4. Digraph. Oleh : Ade Nurhopipah

Transkripsi

1 4. Digraph Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Digraph dan Subdigraph 2. Derajat Titik Pada Digraph 3. Path dan Cycle Pada Digraph 4. Digraph Euler dan Digraph Hamilton Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J Graph and Applications. Springer: UK. Digraph dan Subdigraph Definisi 4.1 Sebuah digraph terdiri dari dari sebuah himpunan elemen yang disebut vertex, dan sebuah himpunan elemen yang disebut arc. Setiap arc menghubungkan dua vertex. Sebagai contoh digraph yang ditunjukan pada Gambar 4.1 memiliki empat vertex {u,v,w,x} dan enam arc {1,2,3,4,5,6}. Arc 1 menghubungkan vertex x ke vertex u, arc 2 menghubungkan vertex u ke vertex w, arc 3 dan 4 menghubungkan vertex w ke vertex v, arc 5 menghubungkan vertex x ke vertex w, sedangkan arc 6 menghubungkan vertex x dengan dirinya sendiri. Gambar 4.1 Contoh sebuah digraph Kita sering menunjukan suatu arc dengan dua vertex yang ia hubungkan dengan ururan sesuai arahnya. Misalnya arc 1 dinotasikan sebagai xu, dan arc 2 dinotasikan sebagai uw. Definisi 4.2 Pada sebuah digraph, dua atau lebih arc yang menghubungkan pasangan vertex yang sama disebut multiple arc. Sebuah arc yang menghubungkan suatu vertex dengan dirinya sendiri disebut loop. Suatu digraph yang tidak memiliki multiple arc atau loop disebut digraph sederhana (simple digraph) 1

2 Digraph yang ditunjukan oleh Gambar 4.1, memiliki multiple arc yang menghubungkan v dan w, juga terdapat loop pada titik x, sehingga digraph tersebut bukanlah digraph yang sederhana. Latihan Tuliskan vertex dan arc pada digraph berikut. Apakah digraph tersebut termasuk digraph sederhana? 2. Gambar digraph yang memiliki vertex dan arc berikut. Apakah digraph tersebut termasuk digraph sederhana? a. Vertex = {u,v,w,x}, edge ={uv,vw,vx,wx} b. Vertex = {1,2,3,4,5,6,7,8}, edge ={12,22,23,34,35,67,68,78} Ketetanggaan dan Insidensi Definisi 4.3 Vertex v dan w pada suatu digraph adalah bertetangga jika mereka dihubungkan dengan sebuah arc e. Sebuah arc yang menghubungkan vertex v ke vertex w disebut arc yang insiden dari v dan insiden ke w. Vertex v insiden ke e dan vertex w insiden dari e. Sebagai contoh pada Gambar 4.1, vertex u dan x bertetangga, vertex w insiden dari arc 2 dan arc 5 serta insiden ke arc 3 dan arc 4. Arc 6 insiden ke dan dari vertex x. Latihan 4.2 Mana dari pernyataan ini yang sesuai dengan digraph berikut. a. Vertec v dan w bertetangga b. Vertec v dan x bertetangga c. Vertex u insiden ke arc 2 d. Arc 5 insiden dari vertex v 2

3 Isomorfisma Sesuai dengan definisi digraph, sebuah digraph ditentukan secara keseluruhan dengan mengetahui vertex dan arc pada digraph tersebut. Sehingga, dua digraph adalah digraph yang sama jika mereka memiliki vertex dan arc yang sama. Definisi 4.4 Dua digraph C dan D adalah isomorfik jika D dapat diperoleh dengan memberikan label pada vertex C, jika terdapat korespondensi satu-satu antara vertex di D dengan vertex di C, sehingga jumlah arc yang menghubungkan pasangan vertec di C sama dengan jumlah arc yang menghubungkan pasangan vertec yang berkoresponden di D dalam hal jumlah maupun arahnya. Gambar 4.2 Contoh dua digraph yang isomorfik Misalnya pada Gambar 4.2 ditunjukan, dua digraph C dan D yang tidak sama, namun isomorfik, karena kita bisa memberi label yang sama pada vertex digraph C untuk mendapatkan digraph D, dengan korespondensi satu-satu berikut : C D u 2 v 3 w 4 x 1 Semua arc pada C juga berkoresponden dengan arc di D, misalnya dua arc yang menghubungkan u dan v berkoresponden dengan dua arc yang menghubungkan vertex 2 ke vertex 3 di D. Latihan Dengan melakukan pelabelan kembali terhadap vertex, tunjukan bahwa pasangan digraph berikut adalah isomorfik. 3

4 2. Apakah kedua digraph berikut isomorfik? Jika iya, temukan korespondensi satu-satu yang sesuai antara vertex pada digraph pertama dan digraph kedua. Jika tidak, jelaskan mengapa tidak ada korespondesi satu-satu yang sesuai. Kadang-kadang, kita tidak diharuskan atau tidak perlu untuk melabeli suatu digraph. Pada kasus ini kita menghilangkan label tersebut dan mendapatkan suatu digraph yang disebut digraph tidak berlabel. Sebagai contoh digraph tidak berlabel ditunjukan pada Gambar 4.3. Gambar 4.3 Contoh digraph tidak berlabel Digraph tidak berlabel pada Gambar 4.3 berkoresponden dengan tiga digraph isomorfik yang ditunjukan oleh Gambar 4.4. Dua digraph tidak berlabel dapat dikatakan isomorfik, jika kedua digraph tersebut dapat dilabeli pada vertex-nya sehingga keduanya menjadi digraph yang sama. Gambar 4.4 Digraph isomorfik yang berkoresponden dengan digraph tidak berlabel Latihan 4.4 Dengan memberi label yang sesuai, tunjukan bahwa digraph tidak berlebel ini adalah isomorfik. 4

5 Subdigraph dan Underlying Graph Definisi 4.5 Suatu subdigraph dari digraph D adalah sebuah digraph di mana semua vertex-nya adalah vertex dari D dan semua arc-nya adalah arc dari D. Sebagai contoh pada Gambar 4.5 menggambarkan sebuah digraph D dan tiga buah subdigraph-nya. Gambar 4.5. Contoh sebuah digraph dan subdigraph-nya Latihan 4.5 Mana dari digraph berikut yang merupakan subdigraph dari digraph D. Ide dari subdigraph juga dapat diperluas untuk konsep digraph tidak berlabel. Pada Gambar 4.6 ditunjukan digraph dan subdigraph dari digraph tidak berlabel C. Gambar 4.6 Contoh digraph tidak berlabel dan subdigraph-nya 5

6 Latihan 4.6 Mana dari digraph berikut yang merupakan subgraph dari digraph tak berlabel C? Perlu juga untuk kita memahami tentang konsep underlying graph dari sebuah digraph sebagai berikut. Definisi 4.6 Underlying graph dari digraph D adalah graph yang diperoleh dengan mengganti setiap arc pada digraph D dengan edge tak berarah. Sebagai contoh pada Gambar 4.7 ditunjukan sebuah digraph dan underlying graph-nya. Gambar 4.7 Digraph dan underlying graph-nya Derajat Titik Definisi 4.7 Dalam sebuah digraph, derajat keluar sebuah vertex adalah jumlah arc yang insiden dari vertex tersebut, dan derajat masuk sebuah vertex adalah jumlah arc yang insiden ke vertex tersebut. Setiap loop memberi kontribusi 1 pada derajat masuk dan 1 untuk derajat keluar. Sebagai contoh tinjau Gambar 4.8 yang menunjukan sebuah digraph dengan enam vertex. Gambar 4.8 Ilustrasi untuk derajat vertex sebuah digraph 6

7 Digraph pada Gambar 4.8 memiliki, derajat masuk u = 1, derajat keluar u = 0, derajat masuk x =0 derajat keluar x =0 derajat masuk v =3, derajat keluar v =1 derajat masuk y =2 derajat keluar y =6 derajat masuk w =2 derajat keluar w =1 derajat masuk z =2 derajat keluar z = 2 Kadang kita membutuhkan daftar derajat vertex pada suatu digraph dan menuliskannya dengan barisan terurut naik. Jika terdapat dua vertex yang memiliki derajat sama, maka pengulangan nilai tetap dituliskan. Contohnya digraph pada Gambar 4.8 memiliki barisan derajat masuk (0,1, 2,2, 2,3) dan barisan derajat keluar (0,0, 1,1, 2,6) Definisi 4.8 Barisan derajat masuk pada sebuah digraph D adalah barisan yang diperoleh dengan mendaftar derajat masuk vertex pada D dengan urutan naik, dengan pengulangan jika perlu. Barisan derajat keluar pada sebuah digraph D didefinisikan secara analog. Latihan Tulislah barisan derajat pada digraph berikut. 2. Tulislah jumlah arc, jumlah derajat masuk, dan jumlah derajat keluar semua vertex dalam digraph pada bagian 1. Apa yang dapat kamu simpulkan? Handshaking dilemma Teorema 4.1 : Handshaking dilemma Pada setiap digraph, jumlah dari semua derajat keluar dan jumlah dari semua derajat masuk sebuah vertex sama dengan jumlah arc-nya. Pada setiap digraph, setiap arc memiliki dua ujung, ia menyumbang tepat 1 untuk jumlah derajat masuk, dan 1 untuk derajat keluar. 7

8 Latihan 4.8 Gunakan handshaking dilemma untuk membuktikan bahwa pada setiap digraph, jika vertex yang memiliki derajat keluar yang ganjil jumlahnya ganjil, maka jumlah vertex yang memiliki derajat masuk yang ganjil jumlahnya juga ganjil, Path dan Cycle Definisi 4.9 Suatu walk dengan panjang k dalam digraph adalah urutan k arc dengan bentuk uv,vw,wx,,yz. Walk ini dinotasikan dengan uvwx yz dan disebut sebagai walk antara u dan z. Suatu trail adalah walk dimana semua arcnya berbeda, namun vertecnya tidak harus berbeda. Suatu path adalah walk yang baik arc maupun vertex-nya harus berbeda. Contohnya untuk digraph pada Gambar 4.9, vwxyvwyzu adalah walk dengan panjang 9 dari v ke u yang memuat vertex v,w,y, dan z dua kali. Walk uvwyvz merupakan sebuah trail namun bukan path, karena vertex v muncul dua kali, sedangkan walk vwxyz yang tidak memiliki vertex yang sama adalah sebuah path. Gambar 4.9 Ilustrasi untuk trail dan path sebuah digraph Definisi 4.10 Suatu walk tertutup pada sebuah digraph adalah urutan arc dengan bentuk uv,vw,wx,,yz.zu, yang berawal dan berakhir pada vertex yang sama. Suatu trail tertutup merupakan walk tertutup di mana semua arc-nya berbeda. Sebuah cycle adalah walk tertutup di mana semua arc dan semua vertex diantaranya berbeda. Sebuah walk atau trail adalah terbuka jika ia berawal dan berakhir di vertex yang berbeda. Pada digraph dalam Gambar 4.9, walk tertutup uvwyvzu adalah trail tertutup yang bukan merupakan cycle, sedangkan trail tertutup zz, wxw, vwxyv dan uvwxyzu semuanya merupakan cycle. Dalam menjelaskan walk tertutup, kita memperbolehkan vertex manapun menjadi titik awal. Contohnya pada segitiga vwyv dapat ditulis sebagai wyvw atau yvwy. 8

9 Latihan 4.9 Untuk digraph berikut, tulislah : a. Semua path dari t ke w. b. Semua path dari w ke t. c. Sebuah trail tertutup dengan panjang 8 yang memuat t dan z d. Semua cycle yang memuat t dan w. Seperti pada graph, kita memakai konsep sebuah path untuk menjelaskan apakah sebuah digraph terhubung atau tidak. Ingat kembali bahwa sebuah graph terhubung jika ia berada dalam satu kesatuan yang berarti selalu ada sebuah path di antara setiap pasangan vertex. Untuk digraph, terdapat dua istilah dengan definisi yang berbeda sebagai berikut. Definisi 4.11 Sebuah digraph disebut digraph terhubung jika underlying graph-nya adalah sebuah graph terhubung. Sebuah graph terhubung kuat jika ada sebuah path yang menghubungkan setiap pasangan vertex pada graph tersebut. Terdapat tiga tipe digraph yang ditunjukan pada Gambar Digraph (a) tidak terhubung, karena underlying graph-nya adalah graph yang tidak terhubung. Digraph (b) adalah digraph terhubung namun tidak terhubung kuat. Hal ini karena tidak semua pasangan vertex dihubungkan oleh sebuah path, misalnya vertex z dan vertex y. Digraph (c) adalah digraph yang terhubung kuat, karena terdapat path yang menghubungkan setiap pasang vertex. Gambar 4.10 Ilustrasi untuk digraph terhubung 9

10 Latihan 4.10 Klasifikasikan setiap digraph berikut menjadi digraph tidak terhubung, terhubung, atau terhubung kuat. Digraph Euler dan Digraph Hamilton Definisi 4.12 Sebuah digraph terhubung adalah digraph Euler juka ia memiliki sebuah trail tertutup yang memuat semua arc. Sebuah graph terhubung adalah digraph Hamilton jika ia memiliki sebuah cycle yang memuat semua vertex. Sebagai contoh, perhatikan graph pada Gambar Graph (a) merupakan digraph Euler dan juga digraph Hamilton. Trail Euler yang mungkin adalah a b c d e f b g c e g f a. Cycle Hamilton yang mungkin adalah : a b c d e g f a. Graph (b) merupakan digraph Euler, namun bukan digraph Hamilton. Trail Euler yang mungkin adalah : b c g f e g b Graph (c) merupakan digraph Hamilton, namun bukan digraph Euler. Cycle Hamilton yang mungkin adalah : b c d e g f b. Graph (d) bukan merupakan digraph Euler maupun digraph Hamilton. Gambar 4.11 Ilustrasi untuk digraph Euler dan digraph Hamilton 10

11 Latihan Tentukan setiap digraph berikut apakah termasuk digraph Euler dan/atau graph Hamilton, tulis trail Euler dan cycle Hamilton jika ada. 2. Tebaklah syarat cukup dan syarat perlu untuk sebuah digraph agar menjadi digraph Euler yang melibatkan derajat masuk dan derajat keluar setiap vertex 3. Gunakan kondisi yang didapatkan pada bagian 2, untuk mengecek digraph pada bagian 1, apakah termasuk digraph Euler atau bukan. Teorema 4.2 Sebuah digraph terhubung adalah digraph Euler jika dan hanya jika pada setiap vertex, derajat keluarnya sama dengan derajat masuknya. Teorema 4.3 Sebuah digraph Euler dapat dibagi menjadi beberapa cycle. Tidak ada dari cycle tersebut yang memiliki arc yang sama. Studi Kasus Ecology Ketika mempelajari hubungan antar hewan, tumbuhan dan lingkungannya, ahli ekologi biasanya menggunakan sebuah digraph yang dikenal sebagai rantai makanan seperti ditunjukan pada Gambar Pada digraph tersebut, vertex mewakili spesies yang sedang diteliti, dan arc dari species A ke species B, menandakan bahwa A memakan B. Gambar 4.12 Contoh sebuah rantai makanan 11

12 Untuk menjelaskan rantai makanan lebih lanjut, ahli ekologi memperkenalkan sebuah graph yang menjelaskan spesies mana yang saling berkompetisi memperebutkan makanan. Graph seperti ini disebut dengan graph kompetisi atau niche overlap graph. Pada graph ini, vertex mewakili setiap spesies dan edge yang menghubungkan vertex menjelaskan bahwa kedua spesies tersebut memakan mangsa yang sama. Gambar 4.13 menunjukan graph Kompetisi untuk digraph rantai makanan pada Gambar Representasi seperti ini berguna untuk menjelaskan bahwa spesies yang diwakili dengan vertex yang bertetangga, cenderung memiliki reaksi yang sama terhadap faktor lingkungan tertentu seperti suhu, kelembapan, ketinggian dan lain-lain. Gambar 4.13 Contoh sebuah graph kompetisi pada bidang ekologi Latihan 4.12 Gambarlah graph kompetisi dari rantai makanan berikut. Jaringan Sosial Pada jaringan sosial yang direpresentasikan oleh graph, kita mendapatkan suatu hubungan social yang simetris, misalnya x menyukai y jika hanya jika y menyukai x. Ketika kita bekerja pada situasi hubungan yang tidak simetris, maka kita menggunakan digraph bertanda. Contoh representasi digraph bertanda untuk jaringan sosial ditunjukan pada Gambar Catat bahwa arc negatif dari x ke y tidak sama dengan arc positif dari y ke x. 12

13 Gambar 4.14 Digraph bertanda dalam jaringan sosial Digraph bertanda dapat digunakan untuk permasalahan sosial yang melibatkan sistem yang kompleks dan terdiri dari sejumlah variabel yang berubah dan saling mempengaruhi. Sering kali kita ingin meramalkan perkembangan masa depan ketika kita hanya mengetahui sejumlah informasi. Untuk situasi seperti ini, digraph bertanda dapat dipakai dengan mudah dan dapat menghasilkan kesimpulan yang benar. Sebagai contoh suatu sistem pada Gambar 4.14 menunjukan konsekuensi penggunaan energi. Gambar 4.15 Representasi digraph bertanda pada suatu sistem sosial Pada Gambar 4.15 kita dapat melihat arc pu ditandai positif, karena kenaikan jumlah populasi menyebabkan kenaikan jumlah penggunaan energi. Arc ur ditandai negatif, karena semakin banyak energy yang digunakan, maka biaya per unitnya makin murah. Pada sistem tersebut juga digambarkan tidak ada arc dari j ke r, karena kenaikan jumlah lapangan kerja tidak memiliki efek langsung pada harga unit listrik. Pada graph tersebut, kita juga dapat memperhatikan cycle yang terbentuk. Sebagai contoh cycle puqp. Pada cycle ini, peningkatan populasi p menyebabkan peningkatan penggunaan energi u, ini kemudian menyebabkan penurunan kualitas lingkungan q, yang akhirnya menyebabkan penurunan angka populasi p. Dalam cycle seperti ini, di mana peningkatan variable p akhirnya menyebabkan penurunan variabel yang sama, disebut cycle dengan feedback negatif. Di sisi lain, peningkatan kapasitas energy c, menyebabkan peningkatan jumlah pabrik f, sehingga menyebabkan peningkatan energi yang dipakai u, yang akhirnya juga menyebabkan kapasitas energi c meningkat pula. Cycle cfuc, di mana peningkatan suatu variabel akhirnya menyebabkan peningkatan variabel yang sama, di sebut cycle dengan feedback positif. Untuk melihat bagaimana menentukan cycle dengan feedback positif atau negatif, perhatikan bahwa, setiap cycle dengan feedback positif memiliki jumlah arc negatif yang genap, sedangkan cycle dengan feedback negatif memiliki jumlah arc negatif yang ganjil. Pada Gambar 4.15, dengan menghitung jumlah arc bertanda negatiff, kita dapat melihat bahwa cycle uqpu adalah cycle dengan feedback negatif, sedangkan cycle cruc, cfuc, rur dan cfjpuc semuanya memiliki feedback positif. 13

14 Latihan 4.13 Daftarlah sebanyak mungkin cycle dengan feedback positif dan negatif pada digraph bertanda berikut. Rotating Drum Problem Salah satu masalah pada bidang telekomunikasi (muncul juga pada bidang kriptografi dan desain mesin cuci) adalah masalah rotasi drum pada teleprinter. Permukaan dari drum yang berotasi dibagi menjadi enam belas bagian seperti ditunjukan pada Gambar Area yang memiliki bayangan menunjukan material yang terkonduksi. Kita merepresentasikan posisi drum dengan empat digit bilangan biner, a, b, c, dan d. Gambar 4.16 Pembagian permukaan drum berrotasi Bagian posisi drum, a, b, c dan d bisa jadi terisolasi atau tidak terisolasi. Sebagai contoh, pada Gambar 4.16 menunjukan a, c dan d tidak terisolasi. Bagian yang tidak terisolasi memberikan sinyal yang direpresentasikan dengan angka 1, dan bagian yang terisolasi memberikan sinyal yang direpresentasikan dengan angka 0. Agar enam belas posisi ini dapat direpresentasikan secara unik dengan empat digit kode biner abcd, setiap posisi harus ditandai sedemikian rupa sehingga terdapat enam belas kode biner empat digit abcd yang muncul. Sebagai contoh, untuk Gambar 4.16 di mana a, c dan d tidak terisolasi ditunjukan dengan kode biner Drum diputar berlawanan arah jarum jam secara berurutan dan memberikan susunan barisan bilangan biner berikut. 0110,1100,1001,0010,0100,1000,0000,0001, 0011,0111,1111,1110,1101,1010,0101,

15 Semua barisan bilangan biner empat digit tersebut berbeda dan merepresentasikan semua posisi dalam drum. Untuk memperoleh barisan ini dan solusi lain, kita membangun sebuah digraph dengan delapan vertex dan berkoresponden dengan bilangan biner tiga digit berikut. 000,001,010,011,100,101,110,111 dengan arc dari setiap vertex abc ke vertex bc0 dan bc1. Seperti ditunjukan pada Gambar 4.17 Gambar 4.17 Representasi digraph untuk masalah rotating drum Digraph yang terbentuk adalah graph Euler, karena memiliki derajat masuk dan derajat keluar sama dengan 2. Trail Euler yang ada memberikan solusi pada masalah rotasi drum. Sebagai contoh, kita kita dapat memakai trail Euler berikut Kita dapat menyederhanakan bentuk dengan sehingga diperoleh barisan sebagai berikut Solusi ini memberikan susunan sirkular posisi yang ditunjukan pada Gambar Gambar 4.18 Solusi untuk masalah rotating drum Dengan menggunakan cara yang sama, kita dapat mencari solusi untuk masalah drum berotasi dengan pembagian 32, 64 dan seterusnya. Latihan 4.14 Temukan trail Euler yang berbeda pada Gambar yang dapat membangun sebuah solusi untuk masalah drum berotasi dengan enam belas bagian. 15

16 Ranking Tournament Sebuah turnamen adalah sebuah digraph yang graph underlying-nya merupakan graph komplit. Sebagai contoh Gambar 4.19 menunjukan turnamen dengan tiga dan empat buah titik. Digraph seperti ini dapat dipakai untuk merekam pemenang dalam sebuah turnamen round robin di mana setiap pemain bermain dengan semua pemain lainnya. Sebagai contoh dalam turnamen (a), a mengalahkan d dan c, dan b mengalahkan c. Dalam turnamen (d), c mengalahkan a, d dan b, b mengalahkan a dan d, dan a mengalahkan d. Gambar 4.19 Contoh digraph turnamen round robin Turnamen juga dapat muncul dalam konteks lain seperti perbandingan pasangan metode, di mana kita membandingkan sejumlah komoditas dengan melakukan test secara berpasangan. Sebagai contoh, Gambar 4.20 membandingkan enam tipe makanan anjing yang kelezatannya ditest secara berpasangan pada sejumlah anjing. Masalah yang muncul adalah bagaimana komoditas ini kita dapat kita ranking berdasarkan data pilihan yang ada. Gambar 4.20 Contoh digraph perbandingan pasangan komoditas Untuk beberapa turnamen, kita tidak mendapatkan kesulitan dalam melakukan perankingan. Kita dapat mengurutkan ranking dengan cara melihat vertex mana yang mengalahkan vertex lainnya. Misalnya dalam turnamen (a) dan (d) kita dapat melakukan ranking seperti ditunjukan pada Gambar Gambar 4.21 Contoh perankingan sebuah turnamen 16

17 Sayangnya dalam contoh praktis perankingan yang konsisten semacam ini jarang terjadi. Sebagai contoh dalam turnamen (b), a mengalahkan b, b mengalahkan c dan c mengalahkan a, sehingga kita tidak bisa membuat ranking dari ketiga pemain ini secara langsung. Ketidakkonsistenan ini juga terjadi pada contoh perbandingan makanan anjing pada Gambar Makanan anjing Woofoo lebih dipilih dari pada Doggo, Doggo lebih dipilih daripada Joocy-chunks, dan Joocy-chunks lebih dipilih daripada Woofoo. Untuk turnamen semacam ini, kita harus menemukan metode alternatif yang bisa meranking partisipan atau komoditas ini. Pada kondisi ini, tidak ada metode yang sepenuhnya memuaskan, namun metode yang sering dipakai dalam kondisi praktis adalah dengan mencari sebuah path yang memuat semua vertex, seperti path semi-hamilton. Untuk setiap turnamen, setidaknya ada sebuah path semi- Hamilton semacam ini dan dapat kita gunakan untuk menjadi dasar perankingan. Sebagai contoh, dalam turnamen (c), ranking yang mungkin adalah a,b,d,c dan b,c,a,d. Sedangkan untuk masalah makanan anjing, ranking yang dapat dibuat adalah : Woofoo, Doggo, Joocy-chunks, Waggo, Slurp, Bitey-bits dan Bitey-bits, Joocy-chunks, Woofoo, Doggo, Waggo, Slurp. Ketika kita sudah memiliki daftar dari semua ranking yang mungkin, kita dapat mengambil pertimbangan lain. Pertimbangan tersebut digunakan untuk menentukan ranking mana yang paling baik dan cocok dipakai untuk memenuhi tujuan perankingan kita. Latihan 4.15 Berapa buah ranking yang mungkin dibuat pada turnamen berikut. 17