ADLN PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA BAB IV PEMBAHASAN. optimal dari model untuk mengurangi penyebaran polio pada dengan

Transkripsi

1 BAB IV PEMBAHASAN Pada bab ini akan dilakukan analisis model dan kontrol optimal penyebaran polio dengan vaksinasi. Dari model matematika penyebaran polio tersebut akan ditentukan titik setimbang dan kemudian dianalisis kestabilan dari titik setimbang yang diperoleh. Selain itu akan menentukan bentuk kontrol optimal dari model untuk mengurangi penyebaran polio pada dengan menggunakan Prinsip Maximum Pontryagin dan disimulasikan menggunakan toolbox DOTcvp pada software MATLAB. 4.1 Analisis Model Pada jurnal yang diperkenalkan oleh Agarwal dan Bhadauria (2011) dikaji model penyebaran polio dengan vaksinasi. Asumsi yang digunakan dalam pembentukan model matematika penyebaran polio adalah sebagai berikut : 1. Populasi yang diperhitungkan adalah populasi manusia 2. Populasi Susceptible yang hanya mendapatkan vaksinasi dan akan kebal terhadap polio. 3. Populasi dibagi menjadi empat sub populasi yang ditunjukkan dalam tabel berikut : 24

2 25 Tabel 4.1 Variabel dalam Model Penyebaran Polio VARIABEL S (t) E (t) I (t) V(t) KETERANGAN Jumlah individu yang rentan (Susceptible) pada saat t Jumlah individu laten (Exposed) pada saat t Jumlah individu terinfeksi (Infective) pada saat t Jumlah individu yang sudah divaksinasi pada saat t Parameter yang digunakan ditunjukkan pada tabel sebagai berikut, Tabel 4.2 Parameter dalam Model Penyebaran Polio PARAMETER A β rβ μ a b v u KETERANGAN Laju imigrasi populasi manusia konstan Probabilitas penularan infeksi oleh popolasi yang terinfeksi (Infective) Probabilitas penularan infeksi oleh populasi laten (Exposed) Laju kematian alami Laju kematian akibat polio Laju transmisi keadaan laten (Exposed) menuju keadaan terinfeksi Laju perubahan populasi manusia rentan (Susceptible) pindah ke populasi manusia yang divaksin Usaha untuk mengurangi penyebaran polio dengan memberikan kontrol berupa usaha pemberian vaksinasi

3 26 Jika N (t) menyatakan total populasi, maka N (t) = S(t) + E(t) + I(t) + V(t) dan karena N menyatakan jumlah individu dalam populasi tertentu, sehingga diasumsikans(0) > 0, E(0), I(0), V(0) 0.Selain itu, agar mempunyai makna secara biologi maka semua parameter bernilai positif Berdasarkan asumsi-asumsi dan parameter di atas maka dapat dibentuk diagram transmisi sebagai berikut : μs μe αi μi μv A βsi be S E I V rβse vs Gambar 4.1 Diagram transmisi Penyebaran Polio Tanpa Kontrol Berdasarkan diagram transmisi di atas, model matematika penyebaran polio dapat dinyatakan dalam persamaan diferensial sebagai berikut : ds = A βsi rβse (μ + v)s (4.1) de = βsi + rβse (b + μ)e (4.2) di = (b)e (μ + α)i (4.3) dv = vs μv. (4.4) Persamaan (4.1) menunjukkan bahwa laju perubahan populasi rentan (Susceptible) meningkat karena adanya laju imigrasi populasi manusia dan berkurang karena adanya probabilitas penularan infeksi oleh popolasi yang

4 27 terinfeksi (Infective) dan populasi laten (Exposed) dan berkurang karena adanya kematian alami dan laju perubahan populasi manusia rentan (Susceptible) pindah ke populasi manusia yang sudah divaksin. Persamaan (4.2) menunjukkan bahwa laju perubahan populasi laten (Exposed) meningkat karena adanya probabilitas penularan infeksi oleh popolasi yang terinfeksi (Infective) dan populasi laten (Exposed) dan berkurang karena kematian alami serta laju transmisi keadaan laten (Exposed) menuju keadaan terinfeksi. Persamaan (4.3) menunjukkan bahwa laju perubahan populasi infeksi (Infective) meningkat karena laju transmisi keadaan laten (Exposed) menuju keadaan terinfeksi dan berkurang karena kematian alami serta kematian karena polio. Persamaan (4.4) menunjukkan bahwa laju perubahan populasi yang sudah divaksin bertambah karena laju perubahan populasi manusia rentan (Susceptible) pindah ke populasi manusia yang sudah divaksin dan berkurang karena kematian alami. Selanjutnya, akan dilakukan analisis kestabilan system dari model matematika penyebaran polio. Langkah pertama yang dilakukan adalah menentukan titik setimbang dari model tersebut. Setelah menentukan titik setimbang, persamaan differensial nonlinier dari model penyebaran polio akan dilinearisasi menjadi system persamaan differensial linier dengan menggunakan matriks Jacobian. Kemudian titik setimbang yang telah diperoleh disubstitusikan ke dalam matriks Jacobian sehingga dapat dibentuk persamaan karakteristik untuk memperoleh nilai eigen. Nilai eigen tersebut digunakan untuk menentukan

5 28 kestabilan sistem dari model matematika penyebaran polio. Untuk pembahasan lebih lanjut akan dijelaskan pada sub bab berikut Titik Setimbang Model Keadaan setimbang merupakan suatu kondisi ketika perubahan jumlah subpopulasi tertentu sepanjang waktu adalah nol. Berdasarkan Definisi 2.4, maka model penyebaran populasi nyamuk pada (4.1) hingga (4.4) dikatakan setimbang jika memenuhi ds. = de = di = dv = 0 Dari sini diperoleh : ds de = A βsi rβse (μ + v)s = 0 (4.5) = βsi + rβse (b + μ)e = 0 (4.6) di = (b)e (μ + α)i = 0 (4.7) dv = vs μv = 0. (4.8) Dari persamaan (4.5) (4.8) diperoleh dua titik setimbang yaitu titik setimbang bebas penyakit dan titik setimbang endemik. Titik setimbang bebas penyakit yaitu suatu kondisi ketika tidak terjadi penyebaran polio. Kondisi ini didapatkan saat E 0 = I 0 = 0. Dari sini, total populasi sama dengan total populasi pada subpopulasi S (Susceptible) dan V(Vacined). Misalkan titik setimbang bebas penyakit dengan K 0 = (S 0, E 0, I 0, V 0 ) = (S 0, 0,0, V 0 ). Dengan mensubtitusikan E 0 = 0, I 0 = 0 kedalam persamaan (4.5) (4.8), diperoleh : ds 0 = A βsi rβse (μ + v)s = 0 S 0 = A μ + v

6 29 dv 0 = vs μv = 0 V va 0 = μ(μ + v). Dari sini didapatkan titik setimbang bebas penyakit sebagai berikut, K 0 = ( A va, 0, 0, μ + v μ(μ + v) ). Selanjutnya, akan ditentukan basic reproduction ratio (R 0 ) yang akan digunakan untuk parameter ambang penentuan kriteria endemik penyakit pada populasi. Dalam skripsi ini, untuk mendapatkan R 0 dilakukan dengan membangun matriks yang membangkitkan jumlah individu baru yang terinfeksi. Matriks ini biasanya dinotasikan dengan K dan dinamakan Next-Generation Matrix (NGM). Untuk mendapatkan R 0 cukup memperhatikan subpopulasi E dan I, karena subpopulasi inilah yang menjadi pelopor penyebaran penyakit. Subpopulasi tersebut adalah de = βsi + rβse (b + μ)e = 0 (4.6) di = (b)e (μ + α)i = 0. (4.7) Misalkan a = [ E I ]. Dari sini, persamaan (4.6) (4.7) dapat ditulis sebagai da = F(a) V(a) dengan F(a) adalah matriks transmisi, yaitu matriks yang berisi subpopulasi tahapan awal individu yang terinfeksi tuberkulosis akibat kontak dengan individu I. Sedangkan V(a) adalah matriks transisi, yaitu matriks yang berisi subpopulasi

7 30 individu yang terinfeksi tuberkulosis dan berkembang menjadi tahapan tuberkulosis yang nantinya akan dikarantina. Oleh karena itu didapatkan, βsi + rβse F(a) = [ ], 0 dan (b + μ)e V(a) = [ (μ + α)i be ]. Misalkan F dan V masing-masing adalah matriks Jacobian dari F(a) dan V(a) yang dievaluasi pada titik setimbang bebas penyakit K 0, sehingga dapat ditulis sebagai F = [ rβs βs + μ) 0 ], V = [(b 0 0 b (μ + α) ] Dengan metode Next-Generation Matrix, R 0 dapat dicari dengan menentukan nilai eigen terbesar dari matrik K = FV 1 atau dapat dinyatakan sebagai R 0. Perhitungan lengkap dapat dilihat pada Lampiran 1. Dari sini diperoleh, R 0 = rβa(μ + α) + βab (μ + v)(μ + b)(μ + α) Titik setimbang endemik yaitu suatu kondisi ketika terjadi penyebaran polio dalam suatu populasi dan masih terdapat populasi yang terinfeksi polio. Kondisi tersebut terjadi saat S 0 artinya terdapat populasi sehat, E 0 artinya terdapat populasi terinfeksi polio yang tidak disadari, I 0 yang berarti terdapat populasi terinfeksi polio yang sadar terkena infeksi, V 0 yang artinya populasi manusia yang sudah di vaksin. Titik setimbang endemik dinyatakan dalam K 1 =

8 31 (S, E, I, V) = ( S, E, I, V ). Dari hasil perhitungan, titik setimbang endemik K 1 = ( S, E, I, V ) adalah sebagai berikut : S = z 4z 5 βz 2 E = Aβz 2 vbz 4 z 3 z 4 μ βz 2 z 4 Syarat E eksis atau E > 0 adalah Aβz 2 vbz 4 + z 3 z 4 μ > 0 I = b(aβz 2 z 3 z 4 μ vαz 4 ) β(z 1 μb + z 4 s 1 ) dengans 1 = 2μrα + μ 2 r + αb + rα 2 Syarat I eksis atau I > 0 adalah Aβbz 2 b(z 3 z 4 μ + vαz 4 ) > 0 V = v(z 1μ + bα) μβz 2. Uraian lengkap perhitungan titik setimbang endemik K 1 bisa diihat pada Lampiran Analisa Kestabilan Asimtotis Lokal Berdasarkan persamaan (4.1) - (4.4) terlihat bahwa sistem tersebut merupakan sistem autonomus non linier, maka untuk mendapatkan kestabilan asimtotis lokal dari sistem model matematika penyebaran polio akan dilakukan linierisasi dengan menggunakan matriks Jacobian. Selanjutnya, analisis kestabilan yang diperoleh dengan cara linearisasi tersebut dinamakan analisis kestabilan lokal.

9 32 Persamaan (4.1) - (4.4) dapat dinyatakan sebagai fungsi dari variable S, E, I, V, sehingga persaaman tersebut dapat dinyatakan secara umum: f 1 (S, E, I, V) = ds f 2 (S, E, I, V) = de f 3 (S, E, I, V) = di f 4 (S, E, I, V) = dv. Dengan menggunakan Definisi 2.4, maka matriks Jacobian dari (4.1) (4.4) adalah f 1 S f 2 S J = f 3 S f 4 [ S f 1 E f 2 E f 3 E f 4 E f 1 f 1 I V f 2 f 2 I V. f 3 f 3 I V f 4 f 4 I V ] Dari sini diperoleh matriks Jacobian sebagai berikut : βi rβe μ v βi + rβe J = ( 0 v rβs βs 0 rβs b μ βs 0 ). b μ α μ Berdasarkan Teorema 2.4.5, untuk menganalisis kestabilan dari titik setimbang, dapat dilihat melalui nilai eigen matriks Jacobian pada titik setimbang tersebut. Berikut akan dialisis kestabilan asimtotis lokal dari titik setimbang non endemik (K 0 ) dan endemik (K 1 ).

10 33 1. Kestabilan Asimtotis Lokal pada Titik Setimbang Bebas Penyakit Langkah pertama menentukan kestabilan pada titik setimbang bebas penyakit yaitu mensubstitusikan nilai titik setimbang K 0 = (S 0, E O, I O, V O ) = ( A va, 0, 0, μ + v μ(μ + v) ). ke matriks Jacobian, sehingga diperoleh : J K 0 = ( μ v 0 0 v rβa βa μ + v μ + v 0 rβa μ + v b μ βa μ + v 0. b μ α μ) Berdasarkan matriks Jacobian tersebut, dapat dibentuk suatu peramaan karakteristik dengan menggunakan det(j K λi = 0) sebagai berikut : 0 (μ + λ)(λ 3 + λ 2 A 1 + λa 2 + A 3 ) = 0 (4.9) Misalkan, A 1 = x 1 + x 2 x 3 A 2 = x 4 + 2μx 2 + x 6 (x 5 + x 3 x 8 ) A 3 = x 2 μ 2 + x 6 μ + x 10 (x 3 (μ 2 + x 7 ) + x 5 x 9 ) Dengan, x 1 = 3μ x 2 = v + b + α x 3 = rβa μ + v x 4 = 3μ 2 x 5 = βab μ + v

11 34 x 6 = vb + bα + vα x 7 = μα + vμ + vα x 8 = 2μ + v + α x 9 = μ + v x 10 = vbα + μ 3 (4.10) Berdasarkan persamaan (4.9) maka diperoleh nilai eigen λ 1 = μ, karena bernilai negative, maka jelas bahwa λ 1 < 0 dan, sisanya adalah akar-akar dari persamaan karakteristik λ 3 + λ 2 A 1 + λa 2 + A 3 = 0 (4.11) Pandang persamaan (4.11) dengan merujuk pada persamaan (4.10) Tanda dari nilai eigen yang merupakan akar persamaan dari (4.11) tidak mudah ditentukan, sehingga kriteria Routh-Hurwitz. Berdasarkan Teorema syarat agar akar persamaan (4.11) bernilai negatif atau mempunyai bagian real negatif adalah A 1, A 2, A 3 > 0 dan A 1 A 2 > A 3. Pertama akan ditunjukan bahwa A 1 > 0 A 1 = x 1 + x 2 x 3 = (x 1 + x 2 )(1 R 1 ) dengan 1 R 1 = ( ) x x 1 + x 3 2 dengan mengacu pada persamaan (4.10) diperoleh bahwa syarat untuk A 1 > 0 adalah R 1 < 1 Kedua akan ditunjukkan bahwa A 2 > 0

12 35 A 2 = x 4 + 2μx 2 + x 6 (x 5 + x 3 x 8 ) = (x 4 + 2μx 2 + x 6 )(1 R 2 ) dengan 1 R 2 = ( ) (x x 4 + 2μx 2 + x 5 + x 3 x 8 ) 6 dengan mengacu pada persamaan (4.10)diperoleh bahwa syarat untuk A 2 > 0 adalah R 2 < 0 Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa A 3 > 0 A 3 = x 2 μ 2 + x 6 μ + x 10 (x 3 (μ 2 + x 7 ) + x 5 x 9 ) = (x 2 μ 2 + x 6 μ + x 10 )(1 R 0 ) dengan R 0 = rβa(μ + α) + βab (μ + v)(μ + b)(μ + α) dengan mengacu pada persamaan (4.10) diperoleh bahwa syarat untuk A 3 > 0 adalah R 0 < 1 Terakhir akan ditunjukkan bahwa A 1 A 2 A 3 > 0 A 1 A 2 A 3 = (1 R 1 )(1 R 2 ) (1 R 0 ) = 1 R 1 R 2 + R 1 R 2 (1 R 0 ) = (R 1 + R 2 ) + R 0 + R 1 R 2 Syarat untuk A 1 A 2 A 3 > 0 adalah R 0 > R 1 + R 2. Berdasarkan uraian di atas, dapat dibentuk teorema mengenai kestabilan asimtotis titik setimbang bebas penyakit Polio K 0 sebagai berikut:

13 36 Teorema 4.1. Titik setimbang bebas penyakit polio K 0 = ( A μ+v va, 0, 0, ) pada μ(μ+v) model penyebaran polio stabil asimtotis jika dan hanya jika memenuhi nilai batas bebas penyakit polio R 1 < 1, R 2 < 1, R 0 < 1, dan R 0 > R 1 + R 2. Dalam sudut pandang biologi Teorema 4.1., menunjukkan bahwa penyebaran polio dapat diminimalisir dari populasi atau tidak menyebar jika memenuhi R 1 < 1, R 2 < 1, R 0 < 1, dan R 0 > R 1 + R 2 Uraian lengkapnya dapat dilihat pada Lampiran Kestabilan Asimtotis Lokal Pada Titik Setimbang Endemik Langkah pertama menentukan kestabilan pada titik setimbang endemik yaitu mensubstitusikan nilai titik setimbang K 1 = (S, E, I, V ) ke matriks Jacobian, sehingga di peroleh P 1 μ v rβp 2 J K 1 = ( P 1 rβp 2 βμ 0 b v 0 βp 2 0 βp 2 0 ) μ α 0 0 μ Misalkan, P 1 = c + d P 2 = e dengan demikian diperoleh persamaan karakteristik dari matriks J K 1 sebagai berikut : λ 4 + λ 3 Q 1 + λ 2 Q 2 + λq 3 + Q 4 = 0 (4.12) dengan nilai c, d, e, Q 1, Q 2, Q 3 danq 4 dapat dilihat di Lampiran 4.

14 37 Untuk menentukan akar-akar dari persamaan karakteristik di atas sulit dilakukan secara implisit, sehingga menggunakan metode numerik untuk menentukan kestabilan dari titik setimbang endemic dengan menggunakan software Matlab (Lampiran 5). Simulasi ini dilakukan dengan memberi nilai parameter dan tiga nilai awal untuk ((S(0), E(0), I(0), V(0)) yang berbeda. Hal ini bertujuan untuk mengetahui kekonvergenan solusi dari tiap-tiap nilai awal dan parameter yang diberikan. Berikut ini diberikan tabel nilai awal dan nilai parameter pada model penyebaran Polio. Simulasi ini dilakukan untuk t = 0 sampai t = 10. Tabel 4.3 Nilai Awal NILAI AWAL S(0) E(0) I(0) V(0) WARNA Kuning Merah Biru Tabel 4.4 Nilai parameter Model Penyebaran Polio PARAMETER NILAI PARAMETER SUMBER A 1350 Asumsi β Agarwal, dkk (2011) r Asumsi μ Asumsi v Asumsi α 0.95 Asumsi b Asumsi

15 38 Gambar 4.2 Grafik bidang fase populasi E terhadap populasi I pada model penyebaran polio. Gambar 4.2 di atas adalah gambar grafik E terhadap I dari model penyebaran polio berdasarkan nilai awal yang diberikan. Dari gambar tersebut terlihat saat ketiga nilai awal diberikan, semua grafiknya cenderung konvergen ke titik ( ; ) yang tidak lain merupakan titik setimbang dari K 1 = ( ; ; ; ). Berdasarkan parameter yang diberikan diperoleh R 0 = rβa(μ + v) + βab (μ + v)(μ + b)(μ + α) = > 1 Berdasarkan uraian di atas, karena kestabilan titik setimbang endemik tidak dapat diselesaikan secara analitik dan hanya diselesaikan scara numerik dengan nilai awal yang ditentukan, maka dapat dibentuk dugaan atau konjektur sebagai berikut

16 39 Konjektur 4.1 Titik setimbang endemik K 1 = (S, E, I, V ) pada model matematika penyebaran Polio dengan usaha pemberian vaksinasi akan stabil asimtotis lokal jika dan hanya jika memenuhi R 0 > 1. Konjektur 4.1 mengidentifikasikan bahwa jika R 0 > 1, maka setiap individu infections dapat menularkan penyakit polio kepada rata-rata lebih dari satu penderita baru, sehingga penyakit polio dapat menyebar luas dan menjadi endemik. 4.2 Model Matematika Penyebaran Polio dengan Kontrol Optimal Pada subbab ini akan dikaji penerapan kontrol optimal dalam penelitian ini. Tujuan yang akan dicapai pada masalah kontrol optimal adalah meminimalkan jumlah individu yang terinfeksi polio dan meminimalkan biaya pengontrol yaitu vaksin. Pada tahap ini akan didapatkan bentuk pengontrol yang optimal menggunakan Prinsp Maksimum Pontryagin. Berdasarkan tujuan tersebut maka dapat dibentuk suatu fungsi tujuan sebagai berikut : t f J(S(t), E(t), I(t), V(t)) = E(t) + I(t) ( au2 ). (4.13) t 0 dengana adalah konstanta pembobot yang berupa biaya vaksinasi, dan variable control adalah u dan variable keadaannya (state) adalah x = [ E ]. I V Pada model penyebaran Polio yang diperkenalkan oleh Agarwal dan Bhadauria (2011) akan dibahas mengenai penyebaran Polio dengan vaksinasi. Penyebaran Polio ini akan diberi upaya vaksinasi. Tujuannya adalah untuk S

17 40 meminimumkan jumlah individu yang terinfeksi Polio tanpa disadari, dan jumlah individu yang sadar terinfeksi Polio. Berdasarkan hal tersebut maka dapat dibentuk diagram transmisi sebagai berikut : A μs μe αi μi μv βsi(1 u) be S E I V rβse(1 u) (uv)s Gambar 4.3 Diagram Transmisi Penyebaran Polio dengan Kontrol Berdasarkan diagram transmisi di atas dapat dibentuk juga kendala dari fungsi tujuan (4.13) sebagai berikut : ds de = A βsi(1 u) rβse(1 u) (μ + vu)s = βsi(1 u) + rβse(1 u) (b + μ)e di = (b)e (μ + α)i dv = (uv)s μv. (4.15) Kondisi batas model matematika penyebaran penyakit Polio dengan vaksinasi adalah t 0 < t < t f, 0 u 1 yang berarti bahwa waktu yang digunakan adalah waktu dari awal pengamatan saat diberi pengontrol (0) sampai waktu terakhir pengamatan setelah diberi

18 41 pengontrol (t f ). Sedangkan untuk presentase pengontrol berupa vaksinasi u dibatasi mulai 0 hingga 1 (dari 0% hingga 100%). Berdasarkan Prinsip Maksimum Pontryagin (2.7), langkah pertama yang harus dilakukan adalah membentuk fungsi Hamiltonian. Berikut ini bentuk fungsi Hamiltonian pada model penyebaran Polio: H(x, u, γ, t) = V(x, u, t) + γ T f(x. u, t) = (E + I au2 ) + (γ 1 γ 2 γ 3 γ 4 ) A βsi(1 u) rβse(1 u) (μ + vu)s βsi(1 u) + rβse(1 u) (b + μ)e (b)e (μ + α)i ( (uv)s μv ) = E + I au2 + γ 1 (A βsi (1 u) rβse(1 u) (μ + vu)s) + γ 2 (βsi(1 u) + rβse(1 u) (b + μ)e ) + γ 3 ((b)e (μ + α)i) + γ 4 ((uv)s μv). Selanjutnya, untuk mendapat kondisi optimal dari H(x, u, γ, t), maka harus memenuhi kondisi stationer dari H(x, u, γ, t), yaitu H = 0. Berikut adalah kondisi stationer yang harus dipenuhi : H u = 0 au + γ 1 βsi + γ 1 rβse γ 1 vs γ 2 βsi + γ 2 rβse + γ 4 vs = 0 u = γ 1vS + γ 2 βsi γ 1 βsi γ 1 rβse γ 2 rβse γ 4 vs a u = f + g + h a u

19 42 dengan f = (γ 1 γ 4 )vs g = (γ 2 γ 1 )βsi h = ( γ 2 γ 1 )rβse Karena batas nilai uyakni 0 u 1, maka diperoleh beberapa kemngkinan untuk u yaitu : f + g + h f + g + h, jika 0 < < 1 a a f + g + h u 0, jika 0 a f + g + h { 1, jika 1 a dengan demikian kontrol yang optimal dari u adalah u = min(max(0, f + g + h ),1) a Pada bentuk pengontrol u masih mengandung variabel state yaitu S, E dan I dan variabel costate (γ 1, γ 2, γ 4 ), sehingga perlu diselesaikan persamaan state dan costate untuk variabel tersebut. Persamaan state dapat diselesaikan dari : x = H γ. dengan demikian persamaan state dapat ditulis sebagai : S = H γ 1 = A βsi(1 u) rβse(1 u) (μ + vu)s E = H γ 2 = βsi(1 u) + rβse(1 u) (b + μ)e I = H γ 3 = (b)e (μ + α)i

20 43 V = H γ 4 = (uv)s μv. Sedangkan persamaan costate dapat diselesaikan dari γ = H x Dengan demikiandiperoleh : γ 1 = H S = (γ 1 γ 2 )(βi βiu) + (γ 1 + γ 2 )(rβe rβeu) + (γ 1 γ 4 )vu + γ 1 μ γ 2 = H E = (γ 1 + γ 2 )(rβs rβsu) + (γ 2 γ 3 )b + γ 2 μ γ 3 = H I = (γ 1 + γ 2 )(βs βsu) + γ 3 (μ + α) γ 4 = H V = γ 4μ. Dari persamaan state dan co-state akan diperoleh nilai dari variabel state dan costate, yang selanjutnya disubtitusikan pada pengontrol u. Kemudian persamaan u disubtitusikan ke dalam persamaan state untuk memperoleh bentuk solusi yang optimal. Berikut adalah hasil solusi optimal yang diperoleh S = A w 1 w 2 (μ + w 3 )S E = w 1 + w 2 (b + μ)e I = be (μ + α)i V = w 3 S μv. dengan w 1 = βsi(1 (min (max(0, f + g + h ),1) )) a

21 44 w 2 = rβse(1 (min (max(0, w 3 = (v(min (max(0, f+g+h ),1) )) a f + g + h ),1) )) a Berdasarkan uraian di atas, untuk mendapatkan S, E, I, dan V dari bentuk u yang optimal maka perlu menyelesaikan persamaan state dan co-state yang berbentuk non linier dan berjumlah delapan persamaan. Sistem persamaan non linier sulit untuk diselesaikan secara analitik, oleh karena itu akan diselesaikan secara numerik Simulasi Numerik Berdasarkan penjelasan pada Subbab 4.2, penyelesaian kontrol optimal sulit diselesaikan secara analitik sehingga perlu diselesaikan secara numerik. Hal ini dilakukan dengan mensimulasikan permasalahan kontrol optimal menggunakan program DOTcvp pada MATLAB. Pada simulasi model penyebaran penyakit polio menggunakan DOTcvp tersebut, persamaan state didefinisikan dengan S = y(1), E = y(2), I = y(3), V = y(4),dan Indeks performansi didefinisikan menjadi state baru yaitu J = y(5), dan pengontrol berupa usaha pemberian vaksin (u). Berikut adalah langkah-langkah yang dilakukan dalam mensimulasikan permasalahan kontrol optimal menggunakan program DOTcvp. Langkah 1 Setting untuk IVP (Initial Value Problem) : Data.odes.res(1) = (memasukkan fungsi dinamik sistem)

22 45 Data.odes.t0 Data.odes.tf = (memasukkan nilai awal) = (memasukkan waktu akhir) Langkah 2 NLP (Non Linear Problem) definition : Data.nlp.RHO Data.nlp.problem Data.nlp.J0 Data.nlp.u0 Data.nlp.ub Data.nlp.lb = (memasukkan jumlah interval waktu) = (pilih fungsi min/max) = (memasukkan indeks performansi) = (memasukkan nilai awal pengontrol) = (memasukkan batas atas pengontrol) = (memasukkan batas bawah pengontrol) Langkah 3 Memanggil main function [data]=dotcvp_main(data) Simulasi dilakukan dengan dua kali running, yang pertama untuk sistem sebelum diberi pengontrol (Lampiran 6) dan yang kedua untuk sistem setelah diberi pengontrol (Lampiran 7). Simulasi dilakukan dengan mengamati jumlah penderita polio baik sebelum dan sesudah diberi pengontrol. Selanjutnya hasil yang diperoleh dari kedua kompartemen tersebut akan dibandingkan secara langsung. Nilai awal yang digunakan ada simulasi ini adalah S = 600, E = 230, I = 220,dan V = 650. Parameter yang digunakan diambil dari Tabel 4.3 dan pengontrol optimal dilakukan selama 10 tahun.

23 46 Dalam subbab ini, akan dilakukan dua skenario simulasi numerik. Simulasi pertama dilakukan untuk kondisi dimana tidak ada pengontrol, sehingga u = 0. Simulasi kedua dilakukan untuk kondisi dengan pengontrol berupa usaha pemberian vaksin u dilakukan. Berikut adalah hasil simulasi pada individu laten terhadap polio (E) Gambar 4.4 Dinamika Populasi Laten (E) Gambar 4.4 menunjukkan bahwa terdapat perbedaan jumlah individu laten (E) dengan pemberian dua perlakuan yang berbeda. Perlakuan tersebut yaitu tanpa dan dengan pemberian kontrol, dengan memberikan kontrol berupa usaha pemberian vaksin (u). Populasi laten sebelum diberi kontrol dengan kondisi awal E(0) = 230 meningkat mulai dari tahun pertama sampai tahun terakhir pengamatan (tahun ke-10) yaitu 3254 jiwa. Dari gambar 4.4, terlihat bahwa pada setiap periode pengamatan jumlah individu laten (E) ketika adanya usaha pemberian vaksin u akan berkurang atau menurun. Hal ini karena usaha

24 47 pemberian vaksin u dapat meminimalkan jumlah individu laten, sehingga jumlah individu laten yang diberi usaha pemberian vaksin lebih sedikit. Berikut adalah tabel perbandingan jumlah individu laten pada waktu akhir pengamatan, yaitu tahun ke-10 : Tabel 4.5 Perbandingan jumlah populasi individu laten pada tahun ke-10 KONDISI JUMLAH INDIVIDU LATEN (E) Tanpa Kontrol u 3254 Dengan Kontrol u 39 Dari tabel di atas, terlihat bahwa usaha pemberian vaksin dapat mereduksi jumlah individu laten (E), sehingga mengakibatkan jumlah individu laten menurun sangat drastis. Berikut adalah hasil simulasi pada individu yang terinfeksi polio (I) Gambar 4.5 Dinamika Populasi yang telah terinfeksi polio (I)

25 48 Gambar 4.5 menunjukkan bahwa populasi infeksi yang terinfeksi polio sebelum di kontrol dengan kondisi awal I = 220 meningkat mulai dari tahun pertama sampai tahun terakhir pengamatan (tahun ke-10) yaitu 904 jiwa. Jumlah individu terinfeksi polio (I) ketika adanya usaha pemberian vaksin u akan berkurang atau menurun. Hal ini karena usaha pemberian vaksin u dapat meminimalkan jumlah individu terinfeksi polio, sehingga jumlah individu yang telah terinfeksi polio ketika diberi usaha pemberian vaksin akan lebih sedikit. Berikut adalah tabel perbandingan jumlah individu rentan pada waktu akhir pengamatan, yaitu tahun ke-10 : Tabel 4.6 Perbandingan jumlah populasi individu yang terinfeksi polio pada tahun ke-10 KONDISI JUMLAH INDIVIDU YANG TERINFEKSI (I) Tanpa Kontrol u 904 Dengan Kontrol u 14 Dari tabel di atas, terlihat bahwa usaha pemberian vaksin dapat mereduksi jumlah individu yang terinfeksi (I), dengan demikian mengakibatkan jumlah individu yang terinfeksi menurun sangat drastis. Berikut adalah hasil simulasi pada individu yang rentan (S)

26 49 Gambar 4.6 Dinamika populasi manusia rentan atau sehat (S) Gambar 4.6 menunjukkan bahwa terdapat perbedaan jumlah individu rentan (S) dengan pemberian dua perlakuan yang berbeda. Perlakuan tersebut yaitu tanpa dan dengan pemberian kontrol, dengan memberikan kontrol berupa usaha pemberian vaksin (u). Populasi manusia rentan atau sehat sebelum diberi kontrol dengan kondisi awal S(0) = 600 dan ketika adanya usaha pemberian vaksin u lebih banyak. Hal ini karena usaha pemberian vaksin u dapat meningkatkan jumlah individu rentan, sehingga jumlah individu rentan meningkat. Berikut adalah tabel perbandingan jumlah individu rentan pada waktu akhir pengamatan, yaitu tahun ke-10 :

27 50 Tabel 4.7 Perbandingan jumlah populasi individu rentan pada tahun ke-10 KONDISI JUMLAH INDIVIDU RENTAN(S) Tanpa Kontrol u 712 Dengan Kontrol u 2221 Dari tabel di atas, terlihat bahwa usaha pemberian vaksin dapat meningkatkan jumlah individu yang rentan atau sehat (S), dengan demikian mengakibatkan jumlah individu yang terinfeksi meningkat, karena ketika jumlah individu laten (E) dan individu yang terinfeksi (I) menurun maka jumlah individu rentan atau sehat otomatis akan meningkat. Berikut adalah hasil simulasi pada individu vaksinasi (V) Gambar 4.7 Dinamika Populasi Vaksinasi (V) Gambar 4.7 menunjukkan bahwa terdapat perbedaan jumlah individu yang divaksinasi (V) dengan pemberian dua perlakuan yang berbeda. Perlakuan tersebut yaitu tanpa dan dengan pemberian kontrol, dengan memberikan kontrol

28 51 berupa usaha pemberian vaksin (u). Populasi manusia yang divaksinasi sebelum diberi kontrol dengan kondisi awal V(0) = 650 dan ketika adanya usaha pemberian kontrol u maka populasi yang sudah divaksinasi lebih banyak atau meningkat. Hal ini karena usaha pemberian vaksin u dapat memaksimalkan jumlah individu yang divaksinasi, dengan demikian jumlah individu yang divaksinasi meningkat. Berikut adalah tabel perbandingan jumlah individu yang divaksinasi pada waktu akhir pengamatan, yaitu tahun ke-10 : Tabel 4.8 Perbandingan jumlah populasi individu yang diberikan upaya vaksinasi pada tahun ke-10 KONDISI JUMLAH INDIVIDU YANG DIVAKSINASI Tanpa Kontrol u 8254 Dengan Kontrol u 1.4x10 4 Dari tabel di atas, terlihat bahwa usaha pemberian vaksin dapat meningkatkan jumlah individu yang divaksinasi (V),sehingga mengakibatkan jumlah individu yang divaksinasi meningkat, karena ketika jumlah individu laten (E) dan individu yang terinfeksi (I) menurun maka mengakibatkan jumlah individu yang divaksinasi otomatis akan meningkat. Berikut akan disajikan hasil simulasi profil control optimal u

29 52 Gambar 4.8 Grafik Kontrol u Gambar 4.8 menunjukkan bahwa u merupakan presentase usaha pemberian vaksin yang diberikan kepada individu susceptible (S) pada awal periode sampai tahun akhir pengendalian adalah 0.9 atau dapat dinyatakan 90%. Hal ini berarti bobot dari usaha penggunaan vaksin dilakukan sepenuh secara intensif dari awal sampai akhir periode pengendalian. Berikut adalah beberapa fungsi ongkos atas kontrol yang diberikan. Tabel 4.9 Fungsi ongkos atas kontrol yang diberikan KONDISI NILAI FUNGSI ONGKOS Tanpa pengontrol u 0 Dengan pengontrol u Dari tabel 4.9 terlihat bahwa nilai fungsi ongkos terbesar untuk meminimalkan jumlah individu laten dan jumlah individu yang terinfeksi dan

30 53 meminimalkan biaya pengontrolnya adalah ketika diberi pengontrol berupa usaha pemberian vaksin u. Dari hasil yang didapatkan, bentuk pengontrol pada model penyebaran Polio dapat menekan laju penyebaran penyakit polio dalam jangka waktu 10 tahun. Penerapan kontrol u dapat mengurangi jumlah individu laten dan jumlah individu yang terinfeksi polio.