungsi berorde eksponensial yang diberikan pada fungsi-fungsi dalam himpunan AA yang didefinisikan oleh: kk AA = {ff: RR RR MM, kk 1, kk 2 >, ff() < MMMM jj, uuuuuuuuuu ssssssssssss RR} fungsi yang diberikan dalam himpunan AA dengan konstanta MM harus banyaknya bilangan terbatas,kk 1, kk 2 banyaknya boleh terbatas atau tidak terbatas. Definisi 1.1[2] Transformasi Elzaki ditunjukkan dengan operator EE(. ),didefinisikan dengan persamaan integral EE[ff()] = TT() = ff()ee, kk 1 kk 2, variabel yang akan ditransformasi dan variabel variabel hasil transformasi. Teorema1.11[3] Diberikan TT() adalah transformasi Elzaki dari [EE(ff()) = TT()], maka: (i) EE[ff ()] = TT() () (ii) EE[ff"()] = TT() 2 ff() ff (). 3. METODE PENELITIAN Penelitian ini dilakukan dengan cara studi literatur dari berbagai sumber, baik buku maupun jurnal yang menunjang dan relevan dengan tinjauan yang dilakukan. Prosedurpenelitianakan di mulaidenganmengumpulkan dan mempelajari bahan-bahan mengenai transformasi Laplace, transformasi Elzaki, persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial biasa orde satu dan orde nn; mencari hubungan antara transformasi Laplace dengan transformasi Elzaki; dan penerapannya dalam menentukan solusi persamaan diferensial biasa linier. 4. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Hubungan antara Transformasi Laplace dan Elzaki Berikut diberikan beberapa teorema yang menunjukkan hubungan transformasi Laplace dengan transformasi Elzaki. Tetapi sebelumnya akan diberikan Teorema Teorema Diberikan TT() adalah transformasi Elzaki dari ff(), EE[ff()] = TT(). ff( ττ), ττ Jika gg() = maka EE[gg()] = ee ττ TT()., < ττ Bukti: Berdasarkan Definisi 1.1, diperoleh 14

4 Vol.9 No.1 (215) Hal EE[gg()] = gg()ee = gg()ee + gg()ee = ff( ττ)ee ττ Misalkan = λλ + ττmaka =, diperoleh EE[gg()] = ff(λλ + ττ ττ)ee λλ+ττ = ee ττ ff(λλ)ee λλ ττ ττ = ff(λλ)ee λλ+ττ Berdasarkan Definisi 1.1 diperoleh EE[gg()] = ee ττ TT(). Teorema Diberikan ff()εεaa dengan transformasi LaplaceFF(ss), maka transformasi Elzaki TT()dari ff() diberikan dengan TT() = 1. Bukti: Berdasarkan Definisi 1.1 diperoleh TT() = ff()ee dan berdasarkan Definisi 1.1, maka diperoleh TT() = 1. Akibat Diberikan ff() yang memiliki FF(ss) dan TT() berturut-turut merupakan transformasi Laplace dan Elzaki, maka FF(ss) = ssss 1. ss Bukti: Berdasarkan Teorema 4.1.2, dan misalkan ss = 1 diperoleh TT 1 ss = 1 ss FF(ss) FF(ss) = ssss 1 ss. 3.2 Transformasi Elzaki pada Turunan dan Integral Pada transformasi Laplace terdapat transformasi terhadap turunan maupun integral fungsi ff(), demikian juga pada transformasi Elzaki yang akan disajikan dalam teorema-teorema berikut: Teorema Diberikan FF (ss) dan TT ()berturut-turut adalah transformasi Laplace dan Elzaki dari turunan ff(), maka: (i) TT () = TT() () (ii) TT (nn) () = TT() nn 1 kk=, nn 1 nn 2 nn+kk ff (kk) () Dimana TT (nn) () dan FF (nn) (ss) adalah transformasi Elzaki dan Laplace dari turunan ke nn dari fungsi ff() dengan notasi ff (nn) (). Bukti: (i) Berdasarkan Teorema 1.4, diketahui FF (ss) = ssss(ss) ff() Maka berdasarkanteorema TT () = 1 = 1 FF 1 TT() ff() = (). 15

5 Arie Wijaya, Yuni Yulida, Thresye- Hubungan Transformasi Laplace dengan Transformasi El Zaki (ii) BerdasarkanTeorema 1.5, transformasi Laplace dari ff (nn) () L ff (nn) () = ss nn FF(ss) ss nn 1 ff() ss nn 2 ff () ff (nn 1) () Atau dapat ditulis dengan FF (nn) (ss) = ss nn nn 1 FF(ss) kk= ss nn (kk+1) ff (kk) () Misalkan ss = 1, diperoleh FF (nn) 1 = FF 1 nn 1 ff (kk) () nn kk= nn (kk+1) Dan karena berdasarkan Teorema TT (nn) () = FF (nn) 1, maka TT (nn) () = 1 TT() nn 1 ff (kk) () nn kk= TT (nn) () = TT() nn 1 nn (kk+1) nn kk= (kk+1) nn ff (kk) () TT (nn) () = TT() nn 1 nn 2 nn+kk ff (kk) (). kk= Teorema Diberikan TT () dan FF (ss) merupakan transformasi Elzaki dan Laplace dari h(), dengan h() = ff(ττ), maka TT () = EE[h()] = (). Bukti: Berdasarkan Teorema 1.4 diperoleh L{h ()} = ssss(ss) h() = ssss(ss) Karena diketahui L{h()} = FF (ss) dan L{ff()} = FF(ss), sedangkan h() = ff(ττ) maka h () = ff() sehingga diperoleh L{h ()} = L{ff()} ssss(ss) = FF(ss) HH(ss) = FF(ss), HH(ss) = L{h()}. SS Sehingga diperoleh FF (ss) = L{h()} = FF(ss), akibatnya berdasarkan Teorema TT () = FF 1 = 1 = 2 FF 1 = (). Teorema Diberikan TT() adalah transformasi Elzaki dari fungsi ff() maka: (i) EE[()] = 2 () () (ii)ee[ 2 ff()] = 4 dd2 TT() 2 Bukti: (i) Dari Definisi 1.1 dan turunan pertama terhadap diperoleh () = dd ()ee () = ee ff() = 1 ee () + ee ff() = 1 2 EE[()] + 1 EE[ff()] EE[()] = 2 () ss () [ff()] = 2 (). 16

6 Vol.9 No.1 (215) Hal (ii) Dari Definisi 1.1 dan turunan kedua terhadap diperoleh dd 2 TT() dd 2 = dd2 ()ee dd2 = 2 2 ee ff() = 1 ee () + ee ff() = 1 3 ee 2 ff() 1 2 ee () ee () = 1 3 ee 2 ff() dd 2 TT() = EE[2 ff()] dd 2 Teorema Jika EE[ff()] = TT() maka:. Jadi EE[ 2 ff()] = 4 dd2 TT(). 4 (i) EE[ff ()] = 2 dd TT() (ii) EE["()] = 2 dd TT() 2 dd 2 () TT() () ff() () TT() 2 (iii) EE[ 2 ff"()] = 4 dd2 dd 2 TT() ff() () 2 Bukti: (i) Berdasarkan Teorema (i) diperoleh EE[ ()] = 2 () () ff() () = 2 dd TT() () TT() (). (ii) BerdasarkanTeorema (i) diperoleh EE["()] = 2 "() "() = 2 dd TT() ff() ff () TT() ff() ff (). 2 (iii) BerdasarkanTeorema (ii) diperoleh EE[ 2 ff"()] = 4 dd2 TT"() 2 = 4 dd2 2 TT() 2 ff() ff (). Teorema Diberikan ff()εεεε dengan transformasi Elzaki TT(), maka EE[ee aaaa ff()] = (1 aaaa)tt 1 aaaa. Bukti: Berdasarkan Definisi 1.1 diperoleh 2 17

7 Arie Wijaya, Yuni Yulida, Thresye- Hubungan Transformasi Laplace dengan Transformasi El Zaki EE[ff()] = TT() = ff()ee Misalkan = maka =, sehingga EE[ff()] = TT() = 2 ff()ee ww Atau dapat ditulis EE[ff()] = TT() = 2 ff()ee Sehingga EE[ee aaaa ff()] = 2 ff()ee aaaaaa ee = 2 ff()ee (1 aaaa) Misalkan ww = (1 aaaa)maka = (1 aaaa), sehingga EE[ee aaaa ff()] = 2 ww ff ee ww 1 aaaa 1 aaaa = 2 ff 1 aaaa 1 aaaa ee ww 2 = (1 aaaa) (1 aaaa) 2 ff 1 aaaa ww ee ww = (1 aaaa)tt 1 aaaa. Teorema Diberikan ff() dan gg() yang didefinisikan dalam himpunan AA berturut-turut memiliki transformasi Laplace FF(ss) dan GG(ss) dan transformasi Elzaki MM() dan NN(), maka transformasi Elzaki dari konvolusi ff dan gg (ff gg)() = ff()gg( ττ) diberikan oleh EE[(ff gg)()] = 1 MM()NN(). Bukti: Berdasarkan Teorema 1.8 diketahui bahwa L[(ff gg)] = FF(ss)GG(ss) Dengan menggunakan Teorema diperoleh EE[(ff gg)()] = L[(ff gg)()]. Dan berdasarkan Teorema diperoleh MM() = 1 dan NN() = 1 Misalkan 1 sehingga = ss, maka diperoleh FF(ss) = MM() dan GG(ss) = NN() EE[(ff gg)()] = L[(ff gg)()] = (ss)gg(ss) = MM()NN() 2 = 1 MM()NN(). 5. KESIMPULAN Berdasarkan hasil dan pembahasan maka dapat ditarik kesimpulan bahwa hubungan transformasi Laplace dan Elzaki adalah: 1. Transformasi Elzaki dari suatu fungsi ff() memiliki hubungan dengan transformasi Laplace yaitu TT() = 1 dengan = 1. ss 2. Transformasi Laplace dari suatu fungsi ff() memiliki hubungan dengan transformasi Elzaki yaitu FF(ss) = ssss 1. ss 3. Fungsi-fungsi khusus dari transformasi Laplace juga dapat diselesaikan dengan transformasi Elzaki dan berdasarkan kesimpulan 1 dan 2 diperoleh sifat-sifat transformasi Elzaki seperti halnya sifat-sifat pada transformasi Laplace, seperti 18

8 Vol.9 No.1 (215) Hal transformasi terhadap turunan, integral, pergeseran, perkalian dengan, dan konvolusi. DAFTAR PUSTAKA [1] Elzaki, T. M Homotopy perturbation and Elzaki transform for solving nonlinier partial differential equations. Mathematical Theory and Modeling. ISSN , Vol. 2, No. 3 [2] Elzaki, T. M On the connections between Laplace and Elzaki transforms. Advances in Theoretical and Applied Mathematics. ISSN , Number 1, pp. 1-1 [3] Elzaki, T. M The New Integral Transform Elzaki transform.global Journal of Pure and Applied Mathematics. ISSN , Number 1, pp [4] Ross, S. L Differential Equations. Third Edition. John Wiley & Sons. New York. [5] Spiegel, M. R Seri Buku Schaum Teori dan Soal-soal Transformasi Laplace (Alih Bahasa Pantur Silabandan Hans Wospakrik).Erlangga. Jakarta. 19