MENGKONSTRUKSI SEGI-N BRAHMAGUPTA

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "MENGKONSTRUKSI SEGI-N BRAHMAGUPTA"

Suharto Hengki Kusumo
6 tahun lalu
Tontonan:

1 Jurnal Matematika Vol.6 No.1 November 2006 [ 9 : 99 ] MENGKONSTRUKSI SEGI-N RHMGUPT Farid H adruzzaman, Erwin Haraha, M. Yusuf Fajar Jurusan Matematika, UNIS, Jalan Tamansari No 1, andung,40116, Indonesia faridhbadruzzaman@yahoo.com, erwin2h@gmail.com, myusuffajar@yahoo.com bstrak. alam mengkonstruksi segitiga Heron atau segiemat cyclic (segiemat yang dikonstruksi ada sebuah lingkaran) dimana sisi-sisinya meruakan bilangan bulat, daat dilakukan dengan menggabungkan segitiga-segitiga Pytagoras. ari segitiga-segitiga Heron daat dibentuk segi-n rahmaguta. Kata kunci: rahmaguta; Heron; Ptolemy; 1. Pendahuluan Segitiga siku-siku dengan sisi-sisinya bilangan rasional disebut segitiga Pythagoras rasional. Jika sisinya meruakan bilangan bulat, maka disebut segitiga Pythagoras. Sebuah segi n, dengan sisi-sisi, diagonal dan luasnya rasional disebut segi-n Heron rasional, dimana n>. ila bilangan rasional-bilangan rasional dikonversikan ke bilangan bulat dieroleh sebuah segi-n Heron. Jika segi-n Heron adalah cyclic (segitiga dimana setia titik sudutnya ada ada lingkaran), maka dieroleh segi n rahmaguta. 2. Segitiga Heron mbil sebuah segitiga Heron dengan sisinya adalah (a, b, c). Misal cos. Melalui dalil cosinus, sebuah segitiga dengan anjang sisi-sisinya (a, b, c) daat dinyatakan dengan ersamaan 2 a b c 2bc cos 2 a b c 2bc a b c bc a b c c... (1) 4 Jadi a, b c, c meruakan trile Pythagoras. c alam sebuah teorema dinyatakan bahwa jika sebuah segitiga Pythagoras dengan sisi-sisinya (a, b, c) berlaku (,, ),,2 a b c u v u v uv... (2) u dan v bilangan asli dan u > v ari ersamaan (1) dan (2), secara umum daat dinyatakan bentuk berikut ini : 9

2 94 Farid H adruzzaman b c u 2 v 2 a u v dimana 1,2,, Nilai terkecil dari ada ersamaan-ersamaan () di atas adalah 2, sehingga a 2 u v 4 c uv () b uv 2 u v b u 2 v 2 u v 4 c 22uv c uv a, b, c 2 u v, u 2v2 u v,uv, (4) 1 dimana uv, 1; dan u v 2 engan cara yang sama dari sebuah segitiga Heron ' ' ' yang memuat sudut sulemen dari, dieroleh cos '. 2 a' b' c' 2 b' c'cos 2 a' b' c' 2 b' c' a' b' c' b' c' a' b' c' c'... () 4 Jadi a', b' c', c' meruakan trile Pythagoras, dan c a' u v b' c' u v 1,2,, ' 2 c uv... (6) Nilai terkecil dari dari ersamaan-ersamaan (6) adalah 2, sehingga kita memunyai a' 2 u v b uv 2 u v b u 2 v 2 u v 4 c ' 2 2 uv c ' uv a', b', c' 2 u v, u 2v2 u v,uv, dimana u, v 1; u 2v (7) alam bentuk umum ada segitiga Heron untuk sebuah sudut jika diberikan

3 Mengkonstruksi Segi-n rahmaguta 9 cos dan sulemennya cos ',,,,, maka a b c u v u v u v uv... (8) u, v, 1 u v dan ', ', ',, a b c u v u v u v uv... (9) u, v, 1 u v dan ontoh 1 Jika u = dan v = 1, dengan menggunakan ersamaan (4) dieroleh abc,, 2,6,2 dan dengan menggunakan ersamaan (7) dieroleh a', b' c' 2,,2. Kedua asangan tersebut daat digabungkan ada sisi yang anjangnya 2. Hasil gabungan kedua segitiga tersebut dieroleh sebuah segitiga sama kaki dengan anjang sisinya adalah 96,2,2 yang disederhanakan menjadi 24,1,1 ontoh 2 Misal u = dan v = 2 engan menggunakan ersamaan (4) dieroleh,, 1,14,1 Misal u = 4 dan v = 1 abc lihat gambar (1) engan menggunakan ersamaan (7) dieroleh ', ', ',9,10 a b c lihat gambar (2) Gambar Gambar Gambar ieroleh segitiga Heron baru dengan sisi-sisi,26,1 lihat gambar ()

4 96 Farid H adruzzaman. Teorema Ptolemy s a b e f d c Gambar 4 ukti : E Gambar Tetakan sebuah titik E ada sedemikian sehingga E. Karena maka E sehingga E. Karena E E. maka E. Sehingga E ( E E) 4. Mengkonstruksi Segi-n rahmaguta engan mengambil beberaa harga u dan v, dieroleh harga-harga (a, b, c) Tabel 1 : Segitiga Heron u v (a, b, c) (a,b,c) dierbesar T1 1 (4,, ) (40, 42, 2) T2 4 1 (, 21, 10) (40, 420, 200) T (68, 77, 7) (40, 8, 7) T4 7 6 (8, 76, 10) (40, 04, 420) T 9 2 (8, 104, 4) (40, 416, 180) T6 1 1 (68, 7, 1) (40, 7, 6) T7 4 1 (, 9, 10) (40, 180, 200) T8 1 1 (40, 297, 6) (40, 297, 6)

5 Mengkonstruksi Segi-n rahmaguta 97 Kolom 4 dan untuk T 1, T 2, T, T 4, T, T 6 menggunakan ersamaan (4), sedangkan T 7, T 8 menggunakan ersamaan (7) ontoh Misal (a, b, c) = (, 21, 10). ila kita gabungkan dengan dirinya sendiri (gambar 6). Karena, adalah cyclic. engan menggunakan teorema Ptolemy s dieroleh 41 (sebuah bilangan rasional). engan memerbesar anjang sisi-sisinya dan digonalnya sebesar kali, maka kita eroleh segiemat rahmaguta (sebuah traesium) dengan anjang sisinya = 41, = = 0, = 289, = = Gambar 6 ontoh 4 Misal anjang sisi dua buah segitiga Heron adalah (8, 76, 10) dan (8, 104, 4). da dua cara untuk mendaatkan segiemat cyclic ara I Perhatikan gambar 7 di bawah ini Gambar engan menggunakan teorema Ptolemy,. ari gambar 7 di atas, kita lihat bahwa meruakan sebuah segiemat rahmaguta ara II Perhatikan gambar 8 di bawah ini

6 98 Farid H adruzzaman Gambar dieroleh. ari gambar 8 diatas, kita lihat bahwa meruakan sebuah segiemat rahmaguta. ari kedua cara di atas, kita lihat bahwa enggabungan dua segitiga Heron menghasilkan segiemat rahmaguta yang berbeda.. rahmaguta Pentagon (segi lima rahmaguta) Untuk mengkontruksi rahmaguta entagon dierlukan tiga segitiga Heron. i sini sebuah segitiga Heron daat digunakan dua kali, sehingga sebuah segilima rahmaguta (entagon rahmaguta) daat dikonstruksi lebih dari dua cara. ontoh Misal kita ambil asangan sisi-sisi segitiga Heron yang dierbesar T, T 4, dan T 7. Kombinasi entagon rahmaguta daat dikonstruksi dengan segitiga Heron : T, T, T 4 ; T, T 4, T 4; T 7, T 7, T dst E Gambar 9 ari gambar 9 di atas, kita daatkan sebuah entagon rahmaguta (segilima rahmaguta). Untuk menghitung anjang dan gunakan teorema Ptolemy s dan dieroleh ,,

7 Mengkonstruksi Segi-n rahmaguta Kesimulan 1. Menggabungkan dua segitiga Heron atau lebih bisa menghasilkan segi-n rahmaguta yang bentuknya berbeda 2. Untuk mengkonstruksi segi-n rahmaguta dierlukan aling banyak n-2 segitiga Heron aftar Pustaka [1] K.R.S. Sastry (2001). Heron Triangles : Gergonne-evian and Median Persective, Forum Geometricorum Volume 1-24 [2] K.R.S. Sastry (2002). rahmaguta Quadrilateral, Forum Geometricorum Volume [] K.R.S. Sastry (200). ontruction of rahmaguta n-gons, Forum Geometricorum, Volume [4] Santos avid (2002). Pure Maths, Imure Thought, Philadelhia. [] Fine Ira and Osler Thomas J, The Remarkable Incircle a Triangle, eartment of Mathematics, Rowan University Glassboro, NJ 08028

dokumen-dokumen yang mirip

UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I Senin, 5 Maret 1999 Waktu : 2,5 jam

UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I Senin, 5 Maret 999 Waktu :,5 jam SETIAP NOMOR MEMPUNYAI BOBOT 0. Misalkan diketahui fungsi f dengan ; 0 f() = ; < 0 Gunakan de nisi turunan untuk memeriksa aakah f 0 (0)