UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

Transkripsi

1 ANALISIS MODEL PERSAMAAN REGRESI COX PROPORTIONAL HAZARD PADA DATA STATUS GIZI BALITA UNTUK MENGETAHUI FAKTOR-FAKTOR PENYEBAB TERJADINYA KEKURANGAN GIZI Skrisi disusun sebagai salah satu syarat untuk memeroleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika oleh Nurul Zukhaila JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2016

2

3

4 MOTTO DAN PERSEMBAHAN Motto Barangsiaa ingin mutiara, harus berani terjun di lautan yang dalam (Bung Karno). Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan. Maka aabila kamu telah selesai (dari suatu urusan), kerjakanlah dengan sungguh-sungguh urusan yang lain (QS. Al Insyirah: 6-7). Life is like riding a bicycle. To kee your balance, you must kee moving (Albert Einstein). PERSEMBAHAN Untuk Baak Sukadi dan Ibu Taminah yang berada di Surga Allah SWT, terima kasih telah menjadi guru ertama dalam hidu saya yang selalu sabar. Semoga aa yang saya lakukan daat membuat kalian bangga ada saya. Untuk kakak-kakak kandung saya, terima kasih untuk dukungannya baik secara materiil mauun moril. Untuk Agus Riyanto, terima kasih atas doa dan motivasi yang selalu kau berikan dalam setia rintangan yang ada. Untuk Ainul Azkiyah, Siti Ruiah dan teman-teman seerjuangan di Jurusan Matematika, terima kasih atas dukungan dan kerjasamanya selama lebih dari emat tahun. iv

5 PRAKATA Segala uji syukur bagi Allah SWT yang telah melimahkan rahmat, hidayah dan inayah-nya sehingga enulis daat menyelesaikan skrisi ini. Skrisi ini disusun sebagai salah satu tugas dan syarat untuk memeroleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang. Kesuksesan dalam menyelesaikan skrisi ini tidak leas dari bantuan dan bimbingan dari berbagai ihak secara langsung mauun tidak langsung. Oleh karena itu erkenankanlah enulis menyamaikan terima kasih keada: 1. Prof. Dr. Fathur Rokhman, M.Hum. selaku Rektor Universitas Negeri Semarang. 2. Prof. Dr. Zaenuri, S.E., M.Si., Akt. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang. 3. Drs. Arief Agoestanto, M.Si. selaku Ketua Jurusan Matematika Universitas Negeri Semarang. 4. Drs. Mashuri, M.Si. selaku dosen wali dan Ketua Prodi Matematika Universitas Negeri Semarang. 5. Drs. Sugiman, M.Si. selaku Dosen Jurusan Matematika dan dosen embimbing I. 6. Putriaji Hendikawati, S.Si., M.Pd., M.Sc. selaku Dosen Jurusan Matematika dan dosen embimbing II. v

6 7. Segena Baak dan Ibu Dosen serta Staf Tata Usaha Jurusan Matematika FMIPA UNNES yang telah membantu dalam roses embuatan skrisi ini. 8. Bu Tika sebagai salah satu etugas kesehatan di Puskesmas Kalongan, dan Bu Nanik sebagai engelola Puskesmas Pembantu Desa Kawengen Kecamatan Ungaran Timur Kabuaten Semarang yang telah membantu enulis dalam memeroleh data enelitian. 9. Teman-teman seerjuangan yang telah memberikan dukungan dan kerjasamanya. 10. Semua ihak yang telah memberi bantuan dan engarahan sehingga terselesaikannya skrisi ini. Semoga semua bantuan baik moril mauun materiil yang telah diberikan keada enulis dinilai oleh Allah SWT sebagai amal ibadah dan semoga mendaat balasan dari-nya. Penulis menyadari bahwa skrisi ini jauh dari semurna dan masih banyak kekurangan, oleh karena itu kritik dan saran yang sifatnya membangun sangat enulis harakan demi semurnanya skrisi ini. Haraan enulis semoga skrisi ini daat bermanfaat bagi enulis khususnya dan embaca ada umumnya. Semarang, Desember 2016 Penulis vi

7 ABSTRAK Zukhaila, N Analisis Model Persamaan Regresi Cox Proortional Hazard ada Data Status Gizi Balita untuk Mengetahui Faktor-Faktor Penyebab Terjadinya Kekurangan Gizi. Skrisi, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang. Pembimbing Utama Drs. Sugiman, M.Si. dan Pembimbing Pendaming Putriaji Hendikawati, S.Si., M.Pd., M.Sc. Kata kunci: cox roortional hazard, gizi balita, residual schoenfeld, Stata/SE Analisis survival meruakan suatu analisis data mengenai ketahanan hidu atau lamanya waktu hidu suatu individu atau unit ada keadaan tertentu. Salah satu emodelan yang digunakan ada analisis survival adalah regresi cox roortional hazard. Penelitian ini bertujuan untuk mendaatkan model ersamaan regresi cox roortional hazard untuk data status gizi balita, mengetahui variabel aa saja yang menyebabkan gizi kurang secara signifikan, dan eluang kejadian gizi kurang samai dengan waktu 60 bulan dan eluang balita dengan status gizi baik lebih dari 60 bulan. Metode yang digunakan adalah regresi time deenden, yaitu analisis survival untuk semua variabel yang memenuhi asumsi roortional hazard. Untuk engujian asumsi roortional hazard, menggunakan nilai residual schoenfeld. Selanjutnya mencari nilai koefisien regresi dengan rogram Stata/SE Hasil enelitian engujian asumsi dengan residual schoenfeld menunjukkan bahwa semua variabel memenuhi asumsi roortional hazard. Oleh karena itu daat dicari koefisien regresinya. Model ersamaan regresi cox roortional hazard ada data status gizi balita adalah: h i (t X) = h 0 (t)ex {( 0,3331u(1) 0,6272u(2) + 0,0156r(1) +0,5994r(2) 0,4894r(3) 0,7278d(1) 2,2281d(2) 0,6193j(1) 1,2659j(2) 0,9289n(1) 1,6301n(2)}. Dari model tersebut, variabel yang berengaruh terhada terjadinya gizi kurang ada balita adalah tingkat endidikan ibu dan tingkat endaatan keluarga. Semakin tinggi tingkat endidikan ibu maka semakin kecil eluang balita mengalami gizi kurang dan semakin tinggi tingkat endaatan keluarga maka semakin kecil ula eluang balita mengalami gizi kurang. vii

8 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i PERNYATAAN KEASLIAN... ii PENGESAHAN... iii MOTTO DAN PERSEMBAHAN... iv PRAKATA... v ABSTRAK... vii DAFTAR ISI... viii DAFTAR GAMBAR... xii DAFTAR TABEL... xiv DAFTAR LAMPIRAN... xv DAFTAR SIMBOL... xvi BAB 1. PENDAHULUAN Latar Belakang Rumusan Masalah Batasan Penelitian Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian Sistematika Penulisan TINJAUAN PUSTAKA Analisis Ketahanan Hidu (Survival Analysis)... 9 viii

9 2.2 Tie-Tie Penyensoran Data Fungsi Ketahanan Hidu (Survival Function) Fungsi Keadatan Peluang (Density Function) Fungsi Kegagalan (Hazard Function) Regresi Cox Proortional Hazard Model Cox Proortional Hazard Pengujian Asumsi Proortional Hazard Estimasi Parameter Pengujian Asumsi Proortional Hazard dengan Residual Schoenfeld Analisis Bivariat dan Analisis Multivariat Analisis Bivariat Analisis Multivariat Rasio Kegagalan Taksiran Peluang Status Gizi Balita Gizi Status Gizi Penilaian Status Gizi Antroometri Indeks Antroometri Baku Acuan Contoh Penilaian Gizi dengan Z-skor ix

10 2.9.4 Gizi Kurang Faktor-Faktor yang Menyebabkan Gizi Kurang ada Balita Faktor Karakteristik Ibu Umur Ibu Pekerjaan Ibu Tingkat Pendidikan Ibu Jarak Kelahiran Tingkat Pendaatan Keluarga METODE PENELITIAN Jenis dan Sumber Data Teknik Pengambilan Samel Poulasi dan Samel Penelitian Variabel Penelitian Tahaan Penelitian HASIL DAN PEMBAHASAN Pengkategorian Variabel Indeenden Pengenalan Program Stata/SE Pengolahan Data dan Analisis Hasilnya dengan Program Stata/SE Tahaan Awal Analisis Deskritif Uji Asumsi Proortional Hazard dengan Uji Global Test Analisis Bivariat x

11 4.3.5 Analisis Multivariat dan Interretasi Hasil Model Persamaan Regresi Cox Proortional Hazard Rasio Kegagalan Taksiran Peluang PENUTUP Simulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xi

12 DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Contoh Pengertian Kejadian (Event), Waktu Ketahanan dan Sensor Gambar 2.2 Contoh Data Tersensor Tie I Gambar 2.3 Contoh Data Tersensor Tie II Gambar 2.4 Contoh Data Tersensor Tie III Gambar 3.1 Diagram Alir Penelitian Gambar 4.1 Tamilan Utama Program Stata/SE Gambar 4.2 Tamilan Data Secara Singkat yang Diinutkan dalam Program Stata/SE Gambar 4.3 Tamilan Pengaturan Time Variable dan Failure Event Program Stata/SE Gambar 4.4 Tamilan Data Editor dengan Variabel _st, _d, _t, dan _t Gambar 4.5 Outut Program Stata/SE 12.0 untu Memeroleh Nilai Residual Schoenfeld Gambar 4.6 Tamilan Data Editor dengan Variabel Sch_umur dan Sca_umur Gambar 4.7 Outut Program Stata untuk Proortional Hazard Test Gambar 4.8 Tamilan Data Editor Setelah Variabel Sch_umur dan Sca_umur Dihilangkan Gambar 4.9 Outut Program Stata untuk Analisis Bivariat Variabel Umur Gambar 4.10 Outut Program Stata untuk Analisis Multivariat xii

13 Gambar 4.11 Tamilan Outut Program Stata untuk Mencari Koefisien dari Masing-masing Variabel Indeenden Gambar 4.12 Tamilan Data Editor Secara Singkat untuk Mencari Baseline Survival (S 0 ) Gambar 4.13 Tamilan Data Editor Secara Singkat untuk Mencari Cumulative Baseline Hazard (H 0 ) Gambar 4.14 Outut Stata Baseline Survival (S 0 ) yang Dikelomokkan Berdasarkan Waktu Ketahanan Gizi Balita Gambar 4.15 Outut Stata Cumulative Baseline Hazard (H 0 ) yang Dikelomokkan Berdasarkan Waktu Ketahanan Gizi Balita xiii

14 DAFTAR TABEL Tabel 2.1 Pengukuran Antroometri Utama Tabel 2.2 Kategori dan Ambang Batas Status Gizi Anak Berdasarkan Indeks Tabel 2.3 Indeks Berat Badan menurut Umur (BB/U) ada Contoh Perhitungan Tabel 3.1 Variabel Indeenden dan Kategorinya dalam Penelitian Tabel 4.1 Ringkasan Data Ketahanan Gizi Tabel 4.2 Tabulasi Silang Antara Variabel Umur dengan Status Gizi Balita Tabel 4.3 Rasio Kegagalan untuk Variabel yang Signifikan Tabel 4.4 Estimasi Peluang Dasar xiv

15 DAFTAR LAMPIRAN Lamiran 1. Data Ketahanan Gizi Balita Desa Kawengen yang Lahir ada Tahun Lamiran 2. Variabel _st, _d, _t, dan _t Lamiran 3. Outut Stata/SE 12.0 untuk Analisis Deskritif Masing-masing Variabel Lamiran 4. Variabel Residual Schoenfeld dari Variabel Umur Ibu, Pekerjaan Ibu, Tingkat Pendidikan Ibu, Jarak Kelahiran dan Tingkat Pendaatan Keluarga Lamiran 5. Outut Stata/SE 12.0 untuk Pengujian Asumsi Proortinal Hazard dengan Uji Global Test Masing-masing Variabel Lamiran 6. Outut Program Stata/SE 12.0 untuk Analisis Bivariat Masing-masing Variabel Indeenden Lamiran 7. Variabel Baseline Survival (S 0 ) dan Baseline Cumulative Hazard (H 0 ) Secara Lengka dengan Program Stata/SE Lamiran 8. Perhitungan ex(β x (m) ) dan ex( β x (m) ) dengan Ms. Excel Lamiran 9. Taksiran Peluang F(t X) atau Peluang Balita dengan Status Gizi Kurang Samai dengan Waktu 60 Bulan Lamiran 10. Taksiran Peluang S(t X) atau Peluang Balita dengan Status Gizi Baik Lebih dari 60 Bulan xv

16 DAFTAR SIMBOL t T S(t) S 0 (t) f(t) F(t) h(t) H(t) H 0 (t) : Waktu munculnya kejadian : Waktu ketahanan : Fungsi ketahanan (survival function) : Fungsi ketahanan dasar (baseline survival function) : Fungsi keadatan eluang (density function) : Fungsi distribusi dari fungsi keadatan eluang : Fungsi kegagalan (hazard function) : Fungsi kegagalan kumulatif (cumulative hazard function) : Fungsi kegagalan dasar kumulatif (cumulative baseline hazard function) h i (t) h 0 (t) x 1, x 2,, x : Risiko kegagalan individu ke-i ada saat waktu t : Fungsi kegagalan dasar (baseline hazard function) : Kovariat dari model ersamaan regresi X 1, X 2,, X x = (x 1, x 2,, x ) ψ(x i ) : Kovariat untuk x 1, x 2,, x : Vektor himunan nilai kovariat : Fungsi dari vektor kovariat untuk individu ke-i η i β : Kombinasi linier dari kovariat x i : Vektor koefisien dari kovariat x 1, x 2,, x dalam model ersamaan regresi cox L(β) : Fungsi likelihood untuk regresi cox roortional hazard xvi

17 x (j) : Vektor variabel dari individu yang gagal ada saat waktu ke-j R(t (j) ) x l : Himunan individu yang masih hidu ada waktu ke-j : Vektor variabel individu yang masih hidu dan meruakan elemen dari R(t (j) ) δ i δ i = { 0, 1, : Nilai indikator kejadian Individu yang tersensor Individu tidak tersensor dengan i = 1,2,, n x (i) : Vektor variabel dari individu yang gagal ada saat waktu ke-i R(t (i) ) x l : Himunan individu yang masih hidu ada waktu ke-i : Vektor variabel individu yang masih hidu dan meruakan elemen dari R(t (i) ) u(β g ) I(β) x ((β ) s+1 ) x1 : Turunan ertama dari log (L(β)) : Turunan kedua dari log (L(β)) : Iterasi Newton-Rahson ((β ) s ) x1 : Nilai awal ada roses iterasi (u(β ) s ) x1 : Matriks turunan ertama dari log (L(β)) berukuran x1 (I 1 (β ) s ) x : Invers matriks turunan kedua log (L(β)) berukuran x Var(β ) SE(β s) : Varians dari β s : Standar deviasi dari β s xvii

18 R ji : Residual schoenfeld untuk individu ke-i ada variabel bebas ke-j R i = (R 1i,, R i ) V (R i ) : Vektor himunan nilai kovariat : Estimator matriks kovarian R i R i : Scaled residual schoenfeld dari V (R i ) r HR : Jumlah kejadian (event) : Rasio kegagalan x = (x 1, x 2,, x ) : Nilai variabel indeenden untuk satu kelomok individu x = (x 1, x 2,, x ) : Nilai variabel indeenden untuk satu kelomok individu lain β ξ m t (m) : Parameter regresi : Peluang individu ke-m mengalmi kegagalan : Urutan waktu tahan hidu ke-m d m x (m) : Jumlah individu yang gagal ada waktu ke t (m) : Vektor dari variabel individu yang gagal ada waktu ke t (m) R(t (m) ) u u(1) u(2) r r(1) : Himunan individu masih hidu ada waktu ke t (m) : Umur ibu saat melahirkan : Kategori umur ibu saat melahirkan tahun : Kategori umur ibu saat melahirkan tahun : Pekerjaan ibu : Kategori ekerjaan ibu sebagai karyawan honorer dan xviii

19 buruh tani r(2) r(3) : Kategori ekerjaan ibu sebagai wiraswasta : Kategori ekerjaan ibu sebagai ibu rumah tangga dan buruh harian leas d d(1) d(2) j j(1) j(2) n n(1) : Tingkat endidikan ibu : Kategori endidikan terakhir ibu di jenjang SMP : Kategori endidikan terakhir ibu di jenjang SMA : Jarak kelahiran balita : Kategori jarak kelahiran balita 2-3 tahun : Kategori jarak kelahiran balita lebih dari 3 tahun : Tingkat endaatan keluarga : Kategori endaatan keluarga R ,00 samai kurang dari R ,00 n(2) : Kategori endaatan keluarga R ,00 samai R ,00. xix

20 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Analisis ketahanan adalah nama modern yang diberikan untuk kumulan metode statistika yang mengakomodasi data tersensor waktu kejadian (Tableman, 2008). Salah satu emodelan yang umum dan ouler digunakan ada analisis ketahanan atau sintasan adalah regresi cox roortional hazard. Dalam analisis ketahanan yang dinamakan tersensor yakni jika suatu studi berakhir tetai tidak muncul kejadian yang diinginkan atau subjek yang diteliti ergi tana esan atau subjek mengundurkan diri karena suatu alasan atau daat ula subyek mendaatkan kejadian yang bukan meruakan fokus enelitian. Secara umum analisis ketahanan dideskrisikan sebagai kumulan rosedur statistik untuk menganalisis data yang variabel akhirnya adalah waktu hingga muncul kejadian (Kleinbaum, 1996). Waktu daat berua tahun, bulan, hari, jam, atau bahkan menit yang diukur sejak engamatan dimulai hingga muncul kejadian. Kejadian yang diamati daat berua kematian, insiden enyakit, kekambuhan, atau enyembuhan. Kelebihan dari regresi cox adalah tidak harus memiliki fungsi dari distribusi arametrik. Asumsi emodelan hanya memvalidasi asumsi bahwa fungsi hazard harus roorsional setia waktu. Asumsi roorsional ada model daat diketahui melalui uji global test ada rogram Stata. 1

21 2 Model regresi untuk data ketahanan gizi didasarkan ada model cox regresi dengan asumsi fungsi kegagalan roorsional (roortional hazard) yang berarti rasio fungsi kegagalan konstan dari waktu ke waktu, atau bahwa fungsi kegagalan untuk individu adalah roorsional terhada fungsi kegagalan individu yang lainnya. Jika rasio fungsi kegagalan tidak konstan dan asumsi fungsi kegagalan roorsional tidak dienuhi, dibutuhkan metode lain yang tidak mengasumsikan keroorsionalan untuk meneliti efek dari variabel ada waktu tahan hidu. Beberaa enelitian terakhir tentang regresi cox roortional hazard antara lain, Ninuk Rahayu dkk (2012) meneliti tentang analisis Regresi Cox Proortional Hazards ada data ketahanan hidu asien diabetes mellitus, Tuan Hanni dkk (2013) meneliti tentang model Regresi Cox Proortional Hazard ada data ketahanan hidu, Landong (2014) meneliti tentang model Regresi Cox Proortional Hazards ada data lama studi mahasiswa. Dari ketiga enelitian tersebut, enelitian dilakukan dengan cara mengestimasi arameter dan analisis enelitian dilakukan dengan bantuan Program SPSS. Pada enelitian ini, akan dilakukan analisis data dengan bantuan Program Stata, dimana dalam Program Stata telah tersedia estimasi arameter dengan enyelesaian iterasi sehingga akan memudahkan dalam analisis data. Pada enelitian ini, akan dibahas ermasalahan tentang terjadinya gizi kurang. Pangan adalah kebutuhan yang mendasar bagi kehiduan manusia karena berengaruh terhada ketahanan hidu. Manusia membutuhkan energi untuk menjamin keberlangsungan hidunya. Energi tersebut dieroleh dari bahan angan yang mengandung berbagai zat kimia yang dikenal dengan zat gizi. Zat gizi tersebut

22 3 mengalami roses metabolisme dalam tubuh sehingga menghasilkan energi untuk beraktivitas dan menjalankan roses-roses kimiawi dalam tubuh manusia. Tana adanya gizi yang kuat, maka kualitas hidu tidak akan otimal dan tentunya akan memengaruhi roses tumbuh kembang. Keadaan gizi yang baik adalah syarat utama untuk mewujudkan sumber daya manusia yang berkualitas. Masalah gizi daat terjadi di setia fase kehiduan, dimulai sejak dalam kandungan samai dengan usia lanjut. Pada fase bayi dan balita dalam kehiduan manusia meruakan masa ertumbuhan dan erkembangan yang sangat esat. Aabila ada fase tersebut mengalami gangguan gizi maka akan bersifat ermanen, tidak daat dialihkan walauun kebutuhan gizi ada masa selanjutnya terenuhi (Frisda Turni, 2008). Salah satu gangguan gizi ada tubuh manusia adalah kekurangan gizi. Kekurangan gizi adalah suatu keadaan yang diakibatkan oleh kurangnya asuan zat gizi dari makanan sehingga berdamak ada timbulnya masalah kesehatan. Status gizi ada balita daat berubah-ubah dengan ceat karena usianya yang masih tergolong rentan. Oleh karena itu enulis tertarik untuk melakukan enelitian untuk menganalisis faktor-faktor aa saja yang menyebabkan balita mengalami kekurangan gizi. Dalam enulisan ini enulis mengangkat judul Analisis Model Persamaan Regresi Cox Proortional Hazard ada Data Status Gizi Balita untuk Mengetahui Faktor-Faktor Penyebab Terjadinya Kekurangan Gizi. Faktor-faktor yang diduga menjadi enyebab terjadinya gizi kurang antara lain umur ibu saat melahirkan, ekerjaan ibu, tingkat endidikan ibu, jarak kelahiran anak, dan tingkat endaatan keluarga.

23 4 Data yang digunakan dalam enelitian ini adalah data status gizi balita Desa Kawengen Kecamatan Ungaran Timur Kabuaten Semarang dan faktor enduganya. Menurut hasil emantauan Direktorat Bina Gizi Masyarakat, Kementerian Kesehatan, selama tahun 2005 samai tahun 2013 berturut-turut Provinsi Jawa Tengah masuk dalam kategori 10 rovinsi dengan kasus gizi buruk tertinggi. Hasil Pemantauan Status Gizi (PSG) Provinsi Jawa Tengah tahun 2013, terdaat balita gizi buruk dan 43 anak meninggal dunia (Dinkes Provinsi Jateng, 2013). Menurut rofil kesehatan Kabuaten Semarang tahun 2013, di Kabuaten Semarang terdaat balita gizi buruk 62 anak atau 0,15% dari total jumlah anak balita di Kabuaten Semarang (Dinkes Kab. Semarang, 2013). Desa Kawengen terdaat 1 balita gizi buruk. Waktu enelitian dalam data yang digunakan untuk enelitian ini yaitu dari Januari 2010 samai dengan Januari Untuk waktu ketahanan gizi balita dihitung dari balita lahir hingga muncul kejadian gizi kurang. Waktu ketahanan gizi balita sebagai variabel terikat (deendent variable), enyakit gizi kurang sebagai kejadian (event), dan sebagai sensornya adalah balita yang berstatus gizi baik sejak balita lahir hingga waktu enelitian berakhir, yaitu hingga Januari Faktor enduga gizi kurang (umur ibu saat melahirkan, ekerjaan ibu, tingkat endidikan ibu, jarak kelahiran anak, dan tingkat endaatan keluarga) sebagai variabel bebas (indeendent variable). Pemilihan variabel umur ibu saat melahirkan, ekerjaan ibu, tingkat endidikan ibu, tingkat endaatan keluarga berdasarkan enelitian yang dilakukan oleh Arif Wahyu Himawan (2006).

24 5 Sedangkan variabel jarak kelahiran anak berdasarkan enelitian Lani Ribka dkk (2015). 1.2 Rumusan Masalah Dari uraian latar belakang, maka rumusan masalah yang akan dibahas dalam enelitian ini adalah: 1. Bagaimana model ersamaan regresi cox roortional hazard untuk data ketahanan gizi Desa Kawengen Kecamatan Ungaran Timur Kabuaten Semarang dengan rogram Stata? 2. Faktor-faktor aa sajakah yang memengaruhi terjadinya kekurangan gizi ada balita secara signifikan ada data ketahanan gizi dalam enelitian ini? 3. Bagaimanakah eluang balita yang berstatus gizi kurang samai 60 bulan dan eluang balita yang berstatus gizi baik lebih dari 60 bulan? 1.3 Batasan Penelitian Penelitian ini akan dibatasi ada embentukan model ersamaan regresi cox roortional hazard serta enghitungan eluang balita gizi kurang samai 60 bulan dan eluang balita dengan gizi baik dalam waktu lebih dari 60 bulan. Data yang digunakan dalam enelitian ini meruakan data sekunder yang dieroleh dari data Puskesmas Pembantu (Postu) desa, wawancara dengan ihak engelola Postu desa, dan website Desa Kawengen Kecamatan Ungaran Timur Kabuaten Semarang.

25 6 1.4 Tujuan Penelitian Tujuan dari enelitian ini adalah: 1. Memodelkan ersamaan regresi cox roortional hazard untuk data ketahanan gizi Desa Kawengen Kecamatan Ungaran Timur Kabuaten Semarang dengan rogram Stata. 2. Mengetahui faktor-faktor aa sajakah yang memengaruhi terjadinya kekurangan gizi ada balita secara signifikan ada data ketahanan gizi dalam enelitian ini. 3. Mengetahui bagaimana eluang balita yang berstatus gizi kurang samai 60 bulan dan eluang balita yang berstatus gizi baik lebih dari 60 bulan. 1.5 Manfaat Penelitian Manfaat yang daat diambil dari enelitian ini adalah: 1. Bagi eneliti Peneliti daat menambah engetahuan yang berkaitan dengan analisis ketahanan hidu. 2. Bagi masyarakat Penelitian ini bermanfaat sebagai sumbangan informasi, emikiran mengenai eneraan ilmu statistik khususnya yang berkaitan dengan faktorfaktor yang memengaruhi terjadinya gizi kurang ada balita berdasarkan analisis ketahanan hidu.

26 7 1.6 Sistematika Penulisan Secara garis besar sistematika enulisan ini adalah: 1. Bagian Pengantar Halaman ini berisi halaman judul, halaman ernyataan keaslian, halaman engesahan, halaman motto dan ersembahan, rakata, abstrak, daftar isi, daftar gambar, daftar tabel, daftar lamiran dan daftar simbol. 2. Halaman Utama BAB 1 : PENDAHULUAN Bab ini berisi mengenai latar belakang, rumusan masalah, batasan enelitian, tujuan enelitian, manfaat enelitian dan sistematika enulisan. BAB 2 : TINJAUAN PUSTAKA Bab ini berisi kajian mengenai analisis ketahanan hidu (survival analysis), tie-tie enyensoran data, fungsi ketahanan hidu (survival function), fungsi keadatan eluang (density function), fungsi kegagalan (hazard function), regresi cox roortional hazard, rasio kegagalan, taksiran eluang, dan status gizi balita. BAB 3 : METODE PENELITIAN Bab ini berisi gambaran langkah-langkah enelitian yang terdiri dari jenis dan sumber data, teknik engambilan samel, oulasi dan samel enelitian, variabel enelitian, dan tahaan enelitian.

27 8 BAB 4 : HASIL DAN PEMBAHASAN Bab ini berisi hasil analisis dan embahasan mengenai engkategorian variabel indeenden, engenalan rogram Stata/SE 12.0, serta engolahan data dan analisis hasilnya dengan rogram Stata/SE BAB 5 : PENUTUP Bab ini mengulas simulan dan saran. 3. Bagian akhir dari enulisan ini berisi daftar ustaka dan lamiran-lamiran.

28 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Analisis Ketahanan Hidu (Survival Analysis) Survival meruakan asal kata dari to survive yang berarti ketahanan atau kelangsungan hidu (Kleinbaum, 1996, Johnson & Johnson, 1980, Miller, 1981). Pada tulisan ini dan seterusnya survival analysis akan disebut dengan analisis ketahanan (Sasro Asmoro, 1995 & Murti, 1997). Secara umum analisis ketahanan dideskrisikan sebagai kumulan rosedur statistik untuk menganalisis data yang variabel akhirnya adalah waktu hingga muncul kejadian (Kleinbaum, 1996). Waktu daat berua tahun, bulan, hari, jam, atau bahkan menit yang diukur sejak engamatan dimulai hingga muncul kejadian. Kejadian yang diamati daat berua kematian, insiden enyakit, kekambuhan, atau enyembuhan. Analisis ketahanan atau sintasan adalah nama modern yang diberikan untuk kumulan metode statistika yang mengakomodasi data tersensor waktu kejadian (Tableman, 2008). Salah satu emodelan yang umum dan ouler digunakan ada analisis sintasan adalah regresi cox roortional hazard. Analisis sintasan, biasanya mengacu ada eubah waktu yang meruakan waktu sintasan, karena eubah waktu akan memberikan waktu ada saat seseorang bertahan atas beberaa kasus. Pada analisis sintasan secara khusus mengacu ada kejadian sebagai kegagalan, karena kejadian biasanya berhubungan dengan kematian, terjadinya enyakit, atau suatu engalaman negatif individu. Namun waktu sintasan bisa saja waktu kembali 9

29 10 bekerja setelah melakukan oerasi bedah elektif, yang mana dalam beberaa kasus kegagalan adalah kejadian yang ositif (Perrigot, 2004). Sebagian besar analisis sintasan harus memertimbangkan kunci analisis masalah yaitu data tersensor. Ada tiga alasan utama, enyebab data tersensor muncul yaitu individu tidak mengalami kejadian, individu hilang dari enelitian, individu mengundurkan diri dari enelitian karena kematian atauun oleh alasan yang lain (Clark, 2003). Analisis ketahanan atau sintasan dikembangkan ertama kali oleh astronom Inggris, yaitu Edmund Halley ( ) (Armitage, 1973, Johnson & Johnson, 1980, Miller, 1981, Kuzma, 1984). Analisis ini menjadi salah satu alat enting dalam statistik vital dan ilmu aktuaria serta ilmu lainnya. Sebagai contoh, ahli demografi menggunakan analisis ini untuk mengukur dan menganalisis angka mortalitas, ahli asuransi menggunakannya untuk menghitung remi yang harus dibayar eserta asuransi. Ahli kedokteran menggunakannya untuk menghitung efektivitas engobatan atau memerkirakan lama hidu seorang asien ketika diagnosa ditegakkan. Ahli keerawatan daat menggunakan analisis ini untuk mengukur kemungkinan seseorang berisiko terkena hlebitis sejak mendaatkan terai intravena atau mengukur lamanya waktu yang dibutuhkan untuk erawatan luka dalam kondisi tertentu hingga sembuh. Dalam analisis ketahanan, terdaat tiga istilah yang erlu diahami. Pertama, waktu dari variabel (waktu ketahanan atau survival time) atau waktu individu untuk teta bertahan ada eriode engamatan. Kedua, kejadian (event) atau variabel yang menjadi fokus dalam enelitian, misalkan ada enelitian waktu terjadinya hlebitis setelah emasangan terai intravena, kejadian ada enelitian

30 11 ini adalah terjadinya hlebitis. Seringkali kejadian dikaitkan sebagai sesuatu yang negatif misal kematian dan insiden enyakit. Kejadian daat ula sesuatu yang ositif, misalkan ada enelitian engaruh emberian makanan tambahan ada balita kurang gizi, adanya erbaikan gizi meruakan kejadian dalam enelitian ini dan erbaikan gizi dalam hal ini meruakan sesuatu yang ositif. Istilah ketiga adalah sensor, sensor terjadi bila kita memunyai waktu ketahanan individu yang menjadi subyek enelitian, walauun sesungguhnya kita tidak mengetahui waktu ketahanan yang asti. Pada analisis ketahanan selalu terjadi data tersensor (censored data), yaitu ada informasi mengenai waktu ketahanan individu tetai tidak diketahui secara asti beraa lama waktu ketahanannya (Kleinbaum, 1996). Penyebab terjadinya adalah hingga studi berakhir belum muncul kejadian yang diinginkan, hilang dari engamatan, atau mengalami kejadian yang tidak berhubungan dengan substansi yang diteliti. Kasus tersensor tidak dibuang tetai teta dierhitungkan karena minimum hingga titik tertentu masih daat dilihat belum mengalami kejadian dan dengan asumsi kejadian sensor dalam rentang waktu tertentu terjadi secara merata. Berikut contoh enjelasan mengenai engertian kejadian, sensor dan waktu ketahanan (survival time).

31 12 Gambar 2.1 Contoh Pengertian Kejadian (Event), Waktu Ketahanan dan Sensor Gambar 2.1 memberikan gambaran mengenai kejadian yang dialami oleh 6 (enam) orang yaitu; A, B, C, D, E, F. Tanda X berarti orang tersebut mengalami kejadian (event). Individu A, ia diobservasi mulai dari awal studi samai mengalami kejadian (event) ada bulan keenam dan ia tidak tersensor. Waktu ketahanan individu A adalah enam bulan. Individu B, ia diobservasi dari awal samai akhir studi, yaitu 12 bulan, ia tidak mengalami kejadian dan ia tersensor. Waktu ketahanannya aling tidak 12 bulan. Individu C, ia diobservasi dari bulan kedua studi dan ada bulan ke enam ia mengundurkan diri tana mengalami kejadian. Individu C tersensor. Individu D, ia diobservasi mulai bulan kedua samai akhir studi dan ia tidak mengalami kejadian. Individu D juga tersensor. Individu E, ia diobservasi mulai bulan ke emat dan ada bulan ke seuluh ia ergi tana esan. Individu E tersensor. Individu F, ia diobservasi mulai bulan ke 6 dan mengalami

32 13 kejadian ada bulan ke 10 dan ia tidak tersensor. Waktu ketahanannya adalah 4 bulan. Dengan demikian disimulkan bahwa individu A dan F mengalami kejadian atau waktu ketahanannya diketahui dengan asti, sedangkan individu B, C, D, dan E tersensor atau waktu ketahanannya tidak diketahui dengan asti. Kleinbaum (1996) menyatakan bahwa kegunaan analisis ketahanan ertama adalah untuk memerkirakan robabilitas ketahanan suatu kejadian menurut waktu. Kedua daat untuk menyimulkan status kesehatan enduduk. Ketiga, membandingkan ketahanan suatu kejadian antar kelomok. Keemat, mengidentifikasi laju suatu kejadian yang dialami enduduk dalam eriode waktu tertentu. Analisis ketahanan mengenal dua terminologi yaitu fungsi ketahanan (survival function) yang diberi simbol dengan S(t) dan fungsi hazard (hazard function) yang diberi simbol h(t). Fungsi ketahanan atau S(t) menjelaskan robabilitas seseorang untuk survive lebih lama dari waktu sesifik t. Contoh fungsi ketahanan ada enelitian hubungan stadium klinik dengan ketahanan hidu 5 tahun asien kanker serviks, enelitian ini mendaatkan hasil bahwa ada asien stadium I kanker serviks robabilitas untuk teta hidu tahun ertama sekitar 76,5%. Fungsi hazard atau h(t) adalah eluang individu gagal ada interval waktu t. Penggunaan fungsi ini untuk menghitung besarnya risiko seseorang untuk mengalami kejadian, umumnya variabel enelitian dijadikan variabel kategorik terlebih dahulu serta salah satu dari kategori dijadikan embanding. Contoh enggunaan fungsi hazard ada enelitian hubungan stadium dengan eluang

33 14 ketahanan hidu asien kanker serviks di atas adalah dibanding dengan stadium I, maka risiko meninggal ada stadium II yakni 2 kali lebih besar, stadium III 6,3 kali, dan stadium IV hamir 13 kalinya. Menurut Cox dalam Collet (2003), ada tiga hal yang harus dierhatikan dalam menentukan waktu ketahanan hidu (biasanya disebut dengan t) secara teat, yaitu sebagai berikut. a. Waktu awal tidak ambigu yang berarti tidak ada dua engertian atau lebih. b. Definisi terjadinya kegagalan secara keseluruhan harus jelas. c. Skala waktu sebagai satuan engukuran harus jelas. Data dalam analisis ketahanan dibedakan menjadi dua jenis, yaitu: a. Data lengka, yaitu bila semua individu yang diamati (unit observasi) selama eriode enelitian tertentu mengalami kejadian yang diinginkan (kegagalan). Pada akhir eriode enelitian, status dari semua unit observasi adalah gagal, sehingga waktu bertahan yang sebenarnya diketahui. Data inilah yang disebut sebagai data tidak tersensor. Jadi, data lengka adalah data yang semua unit observasinya adalah data tidak tersensor. Pengumulan data lengka jarang dilakukan ada enelitian dengan unit observasi yang besar karena dibutuhkan waktu yang lama dan biaya yang mahal untuk melakukan enelitian samai semua unit observasi mengalami kegagalan. b. Data tidak lengka, yaitu bila tidak semua unit observasi yang diamati selama eriode enelitian tertentu mengalami kegagalan sehingga waktu bertahan yang sebenarnya dari sebagian observasi tidak diketahui. Individu

34 15 yang masih hidu ada akhir enelitian (withdrawn alive) dan hilang dari enelitian (lost to follow u) teta disertakan dalam enelitian. Data dari individu inilah yang disebut sebagai data tersensor. Penyensoran dilakukan untuk menghemat waktu dan biaya. 2.2 Tie-Tie Penyensoran Data Analisis ketahanan hidu sangat memertimbangkan enyensoran. Data dikatakan tersensor aabila waktu hidu obyek enelitian tidak diketahui. Hal ini disebabkan oleh kejadian tak terduga yang mengakibatkan objek keluar dari enelitian (Collet, 2003). Dalam analisis ketahanan hidu dikenal 3 jenis enyensoran data, yakni: a. Tersensor tie I Dikatakan tersensor tie I jika eriode enelitian telah ditentukan dan objek enelitian masuk ke dalam enelitian ada waktu yang sama. Misalnya, dilakukan enelitian waktu ketahanan siswa yang masuk SD ada tahun yang sama. Gambar 2.2 Contoh Data Tersensor Tie I

35 16 Siswa A, B, dan D utus sekolah ada bulan ke 36, 48, dan 84 yang selanjutnya disebut sebagai amatan tidak tersensor dan data ketiga siswa lainnya disebut sebagai amatan tersensor. Siswa C dan E meruakan contoh kasus withdrawn alive (teta bertahan hingga batas waktu enyensoran), sedangkan siswa F meruakan contoh kasus lost to follow u (hilang sebelum batas waktu enyensoran). b. Tersensor tie II Pada tersensor tie II, individu masuk ke dalam enelitian ada waktu yang sama dan enelitian dihentikan jika sejumlah individu yang telah ditentukan mati (r dari n individu dan r < n). Misalnya ada enelitian yang dilakukan terhada siswa SD tahun untuk mengetahui waktu ketahanan sekolahnya, enelitian akan dihentikan jika emat siswa utus sekolah. Ternyata ada bulan ke 72 terdaat emat siswa yang utus sekolah (A, D, E dan F) sehingga enelitian dihentikan ada bulan tersebut. Gambar 2.3 Contoh Data Tersensor Tie II

36 17 c. Tersensor tie III Disebut tersensor tie III jika setia individu masuk ke dalam enelitian ada waktu yang berbeda-beda selama eriode enelitian. Misalnya, dilakukan enelitian waktu ketahanan sekolah siswa. Selama eriode 12 tahun enelitian terdaat enam siswa masuk ke dalam engamatan. Seerti ada gambar 2.4 terlihat bahwa siswa A, B, dan E masuk ke dalam engamatan ada ermulaan bulan keduauluhemat, ketigauluhenam, dan keduabelas. Pada akhir eriode enelitian diketahui bahwa tiga siswa utus sekolah (A, B dan E), sedangkan siswa C dan D withdrawn alive serta siswa F lost to follow u. Kasus lost to follow u tidak ada dalam enelitian ini karena eneliti tidak mengamati secara langsung objek enelitian dari waktu awal engamatan ketahanan bersekolah. Gambar 2.4 Contoh Data Tersensor Tie III 2.3 Fungsi Ketahanan Hidu (Survival Function) Fungsi survival digunakan untuk menyatakan robabilitas suatu individu bertahan dari waktu mula-mula samai suatu waktu t (Collet, 1994). t

37 18 melambangkan waktu survival yang meruakan variabel random dan memunyai fungsi distribusi eluang f(t). Fungsi survival S(t), didefinisikan sebagai robabilitas bahwa waktu survival lebih besar atau sama dengan t, sehingga S(t) = P(T t) = 1 P(T < t) = 1 F(t) (2.1) Fungsi S(t) meruakan fungsi tak naik dengan nilai S(0) = 1 dan S( ) = 0. Fungsi S(t) juga biasa disebut cumulative survival rate. Selain itu terdaat kurva ketahanan yang digunakan untuk menentukan median atau ersentil lainnya dari waktu ketahanan, juga untuk membandingkan distribusi ketahanan dari dua kelomok atau lebih. 2.4 Fungsi Keadatan Peluang (Density Function) Fungsi keadatan eluang didefinisikan sebagai limit dari eluang individu mengalami kejadian dalam interval t samai t + t. f(t) = lim t 0 P{individu mengalami kejadian dalam selang (t + t)} P(t T t+ t) = lim t 0. (2.2) t Karena S(t) = 1 F(t) maka dengan menurunkan kedua ruas terhada t dieroleh: ds(t) dt ds(t) dt = 0 df(t) dt = 0 f(t) f(t) = ds(t) dt (2.3)

38 Fungsi Kegagalan (Hazard Function) Fungsi hazard meruakan eluang individu mengalami kejadian dalam selang waktu yang singkat yaitu t samai t + t jika diketahui individu tersebut belum mengalami kejadian samai dengan waktu t. h(t) = lim t 0 P{individu ada t mengalami kejadian dalam selang (t, t + t)} t P(t T t+ t T t) = lim t 0 t = lim t 0 = ( lim P(t T t+ t) P(T t) t P(t T t+ t) t 0 t ) /(1 F(t)) = f(t) 1 F(t). (2.4) Kurva fungsi hazard daat berua kurva naik, turun, konstan atau kurva lainnya yang lebih rumit. 2.6 Regresi Cox Proortional Hazard Model Cox Proortional Hazard Salah satu tujuan dari analisis survival adalah untuk menyelidiki hubungan antara waktu survival dengan variabel-variabel yang diduga memengaruhi waktu survival. Analisis ini daat menggunakan analisis regresi. Analisis regresi adalah analisis statistika yang memanfaatkan hubungan antara dua atau lebih eubah kuantitatif sehingga salah satu eubah daat diramalkan dari eubah lainnya. Salah satu analisis regresi yang sering digunakan untuk menganalisis data survival adalah regresi cox. Regresi cox termasuk dalam metode semiarametrik, dimana di dalam

39 20 metode ini tidak memerlukan informasi tentang distribusi yang mendasari waktu survival dan fungsi baseline hazard tidak harus ditentukan untuk mengestimasi arameternya. Selain metode semiarametrik, terdaat metode lainnya yang daat digunakan menganalisis data survival, yaitu metode arametrik dan metode nonarametrik. Metode arametrik mengasumsikan bahwa distribusi yang mendasari waktu survival mengikuti suatu distribusi tertentu, misalnya distribusi Weibull, Gamma, dan eksonensial. Metode nonarametrik digunakan aabila data yang digunakan tidak mengikuti suatu distribusi tertentu yang sudah ada, yaitu metode Kalan Meier dan Nelson-Aalen. Menurut Collet (2003), regresi cox roortional hazard atau lebih dikenal sebagai model regresi cox digunakan untuk mengetahui hubungan antara variabel deenden dengan variabel indeenden. Regresi cox roortional hazard ialah emodelan yang digunakan dalam analisis ketahanan hidu. Regresi ini digunakan aabila hasil engamatan yang diobservasi adalah anjang waktu suatu kejadian. Pada mulanya emodelan ini digunakan ada cabang statistika khususnya biostatistika yaitu digunakan untuk menganalisis kematian atau haraan hidu seseorang. Namun seiring erkembangan zaman, emodelan ini banyak dimanfaatkan di berbagai bidang. Diantaranya bidang akademik, kedokteran, sosial, sains, teknik, ertanian, endidikan, dan sebagainya. Menurut Lee (1992) jika ersamaan (2.1) dan (2.3) disubstitusikan ke ersamaan (2.4) maka dieroleh h(t) = f(t) = S (t) d ln S(t) = S(t) S(t) dt (2.5) Kemudian ersamaan (2.5) diintegralkan dari 0 samai t dengan S(0) = 1 yaitu

40 21 t h(t)dt 0 = ln S(t) H(t) = ln S(t) Berdasarkan ersamaan (2.5) dan (2.6) maka S(t) = ex [ H(t)] (2.6) f(t) = h(t)ex [ H(t)] (2.7) Untuk membangun model cox roortional hazard, misalkan risiko kematian individu ke-i ada saat t yaitu h i (t) bergantung ada nilai x 1, x 2,, x dari kovariat X 1, X 2,, X. Kovariat itu sendiri terbagi ke dalam dua macam, yaitu variat dan faktor. Variat meruakan eubah yang bernilai numerik/kontinu seerti umur, sedangkan faktor ialah eubah yang memunyai level/tie seerti jenis kelamin (Collet 2003). Himunan nilai kovariat direresentasikan dalam vektor x dengan x = (x 1, x 2,, x ) dan h 0 (t) yang disebut fungsi baseline hazard meruakan fungsi hazard untuk individu dengan nilai kovariat x adalah 0. Fungsi hazard untuk individu ke-i adalah h i (t) = ψ(x i )h 0 (t) (2.8) dengan ψ(x i ) meruakan fungsi dari vektor kovariat untuk individu ke-i. Fungsi ψ(x i ) daat ula diinterretasikan sebagai fungsi hazard untuk individu dengan kovariat x i relatif terhada fungsi hazard individu dengan kovariat x = 0. Karena ψ(x i ) menyatakan hazard relatif maka tidak mungkin bernilai negatif sehingga bisa ditulis ψ(x i ) = ex (η i ). Peubah η i adalah kombinasi linier dari kovariat x i yaitu η i = β 1 x 1i + β 2 x 2i + + β x i = j=1 β j x ji. Vektor β adalah koefisien dari

41 22 kovariat x 1, x 2,, x dalam model, sehingga bentuk umum dari model cox roortional hazard adalah h i (t) = h 0 (t) ex(β 1 x 1i + β 2 x 2i + + β x i ) (2.9) Menurut Collet (2003), model regresi cox roortional hazard adalah sebagai berikut: h i (t X) = h 0 (t) ex(β 1 x 1i + β 2 x 2i + + β x i ) = h 0 (t)e j=1 β jx ji h i (t X) = h 0 (t)ex (β x i ) (2.10) Model cox roortional hazard daat diandang sebagai model linier logaritma dari hazard ratio yaitu: h i (t) h 0 (t) = ex(β 1x 1i + β 2 x 2i + + β x i ) log h i(t) h 0 (t) = β 1x 1i + β 2 x 2i + + β x i Menurut Collet (2003), besaran ex(β 1 x 1i + β 2 x 2i + + β x i ) mengandung kovariat yang bebas terhada waktu, artinya bahwa nilai eubah tersebut tidak berubah dari waktu ke waktu (selama enelitian) serta β adalah koefisien kovariat yang mereresentasikan engaruh dari masing-masing kovariat secara langsung terhada log hazard. Hazard yang lebih besar secara langsung berkaitan dengan waktu ketahanan yang lebih singkat (khususnya jika kejadian berua kematian) Pengujian Asumsi Proortional Hazard Proortional hazard (PH) artinya erbandingan keceatan terjadinya suatu kejadian antar kelomok setia saat adalah sama. Ciri dari suatu kurva Kalan

42 23 Meier yang memenuhi asumsi PH adalah garis survival ada kurva Kalan Meier antar kelomok tidak saling berotongan. Metode lain untuk menguji asumsi PH adalah dengan membuat kurva ln ln survival dan global test. Asumsi PH terenuhi aabila garis survival ada kurva -ln ln survival tidak saling berotongan. Sedangkan ada uji global test, asumsi PH terenuhi aabila nilai lebih besar dari 0,05. Mungkin terdaat beberaa variabel yang memenuhi asumsi PH dan beberaa variabel tidak memenuhi asumsi PH. Asumsi PH (roortional hazard) sangat enting dalam analisis survival. Pentingnya asumsi ini analog dengan asumsi normalitas data ada analisis arametrik. Analisis yang dilakukan ada suatu fungsi survival yang memenuhi asumsi PH berbeda dengan analisis yang dilakukan ada fungsi survival yang tidak memenuhi asumsi PH. Menurut Soiyudin (2013), survival yang memenuhi asumsi PH akan dianalisis dengan time indeendent analysis, sementara survival yang tidak memenuhi asumsi PH akan dianalisis dengan analisis full model atau analisis reduced model Estimasi Parameter Estimasi adalah menduga suatu karakteristik atau ciri dari oulasi. Untuk menduga atau melakukan estimasi arameter, umumnya digunakan metode Maximum Likelihood Estimator (MLE). Jika terdaat n ukuran samel dan di antaranya terdaat r amatan yang tidak tersensor dan n r amatan yang tersensor, maka urutan r waktu tahan hidu dinotasikan t (1) < t (2) < < t (r) dengan t (j) adalah urutan waktu tahan hidu ke-j.

43 24 Menurut Cox dalam Collet (2003), fungsi likelihood untuk regresi cox roortional hazard adalah dengan r ex (β x (j) ) L(β) = j=1 (2.11) l R(t (j) ) ex (β x l ) x (j) R(t (j) ) x l : Vektor variabel dari individu yang gagal ada saat waktu ke-j. : Himunan individu yang masih hidu ada waktu ke-j. : Vektor variabel individu yang masih hidu dan meruakan elemen dari R(t (j) ). Jika terdaat data yang terdiri dari n waktu tahan hidu yang dinotasikan t 1, t 2,, t n dan δ i adalah nilai indikator kejadian sebagai berikut δ i = { 0, 1, individu yang tersensor individu tidak tersensor dengan t i, i = 1,2,, n Maka fungsi likelihood ersamaan (2.11) daat dinyatakan dalam n ex (β x (i) ) L(β) = i=1 [ (2.12) l R(t (i) ) ex (β x l ) dan fungsi log likelihood yang bersesuaian adalah dengan n log(l(β)) = δ i [β x (i) i=1 log ( l R(t (i) ) ex (β x l ))] (2.13) δ i ] x (i) R(t (i) ) x l : Vektor variabel dari individu yang gagal ada saat waktu ke-i. : Himunan individu yang masih hidu ada waktu ke-i. : Vektor variabel individu yang masih hidu dan meruakan elemen dari R(t (i) ).

44 25 Untuk mengestimasi arameter β 1, β 2,, β dalam regresi cox roortional hazard daat dieroleh dengan memaksimumkan fungsi likelihood dan diselesaikan dengan metode iterasi Newton-Rahson. Estimasi arameter β 1, β 2,, β dieroleh dari enyelesaian sejumlah ersamaan. Dimisalkan u(β g ) meruakan turunan ertama dari log (L(β)) yang daat dituliskan dalam bentuk u(β g ) = log (L(β)) β g = 0, g = 1,2,, dengan u(β g ) meruakan matriks berukuran x1 yaitu u(β g ) x1 = ( log (L(β)) β 1 log (L(β)) β ) x1. Didaatkan ersamaan dari turunan ertama fungsi log likelihood yaitu n j=1 ) log(l(β)) = i=1 δ i [ j=1 β j x (ji) log ( l R(t (i) ) ex ( β j x (jl) )] log (L(β)) n l R(t (i) ) j=1 )) n = i=1 δ i j=1 β j x (ji) i=1 δ i log ( ex ( β j x (jl) n = β i=1 δ i x (gi) i=1 δ i g n l R(t (i) ) x (gl) ex ( j=1 β j x (jl) ) l R(t (i) ) ex ( β j x j=1 (jl) ) sehingga dieroleh l R(t (i) ) j=1 ) n = i=1 δ i [x (gi) ( x (gl)ex ( β j x (jl) l R(t (i) ) ex ( β j x j=1 (jl) ) l R(t (i) ) j=1 ) )] (2.14) n u(β) = i=1 δ i [x (gi) ( x (gl)ex ( β j x (jl) )] = 0 l R(t (i) ) ex ( β j x j=1 (jl) ) Untuk turunan kedua dimisalkan I(β) = ( 2 log (L(β)) ), dimana I(β) β g β z adalah matriks yang berukuran x dari turunan kedua fungsi log likelihood yang nilai-nilai elemennya < 0, dengan g = 1,2,, dan z = 1,2,,, yaitu:

45 26 u(β) = n δ i i=1 x (gi) n δ i i=1 j=1 ) j=1 ) l R(t (i) ) x (gl) ex ( β j x (jl) l R(t (i) ) ex ( β j x (jl) Digunakan embagian vektor u v dalam mencari turunan kedua dari fungsi log (L(β)), yakni j=1 ) u = l R(t (i) ) x (gl) ex ( β j x (jl) j=1 ) u = l R(t (i) ) x (gl) x (zl) ex ( β j x (jl) j=1 ) v = l R(t (i) ) ex ( β j x (jl) j=1 ) v = l R(t (i) ) x (zl) ex ( β j x (jl) sehingga dieroleh u v v u v 2 = [ x (gl) x (zl) ex( j=1 β j x (jl) )][ ex( β l R(t (i) ) j=1 j x (jl) )] [ x l R(t (i) ) (zl) ex( j=1 β j x (jl) )][ x l R(t (i) ) (gl) ex( j=1 β j x (jl) )] l R(t (i) ) [ ex( j=1 β j x (jl) )][ ex( β l R(t (i) ) j=1 j x (jl) )] l R(t (i) ) = = x (gl) x (zl) ex( j=1 β j x (jl) ) l R(t (i) ) ex( β j x j=1 (jl) ) l R(t (i) ) x (gl) x (zl) ex( j=1 β j x (jl) ) l R(t (i) ) ex( β j x j=1 (jl) ) l R(t (i) ) [ [ x (zl) ex( β j x j=1 (jl) )][ x l R(t (i) ) (gl) ex( j=1 β j x (jl) )] l R(t (i) ) [ ex( β j x j=1 (jl) )][ ex( β l R(t (i) ) j x j=1 (jl) )] l R(t (i) ) x (zl) ex( j=1 β j x (jl) ) l R(t (i) ) ex( β j x j=1 (jl) ) l R(t (i) ) ] [ x (gl) ex( j=1 β j x (jl) ) l R(t (i) ) ex( β j x j=1 (jl) ) l R(t (i) ) ] n x (gl) x (zl) ex( j=1 β j x (jl) ) l R(t (i) ) = i=1 i=1 [ I(β) = ex( β j x j=1 (jl) ) l R(t (i) ) [ { n x (zl) ex( j=1 β j x (jl) ) l R(t (i) ) ex( β j x j=1 (jl) ) l R(t (i) ) x (gl) x (zl) ex( j=1 β j x (jl) ) l R(t (i) ) ex( β j x j=1 (jl) ) l R(t (i) ) x (zl) ex( j=1 β j x (jl) ) l R(t (i) ) ex( β j x j=1 (jl) ) l R(t (i) ) ] [ ] [ x (gl) ex( j=1 β j x (jl) ) l R(t (i) ) ex( β j x j=1 (jl) ) l R(t (i) ) x (gl) ex( j=1 β j x (jl) ) l R(t (i) ) ex( β j x j=1 (jl) ) l R(t (i) ) n i=1 (2.15) Elemen (g, z) dari matriks yang diharakan adalah I(β) x = ( 2 log (L(β)) β g β z ) ] } ]

46 27 I(β) x = ( 2 log (L(β)) 2 log (L(β)) β 1 β 1 β 1 β 2 log (L(β)) 2 log (L(β)) β β 1 β β ) Untuk menyelesaikan estimasi arameter yang ada ada ersamaan (2.14) dan (2.15) daat diselesaikan dengan menggunakan metode numerik melalui enyelesaian iterasi. Menurut Collet (2003), salah satu metode iterasi yang daat digunakan yaitu metode iterasi Newton-Rahson sebagai berikut: ((β ) s+1 ) x1 = ((β ) s ) x1 + (I 1 (β ) s ) x (u(β ) s ) x1 dengan s = 1,2,. (u(β ) s ) x1 : matriks turunan ertama dari log (L(β)) berukuran x1. (I 1 (β ) s ) x : invers matriks turunan kedua log (L(β)) berukuran x. Proses iterasi dimulai dengan menentukan nilai awal ((β ) s ) x1 = 0. Proses berhenti jika erubahan ada fungsi log likelihood kecil atau konvergen. Matriks (I 1 (β ) s ) x daat digunakan untuk mencari nilai standar eror dari enduga arameter (β ). Elemen diagonal dari matriks (I 1 (β ) s ) x berturut-turut meruakan varian β 1, β 2, β 3,, β dan akar dari masing-masing varian tersebut meruakan standar eror dari arameter tersebut. Menurut Hosmer, Lemeshow, dan May (2008:72) varian dari β s daat didefinisikan sebagai:

47 28 Var(β ) = I(β ) 1 (2.16) Sedangkan standar deviasi dari β s meruakan akar kuadrat dari varians β s, yaitu sebagai berikut. SE(β s) = Var(β ) = I(β ) 1 (2.17) Standar deviasi daat digunakan untuk mencari selang keercayaan β s yaitu (1 α)100%. Selang keercayaan untuk β s adalah sebagai berikut. (β s ZαSE(β ), β s + ZαSE(β )) (2.18) Pengujian Asumsi Proortional Hazard dengan Residual Schoenfeld Terdaat beberaa jenis residual yang daat digunakan untuk melakukan engujian asumsi roortional hazard. Menurut David Collet (2004), residual tersebut antara lain residual Martingale, residual Deviance, residual Schoenfeld, residual Cox-Snell dan residual Score. Pada enelitian ini akan digunakan residual Schoenfeld untuk menguji asumsi roortional hazard. Menurut Lee dan Wang (2003: ), residual Schoenfeld didefinisikan sebagai residual yang setia individu dan setia variabel bebasnya berdasarkan turunan ertama dari fungsi log likelihood ada ersamaan (2.14). Residual Schoenfeld untuk individu ke-i ada variabel bebas ke-j adalah sebagai berikut: R ji = δ i (x ji lεr(t x jl ex(β x l ) i ) ), j = 1,2,, (2.19) lεr(t ex(β x l ) i ) dengan β meruakan estimator artial likelihood maksimum dari β. Karena β meruakan solusi dari ersamaan turunan ertama fungsi log likelihood ada ersamaan (2.14), maka jumlah residual Schoenfeld adalah nol atau dengan kata

48 29 lain residual Schoenfeld memunyai rata-rata nol. Aabila jumlah samel besar, nilai haraan dari R ji adalah nol, sehingga residual Schoenfeld tidak berkorelasi dengan yang lainnya. Scaled residual Schoenfeld daat dihitung dengan menggunakan invers dari estimator matrik kovarian R i = (R 1i,, R i ) yang dinotasikan dengan V (R i ), sehingga dieroleh R i = [V (R i )] 1 R i (2.20) Untuk menyederhanakan erhitungan, Therneau dan Grambsch (1994) mengusulkan bahwa erkiraan dari [V (R i )] 1 ada ersamaan (2.20) adalah sebagai berikut. [V (R i )] 1 rv (β ) (2.21) Dimana r adalah jumlah event dan V (β ) adalah estimator matrik kovarian dari β ada ersamaan (2.16). Dengan menggunakan erkiraan tersebut, scaled residual Schoenfeld ada ersamaan (2.20) daat ditulis sebagai berikut: R i = rv (β )R i (2.22) Grafik antara residual Schoenfeld dengan waktu survival daat digunakan untuk memeriksa kelengkaan model roortional hazard. Cox roortional hazard dikatakan roorsional aabila hazard ratio-nya indeenden terhada waktu. Aabila terdaat variabel bebas yang tergantung ada waktu, maka asumsi roortional hazard tidak terenuhi.