ANALISIS STABILITAS DAN KENDALI OPTIMAL PADA MODEL PENANGKAPAN IKAN YANG BERINTERAKSI SECARA KANIBAL

Transkripsi

1 ANALISIS STABILITAS DAN KENDALI OPTIMAL PADA MODEL PENANGKAPAN IKAN YANG BERINTERAKSI SECARA KANIBAL Oleh: Iksa Rahayu Dosen Pembimbing: Drs. M. Setijo Winarko, M.Si Drs. Kamiran, M.Si Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya

2 Pendahuluan Ikan memenuhi kebutuhan pangan masyarakat Ikan bersifat kanibal Penangkapan secara besar-besaran Kelestarian populasi ikan terganggu Perlu adanya suatu kebijakan Analisis stabilitas Kendali optimal

3 Tinjauan Pustaka Model Bioekonomi Perikanan Pada model bioekonomi dicari kesetimbangan biologi dan kesetimbangan ekonomi yang masing-masing diselesaikan sebagai berikut

4 Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz adalah suatu metode untuk menunjukkan kestabilan sistem dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik tanpa menghitung akar-akar karakteristik secara langsung.

5 Descartes Rule of Signs Descartes rule of signs ini merupakan cara untuk mengetahui jumlah positive and negative zeroes. Untuk mengaplikasikan aturan ini terlebih dahulu harus memahami variation in sign. Variation in sign terjadi jika tanda dari suatu koefisien berbeda dengan tanda dari koefisien sebelumnya (Stan Brown, 2009). Sebagai contoh, diberikan polynomial Maka mempunyai empat variation in sign. Setelah mengetahui variation in sign selanjutnya menggunakan Descartes rule of signs sebagai berikut: Jumlah akar-akar positif dari sama dengan atau kurang dari jumlah variation in sign. Jumlah akar-akar negative dari sama dengan atau kurang dari jumlah variation in sign.

6 Prinsip Maksimum Pontryagin Pontryagin s Maximum Principle adalah metode mendapatkan bentuk optimal control dengan memaksimalkan fungsi tujuan. Misalkan diberikan: t. 1 max f ( x, t, u) dt dengan konstrain: x g( t, x, u, ) a u b t2 didapatkan persamaan Langrangian L f ( t, x, u) g( t, x, u) w1 ( b u) w2 ( u a), dengan w 1 0, w 2 0 yang memenuhi persamaan keadaan. ' x L, dan kondisi stasioner L x L u 0

7 METODE PENELITIAN 1. Studi literatur 2. Analisis kestabilan lokal 3. Penyelesaian model dengan teori kendali optimal 4. Simulasi model menggunakan Miser 5. Penarikan kesimpulan dan saran

8 Analisis dan Pembahasan Model Penangkapan Ikan Diberikan model penangkapan ikan adalah banyaknya ikan kecil pada waktu adalah banyaknya ikan besar pada waktu adalah konstanta positif adalah koefisien penangakapan ikan kecil. adalah koefisien penangkapan ikan besar. adalah biaya usaha bagi ikan kecil adalah biaya usaha bagi ikan besar. adalah harga kostan per satuan biomassa dari ikan kecil. adalah harga konstan per satuan biomassa dari ikan besar. adalah usaha penangkapan ikan kecil dengan adalah usaha penangkapan ikan besar dengan menunjukkan adanya interaksi kanibal

9 Kestabilan Lokal Titik Setimbang Dari model penangkapan ikan, dengan menyelesaikan Didapatkan titik setimbang dan Selanjutnya menentukan kestabilan lokal dari titik setimbang mencari mtriks Jacobian terlebih dahulu. Didapatkan dengan

10 Matriks Jacobian dengan dan stabil

11 Kesetimbangan Bionomik Kesetimbangan biologi Kesetimbangan bioekonomik Kesetimbangan ekonomi didapatkan dengan

12 Penyelesaian dengan Optimal control Model penangkapan Ikan dapat ditulis sebagai berikut:c Memaksimumkan performansi index: Fungsi Hamiltonian:

13 Berdasarkan prinsip Pontraygin Maksimum, maka harus memenuhi: Kondisi stasioner Persamaan Keadaan Persamaan Co-State

14 Dari pembahasan di atas dapat diperoleh kendali optimal sebagai berikut

15 Simulasi Dengan Kontrol Simulasi diselesaikan menggunakan Miser3 yang dapat langsung untuk memecahkan masalah kendali optimal dengan mendefinisikan masalah kendali optimal tersebut pada M-file, disesuaikan dengan parameter dan nilainilai yang diketahui. ikan hari Gambar a. Stok ikan kecil (state 1)

16 ikan hari Gambar b. Stok ikan besar (state 2)

17 Kesimpulan Pada analisis stabilitas lokal dapat diketahui bahwa model penangkapan populasi ikan yang berinteraksi secara kanibal memiliki titik kesetimbangan yang stabil. Pada optimal control dapat diketahui bahwa optimal control yang diperoleh pada model penangkapan populasi ikan yang berinteraksi secara kanibal (Kar, T.K. dan Chattopadhyay, 2009) mempunyai bentuk yang tidak tunggal. Kendalinya berupa Bang-bang control dan singular control yang bergantung pada nilai fungsi switching. Didapatkan pula yang menunjukkan adanya usaha penangkapan ikan yang menghasilkan profit maksimal sebesar Ini menunjukkan usaha penangkapan yang optimal untuk mencapai fungsi objektif yang maksimal.