Analisis Stabilitas dan Sensitivitas Model Epidemik Flu Burung pada Unggas-Manusia dengan Vaksinasi

Transkripsi

1 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No. 1, (213) Analisis Stabilitas dan Sensitivitas Model Epidemik Flu Burung pada Unggas-Manusia dengan Vaksinasi Wahyuni Ningsih, Mohammad Setijo Winarko, Nuri Wahyuningsih Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya setijo_winarko@yahoo.com Abstrak Penyakit menular seperti flu burung merupakan jenis penyakit menular yang sudah bersifat pandemik. Sehingga perlu adanya penelitian lebih lanjut untuk menganalisa pola penyebaran virus flu burung tersebut. Pada penelitian kali ini dilakukan analisa stabilitas lokal dan analisa sensitivitas terhadap model epidemik flu burung pada unggas-manusia dengan vaksinasi. Dari model epidemik tersebut dicari bilangan reproduksi dasar, analisa stabilitas lokal pada titik setimbang, serta analisa sensitivitas untuk mengetahui parameter-parameter yang sensitif. Hasil yang diperoleh menyatakan bahwa masih terjadi penyebaran virus flu burung saat RR > 1, dan tidak terjadi penyebaran virus flu burung saat RR < 1. Selain itu dari setiap asumsi parameter, beberapa parameter yang mempengaruhi tingkat penyebaran virus flu burung, baik pada populasi manusia maupun pada populasi unggas. Parameterparameter yang sensitif tersebut yaitu laju kelahiran dan laju kematian pada populasi manusia μμ, laju kelahiran dan laju kematian pada populasi unggas μμ, laju kontak rata-rata populasi ss hh ii β1, laju kontak rata-rata populasi vv hh ii β2, laju kontak rata-rata populasi ss ii β3, serta laju kesembuhan dari infeksi γγ. Kata Kunci Analisis sensitivitas, analisis stabilitas lokal, bilangan reproduksi dasar, flu burung, parameter sensitif. I. PENDAHULUAN AAT ini penyakit yang sering dijumpai adalah penyakit Smenular. Salah satu jenis penyakit menular yang cukup ganas dan telah menelan banyak korban di berbagai negara di dunia adalah virus flu burung. Flu atau bisa disebut sebagai influenza adalah suatu infeksi virus pada sistem pernapasan yang disebabkan oleh virus RNA tertentu dari keluarga Orthomyxoviridae [7]. Dari ketiga jenis virus influenza A, B, dan C, virus flu burung sendiri merupakan jenis virus influenza tipe A yang tidak hanya menyerang pada manusia tapi juga pada hewan. Berdasarkan data WHO, virus flu burung telah menelan banyak korban di berbagai negara. Salah satunya yaitu di Indonesia. Sepanjang tahun di Indonesia terdapat 192 kasus flu burung yang menyerang manusia dengan 16 kematian [1], [2]. Tentu saja kondisi ini cukup mengkhawatirkan. Sehingga diperlukan langkah lebih lanjut untuk mencegahnya. Seperti teori yang dikemukakan Kermark dan Mckendrick, penyebaran penyakit menular dapat dideskripsikan secara matematis dengan model kompartemen [3]. Bentuk matematis dari model epidemik flu burung pada unggas-manusia dengan vaksinasi ini yaitu terdiri dari dua subpopulasi pada populasi unggas dan empat subpopulasi pada populasi manusia [4]. SS ḣ (tt) = μμ(1 εε)nn h μμss h (tt) β SS h (tt) II (tt) + θθvv NN h (tt) + σσrr h (tt) (1) VV ḣ (tt) = μμμμnn h β VV h (tt) II (tt) (μμ + θθ)vv NN h (tt) (2) II ḣ (tt) = β SS h (tt) II (tt) + ββ NN 2 VV h (tt) II (tt) (γγ + μμ)ii NN h (tt) (3) RR h(tt) = γγii h (tt) (μμ + σσ)rr h (tt) (4) SS (tt) = μμ NN μμ SS (tt) β SS (tt) II (tt) (5) NN II (tt) = β SS (tt) II (tt) μμ NN II (tt) (6) Populasi manusia terdiri dari populasi individu manusia yang rentan terhadap penyakit (susceptible) SS h, populasi individu manusia yang berada dibawah pengaruh vaksinasi (vaccinated) VV h, populasi individu manusia yang terjangkit penyakit (infected) II h, dan populasi individu manusia yang sembuh (recovered) RR h. Sementara populasi unggas terdiri dari subpopulasi unggas yang rentan terhadap penyakit (susceptible) SS dan subpopulasi unggas yang terjangkit penyakit (infected) II. Disertakan dengan parameter asumsi yaitu μμ sebagai laju kelahiran dan kematian manusia yang besarnya dianggap sama, μμ sebagai laju kelahiran dan kematian unggas yang besarnya dianggap sama, β sebagai laju kontak rata-rata antara SS h dengan II, β sebagai laju kontak rata-rata antara VV h dengan II, β sebagai laju kontak rata-rata antara SS dengan II, εε sebagai bagian dari populasi manusia yang mendapat pemberian obat pencegah flu, σσ sebagai laju hilangnya kekebalan pada populasi manusia akibat infeksi, γγ sebagai laju kesembuhan populasi manusia dari infeksi, serta θθ sebagai laju menurunnya vaksin pada populasi manusia akibat hilangnya kekebalan alami. Dari (1) sampai dengan (6), agar setiap besaran pada model tidak memiliki dimensi dan untuk memudahkan dalam menganalisa model, maka diperlukan adanya normalisasi. Didefinisikan ss h (tt) = SS h (tt) NN h (tt) ss (tt) = SS (tt) NN (tt) vv h (tt) = VV h (tt) NN h (tt) ii (tt) = II (tt) NN (tt) rr h (tt) = RR h (tt) NN h (tt) (7)

2 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No. 1, (213) Gambar. 1. Diagram kompartemen model penyebaran virus flu burung pada unggas-manusia dengan vaksinasi Dapat dibentuk pula diagram kompartemen dari (1) sampai dengan (6) seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 1. Permasalahan yang ada dari model kompartemen tersebut yaitu bagaimana mencari bilangan reproduksi dasar untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit, bagaimana hasil analisis stabilitas lokal dan analisis sensitivitas parameter dari titik setimbang, serta bagaimana hasil simulasi dan interpretasinya. Dengan batasan masalahnya yaitu model epidemik yang dikaji merupakan model epidemik campuran flu burung pada unggas-manusia yang diasumsikan penyebaran flu burung berasal dari populasi unggas ke populasi manusia dengan tambahan subpopulasi manusia yang berada dibawah pengaruh vaksinasi, dan simulasi model dilakukan dengan menggunakan software pemrograman. Sehingga hasil akhir nantinya bilangan reproduksi dasar, hasil analisis stabilitas lokal dan hasil analisis sensitivitas, serta hasil simulasi dan interpretasinya. II. METODE PENELITIAN A. Studi Literatur Berdasarkan permasalahan dan tujuan yang telah dirumuskan sebelumnya, maka selanjutnya akan dilakukan studi literatur sebagai bahan acuan dalam pemecahan permasalahan. Studi literatur ini dilakukan pada jurnal-jurnal ilmiah, tugas akhir, thesis, dan buku-buku yang berkaitan dengan analisis stabilitas dan sensitivitas pada model epidemik. B. Kajian Model Epidemik Model epidemik flu burung pada unggas-manusia dengan vaksinasi pada penelitian ini merupakan jenis model epidemik campuran. Sehingga untuk memahami model tersebut diperlukan kajian agar dapat disusun asumsi-asumsi tertentu dan dapat dibuat model kompartemen dengan empat populasi individu pada manusia, dan juga dua subpopulasi pada populasi unggas. C. Analisa Stabilitas Pada tahap ini dilakukan analisa terhadap model epidemik secara analitik untuk mendapatkan bilangan reproduksi dasar RR. Setelah itu dicari titik setimbang yang nantinya digunakan untuk menganalisa stabilitas lokal sistem dinamik tersebut. D. Simulasi dan Analisis Hasil yang disimulasikan menggunakan software pemrograman untuk menampilkan grafik kestabilan sistem. Selain itu pada simulasi ini dilakukan analisa sensitivitas dengan cara mengubah besarnya nilai parameter dengan nilai yang berbeda-beda yang disesuaikan dengan sistem. Hal ini dilakukan untuk mengidentifikasi parameter yang sensitif. Dan estimasi pada parameter-parameter tersebut berhenti ketika tingkat ketelitian terpenuhi. E. Penarikan Kesimpulan dan Saran Penarikan kesimpulan dilakukan berdasarkan hasil simulasi dan analisa yang dilakukan sebelumnya. Selanjutnya akan diberikan saran sebagai bahan masukan untuk pengembangan pada penelitian selanjutnya. III. HASIL DAN PEMBAHASAN A. Analisis Stabilitas Lokal Dalam melakukan analisis stabilitas model epidemik, ada beberapa langkah yang harus dilakukan. Dengan melakukan normalisasi model, setelah diinputkan (7) dan direduksi dengan mensubstitusi rr h (tt) = 1 (ss h (tt) + vv h (tt) + i (tt)) dan ss (tt) = 1 ii (tt), maka (1) sampai dengan (6) akan berubah menjadi, ddi (tt) ddii (tt) = aa ss h (tt) μμ + β ii (tt) + σσ vv h (tt)(σσ θθ) σσi (tt) = μμμμ β vv h (tt)ii (tt) (μμ + θθ)vv h (tt) = β ss h (tt)ii (tt) + β vv h (tt)ii (tt) (γγ + μμ)i (tt) = β 1 ii (tt) ii (tt) μμ ii (tt) dengan aa = μμ(1 εε) + σσ dan daerah batas penyelesaian Ω = { ss h (tt), vv h (tt), i (tt),, ii (tt) ss h (tt) + vv h (tt) + i (tt) 1, ii (tt) 1} serta semua parameter bernilai positif. Dengan menggunakan (8), maka selanjutnya akan dicari titik setimbang. 1. Titik setimbang bebas penyakit Titik setimbang bebas penyakit EE (ss h,, vv h,) dengan ii ḣ = ii =. = aa ss h (tt)(μμ + σσ) (tt)(σσ vv h θθ) = aa = ss h (tt)(μμ + σσ) + (tt)(σσ vv h θθ) (9) = μμμμ (μμ + θθ)vv (tt) h = (tt) = μμμμ = φφ (1) vv h (μμ +θθ) Substitusi (1) ke dalam (9), sehingga ss h (tt) = 1 μμε+φφ(σσ θθ) (μμ +σσ) (8)

3 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No. 1, (213) Titik setimbang endemik Titik setimbang endemik EE 1 (ss h, vv h, ii h, ii ) dengan ii h, ii. Untuk mendapatkan ss h, vv h, ii h, dan ii dengan menggunakan (8) maka dilakukan langkahlangkah sebagai berikut : = aa ss h (tt) μμ + β ii (tt) + σσ vvh (tt)(σσ θθ) σσii h (tt) = ss h (tt) = (γγ+μμ )i (tt) β vv h (tt)ii (tt) β ii (tt) (16) Substitusi (14), dan (15) ke dalam (16) sehingga didapat ss h (tt) = (γγ+μμ )i (tt) β cccc β (17) Setelah itu substitusi (17) ke dalam (11), sehingga didapat ss h (tt) = aa vv h (tt)(σσ θθ) σσii h (tt) vv h (tt) = ddi (tt) μμ +β ii (tt)+σσ = μμμμ β vv h (tt)ii (tt) (μμ + θθ)vv h (tt) = μμμμ β ii (tt)+(μμ +θθ) = β ss h (tt)ii (tt) + β vv h (tt)ii (tt) (γγ + μμ)ii ḣ (tt) = ii h (tt) = βss h (tt)ii (tt)+β vv h (tt)ii (tt) ddii (tt) (γγ+μμ ) = β 1 ii (tt) ii (tt) μμ ii (tt) = (11) (12) (13) (γγ+μμ )i (tt) ββ2 cccc β = aa cc(σσ θθ) σσii h (tt) (μμ +β +σσ) i (tt) = β β (σσ θθ)+β cccc (μμ +β +σσ) (μμ +β +σσ)(γγ+μμ )+β σσ = dd (18) Selanjutnya substitusi (14), (15), dan (18) ke dalam (11), sehingga ss h (tt) = (aa cc(σσ θθ) σσdd) (μμ +β +σσ) Jadi, diperoleh titik setimbang endemik EE 1 (ss h, vv h, ii h, ii ) dengan ss h (tt) = (aa cc(σσ θθ) σσdd) (μμ +β +σσ) vv μμμμ h (tt) = = cc β +(μμ +θθ) ii h (tt) = β β (σσ θθ)+β cccc (μμ +β +σσ) (μμ +β +σσ)(γγ+μμ )+β σσ ii (tt) = 1 (ββ β μμ ) = 3 = dd ii (tt) = 1 β (β μμ ) = (14) Dari (14) dapat dicari bilangan reproduksi dasar yaitu ii (tt) = 1 β (β μμ ) ii (tt) = μμ β β μμ 1 Berdasarkan persamaan diatas, jika nilai (β /μμ ) < 1 maka penyebaran virus flu burung akan berkurang. Namun, jika (β /μμ ) > 1 maka penyebaran virus flu burung masih terjadi. Dengan demikian dapat dikatakan bilangan reproduksi dasar yang dicari yaitu RR = β μμ Substitusi (14) ke dalam (12), vv h (tt) = μμμμ β +(μμ +θθ) Selanjutnya (13) menjadi = cc (15) Karena titik setimbang sudah maka selanjutnya yaitu melakukan analisa stabilitas lokal. Namun sebelumnya, terlebih dahulu dilakukan linierisasi sebagai berikut : Misalkan ddi (tt) ddii (tt) = ww(ss h, vv h, i, ii ) = xx(ss h, vv h, i, ii ) = yy(ss h, vv h, i, ii ) = zz(ss h, vv h, i, ii ) Pendekatan linier dilakukan disekitar titik setimbang. Misalkan titik setimbang ss h, ii h, vv h, ii. Sehingga dengan menggunakan ekspansi deret Taylor maka matriks Jacobian JJ untuk titik setimbang ss h, ii h, vv h, ii yaitu ss h vv h i ii ss JJ = h vv h i ii ss h vv h i ii ss h vv h i ii ss h,i,vvh,ii

4 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No. 1, (213) Selanjutnya dilakukan analisis stabilitas titik setimbang bebas penyakit dan analisis stabilitas titik setimbang endemik. 1. Analisis stabilitas titik setimbang bebas penyakit Matriks Jacobian nya yaitu JJ 1 = (μμ + σσ) (σσ θθ) (μμ + θθ) σσ β ss h β vv h (γγ + μμ) β ss h + β vv h β μμ Hasil determinan dari JJ 1, persamaan karakteristik yaitu PP 1 (λλ) = ( (μμ + σσ) λλ)( (μμ + θθ) λλ)( (γγ + μμ) λλββ3 μμ λλ Sehingga akar-akar karakteristiknya yaitu λλ 1 = (μμ + σσ), λλ 2 = (μμ + θθ), λλ 3 = (γγ + μμ), dan λλ 4 = β μμ = μμ (RR 1) Titik setimbang suatu sistem dikatakan stabil jika nilai bagian real dari akar-akar persamaan karakteristik bernilai negatif. Maka dari itu, berdasarkan akar-akar karakteristik diatas, titik setimbang bersifat stabil asimtotis jika RR < 1 [8]. 2. Analisis stabilitas titik setimbang endemik Matriks Jacobian nya yaitu JJ 2 = (μμ + σσ + βii ) (σσ θθ) β ii (μμ + θθ) β ii β ii σσ β ss h β vv h (γγ + μμ) β ss h + β vv h β 2β ii μμ Hasil determinan dari JJ 2, persamaan karakteristik yaitu PP 2 (λλ) = (β ii + μμ + θθ + λλ)( β + μμ λλ)( λλ 2 GGGG HH) = Sehingga akar-akar karakteristiknya yaitu λλ 1 = (β ii + μμ + θθ) λλ 2 = β β μμ = μμ ββ (RR 1) 3 λλ 3 dan λλ 4 dicari dengan menggunakan teori kestabilan Routh-Hurwitz. Misalkan GG = (μμ + σσ + β ii + γγ + μμ) dan HH = (μμ + σσ + β ii )(γγ + μμ) + σσβ ii. Sehingga untuk RR > 1, GG >, HH >, dan GGGG >. Jadi dapat disimpulkan bahwa titik setimbang endemik bersifat stabil asimtotis lokal untuk RR > 1 [8]. B. Analisis Sensitivitas Setelah dilakukan analisis stabilitas lokal itik setimbang, maka selanjutnya dilakukan analisis sensitivitas untuk mendapatkan parameter yang sensitif dan mempengaruhi arah penyebaran virus flu burung, baik pada populasi manusia maupun populasi unggas. Secara umum, analisis sensitivitas dilakukan dengan [1]: a. Mendefinisikan model yaitu menentukan variabel bebas dan tak bebas b. Menetapkan kemungkinan nilai fungsi input untuk tiap parameter c. Menghasilkan suatu matriks input melalui sebuah metode sampling random, menghitung vektor output d. Menilai pengaruh dan kepentingan relatif dari setiap hubungan input/output. Untuk melakukan analasis sensitivitas ini, diasumsikan nilai inputan dari masing-masing parameter [3] yaitu μμ =,2 (per tahun), μμ =,2 (per hari), β =,26 (per (tahun*orang*ekor)), β =,35 (per (tahun*orang*ekor)), β =,45 (per (hari*ekor)), εε =,2, θθ =,6 (per tahun),σσ =,4 (per tahun), γγ =,9 (per tahun) Dengan nilai tiap subpopulasi yaitu ss h () = vv h () = i () = ii () =,3. Didapatkan hasil simulasinya dalam waktu (bulan) yaitu populasi Gambar. 2. Grafik tiap populasi terhadap waktu (bulan) s h v h i b Didapatkan pula titik setimbang endemik EE 1 (ss h, vv h, ii ḣ, ii ), dengan ss h =,789586; vv h =,143141; ii h =,48926; dan ii =,555556; serta RR = 2,25. Dalam melakukan analisis sensitivitas, maka perlu dilakukan memasukkan nilai input yang berbeda secara random dari setiap parameter itik setimbang endemik µ.2 µ - 5% µ.1 µ + 2% µ Gambar. 3. Grafik populasi i terhadap waktu dengan variasi nilai input parameter μμ

5 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No. 1, (213) Pada Gambar 3 terlihat bahwa parameter μμ cukup mempengaruhi arah penyebaran virus flu burung pada populasi manusia i %.1 + 2% Gambar. 4. Grafik populasi i terhadap waktu dengan variasi nilai input parameter μμ Pada Gambar 4 terlihat bahwa parameter μμ mempengaruhi arah penyebaran virus flu burung pada populasi manusia i. i b %.1 + 2% Gambar. 5. Grafik populasi ii terhadap waktu dengan variasi nilai input parameter μμ Pada Gambar 5 terlihat bahwa parameter μμ mempengaruhi arah penyebaran virus flu burung pada populasi unggas ii %.1 + 2% Gambar. 6. Grafik populasi i terhadap waktu dengan variasi nilai input parameter β. Pada Gambar 6 terlihat bahwa parameter β mempengaruhi arah penyebaran virus flu burung pada populasi manusia i % + 2% Gambar. 7 Grafik populasi i terhadap waktu dengan variasi nilai input parameter β Pada Gambar 7 terlihat bahwa parameter β mempengaruhi arah penyebaran virus flu burung pada populasi manusia % + 2% Gambar. 8 Grafik populasi i terhadap waktu dengan variasi nilai input parameter β Pada Gambar 8 terlihat bahwa parameter β mempengaruhi arah penyebaran virus flu burung pada populasi manusia i. i b %.2 + 2% Gambar. 9 Grafik populasi ii terhadap waktu dengan variasi nilai input parameter β Pada Gambar 9 terlihat bahwa parameter β mempengaruhi arah penyebaran virus flu burung pada populasi unggas ii. Simulasi dengan variasi nilai input ini juga dilakukan untuk parameter σσ, γγ, θθ, dan εε. Serta dilakukan juga variasi input terhadap perubahan nilai output populasi yang lainnya. Berdasarkan hasil simulasi tersebut parameter-

6 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No. 1, (213) parameter yang sensitif yaitu μμ, μμ, β, β, β, dan γγ. Parameter-parameter yang sensitif tersebut merupakan parameter yang berpengaruh terhadap arah penyebaran virus flu burung, baik pada populasi manusia maupun pada populasi unggas. Untuk lebih jelasnya berikut diberikan variasi nilai input tiap parameter dan hasil nilai outputnya pada Tabel 1. Tabel 1. Variasi nilai input tiap parameter terhadap nilai output tiap subpopulasi Nilai Nilai (%) variasi ss hh vv hh ih ii μμ =,2-5%,1,7732,1114,72, %,13,786,1241,622,5556 μμ =,2 β =,26 β =,35 β =,45 εε =,2 θθ =,6 σσ =,4 γγ =,9 2%,24,7922,152,435, %,33,7955,1612,348,5556-5%,1,769,1392,667, %,13,775,144,614,7111 2%,24,7981,1447,415, %,33,818,1485,243,2667-5%,13,8157,1431,299, %,169,877,1431,357,5556 2% 312,7795,1431,561, %,429,758,1431,718,5556-5%,175,797,1483,443, %,2275,793,1466,457,5556 2%,42,7891,1412,56, %,5775,7882,1369,544,5556-5%,225,8342,1515,13, %,2925,8129,1475,286,3162 2%,54,7826,1418,549, %,7425,7732,14,63,73-5%,1,8627,715,477, %,13,847,93,481,5556 2%,24,763,1717,493, %,33,694,2361,54,5556-5%,3,7719,163,492, %,39,7776,1547,491,5556 2%,72,7956,1372,488, %,99,875,1256,486,5556-5%,2,788,1431,488, %,26,7885,1431,488,5556 2%,48,791,1431,489, %,66,7912,1431,49,5556-5%,45,7881,1431,578, %,585,7886,1431,548,5556 IV. KESIMPULAN Kesimpulan yang dapat diambil darasil analisa diatas yaitu : 1. Bilangan reproduksi dasar dari model epidemik flu burung pada unggas-manusia dengan vaksinasi yaitu RR = β. μμ 2. Penyebaran virus flu burung tetap akan terjadi jika bilangan reproduksi dasar RR > 1 dan tidak akan terjadi penyerbaran virus flu burung jikabilangan reproduksi dasar RR < Didapatkan pula parameter yang sensitif yang dapat mempengaruhi arah penyebaran virus flu burung baik pada populasi unggas maupun pada populasi manusia. Parameter-parameter yang sensitif tersebut yaitu laju kelahiran dan laju kematian pada subpopulasi manusia μμ, laju kelahiran dan laju kematian pada subpopulasi unggas μμ, laju kontak rata-rata populasi ss h ii β, laju kontak rata-rata populasi vv h ii β, laju kontak rata-rata populasi ss ii β, serta laju kesembuhan dari infeksi γγ. DAFTAR PUSTAKA [1 ] WHO, H5N1 Avian Influenza : Timeline of Major Events. 17 December b.pdf. Diakses pada tanggal 21 Desember 212, pukul 1. WIB [2] DEPKES RI, Laporan Kasus Fu Burung Desember Diakses pada tanggal 21 Desember 212, pukul 1. WIB [3] Liu, X., Takeuchi, Y., Iwami, S. (27). SVIR epidemic models with vaccination strategies. Journal of Theoretical Biology. [4] Agarwal, M., dan Verma, V. (21). An Avian-Human Influenza Epidemic Model with Vaccination. Journal of Applied Sciences. Vol 5 (6). Hal : [5] Rahmalia, D. (21). Pemodelan Matematika dan Analisa Stabilitas dari Penyebaran Penyakit Flu Burung. Surabaya : Institut Teknologi Sepuluh Nopember. [6] Taslima. (211). Kendali Optimal pada Pencegahan Wabah Flu Burung dengan Eliminasi, Karantina, dan Pengobatan. Surabaya : Institut Teknologi Sepuluh Nopember. [7] Earn, D. J. D., Dushoff, J., dan Levin, S. A. (22). Ecology and evolution of the flu, Trends Ecol. Evol., 17, Hal : [8] Finizio, N., dan Landas, G. (1988). Ordinary Differential Equations with Modern Applications. California: Wadsworth Publishing Company. [9] Linda J.S. Allen. (27). An Introduction to: Mathematical Biology. United States: Prentice Hall. [1] Hamby, D. M. (1994). A Review of Techniques for Parameter Sensitivity Analysis of Environmental Models. Netherlands : Kluwer Academic Publisher. 2%,18,79,1431,46, %,1485,798,1431,47,5556