MULTIPLISITAS SIKEL DARI GRAF TOTAL PADA GRAF SIKEL, GRAF PATH DAN GRAF KIPAS
|
|
- Yuliana Susman
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 MULTIPLISITAS SIKEL DARI GRAF TOTAL PADA GRAF SIKEL, GRAF PATH DAN GRAF KIPAS SKRIPSI Oleh : NUR DIAN PRAMITASARI J2A JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG 2013
2 MULTIPLISITAS SIKEL DARI GRAF TOTAL PADA GRAF SIKEL, GRAF PATH DAN GRAF KIPAS NUR DIAN PRAMITASARI J2A Skripsi Diajukan Sebagai Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada Jurusan Matematika JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG 2013 i
3 HALAMAN PENGESAHAN Judul : Multiplisitas Sikel dari Graf Total pada Graf Sikel, Cinf Path, dan Graf Kipas Nama : NurDianPramitasari NIIrlI : J2A Telah diujikan pada sidang Tugas Alfiir tanggal2g Juli dandinyatakanluluspadatanggal f Qustus 2Al3. Semarang, 2 $ushrs 2013 Mengetahui, a.n. Ketua Junrsan Matematika Panitia Penguji Tugas Akhir Ketua, ffiffi".s Ee kffiffi }:% W:. t4twm3t004 Drs. Solichin Zaki. M.Kom NIP
4 HAI"ATfiAN PEI\TGESAHAN." Judut : Multiplisitas Sikel dari Crraf ToaI pada Crmf Sikd, eilafpar& dan CrafKipas Nama : NurDiannramitsstri Nhd : l2a0@ 064 T ffi sfidang Trryas Akhir tanggal 29 J,{u tubfimbinsry Se,maranrg, J AArs+us zofi,:u**ansota GL,,,.- I I Felr*Sitr *Si.M.Si. Ph-D NIP ffi121OO1 t963n05198t t ll1
5 KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-nya, sehingga penulis dapat menyusun tugas akhir ini. Tugas akhir yang berjudul Multiplisitas Sikel dari Graf Total pada Graf Sikel, Graf Path, dan Graf Kipas ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Strata Satu (S1) pada Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro Semarang. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada yang terhormat : 1. Drs. Solikhin Zaki, M.Kom selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Matematika UNDIP. 2. Farikhin, S.Si, M.Si, Ph.D selaku dosen pembimbing I yang dengan sabar membimbing dan mengarahkan penulis hingga selesainya penyusunan Tugas Akhir ini. 3. Drs. Bayu Surarso, M.Sc, Ph.D selaku dosen pembimbing II yang dengan sabar membimbing dan mengarahkan penulis hingga selesainya penyusunan Tugas Akhir ini. 4. Semua pihak yang telah memberikan dukungan serta bantuan kepada penulis dalam menyelesaikan Tugas Akhir ini. Penulis menyadari bahwa Tugas Akhir ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun demi iv
6 kesempurnaan Tugas Akhir ini. Semoga Tugas Akhir ini bisa membawa manfaat bagi penulis sendiri khususnya dan bagi pembaca pada umumnya. Semarang, Juli 2013 Penulis v
7 ABSTRAK Diberikan graf G dengan himpunan titik V(G) dan himpunan sisi E(G). Graf total dari graf G dinotasikan dengan T(G) didefinisikan sebagai himpunan titik dari T G adalah V(G) U(G), dengan U(G) adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf G. Sedangkan multiplisitas sikel dari graf total pada graf G adalah jumlah maksimal sikel sisi yang disjoin dari graf total pada graf G. Dalam tugas akhir ini, dipelajari tentang multiplisitas sikel dari graf total pada graf C n, P n, dan dibahas tentang multiplisitas sikel dari graf total pada graf F n. Hasil penelitian ini, telah diketahui bahwa multiplisitas sikel dari graf total pada graf C n adalah n + 1 dan multiplisitas sikel dari graf total pada graf P n is n 1. Selanjutnya, telah dibuktikan multiplisitas sikel dari graf total pada graf F n adalah untuk n ganjil atau n2 + 16n 18 6 n n 18 untuk n genap, dengan n adalah titik pada graf G. Kata Kunci : multiplisitas sikel, graf total, graf sikel, graf path, graf kipas. 6 vi
8 ABSTRACT Let G be a graph with vertex set V (G) and edge set E (G). The total graph of G, denoted by T(G) is defined as the vertex set of T(G) is V(G) U(G), with U(G) is the vertex set obtained by addition of a vertex to each edge e = v i v j in G. The cycle multiplicity of graph total of graph G is defined as maximum number of edge disjoint cycles in G. In this paper, we discuss the cycle multiplicity of total graph of C n, P n, and will be discuss the cycle multiplicity of total graph of F n. It has been known that the cycle multiplicity of total graph of n-cycle is n + 1, cycle multiplicity of total graph of P n graph is n 1. We show a partern for cycle multiplicity of total graph of fan graph is n n 18 6 even, with n is vertex of G. if n odd or n2 + 16n 18 6 Keywords: cycle multiplycity, total graph, cycle graph, path graph, fan graph. if n vii
9 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... HALAMAN PENGESAHAN... KATA PENGANTAR... ABSTRAK... ABSTRACT... DAFTAR ISI... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR TABEL... DAFTAR SIMBOL... i ii iv vi vii viii x xiii xiv BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Rumusan Masalah Pembatasan Masalah Tujuan Penulisan Metode Penulisan Sistematika Penulisan... 3 BAB II TEORI PENUNJANG Pengertian Graf Operasi operasi pada graf Fungsi Bilangan Bulat Terbesar Jenis-jenis Graf viii
10 2.5 Multiplisitas Sikel BAB III PEMBAHASAN Graf Total Multiplikasi Sikel dari Graf Total Pada graf G Multiplisitas Sikel dari Graf Total Pada Graf Sikel C n Multiplisitas Sikel dari Graf Total Pada Graf Path P n Multiplisitas Sikel dari Graf Total Pada Graf Kipas F n BAB IV PENUTUP Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA ix
11 DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Graf G Gambar 2.2 Graf G Gambar 2.3 Graf G Gambar 2.4 Graf G 7 merupakan graf terhubung dan Graf G 8 merupakan graf tidak terhubung Gambar 2.5 Graf G 1 G Gambar 2.6 Graf G1 G Gambar 2.7 Graf G 1 G Gambar 2.8 (a) Graf sederhana, (b) Graf Ganda, dan (c) Graf semu Gambar 2.9 (a) Graf berhingga (b) Graf tak berhingga Gambar 2.10 (a) Graf tak berarah dan (b) Graf berarah Gambar 2.11 Graf Sikel Gambar 2.12 Graf Path Gambar 2.13 Graf Nol Gambar 2.14 Graf Komplit Gambar 2.15 Graf Kipas Gambar 2.16 Graf Bipartit Gambar 2.17 Graf Bipartit Komplit Gambar 2.18 Graf Bintang Gambar 2.19 Graf G Gambar 3.1 Graf G dan Total Graf G x
12 Gambar Graf Sikel C Gambar Graf Total dari Graf Sikel C Gambar Graf Sikel C Gambar Graf Total dari Graf Sikel C Gambar Graf Sikel C Gambar Graf Total dari Graf Sikel C Gambar Graf Sikel C Gambar Graf Total dari Graf Sikel C Gambar Graf Sikel C Gambar Graf Total dari Graf Sikel C Gambar Graf Path P Gambar Graf Total dari Graf Path P Gambar Graf Path P Gambar Graf Total dari Graf Path P Gambar Graf Path P Gambar Graf Total dari Graf Path P Gambar Graf Path P Gambar Graf Total dari Graf Path P Gambar Graf Path P Gambar Graf Total dari Graf Path P Gambar Graf Kipas F Gambar Graf Total dari Graf Kipas F Gambar Himpunan sikel sisi yang disjoin pada graf kipas F xi
13 Gambar Graf Kipas F Gambar Graf total dari graf Kipas F Gambar Himpunan sikel sisi yang disjoin pada graf Kipas F Gambar Graf Kipas F Gambar Graf Total dari Graf Kipas F Gambar Himpunan sisi sikel yang disjoin pada graf Kipas F Gambar Graf Kipas F Gambar Graf total dari graf Kipas F Gambar Himpunan sisi sikel yang disjoin pada graf Kipas F Gambar Graf Kipas F Gambar Graf total dari graf Kipas F Gambar Himpunan sisi sikel yang disjoin pada graf Kipas F xii
14 DAFTAR TABEL Tabel 3.1 Multiplikasi Sikel dari Graf Total pada Graf Sikel Tabel 3.2 Multiplikasi Sikel dari Graf Total pada Graf Path Tabel 3.3 Multiplikasi Sikel dari Graf Total pada Graf Kipas xiii
15 DAFTAR SIMBOL G T(G) V(G) E(G) U(G) v i e i u i : Graf : Total graf dari G : Himpunan titik graf G : Himpunan sisi graf G : Himpunan titik pada graf total G : Titik ke i : Sisi ke i : Titik ke i e = v i v j C n P n F n K n N n S i : sisi yang menghubungkan v i ke v j : Graf sikel dengan n titik : Graf path dengan n titik : Graf kipas dengan n titik : Graf komplit dengan n titik : Graf Nol dengan n titik : Himpunan sikel sisi yang disjoin S i CM(G) CM [T C n ] CM [T P n ] CM [T F n ] : Kardinalitas S i : Notasi untuk Multiplisitas sikel (Cycle Multiplicity) dari graf G : Notasi untuk Multiplisitas sikel dari total graf pada graf sikel : Notasi untuk Multiplisitas sikel dari total graf pada graf path : Notasi untuk Multiplisitas sikel dari total graf pada graf kipas : Kurang dari atau sama dengan xiv
16 [ ] : Bilangan bulat terbesar : Tanda akhir pembuktian xv
17 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matematika dikenal sebagai Mother of Science, karena matematika merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan yang mempunyai kelebihan dibandingkan cabang cabang ilmu lainnya. Selain itu matematika juga mempunyai banyak manfaat, karena banyak permasalahan dalam kehidupan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep konsep matematika. Dengan berkembangnya zaman dan kemajuan teknologi, maka matematika ikut pula berkembang. Diantara banyaknya bagian matematika yang terus berkembang, yang menarik untuk dikaji lebih lanjut adalah teori graf. Secara umum graf G adalah himpunan tak-kosong yang berhingga dari objek objek yang disebut titik (vertex) bersama dengan himpunan pasangan takterurut yaitu sisi (edge). Himpunan titik G dinotasikan dengan V (G), sedangkan himpunan sisi dinotasikan dengan E (G) [2]. Menurut catatan sejarah, masalah jembatan Konigsberg adalah masalah yang pertama kali menggunakan graf (1736). Oleh karena itu, Euler ( ) menjadi Bapak dari Teori Graf sebagaimana topologi ketika dia merumuskan mengenai masalah terkenal yang takterpecahkan di atas [5]. Peristiwa itulah yang menjadi tombak sejarah munculnya Teori Graf dan terus berkembang sampai sekarang karena kajiannya berhubungan dengan pemecahan masalah sehari hari. 1
18 2 Meskipun masalah graf telah banyak diteliti oleh para ahli matematika, tetapi penelitian tentang multiplisitas sikel dari suatu graf belum banyak dilakukan orang, begitu juga multiplisitas sikel dari graf total tertentu. Multiplisitas sikel dari graf G adalah banyaknya sikel sisi yang disjoin di graf G yang dinotasikan dengan CM(G) [3]. Pada tugas akhir ini akan dibahas tentang multiplisitas sikel dari graf total pada graf sikel C n, graf path P n, dan graf kipas F n berdasarkan [1]. 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut : 1. Bagaimana mendapatkan multiplisitas sikel dari graf total pada graf sikel C n? 2. Bagaimana mendapatkan multiplisitas sikel dari graf total pada graf path P n? 3. Bagaimana mendapatkan multiplisitas sikel dari graf total pada graf kipas F n? 1.3 Pembatasan Masalah Permasalahan dalam tugas akhir ini hanya dibatasi pada multiplisitas sikel dari graf total pada graf sederhana, berhingga, dan tidak berarah.
19 3 1.4 Tujuan Penulisan Adapun tujuan dari penulisan tugas akhir ini sebagai berikut : 1. Mempelajari multiplisitas sikel dari graf total pada graf sikel C n. 2. Mempelajari multiplisitas sikel dari graf total pada graf path P n. 3. Menentukan multiplisitas sikel dari graf total pada graf kipas F n. 1.5 Metode Penulisan Metode yang digunakan penulis dalam penyusunan tugas akhir ini adalah metode tinjauan pustaka (Study Literature), yaitu dengan memahami beberapa jurnal mengenai graf dan pustaka-pustaka lain yang melandasi teori tentang graf seperti tertera dalam daftar pustaka. Terlebih dahulu penulis akan menjabarkan materi-materi dasar yang berkaitan dengan graf, seperti pengertian graf dan definisi-definisi yang berkaitan dengan graf. Penulis juga akan memberikan pengertian mengenai multiplisitas sikel dari graf total. Selanjutnya, menentukan multiplisitas sikel dari graf total pada graf sikel C n,graf path P n, dan graf kipas F n. 1.6 Sistematika Penulisan Sistematika penulisan tugas akhir ini meliputi empat bab, yaitu pendahuluan, teori penunjang, pembahasan dan penutup. Bab I merupakan pendahuluan yang mencakup latar belakang, rumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan dan sistematika penulisan.
20 4 Bab II merupakan teori teori penunjang yang terdiri dari penjelasan mengenai pengertian graf, adjacent dan incident, graf terhubung, multiplisitas sikel, graf sikel C n, graf path P n, dan graf kipas F n, serta teori teori lain yang berkaitan. Bab III merupakan pembahasan tentang bagaimana mendapatkan multiplisitas sikel dari graf total pada graf sikel C n, graf path P n, dan graf kipas F n, serta bagaimana membuktikan yang telah diperoleh. Bab VI merupakan penutup yang berisi kesimpulan dari penulisan karya tulis ini, dan juga saran yang diberikan sebagai pertimbangan bagi penulis selanjutnya.
21 BAB II TEORI PENUNJANG 2.1 Pengertian Graf Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki banyak terapan sampai saat ini. Graf digunakan untuk mempresentasikan objek objek diskrit dan hubungan antara objek objek tersebut. Graf menggambarkan struktur tersebut dalam beberapa objek yang dinyatakan dengan noktah, bulatan, sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis. Secara sistematis, graf didefinisikan sebagai berikut: Definisi [2] Graf G adalah himpunan tak-kosong yang berhingga dari objek objek yang disebut titik (vertex) bersama dengan himpunan pasangan tak-terurut (yang mungkin kosong) dari titik titik berbeda di G yang disebut sisi (edge). Himpunan titik dari G dinotasikan V (G), sedangkan himpunan sisi dinotasikan dengan E (G). Banyaknya unsur di V disebut derajat (order) dari G dan dilambangkan dengan p(g) dan banyaknya unsur di E disebut ukuran (size) dari G dan dilambangkan dengan q(g), jika graf yang dibicarakan hanya graf G, maka order dan size dari G tersebut cukup ditulis p dan q [2]. Dengan kata lain, Graf G adalah himpunan tak-kosong V(G) yang berhingga dari objek objek yaitu titik dengan himpunan pasangan tak-terurut E(G) dari objek objek yang disebut sisi. 5
22 6 Contoh 2.1.1: berikut ini : Perhatikan graf G yang memuat titik V(G) dan himpunan sisi E(G) seperti V(G) = v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 E(G)= e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6 Graf G tersebut secara lebih jelas dapat digambar sebagai berikut. e1 e6 e2 G: v6 e5 e3 v5 e4 v4 Gambar 2.1 Graf G 1 Graf G 1 mempunyai 6 titik sehingga order G 1 adalah p = 6. Graf G 1 mempunyai 6 sisi sehingga size graf G 1 adalah q = 6. Definisi [2] Sisi e = (u, v) dikatakan menghubungkan titik u dan v. Jika e = (u, v) adalah sisi pada graf G, maka u dan v adalah titik yang terhubung langsung (adjacent), sementara itu u dan e, serta dengan v dan e adalah titik yang terkait langsung (incident). Untuk selanjutnya, sisi e = (u, v) akan ditulis e = uv.
23 7 Contoh Dari Gambar 2.1 di atas, titik v 1 dan e 1 serta e 1 dan v 2 adalah incident (terkait langsung) dan titik v 1 dan v 2 adalah adjacent (terhubung langsung). Definisi [2] Derajat dari suatu titik v pada graf G adalah banyak sisi pada graf G yang terkait langsung dengan titik v. Derajat suatu titik v di G dinotasikan dengan deg G v. Suatu titik berderajat 0 disebut suatu titik terisolasi dan titik yang berderajat 1 disebut titik ujung. Contoh v 1 e 1 v 2 e 2 v4 Gambar 2.2 Graf G 2 Dari Gambar 2.2 titik v 1 dan v 3 mempunyai derajat 1, deg G v 1 = 1 dan deg G v 3 = 1, titik v 2 mempunyai derajat 2, deg G v 2 = 2 dan titik v 4 mempunyai derajat 0, deg G v 4 = 0. Titik v 1 dan titik v 3 disebut titik ujung. Sedangkan titik v 4 disebut titik terisolasi.
24 8 Definisi [9] Suatu walk (jalan) yang panjangnya k dalam graf G adalah urutan k sisi G yang berbentuk. uv, vw, wx,..., yz Walk ini dinotasikan dengan uv, vw, wx,..., yz dan disebut walk antara u ke z. Semua sisi dalam walk tidak perlu berbeda (boleh sama). Definisi [9] Jika semua sisi (tetapi tidak perlu semua titik) suatu walk berbeda, maka walk itu disebut trail. Jika semua titiknya berbeda, maka trail itu disebut path. Panjang path adalah banyak sisi dalam path tersebut. Definisi [9] Suatu walk (jalan) tertutup dalam graf G merupakan urutan sisi G berbentuk uv, vw, wx,..., yz, zu. Jika semua sisinya berbeda, maka walk itu disebut trail tertutup (closed trail). Jika titik-titiknya juga berbeda maka trail itu disebut sikel (cycle). Contoh Berikut ini adalah contoh graf yang memuat walk, trail, dan path.
25 9 v w u x z y Gambar 2.3 Graf G 3 (i) uvwxywvzy adalah walk yang panjangnya 8 antara u dan y, yang memuat sisi vw dua kali, titik v, w, dan y dua kali. (ii) Walk vzywxy adalah trail yang bukan path (karena titik y ada dua). (iii) Walk vwxyz tidak ada titik yang diulang, karena itu merupakan path. (iv) Walk tertutup uvwyvzu adalah trail tertutup yang bukan merupakan sikel (karena titik v muncul dua kali) (v) Trail tertutup vwxyv dan vwxyzv semuanya adalah sikel. Definisi [9] Graf G dikatakan terhubung (connected) jika untuk setiap dua titik v dan w di G, terdapat path yang menghubungkan kedua titik tersebut. Graf G dikatakan tidak terhubung (disconnected) jika ada pasangan titik di G yang tidak mempunyai path. Contoh Berikut adalah contoh graf terhubung dan tidak terhubung.
26 10 v 1 v 2 v7 v 3 v 4 v6 v 5 G 7 v 1 v 2 v6 v 3 v7 v8 v 5 v 4 G 8 Gambar 2.4 Graf G 7 merupakan graf terhubung dan G8 merupakan graf tidak terhubung 2.2 Operasi operasi pada Graf Definisi [2] Gabungan (union) dari G 1 dan G 2, ditulis G = G 1 G 2 adalah graf dengan V G = V G 1 V(G 2 ) dan E G = E G 1 E G 2. Jika graf G terdiri atas n kali graf H, n > 2, maka ditulis G = nh. Contoh G 1 G 2
27 11 G 1 G 2 Gambar 2.5 Graf G 1 G 2 Definisi [2] Penjumlahan dari G 1 dan G 2 ditulis dengan G = G 1 + G 2 adalah graf dengan V G = V G 1 V(G 2 ) dan E G = E G 1 E G 2 {uv u V G 1 dan v V G 2 }. Contoh G 1 G 2 G1 G 2 Gambar 2.6 Graf G1 G2 Definisi 2.2.3[2] Perkalian kartesius dari G 1 dan G 2 ditulis G = G 1 G 2 adalah graf dengan V G = V G 1 V(G 2 ) dan dua titik (v 1, v 2 ) dan (u 1, u 2 ) dari G terhubung langsung (adjacent) jika hanya jika u 1 = v 1 dan u 2 v 2 E(G 2 ) atau u 2 = v 2 dan u 1 v 1 E(G 1 ).
28 12 Contoh u1 G1 : G2 : u2 G1 X G2 : (u1,) (u1,) (u1,) (u2,) (u2,) (u2,) Gambar 2.7 Graf G 1 G Fungsi Bilangan Bulat Terbesar Fungsi bilangan bulat terbesar [] memiliki daerah asal/domain adalah himpunan semua bilangan real dan daerah hasil/range adalah himpunan bilangan bulat. Definisi 2.3 [8] Untuk suatu bilangan real x, [x] adalah suatu bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x, yaitu [x] adalah bilangan bulat tunggal yang memenuhi x 1 < [x] x.
29 13 Contoh 2.3 a. 1,2 = 2, b. 1,2 = 1 Pada contoh (a) di atas berdasarkan definisi dapat dijelaskan sebagai berikut 2,2 < 1,2 1,2, maka 1,2 = - 2. Sedangkan contoh (b) berdasarkan definisi dapat dijelaskan sebagai berikut 0,2 < 1,2 1,2, maka 1,2 = Jenis-jenis Graf Berdasarkan sifatnya graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa kategori (jenis) bergantung pada sudut pandang pengelompokannya. Pengelompokan graf dapat dipandang berdasarkan ada tidaknya sisi ganda, berdasarkan banyak titik, atau berdasarkan orientasi arah pada sisi. Berdasarkan ada tidaknya sisi ganda pada suatu graf, maka secara umum graf dapat digolongkan menjadi 2 jenis : Graf sederhana (simple graph) Definisi [7] Graf sederhana adalah graf yang tidak mengandung sisi ganda maupun loop Graf tak sederhana (unsimple graph) Definisi [7] Graf tak sederhana adalah graf yang mengandung sisi ganda atau loop. Ada dua macam graf tak-sederhana, yaitu graf ganda (multigraph) dan graf semu
30 14 (pseudograph). Graf ganda adalah graf yang mengandung sisi ganda. Graf semu adalah graf yang mengandung sisi ganda dan loop. Contoh Berikut adalah contoh graf berdasarkan ada tidaknya sisi ganda. a b a b a b d c d c d (a) (b) (c) c Gambar 2.8 (a) Graf sederhana, (b) Graf Ganda, dan (c) Graf semu Berdasarkan banyak titik pada suatu graf, maka secara umum graf dapat dikelompokkan menjadi dua jenis: Graf berhingga Definisi [7] Graf berhingga adalah graf yang banyak titiknya berhingga Graf tak-berhingga Definisi [7] Graf tak-berhingga adalah graf yang banyak titiknya tak berhingga.
31 15 Contoh Berikut adalah contoh graf berdasarkan banyaknya titik. (a) (b) Gambar 2.9 (a) Graf berhingga (b) Graf tak berhingga Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dikelompokkan menjadi dua jenis: Graf tak berarah Definisi [7] Graf tak-berarah adalah graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah. Pada graf tak berarah, urutan pasangan titik yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi v v v v adalah sisi yang sama. j k k j Graf berarah Definisi [7] Graf berarah adalah graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah. Pada graf berarah ( v j, vk ) dan ( v k, v j ) menyatakan dua buah sisi yang berbeda, dengan kata lain ( v j, vk ) ( vk, v j ). Untuk sisi ( v j, vk ) titik v j dinamakan titik asal (initial verteks) dan titik v k dinamakan titik terminal (terminal verteks).
32 16 Contoh Berikut adalah contoh graf berdasarkan orientasi arah pada sisi. (a) (b) Gambar 2.10 (a) Graf tak berarah dan (b) Graf berarah Terdapat beberapa jenis graf sederhana khusus. Berikut ini didefinisikan beberapa graf khusus yang sering ditemukan : Graf Sikel (Cycle Graph) Definisi [9] Graf sikel adalah graf yang terdiri dari sebuah sikel yang tunggal. Graf sikel dengan n titik, n 3 dinotasikan dengan C n. Graf sikel C n setiap titiknya berderajat 2. Contoh Gambar 2.11 Graf Sikel
33 Graf Path Definisi [9] Graf path adalah graf yang terdiri dari path tunggal. Graf path dengan n titik dan n-1 sisi dinotasikan dengan P n. Contoh P1 P2 P3 P4 P5 Gambar 2.12 Graf Path Graf Nol Definisi [9] Graf nol adalah graf yang tidak memiliki sisi. Graf nol bertitik n dinotasikan dengan N n. Contoh N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 Gambar 2.13 Graf Nol
34 Graf Komplit (Complete Graph) Definisi [9] Graf komplit dengan n titik dinotasikan K n yaitu sebuah graf jika setiap titik adalah terhubung kepada setiap titik lainnya. Setiap titik pada Contoh K n berderajat n-1. K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 Gambar 2.14 Graf Komplit Graf Kipas (Fan Graph) Definisi [4] Graf kipas dibentuk dari penjumlahan graf komplit K 1 dan graf path P n, yaitu F n = K 1 + P n. Dengan demikian graf kipas mempunyai (n + 1) titik dan (2n 1) sisi. Contoh vn v0 Gambar 2.15 Graf Kipas
35 Graf Bipartit (Bipartite Graph) Definisi [9] Suatu graf yang himpunan titiknya dapat dipecah menjadi himpunan A dan B sedemikian hingga setiap sisi graf menghubungkan sebuah titik di A ke sebuah titik di B. Titik di A dibedakan dari titik di B dengan menggambarkan titik di A sebagai noktah (lingkaran kecil hitam) dan yang di B sebagai lingkaran kecil putih, sehingga setiap sisi incident dengan sebuah titik hitam dan sebuah titik putih. Contoh Gambar 2.16 Graf Bipartit Graf Bipartit Komplit (Complete Bipartite Graph) Definisi [9] Graf bipartit komplit adalah graf dimana setiap titik hitamnya dihubungkan dengan setiap titik putih dengan tepat satu sisi. Graf bipartit komplit dengan m titik hitam dan n titik putih dinotasikan sebagai K m, n.
36 20 Contoh atau K 1,5 K 2,2 K 2,4 Gambar 2.17 Graf Bipartit Komplit Graf Bintang (Star Graph) Definisi [9] Graf bintang adalah graf bipartit komplit yang satu titik hitamnya dihubungkan dengan setiap titik putih dengan tepat satu sisi. Graf bipartit komplit dengan m titik hitam dan n titik putih dinotasikan sebagai K m, n. Graf bipartit komplit yang berbentuk Contoh K 1, n disebut graf bintang. v... vn Gambar 2.18 Graf Bintang
37 Multiplisitas Sikel [3] Definisi 2.5 Jika G adalah sebuah graf, V(G) dan E(G) adalah himpunan titik dan sisi dari graf G. Multiplisitas sikel dari graf G, dinotasikan CM(G) adalah jumlah maksimal sikel sisi yang disjoin pada graf G. Contoh Gambar 2.19 Graf G Dari Gambar 2.19 dapat diperoleh bahwa multiplisitas sikel pada graf G adalah v 1 v 2 v 3 v 1 atau CM(G) = 1.
38 BAB III PEMBAHASAN Pada bab ini akan dibahas tentang multiplisitas sikel dari graf total pada graf sikel, graf path dan graf kipas. Namun, sebelumnya akan dibahas mengenai definisi graf total dan multiplisitas sikel pada graf total. 3.1 Graf Total Definisi 3.1 [6] Diberikan graf G dengan himpunan titik V(G) dan himpunan sisi E(G). Graf total dari graf G dinotasikan dengan T(G) adalah graf yang mempunyai himpunan titik V(G) U(G), dengan U(G) adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf G. Dalam graf total, dua titik adalah adjacent di T(G) jika dan hanya jika (i) v i adjacent dengan v j di graf G, (ii) u i U(G) adjacent dengan u j U(G) jika sisi e i dan sisi e j insiden pada titik yang sama di G, (iii) v i V[T G ] adjacent dengan u i U(G) jika v i insiden dengan sisi e i. Contoh 3.1 e1 u1 e2 e4 u2 u4 e3 v4 u3 (G) T(G) Gambar 3.1 Graf G dan Total Graf G v4 22
39 23 Graf pada Gambar 3.1 merupakan graf G dengan himpunan titik V(G) = {v 1, v 2, v 3, v 4 } dan himpunan sisi E(G) = {e 1, e 2, e 3, e 4 }. Graf total dari graf G adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(G)] = V G U G, dimana U(G) adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf G dengan U G = u 1, u 2, u 3, u 4. Dua titik adjacent pada T(G) adalah: (i) v 1 adjacent dengan v 2 di graf G. v 1 adjacent dengan v 3 di graf G. v 1 adjacent dengan v 4 di graf G. v 3 adjacent dengan v 4 di graf G. (ii) u 1 U(G) adjacent dengan u 2 U(G) jika sisi e 1 dan sisi e 2 insiden di titik v 1 V G. u 1 U(G) adjacent dengan u 4 U(G) jika sisi e 1 dan sisi e 4 insiden di titik v 1 V G. u 2 U(G) adjacent dengan u 3 U(G) jika sisi e 2 dan sisi e 3 insiden di titik v 3 V G. u 2 U(G) adjacent dengan u 4 U(G) jika sisi e 2 dan sisi e 4 insiden di titik v 1 V G. u 3 U(G) adjacent dengan u 4 U(G) jika sisi e 3 dan sisi e 4 insiden di titik v 4 V G. (iii) v 1 V T G adjacent dengan u 1 U G jika v 1 insiden dengan sisi e 1. v 2 V T G adjacent dengan u 1 U G jika v 2 insiden dengan sisi e 1. v 1 V T G adjacent dengan u 2 U G jika v 1 insiden dengan sisi e 2.
40 24 v 3 V T G adjacent dengan u 2 U G jika v 3 insiden dengan sisi e 2. v 3 V T G adjacent dengan u 3 U G jika v 3 insiden dengan sisi e 3. v 4 V T G adjacent dengan u 3 U G jika v 4 insiden dengan sisi e 3. v 1 V T G adjacent dengan u 4 U G jika v 1 insiden dengan sisi e 4. v 4 V[T G ] adjacent dengan u 4 U(G) jika v 4 insiden dengan sisi e Multiplikasi Sikel dari Graf Total Pada graf G Definisi 3.2 [1] Diberikan graf G dengan himpunan titik V(G) dan himpunan sisi E G. Multiplisitas sikel dari graf total pada graf G, dinotasikan CM[T(G)] adalah jumlah maksimal sikel sisi yang disjoin dari graf total pada graf G. Contoh 3.2 Dari gambar 3.1 maka multiplikasi sikel dari graf total pada graf G adalah v 1 u 1 v 2, v 1 u 2 v 3, v 1 u 4 v 4, v 3 u 3 v 4, u 2 u 1 u 4. Atau bisa ditulis CM[T(G)] = Multiplisitas Sikel dari Graf Total Pada Graf Sikel C n Diberikan graf sikel C n dengan n adalah banyaknya titik dan n Graf Sikel C 3 Graf Sikel C 3 mempunyai himpunan titik V(C 3 ) = {v 1, v 2, v 3 } dan himpunan sisi E(C 3 ) = {e 1, e 2, e 3 } dimana e i = v i v j.
41 25 e3 e1 u3 u1 e2 u2 Gambar Graf Sikel C 3 Gambar Graf Total dari Graf Sikel C 3 Graf total dari graf sikel C 3 adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(C 3 )] = V C 3 U C 3, dimana U C 3 adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf G dengan U C 3 = u 1, u 2, u 3 dan E T C 3 = {v i u i 1 i 3} {u i v i+1 1 i 2} {u 3 v 1 } {v i v i+1 1 i 2} {v 3 v 1 } {u i u i+1 1 i 2} {u 3 u 1 }. Sikel sisi yang disjoin adalah S 1 = {u i u i+1 v i+1 u i i = 1, 2}, S 2 = {u 3 u 1 v 1 u 3 }, S 3 = {v 1 v 2 v 3 v 1 }. Terlihat bahwa S i dengan 1 i 3 adalah himpunan himpunan yang beranggotaan sikel sisi yang disjoin dalam C 3, dimana S 1 = 2, S 2 = 1, S 3 = 1. Sehingga CM [T(C 3 )] = S i = = Graf Sikel C 4 Graf Sikel C 4 mempunyai himpunan titik V(C 4 ) = {v 1, v 2, v 3, v 4 } dan himpunan sisi E(C 4 ) = {e 1, e 2, e 3,e 4 } dimana e i = v i v j.
42 26 e1 u1 e4 e2 u4 u2 v 4 e3 v 4 u3 Gambar Graf Sikel C 4 Gambar Graf Total dari Graf Sikel C 4 Graf total dari graf sikel C 4 adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(C 4 )] = V C 4 U C 4, dimana U C 4 adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf G dengan U C 4 = u 1, u 2, u 3, u 4 dan E T C 4 = {v i u i 1 i 4} {u i v i+1 1 i 3} {u 4 v 1 } {v i v i+1 1 i 3} {v 4 v 1 } {u i u i+1 1 i 3} {u 4 u 1 }. Sikel sisi yang disjoin adalah S 1 = {u i u i+1 v i+1 u i 1 i 3}, S 2 = {u 4 u 1 v 1 u 4 }, S 3 = {v 1 v 2 v 3 v 4 v 1 }. Terlihat bahwa S i dengan 1 i 3 adalah himpunan himpunan yang beranggotaan sikel sisi yang disjoin dalam C 4, dimana S 1 = 3, S 2 = 1, S 3 = 1. Sehingga CM [T(C 4 )] = S i = = Graf Sikel C 5 Graf Sikel C 5 mempunyai himpunan titik V(C 5 ) = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } dan himpunan sisi E(C 5 ) = {e 1, e 2, e 3,e 4, e 5 } dimana e i = v i v j.
43 27 e5 e1 u5 u1 v5 v5 e4 e2 v 4 e3 u4 u2 v 4 u3 Gambar Graf Sikel C 5 Gambar Graf Total dari Graf Sikel C 5 Graf total dari graf sikel C 5 adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(C 5 )] = V C 5 U C 5, dimana U C 5 adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf G dengan U C 5 = u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 dan E T C 5 = {v i u i 1 i 5} {u i v i+1 1 i 4} {u 5 v 1 } {v i v i+1 1 i 4} {v 5 v 1 } {u i u i+1 1 i 4} {u 5 u 1 }. Sikel sisi yang disjoin adalah S 1 = {u i u i+1 v i+1 u i 1 i 4}, S 2 = {u 5 u 1 v 1 }, S 3 = {v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 }. Terlihat bahwa S i dengan 1 i 3 adalah himpunan himpunan yang beranggotaan sikel sisi yang disjoin dalam C 5, dimana S 1 = 4, S 2 = 1, S 3 = 1. Sehingga CM [T(C 5 )] = S i = = 6.
44 Graf Sikel C 6 Graf Sikel C 6 mempunyai himpunan titik V(C 6 ) = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 } dan himpunan sisi E(C 6 ) = {e 1, e 2, e 3,e 4, e 5, e 6 } dimana e i = v i v j. e1 e6 e2 u6 u1 u2 v6 v6 e5 e3 u5 u3 v5 e4 v4 v5 u4 v4 Gambar Graf Sikel C 6 Gambar Graf Total dari Graf Sikel C 6 Graf total dari graf sikel C 6 adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(C 6 )] = V C 6 U C 6, dimana U C 6 adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf G dengan U C 6 = u 1, u 2, u 3, u 4, u 5, u 6 dan E T C 6 = {v i u i 1 i 6} {u i v i+1 1 i 5} {u 6 v 1 } {v i v i+1 1 i 5} {v 6 v 1 } {u i u i+1 1 i 5} {u 6 u 1 }. Sikel sisi yang disjoin adalah S 1 = {u i u i+1 v i+1 u i 1 i 5}, S 2 = {u 6 u 1 v 1 }, S 3 = {v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 }. Terlihat bahwa S i dengan 1 i 3 adalah himpunan himpunan yang beranggotaan sikel sisi yang disjoin dalam C 6, dimana S 1 = 5, S 2 = 1, S 3 = 1. Sehingga CM [T(C 6 )] = S i = = 7.
45 Graf Sikel C 7 Graf Sikel C 7 mempunyai himpunan titik V(C 7 ) = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6, v 7 } dan himpunan sisi E(C 6 ) = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7 } dimana e i = v i v j. e1 e2 v7 u7 u1 e3 e4 u6 u2 v4 v5 v6 e5 e6 u5 u3 v6 e7 v7 v5 u4 v4 Gambar Graf Sikel C 7 Gambar Graf Total dari Graf Sikel C 7 Sikel sisi yang disjoin dari graf sikel C 7 di atas adalah u 1 u 2 v 2 u 1 ; u 2 u 3 v 3 u 2 ; u 3 u 4 v 4 u 3 ; u 4 u 5 v 5 u 4 ; u 5 u 6 v 6 u 5 ; u 6 u 7 v 7 u 6 ; u 7 u 1 v 1 u 7 ; v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 1 atau S 1 = u i u i+1 v i+1 u i 1 i 6}, S 2 = {u 7 u 1 v 1 u 7 }, S 3 = {v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 1 }. Terlihat bahwa S i dengan 1 i 3 adalah himpunan himpunan yang beranggotaan sikel sisi yang disjoin dalam C 7 dimana jumlah anggota dari masing-masing himpunan S adalah S 1 = 6, S 2 = 1, S 3 = 1. Sehingga CM [T C 7 ] = S i = = 8.
46 30 Berdasarkan perhitungan Multiplisitas sikel dari graf sikel di atas, maka diperoleh sebagai berikut. Tabel 3.1 Multiplikasi Sikel dari Graf Total Pada Graf Sikel n Graf Sikel C n CM [T C n ] 3 C 3 4 = C 4 5 = C 5 6 = C 6 7 = C 7 8 = 7+ 1 Selanjutnya, akan diformulasikan multiplisitas sikel dari graf total pada graf sikel C n seperti yang dituliskan dalam teorema berikut. Teorema 3.1 Multiplisitas Sikel dari Graf Total pada Graf sikel C n = n + 1. Bukti Himpunan sikel sisi yang disjoin dari graf C n adalah S 1 = {u i u i+1 v i+1 u i 1 i n 1}
47 31 S 2 = {u n u 1 v 1 u n } S 3 = {u i u i+1 u i+2 u i+3 u n u i } terlihat bahwa S i dengan 1 i 3 adalah himpunan-himpunan yang beranggotakan sikel sisi yang disjoin dalam C n dimana jumlah anggota dari masing-masing himpunan S bisa dicari dengan menggunakan rumus barisan aritmatika. Pada S 1, i dapat dijabarkan dalam bentuk barisan aritmatika yaitu 1,2,3,. n - 1 sehingga didapatkan suku pertama adalah α = 1 dan beda b = 1 serta u m = n 1 dimana m adalah batas terbesar dari S 1, sehingga didapatkan jumlah anggota S 1 dengan perhitungan berikut. u m = a + m 1 b n 1 = 1 + m 1 1 n 1 = 1 + m 1 m = n 1 Dapat ditulis S 1 = n 1 Selanjutnya untuk S 2 dan S 3, masing-masing banyak anggota hanya 1 yaitu S 2 = {u n u 1 v 1 u n } =1 S 3 = {u i u i+1 u i+2 u i+3 u n u i } = 1 maka dapat ditulis S 2 = 1 dan S 3 = 1. Jadi masing-masing multiplisitas sikel pada tiap himpunan sikel sisi yang disjoin adalah S 1 = n 1, S 2 = 1, S 3 = 1. Sehingga CM [T C n ] = n = n + 1. Terbukti bahwa CM [T C n ] = n + 1.
48 Multiplisitas Sikel dari Graf Total Pada Graf Path P n Diberikan graf Path P n dengan n adalah banyaknya titik dan n Graf Path P 2 Graf path P 2 mempunyai himpunan titik V(P 2 ) = {v 1, v 2 } dan himpunan sisi E(P 2 )={ e 1 } dimana e i = v i v j. e1 Gambar Graf Path P 2 u1 Gambar Graf Total dari Graf Path P 2 Graf total dari graf path P 2 adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(P 2 )] = V P 2 U P 2, dimana U P 2 adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf G dengan U P 2 = u 1 dan E[T(P 2 )]= {v i u i i = 1} {v i v i+1 i = 1} {u i v i+1 i = 1}. Sikel sisi yang disjoin adalah S 1 = {v i u i v i+1 v i i= 1}, maka CM [T P 2 ] = 1.
49 Graf Path P 3 Graf path P 3 mempunyai himpunan titik V(P 3 ) = {v 1, v 2, v 3 } dan himpunan sisi E(P 3 )={e 1, e 2 } dimana e i = v i v j. e1 e2 Gambar Graf Path P 3 u1 u2 Gambar Graf Total dari Graf Path P 3 Graf total dari graf path P 3 adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(P 3 )] = V P 3 U P 3, dimana U P 3 adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf path P 3 dengan U P 3 = u 1, u 2 dan E[T(P 3 )]= {v i u i i = 1,2} {v i v i+1 i = 1,2} {u i v i+1 i = 1,2} {u i u i+1 i = 1}. Sikel sisi yang disjoin adalah S 1 = {v i u i v i+1 v i i = 1, 2}, maka CM [T P 3 ] = 2.
50 Graf Path P 4 Graf path P 4 mempunyai himpunan titik V(P 4 )={v 1, v 2, v 3, v 4 } dan himpunan sisi E(P 4 )={ e 1, e 2, e 3 } dimana e i = v i v j. e1 e2 e3 v4 Gambar Graf Path P 4 u1 u2 u3 v4 Gambar Graf Total dari Graf Path P 4 Graf total dari graf path P 4 adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(P 4 )] = V P 4 U P 4, dimana U P 4 adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf path P 4 dengan U P 4 = u 1, u 2, u 3 dan E[T(P 4 )] = {v i u i 1 i 3} {v i v i+1 1 i 3} {u i v i+1 1 i 3} {u i u i+1 1 i 2}. Sikel sisi yang disjoin adalah S 1 = {v i u i v i+1 v i i= 1, 2, 3}, maka CM [T P 4 ] = 3.
51 Graf Path P 5 Graf path P 5 mempunyai himpunan titik V(P 5 ) = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } dan himpunan sisi E(P 5 ) = { e 1, e 2, e 3, e 4 } dimana e = v i v j.. e1 e2 e3 e4 v4 v5 Gambar Graf Path P 5 u1 u2 u3 u4 v4 v5 Gambar Graf Total dari Graf Path P 5 Graf total dari graf path P 5 adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(P 5 )] = V P 5 U P 5, dimana U P 5 adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf path P 5 dengan U P 5 = u 1, u 2, u 3, u 4 dan E[T(P 5 )] = {v i u i 1 i 4} {v i v i+1 1 i 4 {u i v i+1 1 i 4} {u i u i+1 1 i 3}. Sikel sisi yang disjoin adalah S 1 = v i u i v i+1 v i i= 1, 2, 3, 4}, maka CM [T P 5 ] = 4.
52 Graf Path P 6 Graf path P 6 mempunyai himpunan titik V(P 6 ) = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 } dan himpunan sisi E(P 6 ) = { e 1, e 2, e 3, e 4, e 5 } dimana e = v i v j. e1 e2 e3 e4 e5 v4 v5 v6 Gambar Graf Path P 6 u1 u2 u3 u4 u5 v4 v5 v6 Gambar Graf Total dari Graf Path P 6 Graf total dari graf path P 6 adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(P 6 )] = V P 6 U P 6, dimana U P 6 adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf path P 6 dengan U P 6 = u 1, u 2, u 3, u 4, u 5. Sikel sisi yang disjoin dari graf path P 6 di atas adalah S 1 = {v i u i v i+1 v i i= 1, 2, 3, 4, 5}, maka CM [T P 6 ] = 5.
53 37 Berdasarkan perhitungan Multiplisitas sikel dari graf path di atas, maka diperoleh sebagai berikut. Tabel 3.2 Multiplisitas Sikel dari Graf Total pada Graf Path n Graf Path P n CM [T P n ] 2 P 2 1 = P 3 2 = P 4 3 = P 5 4 = P 6 5 = 6 1 Selanjutnya, akan diformulasikan multiplisitas sikel dari graf total pada graf path P n seperti yang dituliskan dalam teorema berikut. Teorema 3.2 Multiplisitas Sikel dari Graf Total pada graf path P n = n 1. Bukti Sikel sisi yang disjoin dari graf P n adalah S 1 = {v i u i v i+1 v i 1 i n 1} terlihat bahwa S 1 adalah himpunan yang beranggotakan sikel sisi yang disjoin
54 38 dalam P n. Dimana jumlah anggota dari himpunan S 1 bisa dicari dengan menggunakan rumus barisan aritmatika. Untuk S 1, i dapat dijabarkan dalam bentuk barisan aritmatika yaitu 1,2,3,. n - 1 sehingga didapatkan suku pertama adalah α = 1 dan beda b = 1 serta u m = n 1 dimana m adalah batas terbesar dari S 1, sehingga didapatkan jumlah anggota 1 dengan perhitungan berikut. u m = a + m 1 b n 1 = 1 + m 1 1 n 1 = 1 + m 1 m = n 1 Dapat ditulis S 1 = n 1 Berdasarkan uraian di atas, maka CM [T P n ] = S 1 = n 1. Terbukti bahwa CM [T P n ] = n Multiplisitas Sikel dari Graf Total Pada Graf Kipas F n Diberikan graf kipas F n untuk n banyaknya titik dan n 3 untuk n bilangan asli dan memiliki titik-titiknya, yaitu V(F n )={v 0, v 1, v 2, v 3,., v n } dan himpunan sisi E(F n ) = { e 1, e 2, e 3,, e deg G v 0 + E(Pn) } Graf Kipas F 3 Graf kipas F 3 dibentuk dari hasil penjumlahan graf komplit K 1 (Graf Nol N 1 ) dan graf path P 3, yaitu F 3 = K 1 + P 3. Graf kipas F 3 dapat digambarkan sebagai berikut:
55 39 e1 e2 e3 e4 e5 v0 Gambar Graf Kipas F 3 Sesuai definisi dari graf total maka bentuk graf total pada graf kipas F 3 sebagai berikut : u1 u2 u3 u4 u5 v0 Gambar Graf Total dari Graf Kipas F 3 Graf pada gambar merupakan graf Kipas F 3 dengan himpunan titik V(F 3 )={v 0, v 1, v 2, v 3 } dan himpunan sisi E(F 3 )={ e 1, e 2, e 3, e 4, e 5 } dimana e = v i v j. Graf total dari graf Kipas F 3 adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(F 3 )] = V F 3 U F 3, dimana U F 3 adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf Kipas F 3. Berdasarkan graf total di atas dan sesuai dengan definisi dari multiplisitas sikel maka diperoleh sikel sisi yang disjoin adalah :
56 40 S 1 = {v i u i+ n 1 v 0 v i 1 i 3} S 2 = {v i u i v i+1 v i 1 i 2 S 3 = {u i u i+1 u i+2 u i i = 3} S 4 = {u i u i+n u i+1 u i i = 1 Dapat digambarkan sebagai berikut : u1 u2 u1 u2 u3 u4 u5 u3 u4 u5 v0 a.s 1 = {v i u (i+ n 1 ) v 0 v i 1 i 3} v0 b. S 2 = {v i u i v (i+1) v i 1 i 2} u1 u2 u1 u2 u3 u4 u5 u3 u4 u5 v0 c. S 3 = {u i u i+1 u i+2 u i i = 3} v0 d. S 4 = {u i u i+n u i+1 u i i = 1} Gambar Himpunan sikel sisi yang disjoin pada graf kipas F 3
57 u4 u5 u6 41 Terlihat bahwa S i dengan 1 i 4 adalah himpunan himpunan yang beranggotaan sikel sisi yang disjoin dalam F 3, dimana S 1 = 3, S 2 = 2, S 3 = 1, S 4 = 1. Sehingga CM [T F 3 ]= S i = = Graf Kipas F 4 Graf kipas F 4 dibentuk dari hasil penjumlahan graf komplit K 1 (Graf Nol N 1 ) dan graf path P 4, yaitu F 4 = K 1 + P 4. Graf kipas F 4 dapat digambarkan sebagai berikut: e1 e2 e3 v4 e4 e5 e6 e7 v0 Gambar Graf Kipas F 4 u1 u2 u3 v4 u7 v0 Gambar Graf total dari graf Kipas F 4
58 u4 u5 u6 u4 u5 u6 42 Graf pada gambar merupakan graf Kipas F 4 dengan himpunan titik V(F 4 )={v 0, v 1, v 2, v 3, v 4 } dan himpunan sisi E(F 4 )={ e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7 } dimana e = v i v j. Graf total dari graf Kipas F 4 adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(F 4 )] = V F 4 U F 4,dimana U F 4 adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf Kipas F 4. Berdasarkan graf total di atas dan sesuai dengan definisi dari multiplisitas sikel maka diperoleh sikel sisi yang disjoin adalah : S 1 = {v i u (i+ n 1 ) v 0 v i 1 i 4} S 2 = {v i u i v i+1 v i 1 i 3 S 3 = {u i u i+1 u i+2 u i i = 4} S 4 = {u i u i+n u i+1 u i i = 1, 2 Dapat digambarkan sebagai berikut : u1 u2 u3 u1 u2 u3 v4 v4 u7 u7 v0 v0 a. S 1 = {v i u (i+ n 1 ) v 0 v i 1 i 4} b. S 2 = {v i u i v (i+1) v i 1 i 3}
59 u4 u5 u6 u4 u5 u6 43 u1 u2 u3 u1 u2 u3 v4 v4 u7 u7 v0 c. S 3 = {u i u i+1 u i+2 u i i = 4} v0 d. S 4 = {u i u i+n u i+1 u i i = 1, 2} Gambar Himpunan sikel sisi yang disjoin pada graf kipas F 4 Terlihat bahwa S i dengan 1 i 4 adalah himpunan himpunan yang beranggotaan sikel sisi yang disjoin dalam F 4, dimana S 1 = 4, S 2 = 3, S 3 = 1, S 4 = 2. Sehingga CM [T F 4 ]= S i = = Graf Kipas F 5 Graf kipas F 5 dibentuk dari hasil penjumlahan graf komplit K 1 (Graf Nol N 1 ) dan graf path P 5, yaitu F 5 = K 1 + P 5. Graf kipas F 5 dapat digambarkan sebagai berikut: e1 e2 e3 v4 e4 v5 u1 u2 u3 u4 v4 v5 e5 e6 e7 e8 e9 u5 u6 u7 u8 u9 v0 v0 Gambar Graf Kipas F 5 Gambar Graf Total dari Graf Kipas F 5
60 44 Graf pada gambar merupakan graf Kipas F 5 dengan himpunan titik V(F 5 )={v 0, v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } dan himpunan sisi E(F 5 )={ e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8, e 9 } dimana = v i v j. Graf total dari graf Kipas F 5 adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(F 5 )] = V F 5 U F 5, dimana U F 5 adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf Kipas F 5. Berdasarkan graf total di atas dan sesuai dengan definisi dari multiplisitas sikel maka diperoleh sikel sisi yang disjoin adalah : S 1 = {v i u i+ n 1 v 0 v i 1 i 5} S 2 = {v i u i v i+1 v i 1 i 4 S 3 = {u i u i+1 u i+3 u i i = 5, 6 u i u i+2 u i+3 u i+4 u i i = 5} S 4 = {u i u i+n u i+1 u i i = 1, 2,3 Dapat digambarkan sebagai berikut : u1 u2 u3 u4 u1 u2 u3 u4 v4 v5 v4 v5 u5 u6 u7 u8 u5 u6 u7 u8 u9 u9 v0 a.s 1 = {v i u (i+ n 1 ) v 0 v i 1 i 5} v0 b.s 2 = {v i u i v (i+1) v i 1 i 4}
61 45 u1 u2 u3 u4 u1 u2 u3 u4 v4 v5 v4 v5 u5 u6 u7 u8 u5 u6 u7 u8 u9 u9 v0 c.s 3 = {u i u i+1 u i+3 u i i = 5, 6} {u i u i+2 u i+3 u i+4 u i i = 5} v0 d.s 4 = {u i u i+n u i+1 u i i = 1, 2,3} Gambar Himpunan sikel sisi yang disjoin pada graf Kipas F 5 Terlihat bahwa S i dengan 1 i 4 adalah himpunan himpunan yang beranggotaan sikel sisi yang disjoin dalam F 5, dimana S 1 = 5, S 2 = 4, S 3 = 3, S 4 = 3. Sehingga CM [T F 5 ]= S i = = Graf Kipas F 6 Graf kipas F 6 dibentuk dari hasil penjumlahan graf komplit K 1 (Graf Nol N 1 ) dan graf path P 6, yaitu F 6 = K 1 + P 6. Graf kipas F 6 dapat digambarkan sebagai berikut: u1 u2 u3 u4 u5 e1 e2 e3 v4 e4 v5 e5 v6 v4 v5 v6 u8 e7 e9 e8 e10 e11 u6 u7 u9 u10 e6 u11 v0 Gambar Graf Kipas F 6 v0 Gambar Graf total dari graf Kipas F 6
62 46 Graf pada gambar merupakan graf Kipas F 6 dengan himpunan titik V(F 6 )={v 0, v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 } dan himpunan sisi E(F 6 )={ e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8, e 9, e 10, e 11 } dimana = v i v j. Graf total dari graf Kipas F 6 adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(F 6 )] = V F 6 U F 6, dimana U F 6 adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf Kipas F 6. Berdasarkan graf total di atas dan sesuai dengan definisi dari multiplisitas sikel maka diperoleh sikel sisi yang disjoin adalah : S 1 = {v i u i+ n 1 v 0 v i 1 i 6} S 2 = {v i u i v i+1 v i 1 i 5 S 3 = {u i u i+1 u i+2 u i i = 6, 8 u i u i+2 u i+4 u i = 7 u i u i+4 u i+5 u i = 6 S 4 = {u i u i+n u i+1 u i i = 1 i 4 Dapat digambarkan sebagai berikut : u1 u2 u3 u4 u5 u1 u2 u3 u4 u5 v4 v5 v6 v4 v5 v6 u8 u8 u6 u7 u9 u10 u6 u7 u9 u10 u11 u11 v0 a.s 1 = {v i u (i+ n 1 ) v 0 v i 1 i 6} v0 b. S 2 = {v i u i v (i+1) v i 1 i 5}
63 47 u1 u2 u3 u4 u5 u1 u2 u3 u4 u5 v4 v5 v6 v4 v5 v6 u6 u7 u8 u9 u10 u6 u7 u8 u9 u10 u11 u11 c. S 3 = {u i u i+1 u i+2 u i i = 6, 8} v0 {u i u i+2 u i+4 u i = 7} {u i u i+4 u i+5 u i = 6} v0 d. S 4 = {u i u i+n u i+1 u i i = 1 i 4} Gambar Himpunan sikel sisi yang disjoin pada graf Kipas F 6 Terlihat bahwa S i dengan 1 i 4 adalah himpunan himpunan yang beranggotaan sikel sisi yang disjoin dalam F 6, dimana S 1 = 6, S 2 = 5, S 3 = 4, S 4 = 4. Sehingga CM [T F 6 ]= S i = = Graf Kipas F 7 Graf kipas F 7 dibentuk dari hasil penjumlahan graf komplit K 1 ( Graf Nol N 1 ) dan graf path P 7, yaitu F 7 = K 1 + P 7. Graf kipas F 7 dapat digambarkan sebagai berikut: v4 v5 e1 e2 e3 v6 e4 e5 e6 v7 u1 u2 u3 u4 u5 u6 v4 v5 v6 v7 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 u7 u8 u9 u10 u11 u12 u13 v0 Gambar Graf Kipas F 7 v0 Gambar Graf total dari graf Kipas F 7
64 48 Graf pada gambar merupakan graf Kipas F 7 dengan himpunan titik V(F 7 )={v 0, v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6, v 7 } dan himpunan sisi E(F 6 )={ e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8, e 9, e 10, e 11, e 12, e 13 } dimana = v i v j. Graf total dari graf Kipas F 7 adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(F 7 )] = V F 7 U F 7, dimana U F 7 adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf Kipas F 7. Berdasarkan graf total di atas dan sesuai dengan definisi dari multiplisitas sikel maka diperoleh sisi sikel yang disjoin adalah : S 1 = {v i u i+ n 1 v 0 v i 1 i 7} S 2 = {v i u i v i+1 v i 1 i 6 S 3 = {u i u i+1 u i+3 u i 7 i 10 {u i u i+4 u i+5 u i i = 7, 8} {u i u i+2 u i+6 u i i = 7 S 4 = {u i u i+n u i+1 u i i = 1 i 5 Masing masing himpunan sikel tersebut dapat digambarkan sebagai berikut : u1 u2 u3 u4 u5 u6 u1 u2 u3 u4 u5 u6 v4 v5 v6 v7 v4 v5 v6 v7 u7 u8 u9 u10 u11 u12 u7 u8 u9 u10 u11 u12 u13 u13 v0 a. S 1 = {v i u i+ n 1 v 0 v i 1 i 7} v0 b. S 2 = {v i u i v (i+1) v i 1 i 6}
65 49 u1 u2 u3 u4 u5 u6 u1 u2 u3 u4 u5 u6 v4 v5 v6 v7 v4 v5 v6 v7 u7 u8 u9 u10 u11 u12 u7 u8 u9 u10 u11 u12 u13 u13 v0 c.s 3 = {u i u i+1 u i+3 u i 7 i 10} {u i u i+4 u i+5 u i i=7,8} {u i u i+2 u i+6 u i i = 7} v0 d. S 4 = {u i u i+n u i+1 u i i = 1 i 5} Gambar Himpunan sikel sisi yang disjoin pada graf Kipas F 7 Terlihat bahwa S i dengan 1 i 4 adalah himpunan himpunan yang beranggotaan sikel sisi yang disjoin dalam F 6, dimana S 1 = 7, S 2 = 6, S 3 = 7, S 4 = 5. Sehingga CM [T F 7 ]= S i = = 25. Berdasarkan perolehan multiplisitas sikel dari graf kipas di atas, maka diperoleh tabel sebagai berikut. Tabel 3.3 Multiplisitas Sikel dari Graf Total pada Graf Kipas n Graf Kipas F n CM [T F n ] 1 F 3 7= F 4 10=
66 50 3 F 5 15= F 6 19= F 7 25= Selanjutnya, akan diformulasikan multiplisitas sikel dari graf total pada graf kipas F n seperti yang dituliskan dalam teorema berikut. Teorema 3.3 Multiplisitas Sikel dari Graf Total pada graf kipas F n adalah CM [T F n ] = n n 18 6 n n 18 6, untuk, untuk n n ganjil ganjil, untuk n genap Bukti Misal V(F n ) = {v 0, v 1, v 2,, v n } dan E(F n )={ e 1, e 2,, e n } dimana e = v i v j. Graf total dari graf Kipas F n adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(F n )] = V F n U F n, dimana u i U(G) adalah titik yang membagi setiap sisi e = v i v j. Sedangkan E[T(F n )] = {v i u i 1 i n 1} {v i v i+1 0 i n 1} {u i v i+1 1 i n 1} u i u i+1 1 i n 1} {u i u i+n 1 i n} {u i u i+n+1 1 i n}. Kasus I : Jika n ganjil
67 51 Berdasarkan definisi dari multiplisitas sikel maka diperoleh sikel sisi yang disjoin adalah S 1 = {v i u (i+ n 1 ) v 0 v i 1 i n} S 2 = {v i u i v i+1 v i 1 i n 1} S 3 ={Himpunan sisi sikel yang disjoin pada graf komplit K n } S 4 = {u i u i+n u i+1 u i 1 i n 2}. Terlihat bahwa S i dengan 1 i 4 adalah himpunan himpunan yang beranggotaan sikel sisi yang disjoin dalam F n, dimana jumlah anggota dari masing-masing himpunan S bisa dicari dengan menggunakan rumus barisan aritmatika. Pada S 1, i dapat dijabarkan dalam bentuk barisan aritmatika yaitu 1,2,3,. n sehingga didapatkan suku pertama adalah α = 1 dan beda b = 1 serta u m = n dimana m adalah batas terbesar dari S 1, sehingga didapatkan jumlah anggota S 1 dengan perhitungan berikut. u m = a + m 1 b n = 1 + m 1 1 n = 1 + m 1 m = n dapat ditulis S 1 = n. Pada S 2, i dapat dijabarkan dalam bentuk barisan aritmatika yaitu 1,2,3,. n 1 sehingga didapatkan suku pertama adalah α = 1 dan beda b = 1 serta u m = n 1 dimana m adalah batas terbesar dari S, sehingga didapatkan jumlah anggota S 2 dengan perhitungan berikut.
68 52 u m = a + m 1 b n 1 = 1 + m 1 1 n 1 = 1 + m 1 m = n 1 dapat ditulis S 2 = n 1. Pada S 3, S 3 adalah himpunan sikel sisi yang disjoin pada graf komplit K n. S 3 = n 2 n 6, akan dibuktikan banyaknya sisi sikel yang disjoin di S 3 adalah n 2 n 6 jika n ganjil. Jika n = 1, maka banyaknya sisi sikel yang disjoin di K 1 adalah 0. Demikian pula jika n = 3, maka banyaknya sisi sikel yang disjoin di K 3 adalah 1. Perhatikan bahwa S 3 = n 2 n 6 dengan n= 1, 3 adalah benar. Anggap m = 2k 1benar, S 3 = n2 n 6 = 2k2 3k+1 3 benar. Untuk mengetahui apakah n = 2k +1 benar, dapat diperiksa dengan perhitungan berikut: S 3 = n 2 n 6 = (2k+1)2 (2k+1) 6 = 2k 2 + k 3 Jadi ternyata n = 2k + 1 benar. Berdasarkan prinsip induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa S 3 = n 2 n 6 benar untuk bilangan ganjil. Pada S 4, i dapat dijabarkan dalam bentuk barisan aritmatika yaitu 1,2,3,. n 2 sehingga didapatkan suku pertama adalah α = 1 dan beda b = 1 serta
GRAF DIAMETER DUA DENGAN KOMPLEMENNYA DAN GRAF MOORE DIAMETER DUA
GRAF DIAMETER DUA DENGAN KOMPLEMENNYA DAN GRAF MOORE DIAMETER DUA SKRIPSI Oleh : ASTRIA J2A 006 006 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA COMPLETE GRAPH
PELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA COMPLETE GRAPH SKRIPSI Oleh : Novi Irawati J2A 005 038 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS DIPONEGORO
Lebih terperinciGRAF SEDERHANA SKRIPSI
PELABELAN,, PADA BEBERAPA JENIS GRAF SEDERHANA SKRIPSI Oleh : Melati Dwi Setyaningsih J2A 005 031 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS DIPONEGORO
Lebih terperinciTeori Ramsey pada Pewarnaan Graf Lengkap
Teori Ramsey pada Pewarnaan Graf Lengkap Muhammad Ardiansyah Firdaus J2A 006 032 Skripsi Diajukan sebagai syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika PROGRAM STUDI MATEMATIKA
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. dirasakan peranannya, terutama pada sektor sistem komunikasi dan
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang. Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Objek kajiannya berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan bagian bilangan
Lebih terperinciCOURSE NOTE : Graph Theory. By : Syaiful Hamzah Nasution
COURSE NOTE : Graph Theory. By : Syaiful Hamzah Nasution Representasi Matriks untuk Graph. Defini Matriks Keterhubungan Misalkan G adalah graph dengan label titik 1, 2, 3,..., n, Matriks keterhubungan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. himpunan bagian bilangan cacah yang disebut label. Pertama kali diperkenalkan
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Objek kajiannya berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan bagian bilangan
Lebih terperinciHALAMAN PENGESAHAN. : Derajat Titik pada Graf Fuzzy. Telah diujikan pada sidang Tugas Akhir tanggal 23 Februari 2011
HALAMAN PENGESAHAN Judul : Derajat Titik pada Graf Fuzzy Nama : Itmamul Wafa NIM : J2A 006 026 Telah diujikan pada sidang Tugas Akhir tanggal 23 Februari 2011 dan dinyatakan lulus pada tanggal... Semarang,
Lebih terperinciPELABELAN GRACEFUL SISI BERARAH PADA GRAF GABUNGAN GRAF SIKEL DAN GRAF STAR. Putri Octafiani 1, R. Heri Soelistyo U 2
PELABELAN GRACEFUL SISI BERARAH PADA GRAF GABUNGAN GRAF SIKEL DAN GRAF STAR Putri Octafiani 1, R. Heri Soelistyo U 2 1,2 Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Teori Graph 2.1.1 Graph Tak Berarah dan Digraph Suatu Graph Tak Berarah (Undirected Graph) merupakan kumpulan dari titik yang disebut verteks dan segmen garis yang
Lebih terperinciMIDDLE PADA BEBERAPA GRAF KHUSUS
PELABELAN DAN PEMBENTUKAN GRAF MIDDLE PADA BEBERAPA GRAF KHUSUS skripsi disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika oleh Meliana Deta Anggraeni 4111409019
Lebih terperinciPENENTUAN DIMENSI METRIK GRAF HELM
PENENTUAN DIMENSI METRIK GRAF HELM SKRIPSI Oleh : DIAN FIRMAYASARI S NIM : H 111 08 011 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HASANUDDIN MAKASSAR 2012 PENENTUAN DIMENSI
Lebih terperinciPELABELAN SISI AJAIB DAN SISI AJAIB SUPER PADA GRAF KIPAS, GRAF TANGGA, GRAF PRISMA, GRAF LINTASAN, GRAF SIKEL, DAN GRAF BUKU
PELABELAN SISI AJAIB DAN SISI AJAIB SUPER PADA GRAF KIPAS, GRAF TANGGA, GRAF PRISMA, GRAF LINTASAN, GRAF SIKEL, DAN GRAF BUKU Anina Tikasari, Budi Rahadjeng, S.Si, M.Si., Jurusan Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciDIMENSI METRIK KUAT PADA BEBERAPA KELAS GRAF
DIMENSI METRIK KUAT PADA BEBERAPA KELAS GRAF oleh FITHRI ANNISATUN LATHIFAH M0111038 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS
Lebih terperinciNILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM PELABELAN γ PADA GRAF FLOWER, GRAF BIPARTIT LENGKAP DAN GRAF C n K m
NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM PELABELAN γ PADA GRAF FLOWER, GRAF BIPARTIT LENGKAP DAN GRAF C n K m oleh TRI ENDAH PUSPITOSARI M0109070 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh
Lebih terperincioleh BANGKIT JOKO WIDODO M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
DIMENSI METRIK PADA GRAF SUN, GRAF HELM DAN GRAF DOUBLE CONES oleh BANGKIT JOKO WIDODO M0109015 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dengan V adalah himpunan yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang anggotanya
Lebih terperinciEDGE-MAGIC TOTAL LABELING PADA BEBERAPA JENIS GRAPH
LAPORAN PENELITIAN MANDIRI EDGE-MAGIC TOTAL LABELING PADA BEBERAPA JENIS GRAPH Oleh Abdussakir, M.Pd UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MALANG FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI JURUSAN MATEMATIKA MEI 005 EDGE-MAGIC TOTAL
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Teori Graf 2.1.1 Defenisi Graf Suatu graf G adalah suatu himpunan berhingga tak kosong dari objek-objek yang disebut verteks (titik/simpul) dengan suatu himpunan yang anggotanya
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI.1 Sejarah Graf Lahirnya teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler seorang matematikawan berkebangsaan Swiss pada Tahun 1736 melalui tulisan Euler yang berisi tentang
Lebih terperinciDasar-Dasar Teori Graf. Sistem Informasi Universitas Gunadarma 2012/2013
Dasar-Dasar Teori Graf Sistem Informasi Universitas Gunadarma 2012/2013 Teori Graf Teori Graf mulai dikenal saat matematikawan kebangsaan Swiss bernama Leonhard Euler, yang berhasil mengungkapkan Misteri
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Graf (Graph) Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) yang dinotasikan dalam bentuk G = {V(G), E(G)}, dimana V(G) adalah himpunan vertex (simpul) yang tidak kosong
Lebih terperinciDIMENSI METRIK PADA BEBERAPA KELAS GRAF
DIMENSI METRIK PADA BEBERAPA KELAS GRAF oleh DWI RIA KARTIKA M0112025 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. sepasang titik. Himpunan titik di G dinotasikan dengan V(G) dan himpunan
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Teori Graf 1. Dasar-dasar Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) ditulis dengan notasi G = (V, E), dimana V adalah himpunan titik yang tidak kosong (vertex)
Lebih terperinciSUPER (a,d) EDGE ANTIMAGIC TOTAL LABELING PADA GRAF PETERSEN RAHMAT CHAIRULLOH
SUPER (a,d) EDGE ANTIMAGIC TOTAL LABELING PADA GRAF PETERSEN RAHMAT CHAIRULLOH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 014 PERNYATAAN MENGENAI
Lebih terperinciPENGERTIAN GRAPH. G 1 adalah graph dengan V(G) = { 1, 2, 3, 4 } E(G) = { (1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4) } Graph 2
PENGERTIAN GRAPH 1. DEFINISI GRAPH Graph G adalah pasangan terurut dua himpunan (V(G), E(G)), V(G) himpunan berhingga dan tak kosong dari obyek-obyek yang disebut himpunan titik (vertex) dan E(G) himpunan
Lebih terperinciDIMENSI METRIK PADA GRAF LOLLIPOP, GRAF MONGOLIAN TENT, DAN GRAF GENERALIZED JAHANGIR
DIMENSI METRIK PADA GRAF LOLLIPOP, GRAF MONGOLIAN TENT, DAN GRAF GENERALIZED JAHANGIR oleh ARDINA RIZQY RACHMASARI M0112013 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Lebih terperinci2. TINJAUAN PUSTAKA. Chartrand dan Zhang (2005) yaitu sebagai berikut: himpunan tak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik
2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf yang diambil dari buku Chartrand dan Zhang (2005) yaitu sebagai berikut: Suatu Graf G adalah suatu pasangan himpunan
Lebih terperinciII.TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan tentang definisi serta konsep-konsep yang mendukung
II.TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan tentang definisi serta konsep-konsep yang mendukung dalam penelitian ini. 2.1. Konsep Dasar Teori Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan terurut
Lebih terperinciPELABELAN E-CORDIAL PADA BEBERAPA GRAF CERMIN
PELABELAN E-CORDIAL PADA BEBERAPA GRAF CERMIN Ermi Suwarni, 2 Lucia Ratnasari, S.Si, M.Si, 3 Drs. Bayu Surarso, M.Sc.PhD,2,3 Jurusan Matematika FSM UNDIP Jl. Pro. Soedarto, S.H, Tembalang Semarang 54275
Lebih terperinciGraph. Rembang. Kudus. Brebes Tegal. Demak Semarang. Pemalang. Kendal. Pekalongan Blora. Slawi. Purwodadi. Temanggung Salatiga Wonosobo Purbalingga
TEORI GRAPH Graph Graph Graph digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar berikut ini sebuah graph yang menyatakan peta jaringan jalan raya yang
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
5 BAB II LANDASAN TEORI.1 Sejarah Graf Menurut catatan sejarah, masalah jembatan KÖnigsberg adalah masalah yang pertama kali menggunakan graf (tahun 1736). Di kota KÖnigsberg (sebelah timur Negara bagian
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
15 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Graf Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dengan V adalah himpunan yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang
Lebih terperinciMatematik tika Di Disk i r t it 2
Matematika tik Diskrit it 2 Teori Graph Teori Graph 1 Kelahiran Teori Graph Masalah Jembatan Konigsberg g : Mulai dan berakhir pada tempat yang sama, bagaimana caranya untuk melalui setiap jembatan tepat
Lebih terperinciDERET KOMPOSISI DARI SUATU MODUL
DERET KOMPOSISI DARI SUATU MODUL SKRIPSI Oleh : ANI NURHAYATI J2A 006 001 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG 2010
Lebih terperinciDiscrete Mathematics & Its Applications Chapter 10 : Graphs. Fahrul Usman Institut Teknologi Bandung Pengajaran Matematika
Discrete Mathematics & Its Applications Chapter 10 : Graphs Fahrul Usman Institut Teknologi Bandung Pengajaran Matematika 16/12/2015 2 Sub Topik A. Graf dan Model Graf B. Terminologi Dasar Graf dan Jenis
Lebih terperinciBILANGAN DOMINASI EKSENTRIK TERHUBUNG pada GRAF
BILANGAN DOMINASI EKSENTRIK TERHUBUNG pada GRAF Tito Sumarsono 1, R. Heri Soelistyo 2, Y.D. Sumanto 3 Departemen Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S. H. Tembalang Semarang titosumarsono69@gmail.com
Lebih terperinciPELABELAN SELIMUT-C 3 AJAIB SUPER PADA GRAF RODA DAN SELIMUT-C 4 AJAIB SUPER PADA GRAF BUKU
PELABELAN SELIMUT-C 3 AJAIB SUPER PADA GRAF RODA DAN SELIMUT-C 4 AJAIB SUPER PADA GRAF BUKU SKRIPSI Oleh Khorirotuz Zakiyah NIM 071810101084 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciDIMENSI METRIK PADA GRAF (n, t)-kite, UMBRELLA, G m H n, DAN K 1 + (P m P n )
DIMENSI METRIK PADA GRAF (n, t)-kite, UMBRELLA, G m H n, DAN K 1 + (P m P n ) Penulis Hamdani Citra Pradana M0110031 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Masalah Seiring perkembangan zaman, maka perkembangan ilmu pengetahuan berkembang pesat, begitu pula dengan ilmu matematika. Salah satu cabang ilmu matematika yang memiliki
Lebih terperinciMULTIPLISITAS SIKEL DARI GRAF TOTAL PADA GRAF TANGGA, GRAP STAR DAN DOUBLE STAR SKRIPSI. Oleh: NAVIS NUR ILMIYAH NIM
MULTIPLISITAS SIKEL DARI GRAF TOTAL PADA GRAF TANGGA, GRAP STAR DAN DOUBLE STAR SKRIPSI Oleh: NAVIS NUR ILMIYAH NIM. 07610030 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan. kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini.
6 II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Pada sub bab ini akan diberikan
Lebih terperinciGraf dan Analisa Algoritma. Pertemuan #01 - Dasar-Dasar Teori Graf Universitas Gunadarma 2017
Graf dan Analisa Algoritma Pertemuan #01 - Dasar-Dasar Teori Graf Universitas Gunadarma 2017 Who Am I? Stya Putra Pratama, CHFI, EDRP Pendidikan - Universitas Gunadarma S1-2007 Teknik Informatika S2-2012
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada Bagian ini akan dijelaskan beberapa definisi dan teorema terkait graf, matriks adjency, terhubung, primitifitas, dan scrambling index sebagai landasan teori yang menjadi acuan
Lebih terperinciBAB 2 BEBERAPA ISTILAH DARI GRAPH
BAB 2 BEBERAPA ISTILAH DARI GRAPH Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dan terminologi dalam graph yang akan dipergunakan sebagai landasan berpikir dalam melakukan penelitian ini. Juga akan dibahas
Lebih terperinciDIMENSI PARTISI PADA GRAF ANTIPRISMA, GRAF MONGOLIAN TENT, DAN GRAF STACKED BOOK
DIMENSI PARTISI PADA GRAF ANTIPRISMA, GRAF MONGOLIAN TENT, DAN GRAF STACKED BOOK oleh TIA APRILIANI M0112086 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains
Lebih terperinciDIMENSI METRIK PADA GRAF LINTASAN, GRAF KOMPLIT, GRAF SIKEL, GRAF BINTANG DAN GRAF BIPARTIT KOMPLIT
DIMENSI METRIK PADA GRAF LINTASAN, GRAF KOMPLIT, GRAF SIKEL, GRAF BINTANG DAN GRAF BIPARTIT KOMPLIT Septiana Eka R. Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,Universitas Negeri
Lebih terperinciMATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 3 No.6 Tahun 2017 ISSN
MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 3 No.6 Tahun 2017 ISSN 2301-9115 PLANARITAS-1 HASIL KALI LEKSIKOGRAFIK GRAF Novi Dwi Pratiwi (S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas
Lebih terperinciDIMENSI PARTISI DARI GRAF LOLLIPOP, GRAF GENERALIZED JAHANGIR, DAN GRAF C n 2 K m
DIMENSI PARTISI DARI GRAF LOLLIPOP, GRAF GENERALIZED JAHANGIR, DAN GRAF C n 2 K m oleh MAYLINDA PURNA KARTIKA DEWI M0112054 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Beberapa konsep dasar
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. 2.1 Penugasan Sebagai Masalah Matching Bobot Maksimum Dalam Graf Bipartisi Lengkap Berlabel
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Penugasan Sebagai Masalah Matching Bobot Maksimum Dalam Graf Bipartisi Lengkap Berlabel Teori Dasar Graf Graf G adalah pasangan himpunan (V,E) di mana V adalah himpunan dari vertex
Lebih terperinciPELABELAN ANTIPODAL PADA GRAF SIKEL
PELABELAN ANTIPODAL PADA GRAF SIKEL Puspa Novita Sari 1, Bambang Irawanto, Bayu Surarso 3 1,,3 Jurusan Matematika FS M Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang puspa.novita91@gmail.com
Lebih terperinciSebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah
BAB II KAJIAN TEORI II.1 Teori-teori Dasar Graf II.1.1 Definisi Graf Sebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah himpunan tak kosong dari titik graf G, dan E, himpunan sisi
Lebih terperinciGRAF. V3 e5. V = {v 1, v 2, v 3, v 4 } E = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5 } E = {(v 1,v 2 ), (v 1,v 2 ), (v 1,v 3 ), (v 2,v 3 ), (v 3,v 3 )}
GRAF Graf G(V,E) didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), dengan V adalah himpunan berhingga dan tidak kosong dari simpul-simpul (verteks atau node). Dan E adalah himpunan berhingga dari busur (vertices
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
4 BAB II LANDASAN TEORI A. Graf Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki banyak terapan sampai saat ini. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan
Lebih terperinciDIMENSI METRIK PADA GRAF K
DIMENSI METRI PADA GRAF DAN GRAF SRIPSI Oleh Elvin Trisnaningtyas NIM 06800077 JURUSAN MATEMATIA FAULTAS MATEMATIA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS JEMBER 202 DIMENSI METRI PADA GRAF DAN GRAF SRIPSI
Lebih terperinciGraf. Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP
Graf Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar di bawah ini sebuah graf yang menyatakan
Lebih terperinciPENDAHULUAN MODUL I. 1 Teori Graph Pendahuluan Aswad 2013 Blog: 1.
MODUL I PENDAHULUAN 1. Sejarah Graph Teori Graph dilaterbelakangi oleh sebuah permasalahan yang disebut dengan masalah Jembatan Koningsberg. Jembatan Koningsberg berjumlah tujuh buah yang dibangun di atas
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI
Bab LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori teori yang berhubungan dengan penelitian sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian dan akan mempermudah
Lebih terperinciPENENTUAN BANYAKNYA GRAF TERHUBUNG BERLABEL BERORDE LIMA TANPA GARIS PARALEL. (Skripsi) Oleh Eni Zuliana
PENENTUAN BANYAKNYA GRAF TERHUBUNG BERLABEL BERORDE LIMA TANPA GARIS PARALEL (Skripsi) Oleh Eni Zuliana FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PEGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2016 ABSTRAK PENENTUAN
Lebih terperinciKONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON. Pada bab ini akan dijabarkan teori graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf
II. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON Pada bab ini akan dijabarkan teori graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Pada bagian ini
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. dari suatu graf G disebut himpunan titik G, dinotasikan dengan V(G) dan
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori graf merupakan salah satu bidang bahasan matematika yang mempelajari tentang himpunan titik yang dihubungkan oleh himpunan sisi. Suatu Graf G terdiri atas himpunan
Lebih terperinciSIFAT RUANG METRIK TOPOLOGIS SKRIPSI. Oleh : Deki Sukmaringga J2A
SIFAT RUANG METRIK TOPOLOGIS SKRIPSI Oleh : Deki Sukmaringga J2A 307 002 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG 2011 SIFAT
Lebih terperinciPELABELAN PRODUCT CORDIAL PADA TENSOR PRODUCT PATH DAN SIKEL
PELABELAN PRODUCT CORDIAL PADA TENSOR PRODUCT PATH DAN SIKEL Setia Endrayana 1, Bayu Surarso 2, Siti Khabibah 3 1,2,3 Program Studi Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl Prof H Soedarto, SH Tembalang
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Dalam bab ini dipaparkan beberapa hasil penelitian yang dilakukan para peneliti sebelumnya, pengertian dasar graf, operasi-operasi pada graf, kelas-kelas graf dan dimensi partisi
Lebih terperinciFAKTORISASI GRAF BARU YANG DIHASILKAN DARI PEMETAAN TITIK GRAF SIKEL PADA BILANGAN BULAT POSITIF
FAKTORISASI GRAF BARU YANG DIHASILKAN DARI PEMETAAN TITIK GRAF SIKEL PADA BILANGAN BULAT POSITIF Nova Nevisa Auliatul Faizah 1, H. Wahyu H. Irawan 2 1 Mahasiswa Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,
Lebih terperinciPENGETAHUAN DASAR TEORI GRAF
PENGETAHUAN DASAR TEORI GRAF 1 Sejarah Singkat dan Beberapa Pengertian Dasar Teori Graf Teori graf lahir pada tahun 1736 melalui makalah tulisan Leonard Euler seorang ahli matematika dari Swiss. Euler
Lebih terperinciPELABELAN GRACEFUL PADA GRAF HALIN G(2, n), UNTUK n 3
PELABELAN GRACEFUL PADA GRAF HALIN G(, n), UNTUK n 3 SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA OLEH : YUNIZAR BP. 914336 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ANDALAS 13 DAFTAR
Lebih terperinciDIGRAF EKSENTRIK DARI GRAF STAR DAN GRAF WHEEL
DIGRAF EKSENTRIK DARI GRAF STAR DAN GRAF WHEEL skripsi disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika oleh Rido Oktosa 4150406504 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS
Lebih terperinciBab 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
Bab 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Teori graf merupakan pokok bahasan yang memiliki banyak terapan sampai saat ini. Graf di gunakan untuk merepresentasikan objek objek diskrit dan hubungan antara
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Dalam bab ini dipaparkan beberapa hasil penelitian yang dilakukan para peneliti sebelumnya, pengertian dasar graf, operasi-operasi pada graf, kelaskelas graf, dan dimensi metrik pada
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB LANDASAN TEORI. Teori Graf Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki banyak terapan sampai saat ini. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan
Lebih terperinciBAB II TEORI GRAF DAN PELABELAN GRAF. Dalam bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dari
BAB II TEORI GRAF DAN PELABELAN GRAF Dalam bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dari teori graf, serta akan dijelaskan beberapa jenis pelabelan graf yang akan digunakan pada bab-bab
Lebih terperinciLOGIKA DAN ALGORITMA
LOGIKA DAN ALGORITMA DASAR DASAR TEORI GRAF Kelahiran Teori Graf Sejarah Graf : masalah jembatan Königsberg (tahun 736) C A D B Gbr. Masalah Jembatan Königsberg Graf yang merepresentasikan jembatan Königsberg
Lebih terperinciPENENTUAN BILANGAN DOMINASI SISI PADA GRAF HASIL OPERASI PRODUK TENSOR
TESIS - SM 142501 PENENTUAN BILANGAN DOMINASI SISI PADA GRAF HASIL OPERASI PRODUK TENSOR ROBIATUL ADAWIYAH NRP 1214 201 019 DOSEN PEMBIMBING Dr. Darmaji, S.Si., M.T. PROGRAM MAGISTER JURUSAN MATEMATIKA
Lebih terperinciBAB 2 DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE. Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti beberapa definisi dan teorema
BAB 2 DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti beberapa definisi dan teorema sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian ini dan akan mempermudah
Lebih terperinciPEMBERIAN NOMOR VERTEX PADA TOPOLOGI JARINGAN GRAF WHEEL, GRAF HELM DAN GRAF LOLLIPOP
PEMBERIAN NOMOR VERTEX PADA TOPOLOGI JARINGAN GRAF WHEEL, GRAF HELM DAN GRAF LOLLIPOP Oleh : MUHAMAD SIDIQ NIM. M0108095 SKRIPSI Ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memeperoleh gelar
Lebih terperinciPELABELAN PRIME CORDIAL PADA GRAF PRISMA DAN GRAF TERHUBUNG ANTAR PUSAT PADA GRAF RODA
JIMT Vol. No. Juni 3 (Hal. 43 54) Jurnal Ilmiah Matematika dan Terapan ISSN : 45 766X PELABELAN PRIME CORDIAL PADA GRAF PRISMA DAN GRAF TERHUBUNG ANTAR PUSAT PADA GRAF RODA Ismiyanti, I W. Sudarsana, S.
Lebih terperinciPELABELAN SELIMUT (a, d) CY CLE TOTAL ANTI AJAIB SUPER PADA GRAF BUNGA MATAHARI, GRAF BROKEN FAN, DAN GRAF GENERALIZED FAN
PELABELAN SELIMUT (a, d) CY CLE TOTAL ANTI AJAIB SUPER PADA GRAF BUNGA MATAHARI, GRAF BROKEN FAN, DAN GRAF GENERALIZED FAN oleh KHUNTI QONAAH M0111048 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagai
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Graf G adalah suatu struktur (V,E) dengan V(G) = {v 1, v 2, v 3,.., v n } himpunan
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Definisi 2.1 Graf (Deo,1989) Graf G adalah suatu struktur (V,E) dengan V(G) = {v 1, v 2, v 3,.., v n } himpunan tak kosong dengan elemen-elemennya disebut vertex, sedangkan E(G)
Lebih terperinciDIMENSI PARTISI PADA TIGA HASIL OPERASI GRAF CYCLE DENGAN GRAF PATH
DIMENSI PARTISI PADA TIGA HASIL OPERASI GRAF CYCLE DENGAN GRAF PATH oleh HIDRA VERTANA M0112042 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Dalam bab ini dipaparkan beberapa hasil penelitian yang dilakukan para peneliti sebelumnya, pengertian dasar graf, operasi-operasi pada graf, kelas-kelas graf dan dimensi partisi
Lebih terperinciDIMENSI PARTISI PADA GRAF C m K n, GRAF C m [P n ],
DIMENSI PARTISI PADA GRAF C m K n, GRAF C m [P n ], DAN GRAF t-fold WHEEL oleh Mizan Ahmad M0112056 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
Lebih terperinciPELABELAN SELIMUT H-AJAIB SUPER PADA KORONASI BEBERAPA KELAS GRAF DENGAN GRAF LINTASAN
PELABELAN SELIMUT H-AJAIB SUPER PADA KORONASI BEBERAPA KELAS GRAF DENGAN GRAF LINTASAN oleh HARDINA SANDARIRIA M0112041 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Lebih terperinciTUGAS AKHIR SM 1330 PELABELAN SUPER EDGE GRACEFUL PADA WHEEL GRAPH WICAK BUDI LESTARI SOLICHAH NRP
TUGAS AKHIR SM 1330 PELABELAN SUPER EDGE GRACEFUL PADA WHEEL GRAPH WICAK BUDI LESTARI SOLICHAH NRP 1203 109 025 Dosen Pembimbing Drs. CHAIRUL IMRON, MIkomp JURUSAN MATEMATIKA Fakultas Matematika dan Ilmu
Lebih terperinciDIMENSI METRIK PADA HASIL OPERASI KORONA DUA BUAH GRAF
JURNAL BUANA MATEMATIKA Vol 7, No 2, Tahun 2017 ISSN 2088-3021 (media cetak) ISSN 2598-8077 (media online) DIMENSI METRIK PADA HASIL OPERASI KORONA DUA BUAH GRAF Silviana Maya P 1, Syarifuddin N Kapita
Lebih terperinciv 3 e 2 e 4 e 6 e 3 v 4
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi graf sebagai landasan teori dari penelitian ini... Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan diberikan
Lebih terperinciANALISIS JARINGAN LISTRIK DI PERUMAHAN JEMBER PERMAI DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA PRIM
ANALISIS JARINGAN LISTRIK DI PERUMAHAN JEMBER PERMAI DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA PRIM SKRIPSI diajukan guna melengkapi tugas akhir dan memenuhi salah satu syarat untuk menyelesaikan Program Studi Pendidikan
Lebih terperinciBab 2. Teori Dasar. 2.1 Definisi Graf
Bab 2 Teori Dasar Pada bagian ini diberikan definisi-definisi dasar dalam teori graf berikut penjabaran mengenai kompleksitas algoritma beserta contohnya yang akan digunakan dalam tugas akhir ini. Berikut
Lebih terperinciPenerapan Teorema Bondy pada Penentuan Bilangan Ramsey Graf Bintang Terhadap Graf Roda
Vol. 9, No.2, 114-122, Januari 2013 Penerapan Teorema Bondy pada Penentuan Bilangan Ramsey Graf Bintang Terhadap Graf Roda Hasmawati 1 Abstrak Graf yang memuat semua siklus dari yang terkecil sampai ke
Lebih terperinciPelabelan Product Cordial Graf Gabungan pada Beberapa Graf Sikel dan Shadow Graph Sikel
Pelabelan Product Cordial Graf Gabungan pada Beberapa Graf Sikel dan Ana Mawati*), Robertus Heri Sulistyo Utomo S.Si, M.Si*), Siti Khabibah S.Si, M.Sc*) Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, UNDIP,
Lebih terperinciHAND OUT MATA KULIAH TEORI GRAF (MT 424) JILID SATU. Oleh: Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si.
HAND OUT MATA KULIAH TEORI GRAF (MT 424) JILID SATU Oleh: Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si. JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Lebih terperinciALTERNATIF PEMBUKTIAN DAN PENERAPAN TEOREMA BONDY. Hasmawati Jurusan Matematika, Fakultas Mipa Universitas Hasanuddin
ALTERNATIF PEMBUKTIAN DAN PENERAPAN TEOREMA BONDY Hasmawati Jurusan Matematika, Fakultas Mipa Universitas Hasanuddin hasma_ba@yahoo.com Abstract Graf yang memuat semua siklus dari yang terkecil sampai
Lebih terperinciKonsep. Graph adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu. Contoh : Struktur organisasi
GRPH 1 Konsep Graph adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu. Contoh : Struktur organisasi 2 Contoh Graph agan alir pengambilan mata kuliah 3 Contoh Graph Peta 4 5 Dasar-dasar Graph Suatu graph
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf didefinisikan sebagai pasangan terurut himpunan dimana: 1. adalah sebuah himpunan tidak kosong yang berhingga yang anggotaanggotanya
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI.. Definisi Graf Secara matematis, graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) ditulis dengan notasi G = (V, E), yang dalam hal ini: V = himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul
Lebih terperinciPENENTUAN BANYAKNYA GRAF TAK TERHUBUNG BERLABEL TITIK TANPA GARIS PARALEL DENGAN BANYAKNYA TITIK n = 6. DAN BANYAKNYA GARIS m 1.
PENENTUAN BANYAKNYA GRAF TAK TERHUBUNG BERLABEL TITIK TANPA GARIS PARALEL DENGAN BANYAKNYA TITIK n = 6 DAN BANYAKNYA GARIS m 1 (Skripsi) Oleh PRISKY PARADITTA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Untuk menjelaskan pelabelan analytic mean pada graf bayangan dari graf bintang K 1,n dan graf bayangan dari graf bistar B n,n perlu adanya beberapa teori dasar yang akan menunjang
Lebih terperinciII. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON. Graf G adalah himpunan terurut ( V(G), E(G)), dengan V(G) menyatakan
II. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON 2.1 Konsep Dasar Graf Teori dasar mengenai graf yang akan digunakan dalam penelitian ini diambil dari Deo (1989). Graf G adalah himpunan terurut ( V(G), E(G)), dengan
Lebih terperinciBAB III PELABELAN KOMBINASI
1 BAB III PELABELAN KOMBINASI 3.1 Konsep Pelabelan Kombinasi Pelabelan kombinasi dari suatu graf dengan titik dan sisi,, graf G, disebut graf kombinasi jika terdapat fungsi bijektif dari ( himpunan titik
Lebih terperinci