Analisa Dan Simulasi Model Quaternion Untuk Keseimbangan Pesawat Terbang

Transkripsi

1 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol., No., () -6 Analisa Dan Simulasi Model Quaternion Untuk Keseimbangan Pesawat Terbang Rizki Fauziah, Kamiran Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 6 kamiran@matematika.its.ac.id Abstrak Permasalahan dalam kendali pesawat salah satunya adalah gangguan yang terjadi saat pesawat berada di ketinggian tertentu. Pada Tugas akhir ini akan dikaji beberapa cara pesawat untuk menyeimbangkan posisinya saat terjadi gangguan dengan torsi kecil. Dalam hal ini posisi pesawat pada koordinat bumi sangat penting untuk di diketahui. Dalam tugas akhir ini akan dikaji sebuah pesawat yang mengalami gangguan dengan torsi yang sangat kecil. Agar metode pengendalian juga bisa menstabilkan posisi pesawat dalam waktu yang cepat. Oleh karena itu digunakan sebuah metode Quaternion, yang banyak digunakan dalam permasalahan rotasi. Pada penelitian penelitian sebelumnya sudah banyak digunakan pada spacecraft. Dalam Tugas akhir ini metode Quaternion digabungkan dengan metode Sliding Mode Control untuk menghasilkan sebuah rancangan kontrol yang mendukung posisi pesawat agar tetap seimbang diudara. Kata kunci attitude aircraft, position update, Sliding Mode Control (SMC), dan Quaternion I. PENDAHULUAN Atematika merupakan salah satu disiplin ilmu yang M mempunyai banyak aplikasi dalam kehidupan sehari-hari. Aplikasi matematika selanjutnya disebut sebagai matematika terapan. Dalam bidang matematika terapan banyak teori-teori matematika yang dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. Salah satunya adalah aplikasi matematika dalam dunia penerbangan. Definisi dari pesawat terbang (aircraft) itu sendiri adalah sebagai benda-benda yang dapat terbang, baik benda tersebut lebih ringan daripada udara (lighter than air) ataupun yang lebih berat daripada udara. Tetapi didalam makalah tugas akhir ini menitikberatkan permasalahan pada kontrol posisi pesawat terbang saat berada diudara agar bisa seimbang. Ketepatan posisi dan orientasi pesawat terbang (aircraft), atau yang biasa disebut dengan attitude pesawat terbang, sangat penting untuk mendukung tujuan utama pesawat agar bisa mencapai posisi stabil diudara. Pesawat terbang mempunyai tiga sumbu putar, yaitu vertikal, longitudinal dan lateral. Gerakan pesawat pada sumbu vertikal disebut yaw. Dan gerakan pada sumbu lateral disebut pitch. Sedangkan gerakan pada sumbu longitudinal disebut roll. Masing-masing gerakan ini dikontrol oleh sistem kendali terbang (flight control systems) dari pesawat, yaitu ruder, aileron dan elevator. Metode pengerjaan Tugas akhir ini menggunakan metode Quaternion yang pada penelitian sebelumnya pernah digunakan pada satelit orbit rendah. Pergerakan pesawat atau rotasi pesawat terbang saat mengalami gangguan dapat diperoleh dengan matriks rotasi R, sudut Euler, dan quaternion. Disini model dasar pergerakan pesawat akan dibentuk menggunakan metode quaternion. Kemudian pengendali akan disusun agar perilaku pesawat sesuai dengan yang diinginkan menggunakan Sliding Mode Control (SMC). Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai analisa model pergerakan pergerakan pesawat terbang berdasarkan model quaternion serta bagaimana desain pengendali perilaku pesawat terbang tersebut. II. GERAK PESAWAT TERBANG Berdasarkan sifat gerakan pesawat terbang, dinamika pesawat terbang dikelompokkan menjadi dua model dinamik yaitu dinamika lateral dan dinamika longitudinal. Dinamika lateral, adalah model matematika yang menggambarkan dinamika gerakan pesawat terbang untuk gerakan mendatar yang meliputi gerakan berbelok. Pada gerak lateral hanya dua kontrol defleksi yang berpengaruh pada respon gerak pesawat yaitu aileron dan rudder. Dinamika longitudinal, adalah model matematika yang menggambarkan dinamika gerakan pesawat terbang untuk gerakan dalam arah vertikal misalnya gerakan mendaki atau menukik. Pada gerak longitudinal hanya satu kontrol defleksi yang berpengaruh pada respon gerak pesawat yaitu elevator[]. Gambar. Macam gerakan pesawat Pada dasarnya, pesawat terbang mempunyai gerak dasar pesawat yang fungsinya agar pesawat dapat bergerak stabil pada saat terbang di udara. Adapun ketiga gerak dasar pesawat itu adalah sebagai berikut :

2 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol., No., () -6. Pitching Pitching merupakan gerakan menggangguk atau gerakan keatas dan kebawah dari nose pesawat, pitching bergerak pada sumbu lateral pesawat.. Rolling Rolling merupakan gerakan berguling (roll) dari pesawat, rolling bergerak pada sumbu longitudinal pesawat.. Yawing Yawing merupakan gerakan menggeleng atau nose pesawat bergerak ke kanan dan ke kiri. III. MODEL MATEMATIKA Model matematika menunjukkan gangguan, input kontrol, spesifikasi pesawat terbang sebagai input, kecepatan linier dan kecepatan angular pada koordinat bodi pesawat sebagai outputnya. Berdasarkan penelitian sebelumnya telah diketahui persamaan gangguan total yang digunakan untuk menentukan kecepatan linier pada pesawat terbang. Berikut ini adalah model matematika pergerakan pesawat bedasarkan gerakan Roll, Pitch, dan Yaw : UU = VVVV WWWW gg sin θθ FF XX mm VV = WWWW UURR gg sin φφ cos θθ FF YY mm WW = UUUU VVVV gg cos φφ cos θθ FF ZZ mm U = Kecepatan linier sumbu x V = Kecepatan linier sumbu y W = Kecepatan linier sumbu z P = Kecepatan sudut sumbu x Q = Kecepatan sudut sumbu y R = Kecepatan sudut sumbu z F X = Gaya yang terjadi pada sumbu x F Y = Gaya yang terjadi pada sumbu y F Z = Gaya yang terjadi pada sumbu z Dengan memisalkan input control sebagai c dan gangguan pada body axes sebagai d, maka didapat persamaan dinamika pesawat terbang sebagai berikut : jjωω = μμμμμμ cc dd () Dimana : jj jj = jj adalah matriks inersia Pesawat terbang jj PP ωω ωω = QQ = ωω adalah vector matriks kecepatan sudut RR ωω cc = [cc cc cc ] TT adalah vektor matriks input control pesawat terbang. dd = [dd dd dd ] TT adalah gangguan eksternal pesawat. dengan memisalkan P = ωω, QQ = ωω, dan RR = ωω, maka diperoleh: RR QQ ωω ωω μμ = RR PP = ωω ωω QQ PP ωω ωω () Model matematika pesawat terbang ini lebih menegaskan pada koordinat pesawat. Ada hubungan langsung antara sudut pergerakan Euler dan kecepatan sudut pesawat terbang disekeliling body axes. Dari hubungan ini, maka sudut pergerakannya berubah menjadi : φφ = PP QQ sin φφ tan θθ RR cos φφ tan θθ θθ = QQ cos φφ RR sin φφ ψψ = QQ sin φφ sec θθ RR cos φφ sec θθ Dengan cara menginverskan persamaan () maka akan diperoleh : ωω = PP = φφ ψψ sin θθ ωω = QQ = θθ cos φφ ψψ sin φφ cos θθ (4) ωω = RR = θθ sin φφ ψψ cos φφ cos θθ Persamaan state untuk gerakan pesawat terbang pada gerakan Roll, Pitch, dan Yaw adalah : xx = φφ φφ θθ θθ ψψ ψψ TT = [xx xx xx xx 4 xx 5 xx 6] TT Pesamaan state diperoleh dengan mendekomposisikan pergerakan pesawat menjadi tiga, yaitu Roll(φφ), YYYYYY(ψψ), dan Pitch(θθ), sehingga dari persamaan () menjadi : jj ωω ωω jj ωω ωω jj cc dd jj ωω = ωω ωω jj ωω ωω jj cc dd (5) jj ωω ωω jj ωω ωω jj cc dd IV. ANALISA DAN PEMBAHASAN A. Pembentukan Persamaan State Persamaan state diperlukan untuk menentukan bahwa persamaan adalah non-linier. Sehingga dari persamaan (5) pada baris pertama diperoleh penyelesaian persamaan state Roll (φφ), baris kedua state Pitch(θθ), dan baris ketiga state YYYYYY(ψψ).. Persamaan state Roll Gerakan rolling dilakukan pada saat pesawat akan berbelok atau bergerak ke arah kiri atau ke arah kanan. xx = xx xx = [φφ, φφ ] TT = [xx, xx ] TT xx = ff ) bb )uu DD Dari persamaan (5) untuk persamaan Roll(φφ) : jj ωω = ωω ωω jj ωω ωω jj cc dd = (jj jj )ωω ωω cc dd ωω = (jj jj ) jj ωω ωω cc jj dd jj dimana ωω = ddωω sedangkan ωω = PP = φφ ψψ sin θθ, maka untuk langkah selanjutnya agar diperoleh sebuah fungsi adalah sebagai berikut : ddωω = (jj jj ) ( xx jj 4 sin xx cos xx xx 4 xx 6 cos xx cos xx xx4xx6sinxxcosxxxx6 sinxxcosxxcosxxccjjddjj dengan mengacu pada persamaan (4) bahwa sudut-sudut Roll(φφ), Pitch(θθ), dan Yaw(ψψ) akan disubstitusi dengan statenya masing masing. ddωω = dd xx 6 sin xx ) = xx xx 6 sin xx xx xx 6 cos xx dengan cara substitusi, maka diperoleh : xx = (jj jj ) ( xx jj 4 sin xx cos xx xx 4 xx 6 cos xx cos xx () (6)

3 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol., No., () -6 xx 4 xx 6 sin xx cos xx xx 6 sin xx cos xx cos xx ) cc dd jj jj xx 6 sin xx xx xx 6 cos xx (7) Dari semua langkah penyelesaian persamaan state untuk gerakan Roll (φφ) diperoleh sebuah fungsi non-linier sebagai berikut : xx = ff ) bb ) DD ff ) = (jj jj ) ( xx jj 4 sin xx cos xx xx 4 xx 6 cos xx cos xx xx4xx6sinxxcosxxxx6 sinxxcosxxcosxx bb ) = jj Dan DD = dd xx jj 6 sin xx xx xx 6 cos xx Pada persamaan DD dapat dilihat adanya percepatan yang diasumsikan konstan.. Persamaan state Pitch Selanjutnya adalah menyelesaikan persamaan state untuk persamaan Pitch(θθ) pada baris kedua pada persamaan: xx = θθ, θθ TT = [xx, xx 4 ] TT xx = = xx 4 (9) xx 4 = ff ) bb ) DD Dari persamaan (5), yaitu persamaan matriks pada baris kedua, maka selanjutnya dapat digunakan sebagai langkahlangkah untuk menyelesaikan persamaan state Pitch(θθ) : jj ωω = ωω ωω jj ωω ωω jj cc dd = (jj jj )ωω ωω cc dd ωω = (jj jj ) ωω jj ωω cc dd jj jj Dengan mensubstitusikan nilai PP(ωω ) dan RR(ωω ) maka : ωω = (jj jj ) jj xx 6 sin xx ) ( xx 4 sin xx xx 6 cos xx cos xx ) cc jj dd jj = (jj jj ) jj ( xx 4 sin xx xx xx 6 cos xx cos xx xx4xx6sinxxsinxx xx6 sinxxcosxxcosxxccjjddjj ddωω = dd θθ cos φφ ψψ sin φφ cos θθ = xx 4 cos xx xx xx 4 sin xx xx 6 sin xx cos xx xx xx 6 sin xx cos xx xx xx 6 sin xx cos xx Karena : ωω = ddωω ddωω = (jj jj ) ( xx jj 4 sin xx xx xx 6 cos xx cos xx xx 4 xx 6 sin xx sin xx xx 6 sin xx cos xx cos xx ) cc dd jj jj xx 4 cos xx xx xx 4 sin xx xx 6 sin xx cos xx xx xx 6 sin xx cos xx xx xx 6 sin xx cos xx = (jj jj ) ( xx jj 4 sin xx xxxx6cosxxcosxxxx4xx6sinxxsinxx xx6 sinxxcosxxcosxxccjjddjj (8) xx 4 = (jj jj ) xx 4 sin xx xx xx 6 cos xx cos xx ` jj cos xx xx 4 xx 6 sin xx sin xx xx 6 sin xx cos xx cos xx cc dd xx xx 4 sin xx jj co s xx jj cos xx cos xx sin xx cos xx cos xx xx 6 xx 6 xx xx 6 ) () Dari semua langkah penyelesaian persamaan state untuk gerakan Pitch (φφ) diperoleh sebuah fungsi non-linier sebagai berikut : xx 4 = ff ) bb ) DD ff ) = (jj jj ) ( xx jj cos xx 4 sin xx xx xx 6 cos xx cos xx xx 4 xx 6 sin xx sin xx xx 6 sin xx cos xx cos xx ) bb ) = jj cos xx DD = dd xx xx 4 sin xx sin xx cos xx jj cos xx cos xx cos xx xx 6 xx 6 xx xx 6 ) dari persamaan gangguan dapat dilihat masih terdapat nilai hal ini dikarenakan terjadi percepatan pada gerakan pesawat, namun dalam kasus ini percepatan dianggap konstan.. Persamaan State Yaw Untuk persamaan state ketiga yang harus dicari dalam menyelesaikan system pemodelan pesawat adalah persamaan State Yaw(θθ. Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut : xx = ψψ, ψψ TT = [xx 5, xx 6 ] TT xx = 5 = xx 6 xx 6 = ff ) bb ) dd () langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan state Yaw(ψψ) : jj ωω = ωω ωω jj ωω ωω jj cc dd = (jj jj )ωω ωω cc dd ωω = (jj jj ) ωω jj ωω cc dd jj jj ωω = (jj jj ) jj xx 6 sin xx ) 4 cos xx xx 6 sin xx cos xx ) cc dd jj jj = (jj jj ) jj xx 4 cos xx xx xx 6 sin xx cos xx xx4xx6cosxxsinxx xx6 sinxxsinxxcosxxccjjddjj ddωω = dd( xx 4 sin xx xx 6 sin xx cos xx ) = xx 4 sin xx xx xx 4 cos xx xx 6 sin xx cos xx xx 4 xx 6 cos xx cos xx xx xx 6 sin xx sin xx diketahui bahwa : ωω = ddωω karena : ddωω = (jj jj ) jj xx 4 cos xx xx xx 6 sin xx cos xx xx4xx6cosxxsinxx xx6 sinxxsinxxcosxxccjjddjj sehingga diperoleh : ()

4 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol., No., () -6 4 xx 6 = (jj jj ) jj sin xx cos xx xx 4 cos xx xx xx 6 sin xx cos xx xx 4 xx 6 cos xx sin xx xx 6 sin xx sin xx cos xx ) cc dd jj sin xx cos xx jj sin xx cos xx xx 4 xx xx 4 cos xx cos xx sin xx cos xx xx 4 xx 6 cos xx xx xx 6 sin xx sin xx cos xx atau ditulis dalam sebuah bentuk persamaan sebagai berikut : xx 6 = ff ) bb ) dd () dimana : ff ) = (jj jj ) jj sin xx cos xx xx 4 cos xx xx xx 6 sin xx cos xx xx4xx6cosxxsinxx xx6 sinxxsinxxcosxx bb ) = jj sin xx cos xx dan dd = dd xx xx 4 sin xx sin xx cos xx jj cos xx cos xx cos xx xx 6 xx 6 xx xx 6 ) Sehingga persamaan non-linier untuk model pesawat yang sedang dalam posisi seimbang adalah menjadi seperti: xx (nn) = ff) bb)uu dd dengan n=, xx = [xx xx ] TT adalah variabel state yang akan dikontrol. uu adalah input kontroler, sedangkan ff) dan bb) adalah bentuk yang tidak pasti pada persamaan non-linier. Dan dd adalah bounded disturbance. B. Transformasi Pergerakan Pesawat Telah dijelaskan bahwa arah kosinus diperlukan untuk transformasi antar sistem koordinat. Dengan cara mentransformasikan kecepatan linier dari koordinat badan pesawat ke koordinat bumi. Beberapa langkah transformasinya adalah sebagai berikut : UU φφ UU VV φφ = cosφφ sin φφ VV (4) WW φφ sin φφ cosφφ WW UU φφφφ cosθθ sin θθ UU φφ VV φφφφ = VV φφ (5) WW φφφφ sin θθ cos θθ WW φφ UU WW cos ψψ sin ψψ UU φφφφ VVWW = sin ψψ cosψψ VV (6) φφφφ WW WW WW φφφφ Dari hasil perkalian matriks diatas didapatkan sebuah matriks : UU WW aa bb cc UU VVWW = aa bb cc VV (7) WW WW aa bb cc WW aa = cos θθ cos ψψ aa = sin ψψ cos θθ aa = sin θθ bb = sin θθ sin φφ cos ψψ cos φφ sin ψψ bb = sin θθ sin φφ sin ψψ cos φφ cos φφ bb = sin φφ cos θθ cc = sin θθ cos φφ cos ψψ sin φφ sin ψψ cc = sin θθ cos φφ cos ψψ sin φφ cos ψψ cc = cos θθ cos φφ Titik posisi quaternion pertama pada koordinat pesawat dapat diubah menjadi posisi referensi dengan single rotation DD. Suatu quaternion dapat digunakan untuk merotasi suatu vektor Euclidean. Bagian vektor dari quaternion dianggap sebagai sumbu rotasi, sedangkan bagian skalar merepresentasikan sudut rotasi. Sumbu rotasi merupakan direction cosines pada sistem koordinat. Sudut rotasi (DD ) menyatakan bahwa rotasi dapat berlangsung searah maupun berlawanan arah jarum jam, sehingga rotasi quaternion adalah sebagai berikut. cccccc(dd ) cos DD ssssss(dd ) qq(tt) = = cccccc(dd ) cos DD ssssnn(dd ) ss ssssss(dd ) (8) cos DD ssssss(dd ) C. Perancangan Kontroler Untuk menyesuaikan perkalian antara vektor dan quaternion agar dapat dilakukan transformasi, suatu vektor Euclidean ditulis sebagai suatu quaternion dengan bagian skalar yang bernilai nol. vv = vv dengan vv = [vv vv vv ] TT R. qqvvqq = (qq qq)( vv)(qq qq) = (qq )vv (qq. vv)qq qq (qq vv) Sehingga didapat matriks ww yaitu : ww ww ww qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq vv = qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq vv qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq vv (qq qq ) (qq qq qq qq ) (qq qq qq qq ) vv = (qq qq qq qq ) (qq qq ) (qq qq qq qq ) vv (qq qq qq qq ) (qq qq qq qq ) (qq qq ) vv Sehingga didapat bahwa matriks posisi A yaitu (qq qq ) (qq qq qq qq ) (qq qq qq qq ) AA = (qq qq qq qq ) (qq qq ) (qq qq qq qq ) (qq qq qq qq ) (qq qq qq qq ) (qq qq ) didefinisikan persamaan kinematik untuk mendeskripsikan geometri pergerakan pesawat terbang. AA = AAμμ Komponen matriks MM(qq) untuk membuat control law digunakan estimasi nilai MM(qq) dan batasan error masingmasing matriks.

5 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol., No., () -6 5 qq qq qq MM(QQ) = qq qq qq qq qq qq Telah diketahui pengaturan quaternion error. Dengan mensubstitusikan persamaan kinematika maka : qq ee = qq dd (tt) qq (tt) = qq dd (tt) MMMMMM MMJJ TT cc (4.46) qq ee = qq dd (tt) qq (tt) = qq dd (tt) MMMMωω MMJJ TT cc (4.47) Dimana : MM= komponen matriks untuk membuat control law ωω = kecepatan sudut qq ee = quaternion error qq dd = quaternion referensi (yang dinginkan) TT cc = Torsi kontrol JJ = momen inersia Turunan dari fungsi switching yaitu : σσ (qq) = qq ee KKqq ee maka selanjutnya diperoleh : σσ (qq) = qq dd (tt) MMMMωω MMJJ TT cc KK(qq dd (tt) MMMMMM MMJJ TT cc ) (4.48) Ekuilibrium dikatakan stabil asimtotis apabila titik tersebut stabil dan terdapat rr > sedemikian sehingga xx() rr yang mengakibatkan xx(tt) ketika tt. VV = σσtt σσ Dengan VV() dan VV < untuk σσ. Kondisi yang memenuhi kestabilan sistem merupakan turunan pertama V terhadap waktu yaitu : TT ii cc = TT mmmmmm cc ssssss( σσ ii mmmmmm Dengan nilai TT cc harus minimal sama dengan TT eeee ssssssss(σσ) atau lebih besar. TT mmmmmm cc TT eeee ssssssss(σσ) Dengan εε adalah batas maksimal dan minimal pada boundary layer dengan nilai seperti berikut ini :. Kecepatan Angular kecepatan Angular(rad/s).5 x. Sudut rotasi (φφ, θθ, ψψ) ssssss σσ ii = ϵ σσ εε ϵ ) σσ εε uuuuuuuuuu σσ εε σσ εε V. HASIL SIMULASI Grafik Kecepatan angular terhadap waktu Grafik pembelokan sudut rotasi terhadap waktu Wx Wy Wz sudut Roll sudut pitch sudut yaw VV = σσ TT σσ = σσ TT qq dd (tt) MMMMωω MMJJ TT cc KK(qq dd (tt) MMMMMM MMJJ TT cc ) Selanjutnya didefinisikan torsi kontrol : TT cc = TT eeee ssssssss(σσ) Dimana TT eeee adalah Torsi yang terjadi sebelum sistem diberikan pengontrol. TT eeee = JJMM qq dd JJJJωω MMJJ KKqq ee Sehingga : TT cc = JJMM qq dd JJJJωω MMJJ KKqq ee ssssssss(σσ) Karena terjadi chattering pada ssssssss(σσ), hal ini dapat menyebabkan ketidakstabilan pada sistem. Maka output dari TT cc ditambahkan dengan boundary layer. pada permukaan sliding yang membuat smooth dinamika input kendali TT cc dan meyakinkan bahwa sistem berada di dalam layer. uu = uu KK ssssss (σσ) dilakukan dengan mengganti fungsi sgn (σσ) dengan sat σσ dan adalah Φ konstanta positif. Munculnya chattering merupakan salah satu kekurangan metode SMC. Sehingga nilai TT cc akan menjadi : sudut rotasi Quaternion eror (qq ee ) Quaternion error(km) Grafik Quaternion error terhadap waktu qe roll qe pitch qe yaw

6 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol., No., () Quaternion referensi (qq dd ) quaternion referensi (km) 5. quaternion aktual 6. Torsi kontrol (T c ) 7. Ketinggian (r) Quaternion aktual(km) Torsi Kontrol Grafik Quaternion referensi terhadap waktu qd pada roll qd pada pitch qd pada yaw Grafik Quaternion aktual terhadap waktu qx qy qz x 4 Grafik Torsi Kontrol terhadap waktu Grafik ketinggian pesawat terhadap waktu Tcx Tcy Tcz rx ry rz Terlihat bahwa ketika pesawat terbang berada pada ketinggian sekitar km dianggap mulai mengalami gangguan. Pada ketinggian tersebut dianggap t =. Pada gambar simulasi (7). Besarnya gangguan tersebut dipengaruhi oleh besarnya nilai quaternion awal. Dan dalam simulasi itu terlihat bahwa untuk menstabilkan posisi pesawat dibutuhkan sekitar detik setelah gangguan terjadi. VI. KESIMPULAN Dari hasil analisa pengendali SMC dengan Model Quaternion, maka didapat kesimpulan sebagai berikut :. Hasil simulasi menunjukkan bahwa gerak pesawat hanya membutuhkan waktu detik agar dapat mengikuti posisi yang diinginkan untuk mencapai keseimbangan. Pada saat ketinggian pesawat mencapai,7 km, pesawat sudah mencapai posisi seimbang. Karena dari hasil simulasi dapat dilihat bahwa sudah tidak terjadi osilasi pada grafik ketinggian.. Besar quaternion akhir mengalami simpangan terhadap quaternion referensi, begitu pula dengan sudut rotasi. DAFTAR PUSTAKA [] Cooke, M.J., Zyda, J.M., Pratt, R.D., dan McGhee, B.R. 99. Flight Simulation Dynamic Modeling Using Quaternions. Naval Postgraduate School Department of Computer Science, Code CS/Zk [] Yulianto, Toni.. Aplikasi Metode Linear Quadratic Regulator Pada endali Attitude Rotor Spacecraft yang Berada di Sumbu Tetap. Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Surabaya. [] Zhu, F.Q.Q.M., Winfield, A., dan Melhuish, C.. Fuzzy Sliding Mode Control for Discrete Nonlinier Sistems. Transactions of China Automation Society, Vol., No. (Sum No. 86). [4] Herlambang, T.. Desain Pengendali Ketinggian Air dan Temperatur Uap pada Sistem Steam Drum Boiler dengan Metode Sliding Mode Control (SMC). Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Surabaya. [5] Millah, N.. Analisis dan Simulasi Pengendali Robot Polar Derajat Kebebasan Dua Menggunakan Sliding Mode Control (SMC). Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Surabaya. [6] Alfayuritresna,Q.9. Perancangan dan Simulasi Sliding Mode Control Pada Satelit Orbit Rendah. Jurusan Teknik Elektro, Fakultas Teknologi Industri, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Surabaya. [7] Yuwinati, Y.. Analisis dan Simulasi Pengaturan Perilaku Satelit menggunakan Terminal Sliding Mode Control (TSMC). Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Surabaya..6 ketinggian(km)