1. Pengantar Teori Graph

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "1. Pengantar Teori Graph"

Transkripsi

1 1. Pengantar Teori Graph Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Graph, Digraph dan Network 2. Klasifikasi Masalah 3. Pencarian Solusi Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J Graph and Applications. Springer: UK. Pencarian Rute Untuk memperkenalkan konsep graph, kita akan meninjau beberapa permasalahan dan representasinya dalam sebuah diagram. Pertama kita akan meninjau permasalahan pencarian rute. Gambar 1.1 menunjukan peta stasiun di London. Peta tersebut tidak menunjukan semua fitur dari area tersebut, seperti lokasi geografis stasiun, atau informasi jarak antar dua stasiun. Peta tersebut hanya menunjukan fitur yang sesuai dengan kebutuhan orang yang memakainya yaitu menunjukan keterhubungan antar stasiun, sehingga penumpang dapat melihat rute dari satu stasiun ke stasiun lainnya. Gambar 1.1 Contoh peta stasiun kereta api Pada peta tersebut, jika kita mencari suatu rute terbaik antar dua stasiun, maka interpretasi atas rute terbaik mungkin tidak selalu sama. Bisa saja rute terbaik merupakan rute dengan minimal stasiun yang dilewati, atau karena pergantian kereta memakan waktu, maka rute terbaik merupakan rute dengan pergantian kereta yang minimal. Pada kasus yang lain, misalnya ketika kita menggunakan peta jalan, hal yang penting bukan hanya keterhubungan antara dua kota, namun juga jarak atau waktu tempuh antar kota tersebut. Misalnya pada Gambar 1.2 menunjukan beberapa rute utama antara beberapa kota di USA, yang dilengkapi dengan waktu tempuh antar kota (dalam satuan jam). 1

2 Gambar 1.2 Contoh peta jalan antar kota dan waktu tempuhnya Latihan 1.1 Berdasarkan peta pada Gambar 1.2 carilah waktu terpendek ketika kita ingin pergi dari Los Angeles ke Oklahoma City. Bidang Kimia Sebuah molekul adalah kumpulan sejumlah atom yang terhubung dengan ikatan kimia. Suatu alkana (paraffin) adalah suatu molekul dengan rumus C n H 2n+2, di mana setiap atom karbon (C) diikat oleh tepat empat atom, dan masing-masing atom hidrogen (H) diikat oleh tepat sebuah atom. Suatu molekul methana (CH 4 ) mengandung satu atam karbon yang berikatan dengan empat atom hidrogen. Begitu juga molekul ethana (C 2 H 6 ) memiliki dua atom karbon yang berikatan dengan enam atom hidrogen. Gambar 1.3 menunjukan ikatan atom pada molekul methana dan ethana. Gambar 1.3 Molekul methana dan ethana Molekul ini dapat direpresentasikan sebagai suatu diagram, di mana atom diindikasikan dengan simbol kimianya, dan ikatan kimia ditunjukan dengan garis yang menghubungkan simbol tersebut. Diagram ini tidak menunjukan secara tepat bagaimana posisi atom tersebut. Misalnya, atom hidrogen dari methana tidak semuanya terletak dalam satu bidang, tetapi terletak pada sudutsudut seperti dalam regular tetrahedron, dengan atom karbon berada ditengahnya seperti ditunjukan pada Gambar

3 Gambar 1.4 Letak atom dalam molekul methana Walaupun demikian, diagram yang kita buat bermanfaat untuk mengilustrasikan hubungan antar atom, dan kita dapat memperoleh banyak informasi tentang perilaku kimia dari sebuah molekul dengan mempelajari diagram tersebut. Alkana yang memiliki rumus C n H 2n+2 graph-nya memiliki cabang seperti struktur tree. Jika ada empat atau lebih atom karbon, maka akan terdapat molekul berbeda yang terbangun dengan rumus kimia yang sama (dikenal sebagai isomer). Sebagai contoh untuk rumus kimia C 5 H 12 kita dapat membuat dua diagram yang berbeda seperti ditunjukan pada Gambar 1.5. Gambar 1.5 Dua molekul yang terbentuk dengan rumus kimia C 5 H 12 Latihan 1.2 Tunjukan bahwa hanya ada satu alkana dengan rumus C 3 H 8, namun ada dua alkana dengan rumus C 4 H 10. Masalah Utilitas Pada masalah ini terdapat beberapa tetangga yang ingin menghubungkan rumah mereka dengan tiga utilitas yaitu gas, air dan listrik sedemikian rupa sehingga sembilan koneksi antar tiga rumah dan tiga utilitas tersebut tidak saling berpotongan. Pada Gambar 1.6, delapan koneksi sudah terpasang, namun rumah B tidak terhubung dengan air. Pertanyaannya adalah dapatkah kita menambahkan suatu jalur yang menghubungkan air dengan rumah B tanpa memotong jalur lain yang telah terpasang. 3

4 Gambar 1.6 Ilustrasi masalah utilitas Masalah utilitas juga berhubungan dengan masalah praktis yang timbul dalam kajian tentang sirkuit cetak. Dalam masalah ini, komponen elektronik dibangun dengan cara mencetak jalur-jalur pada sebuah papan. Jalur-jalur tersebut tidak berpotongan karena dapat menimbulkan kontak elektrik yang tidak diinginkan pada titik perpotongannya. Latihan 1.3 Sirkuit mana pada diagram berikut yang dapat anda gambar kembali tanpa ada titik yang saling berpotongan. Pada beberapa masalah yang telah kita pelajari, kita perhatikan bahwa semua permasalahan memiliki pola yang sama, yaitu suatu kumpulan objek yang memiliki relasi dengan berbagai cara. Stasiun saling terhubung dengan rel, atom-atom saling terhubung dengan ikatan, dan rumah saling terhubung dengan utilitas. Pada setiap kasus, kita dapat menggambar sebuah diagram di mana kita merepresentasikan objek dengan titik, dan interkoneksi antara pasangan objek dengan garis (tidak harus garis lurus). Diagram seperti inilah yang disebut dengan graph. Perhatikan contoh sebuah graph pada Gambar 1.7. Pada suatu graph, titik yang mewakili objek disebut vertex dan garis yang mewakili interkoneksinya tersebut disebut edge (sisi). Gambar 1.7 Contoh sebuah graph 4

5 Secara umum, kita menyatakan ide tentang graph, sebagai berikut. Graph adalah sebuah diagram yang terdiri dari titik-titik (disebut vertex) yang dihubungkan dengan garis-garis (disebut edge). Setiap edge menghubungkan tepat dua vertex. Sebagai catatan, istilah ini tidak sepenuhnya standar, ada yang menyebut vertex dengan node atau point, dan ada pula yang menyebut edge dengan line. Pada problem utilitas, masalah tersebut dapat direpresentasikan oleh sebuah graph dengan enam vertex yang mewakili tiga rumah dan tiga utilitas, dan sembilan edge yang mewakili sembilan kemungkinan koneksi. Masalah utilitas adalah masalah bagaimana membentuk suatu diagram, sehingga tidak ada edge yang berpotongan. Catat bahwa ketiga rumah tersebut tidak saling terhubung, begitu juga ketiga utilitas. Graph seperti ini, di mana vertex terbagi ke dalam dua himpunan (himpunan rumah dan himpunan utilitas), dan edge pada graph tersebut hanya menghubungkan dua vertex pada himpunan yang berbeda, disebut graph bipartit. Gambar 1.8 menunjukan dua kemungkinan cara menggambar graph tersebut. Gambar 1.8 Graph untuk masalah utilitas Contoh lain untuk menunjukan konsep graph dalam menggambarkan hubungan antar objek adalah representasi graph untuk permainan sepak bola. Gambar 1.9 menggambarkan graph permainan sepak bola, di mana Arsenal bermain dengan Chelsea dan Everton, tetapi tidak melawan Liverpool. Chelsea melawan Everton dua kali, dan Liverpool bermain dengan Everton satu kali. Gambar 1.9 Graph untuk permainan sepak bola 5

6 Graph pada Gambar 1.9 memiliki empat vertex yang mewakili klub sepak bola dan lima edge yang mewakili pertandingan antara kedua klub. Gambar 1.9 juga menunjukan bahwa kita dapat menggambar sebuah graph dengan berbagai cara, selama ia mewakili keterhubungan yang sama sehingga mewakili permasalahan yang disajikan. Latihan Gambar sebuah graph yang mewakili pertemanan antara empat orang berikut. Andi berteman dengan Oki dan Ika, tapi tidak dengan Jaka Jaka berteman dengan Ika, tapi tidak dengan Oki. Oki berteman dengan Ika. 2. Sebuah labirin dapat direpresentasikan dengan sebuah graph. Pada labirin tersebut terdapat pilihan yang mungkin pada masing-masing persimpangan. Sebagai contoh, pada persimpangan B ada dua pilihan, yaitu pergi ke C atau ke D. Berikut adalah representasi labirin ke dalam bentuk graph. Gunakanlah graph tersebut untuk mendaftar semua rute dari titik A ke titik L tanpa melibatkan titik yang sudah dilalui. Masalah Jembatan Kὂnigsberg Pada awal abad ke delapan belas, kota Kὂnigsberg di Prussia Timur memuat sebuah pulau yang disebut Kneiphof yang dikelilingi oleh sungai Pregel. Empat bagian kota (A,B,C,D) terhubung dengan tujuh buah jembatan (a,b,c,d,e,f,g) seperti ditunjukan pada Gambar Gambar 1.10 Kota Kὂnigsberg di Prussia Timur 6

7 Diceritakan bahwa warga Kὂnigsberg menghibur diri dengan mencoba mencari rute dengan menyebrangi setiap jembatan tepat satu kali, dan kembali ke posisi awal. Mereka mencoba sebisanya, namun tidak menemukan rute tersebut dan mulai yakin bahwa hal tersebut mustahil dilakukan. Pada masalah ini, terdapat empat area yang terhubung dengan tujuh jembatan. Kita dapat merepresentasikan hubungan ini dengan menggambar graph dengan empat vertex yang mewakili area, dan tujuh edge yang mewakili tujuh jembatan seperti ditunjukan pada Gambar Gambar 1.11 Representasi graph dari masalah jembatan Kὂnigsberg Masalah menyebrangi setiap jembatan tepat satu kali kini dapat ditransformasikan ke dalam masalah graph. Masalah tersebut adalah dapatkah kita menggambar graph pada Gambar 1.11 dari suatu titik awal dan kembali ke titik tersebut tanpa mengangkat pensil dari kertas dan tanpa menggambar atau melalui edge manapun dua kali. Masalah Kerangka Segiempat Yang Diperkuat Banyak bangunan yang disokong dengan kerangka segiempat yang terbuat dari baja. Sangat penting bagi kita untuk memastikan bahwa kerangka tersebut tetap kaku (rigid) dibawah beban berat. Sebagai contoh Gambar 1.12 menunjukan bagaimana kerangka segiempat dapat terdistorsi. Gambar 1.12 Kerangka segiempat yang dapat terdistorsi (non-rigid) Suatu cara agar kerangka tetap rigid adalah dengan menambahkan penahan (brace) untuk mencegah distorsi. Pada kasus kerangka dengan empat buah segiempat seperti ditunjukan pada Gambar 1.13, penambahan dua buah penahan pada kerangka (diindikasikan dengan bayangan pada segiempat), tidak dapat membuat kerangka ini menjadi rigid. Jumlah minimal penahan yang harus ditambahkan agar kerangka tetap rigid adalah tiga buah. 7

8 Gambar 1.13 Jumlah penahan pada kerangka segiempat Kita dapat merepresentasikan kerangka yang diberi penahan ini dengan membuat sebuah graph. Perhatikan kerangka pada Gambar Setiap penahan kerangka, muncul pada sebuah baris dan sebuah kolom, sehingga kita dapat mengetahui posisi penahan tersebut dengan menggambar graph. Vertex pada graph tersebut berkoresponden dengan baris dan kolom pada kerangka dan edge berkoresponden dengan penahannya. Dua vertex dihubungkan jika pada pada posisi tersebut terdapat penahan. Catat bahwa dalam kasus ini, kita memperoleh sebuah graph bipartit dengan dua buah himpunan yaitu himpunan baris dan himpunan kolom. Gambar 1.14 Representasi graph untuk kerangka yang diperkuat Graph Berbobot Sebelumnya pada Gambar 1.2 kita diberikan peta jalan antar kota di USA. Pada peta tersebut edge mewakili jalan yang menghubungkan kota. Setiap edge memiliki suatu nilai yang merepresentasikan waktu tempuh (dalam satuan jam) antar pasangan kota. Nilai ini disebut bobot, dan sebuah graph yang memiliki bobot yang berasosiasi dengan setiap edge disebut graph berbobot. Bobot pada edge dapat mengacu pada banyak hal. Misalnya pada peta jalan, bobot dapat mewakili jarak, waktu atau biaya yang diperlukan dalam perjalanan. Contoh-contoh lain untuk graph berbobot muncul pada permasalahan berikut. 8

9 Masalah Perjalanan Pedagang Seorang pedagang ingin mengunjungi sejumlah kota dan kembali ke tempat asalnya. Rute yang diinginkan adalah rutedengan panjang total jarak terkecil. Gambar 1.15 menunjukan suatu graph berbobot yang memiliki empat vertex, dan enam edge. Pada kasus ini, bobot mewakili jarak antar kota (dalam mil). Bagaimanakah kita dapat memilih rute dengan bobot minimal untuk mengunjungi semua vertex dan kembali ke titik awal? Sebagai contoh, misalnya kita memiliki titik awal London. Dengan cara mencoba-coba, kita dapat menemukan solusi dari rute yang diinginkan yaitu: London-Conventry-Preston-Leeds-London. Total jarak yang ditempuh adalah = 487 mil. Jika kita perhatikan, rute yang lain memiliki jarak total lebih besar. Gambar 1.15 Graph berbobot jarak antar kota Sayangnya jika jumlah kota semakin banyak, kita akan kesulitan menemukan solusi dengan cara mencoba-coba. Solusi yang menjanjikan untuk memecahkan masalah ini adalah dengan metode exhaustion, yaitu dengan mencari semua kemungkinan rute dan memilih mana yang paling pendek. Namun, metode ini bukanlah metode yang efisien untuk menyelesaikan masalah. Misalnya jika ada sepuluh kota, maka kemungkinan rute yang ada adalah ½(9!)= ½(9x8x7x6x5x4x3x2x1) = Jika ada dua puluh kota, maka kemungkinan rute yang ada adalah ½(19!)=6,08x Peningkatan jumlah rute yang cepat karena penambahan kota ini dikenal sebagai masalah combinatorial explotion. Untuk masalah dengan skala lebih besar, kita memerlukan metode langkah demi langkah yang sistematik dan efisien. Beberapa prosedur yang akan kita pelajari pada bab selanjutnya, dinilai dapat menjadi metode yang efisien sekaligus memberi pendekatan nilai dari solusi yang diinginkan. Latihan 1.5 Seorang penjaga kebun binatang akan mengunjungi lokasi hewan di titik A,B,C,D,E. Jarak antar tempat ditunjukan dalam diagram. Dengan cara mencoba-coba, temukan rute dengan jarak terpendek dari tempat A dan kembali ke A. 9

10 Digraph Kita banyak menemui adanya sistem jalan satu arah di sebuah kota besar. Karena jalan tersebut satu arah, kita tidak bisa merepresentasikan sistem ini dengan sebuah graph yang tidak memiliki arah. Kita dapat merepresentasikan masalah ini dengan membuat diagram yang serupa dengan graph, dan mengganti semua edge dengan anak panah, yang menandakan arah pada jalan tersebut. Diagram seperti ini disebut digraph (directed graph). Contoh representasi digraph untuk jalan satu arah ditunjukan pada Gambar Gambar 1.16 Representasi digraph untuk jalan satu arah Konsep tentang digraph dapat dinyatakan sebagai berikut. Digraph adalah sebuah diagram yang memuat titik-titik (disebut vertex) yang dihubungkan dengan garis-garis (disebut arc), setiap arc menghubungkan tepat dua vertex. Latihan 1.6 Representasikan sistem jalan satu arah berikut dalam sebuah digraph. 10

11 Network (Jaringan) Kita dapat menetapkan bobot terhadap edge pada graph untuk membentuk sebuah graph berbobot, begitu juga kita dapat menetapkan bobot terhadap arc pada digraph untuk membentuk digraph berbobot. Konsep ini menuntun kita kepada ide tentang network. Kita memakai kata network, untuk graph dan digraph yang membawa suatu informasi numerik. Informasi ini tergantung pada aplikasi yang sedang kita dipelajari. Bobot pada network dapat berasosiasi dengan edge/arc, dan mungkin juga dengan vertex. Catat bahwa sebuah graph atau digraph hanya mewakili keterhubungan dari sistem, dan tidak memberikan informasi lebih lanjut tentang elemennya. Network, menyampaikan informaasi kuantitif tambahan yang diperlukan tersebut. Jaringan Jalan Pada jaringan jalan raya, bobot dari setiap arc (jalan) mungkin berkorespenden dengan panjangnya jalan, estimasi waktu tempuh, biaya perjalanan (bahan bakar, peralatan, dll). Bobot juga mungkin diberikan berkaitan dengan daya tarik pemandangan, tingkat bahaya pada perjalanan tersebut, atau kualitas permukaan jalan. Sekarang misalkan kita ingin menemukan rute antar dua kota dan menetapkan jarak sebagai bobot yang berkoresponden dengan edge pada graph. Masalah menentukan jarak terpendak antara dua kota pada peta berarti mencari rute terpendek antara dua vertex pada graph, sehingga memiliki total bobot yang paling kecil. Masalah jalur terpendek yang sederhana seperti ini dapat dipecahkan dengan memeriksa semua jalur. Latihan 1.7 Dengan cara memerikasa rute yang ada, carilah rute terpendek dari S ke T pada jaringan berikut. Jaringan Pipa Gambar 1.17 mewakili sebuah jaringan pipa untuk gas, minyak atau air yang mengalir dari sumber S ke terminal T. Setiap titik A-I merepresentasikan persimpangan pipa di mana total aliran yang masuk pada persimpangan harus sama dengan total aliran yang keluar. Setiap garis antara dua persimpangan merepresentasikan pipa, dan nilainya mewakili kapasitas dari pipa tersebut. Aliran pada pipa tidak boleh melebihi kapasitas, dan harus melalui arah yang telah ditentukan. Jika kita memiliki gas dengan kapasitas kurang dari 7 unit, maka gas tersebut dapat dikirim melewati rute S- A-D-G-T tanpa melebihi kapasitas pipa SA,AD,DG,GT. 11

12 Gambar 1.17 Contoh jaringan pipa dan kapasitasnya Model Graph Kita telah mempelajari bagaimana kita dapat memakai graph untuk mengorganisir pengetahuan dari sifat stuktural pada berbagai situasi. Representasi graph dari suatu permasalahan disebut sebagai model. Model yang kita kembangkan berdasarkan pada struktur formal dari matematika kombinatorial, khususnya pada teori graph. Sebelum merepresentasikan suatu situasi dalam bentuk graph, kita harus melakukan analisis permasalahan dengan hati-hati dan mempelajari sifat graph yang mungkin muncul sesuai situasi tersebut. Pada umumnya, representasi sifat yang dapat diwakili oleh graph dilakukan dengan salah satu dari dua cara berikut. 1. Elemen pada struktur diwakili oleh vertex dan hubungannya diwakili oleh edge. 2. Elemen pada struktur diwakili oleh edge dan hubungannya diwakili oleh vertex. Klasifikasi Masalah Permasalahan yang akan kita temui dalam mempelajari graph, dapat dijelaskan sebagai satu dari permasalahan pada Tabel 1.1 berikut. Tabel 1.1 Klasifikasi Masalah Jenis masalah Contoh pertanyaan Deskripsi 1. Masalah Apakah terdapat.? Ada atau tidak adanya solusi untuk eksistensi Apakah mungkin? permasalahan. 2. Masalah konstruksi 3. Masalah enumerasi 4. Masalah optimasi Jika ada, bagaimana kita membangunnya? Berapa banyak? Dapatkah kita mendaftarnya? JIka ada, mana yang paling baik? Konstruksi terhadap solusi masalah tersebut. Menghitung berapa banyak solusi yang ada dan mendaftar apa saja solusi tersebut. Solusi terbaik atas masalah tersebut (memaksimalkan atau meminimalkan suatu parameter). 12

13 Pencarian Solusi Untuk mencari solusi atas permasalahan yang ada, terdapat pendekatan pencarian solusi sebagai berikut. 1. Teoritis Dalam suatu permasalahan graph, kita dapat menentukan tipe graph tersebut, mempelajari sifat-sifatnya, membuat dugaan, dan membuktikan suatu teori. Teorema graph yang sudah ada, banyak menunjukan kita apakah pada graph yang kita miliki terdapat sifat-sifat tertentu. Metode teoritis ini dapat menyelesaikan masalah eksistensi, namun biasanya tidak menyelesaikan masalah konstruksi. 2. Metode Praktis Pendekatan ini adalah pendekatan dengan menunjukan secara langsung sifat yang dapat muncul pada suatu graph dengan membangun objek tersebut. Dalam melakukan konstruksi solusi, banyak masalah yang dapat diselesaikan dengan cara coba-coba atau dengan cara memeriksa semua penyelesaian yang mungkin. Namun cara ini bisa sangat kompleks dan memerlukan banyak waktu, sehingga menjadi cara yang tidak praktis untuk diterapkan. Untuk membangun solusi pada masalah yang kompleks, kita membutuhkan prosedur sistematik langkah demi langkah yang dapat diaplikasikan terhadap sistem yang besar. Prosedur ini disebut algoritma. Algoritma adalah sebuah prosedur sistematik langkah demi langkah yang terdiri dari : Penjelasan data masukan yang tepat Sejumlah perintah yang terbatas, terurut, yang dapat dilakukan satu demi satu Perintah perhentian yang menunjukan kapan prosedur selesai Penjelasan dari data keluaran yang tepat. 3. Metode Heuristic Pada banyak masalah optimasi, tidak sulit untuk menemukan algoritma yang sesuai yang dapat diaplikasikan secara cepat dan efisien. Salah satu contohnya adalah masalah pencarian rute terpendek. Sayangnya ada juga permasalahan yang tidak diketahui algoritma efisien untuk menyelesaikannya. Untuk mengatasi masalah tersebut, banyak diterapkan metode heuristic berdasarkan pengalaman dan intuisi. Metode ini cukup baik dan cepat diaplikasikan, namun tidak selalu mengarahkan kita pada solusi yang benar. Keluaran metode ini merupakan sebuah pendekatan terhadap nilai yang benar. 13

9. Algoritma Path. Oleh : Ade Nurhopipah

9. Algoritma Path. Oleh : Ade Nurhopipah 9. Algoritma Path Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Algoritma Fleury 2. Algoritma Shortest Path 3. Studi Kasus Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph and Applications. Springer: UK.

Lebih terperinci

11. Planaritas. Oleh : Ade Nurhopipah. Gambar 11.1 Masalah Utilitas

11. Planaritas. Oleh : Ade Nurhopipah. Gambar 11.1 Masalah Utilitas 11. Planaritas Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Graph Planar 2. Rumus Euler 3. Metode Cycle untuk Test Planaritas 4. Teorema Kuratowski 5. Dualitas Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004.

Lebih terperinci

12. Pewarnaan dan Dekomposisi Vertex

12. Pewarnaan dan Dekomposisi Vertex 12. Pewarnaan dan Dekomposisi Vertex Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Pewarnaan Vertex 2. Algoritma Pewarnaan Vertex 3. Vertex Dekomposisi Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph

Lebih terperinci

7. Counting Trees. Oleh : Ade Nurhopipah. Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J Graph and Applications. Springer: UK.

7. Counting Trees. Oleh : Ade Nurhopipah. Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J Graph and Applications. Springer: UK. 7. Counting Trees Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Menghitung Labelled Tree 2. Menghitung Binary Tree 3. Menghitung Chemical Tree Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph and Applications.

Lebih terperinci

8. Algoritma Greedy. Oleh : Ade Nurhopipah

8. Algoritma Greedy. Oleh : Ade Nurhopipah 8. Algoritma Greedy Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Minimum Connector Problem 2. Travelling Salesman Problem Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph and Applications. Springer: UK.

Lebih terperinci

5. Representasi Matrix

5. Representasi Matrix 5. Representasi Matrix Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Matrix Ketetanggaan 2. Walk Pada Graph dan Digraph 3. Matrix Insidensi Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph and Applications.

Lebih terperinci

6. Struktur Tree. Pokok Bahasan : Sumber : Oleh : Ade Nurhopipah. 1. Properties of Trees 2. Spanning Trees 3. Rooted Trees

6. Struktur Tree. Pokok Bahasan : Sumber : Oleh : Ade Nurhopipah. 1. Properties of Trees 2. Spanning Trees 3. Rooted Trees 6. Struktur Tree Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Properties of Trees 2. Spanning Trees 3. Rooted Trees Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph and Applications. Springer: UK. Tree

Lebih terperinci

3. Graph Euler dan Graph Hamilton

3. Graph Euler dan Graph Hamilton 3. Graph Euler dan Graph Hamilton Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Masalah Exploring dan Travelling 2. Graph Euler 3. Graph Hamilton Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph and Applications.

Lebih terperinci

4. Digraph. Oleh : Ade Nurhopipah

4. Digraph. Oleh : Ade Nurhopipah 4. Digraph Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Digraph dan Subdigraph 2. Derajat Titik Pada Digraph 3. Path dan Cycle Pada Digraph 4. Digraph Euler dan Digraph Hamilton Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson,

Lebih terperinci

2. Terminologi Graph

2. Terminologi Graph 2. Terminologi Graph Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Graph dan Subgraph 2. Derajat Titik 3. Path dan Cycle 4. Graph Regular dan Graph Bipartit Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph

Lebih terperinci

10. Path dan Konektivitas

10. Path dan Konektivitas 10. Path dan Konektivitas Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Graph dan Digraph Terhubung 2. Teorema Menger 3. Analog Teorema Manger 4. Studi Kasus Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004.

Lebih terperinci

BAB I BAB I. PENDAHULUAN. menjadikan pemikiran ilmiah dalam suatu bidang ilmu, dapat dilakukan

BAB I BAB I. PENDAHULUAN. menjadikan pemikiran ilmiah dalam suatu bidang ilmu, dapat dilakukan BAB I BAB I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Pada awalnya Matematika merupakan alat berpikir yang sederhana dari kelompok orang biasa untuk menghitung dan mengukur barang-barang miliknya, kemudian

Lebih terperinci

Pada perkembangannya ternyata model transportasi ini dapat juga digambarkan dan diselesaikan dalam suatu bentuk jaringan

Pada perkembangannya ternyata model transportasi ini dapat juga digambarkan dan diselesaikan dalam suatu bentuk jaringan MODEL ARUS JARINGAN DEFINISI Jaringan (network) = (N, A); N=node, A=arc = sisi=busur. Arc (sisi) terarah mempunyai arah. Jaringan terarah mempunyai semua sisi yang terarah. Path (lintasan) = sekumpulan

Lebih terperinci

Pohon. Modul 4 PENDAHULUAN. alam modul-modul sebelumnya Anda telah mempelajari graph terhubung tanpa sikel, misalnya model graph untuk molekul C 4

Pohon. Modul 4 PENDAHULUAN. alam modul-modul sebelumnya Anda telah mempelajari graph terhubung tanpa sikel, misalnya model graph untuk molekul C 4 Modul 4 Pohon Dr. Nanang Priatna, M.Pd. D PENDAHULUAN alam modul-modul sebelumnya Anda telah mempelajari graph terhubung tanpa sikel, misalnya model graph untuk molekul C 4 H 10, hierarki administrasi

Lebih terperinci

Pemodelan Sistem Lalu Lintas dengan Graf Ganda Berarah Berbobot

Pemodelan Sistem Lalu Lintas dengan Graf Ganda Berarah Berbobot Pemodelan Sistem Lalu Lintas dengan Graf Ganda erarah erbobot Teddy Pandu Wirawan Jurusan Teknik Informatika IT, andung 40132, email: t_pandu09@students.itb.ac.id bstrak Makalah ini membahas penerapan

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori graph merupakan cabang ilmu yang memiliki peranan penting dalam pengembangan ilmu matematika dan aplikasi. Teori graph saat ini mendapat banyak perhatian karena

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Teori Graph 2.1.1 Graph Tak Berarah dan Digraph Suatu Graph Tak Berarah (Undirected Graph) merupakan kumpulan dari titik yang disebut verteks dan segmen garis yang

Lebih terperinci

APLIKASI PEWARNAAN GRAF PADA PENGATURAN LAMPU LALU LINTAS

APLIKASI PEWARNAAN GRAF PADA PENGATURAN LAMPU LALU LINTAS APLIKASI PEWARNAAN GRAF PADA PENGATURAN LAMPU LALU LINTAS Muhammad Farhan 13516093 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung

Lebih terperinci

Oleh : CAHYA GUNAWAN JURUSAN SISTEM INFORMASI FAKULTAS TEKNIK DAN ILMU KOMPUTER UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA BANDUNG 2012

Oleh : CAHYA GUNAWAN JURUSAN SISTEM INFORMASI FAKULTAS TEKNIK DAN ILMU KOMPUTER UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA BANDUNG 2012 Oleh : CAHYA GUNAWAN 1.05.08.215 JURUSAN SISTEM INFORMASI FAKULTAS TEKNIK DAN ILMU KOMPUTER UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA BANDUNG 2012 PENDAHULUAN Dalam kehidupan sehari-hari sering dilakukan perjalanan

Lebih terperinci

Bagaimana merepresentasikan struktur berikut? A E

Bagaimana merepresentasikan struktur berikut? A E Bagaimana merepresentasikan struktur berikut? B D A E F C G Bagaimana merepresentasikan struktur berikut? Contoh-contoh aplikasi graf Peta (jaringan jalan dan hubungan antar kota) Jaringan komputer Jaringan

Lebih terperinci

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Bagian ini menjelaskan tentang hal-hal yang erat kaitannya dengan masalah m- ring star. Salah satu cabang matematika yang cukup penting dan sangat luas penerapannya di banyak bidang

Lebih terperinci

Aplikasi Pohon Merentang Minimum dalam Rute Jalur Kereta Api di Pulau Jawa

Aplikasi Pohon Merentang Minimum dalam Rute Jalur Kereta Api di Pulau Jawa Aplikasi Pohon Merentang Minimum dalam Rute Jalur Kereta Api di Pulau Jawa Darwin Prasetio ( 001 ) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl.

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf didefinisikan sebagai pasangan terurut himpunan dimana: 1. adalah sebuah himpunan tidak kosong yang berhingga yang anggotaanggotanya

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI 4 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pengertian Kemacetan Kemacetan adalah situasi atau keadaan tersendatnya atau bahkan terhentinya lalu lintas yang disebabkan oleh banyaknya jumlah kendaraan melebihi kapasitas

Lebih terperinci

Penyelesaian Traveling Salesman Problem dengan Algoritma Heuristik

Penyelesaian Traveling Salesman Problem dengan Algoritma Heuristik Penyelesaian Traveling Salesman Problem dengan Algoritma Heuristik Filman Ferdian - 13507091 Program Studi Teknik Informatika, Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jalan Ganesha

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. Bab Konsep Dasar Graf. Definisi Graf

LANDASAN TEORI. Bab Konsep Dasar Graf. Definisi Graf Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1. Konsep Dasar Graf Definisi Graf Suatu graf G terdiri atas himpunan yang tidak kosong dari elemen elemen yang disebut titik atau simpul (vertex), dan suatu daftar pasangan vertex

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Teori Graph 2.1.1 Definisi Graph Menurut Dasgupta dkk (2008), graph merupakan himpunan tak kosong titik-titik yang disebut vertex (juga disebut dengan node) dan himpunan garis-garis

Lebih terperinci

APLIKASI ALGORITMA KRUSKAL DALAM PENGOTIMALAN PANJANG PIPA Kruskal Algorithm Application on Optimlaizing Pipes Network

APLIKASI ALGORITMA KRUSKAL DALAM PENGOTIMALAN PANJANG PIPA Kruskal Algorithm Application on Optimlaizing Pipes Network Jurnal Barekeng Vol. 7 No. 2 Hal. 13 18 (2013) APLIKASI ALGORITMA KRUSKAL DALAM PENGOTIMALAN PANJANG PIPA Kruskal Algorithm Application on Optimlaizing Pipes Network ABRAHAM ZACARIA WATTIMENA 1, SANDRO

Lebih terperinci

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 39 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Teori Graf 2.1.1 Definisi Graf Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang paling banyak aplikasinya dalam kehidupan sehari hari. Salah satu bentuk dari graf adalah

Lebih terperinci

RANCANG BANGUN SISTEM INFORMASI RUTE WISATA TERPENDEK BERBASIS ALGORITMA FLOYD-WARSHALL

RANCANG BANGUN SISTEM INFORMASI RUTE WISATA TERPENDEK BERBASIS ALGORITMA FLOYD-WARSHALL Sistem Prediksi Penyakit Diabetes Berbasis Decision Tree RANCANG BANGUN SISTEM INFORMASI RUTE WISATA TERPENDEK BERBASIS ALGORITMA FLOYD-WARSHALL Anik Andriani Manajemen Informatika AMIK BSI Jakarta Jl.

Lebih terperinci

Model Jaringan. Ahmad Sabri, MSi, Riset Operasional 2, Universitas Gunadarma

Model Jaringan. Ahmad Sabri, MSi, Riset Operasional 2, Universitas Gunadarma Model Jaringan Sebuah jaringan terdiri dari sekelompok simpul (node) yang dihubungkan dengan busur (arc). Suatu busur dapat dialiri arus/diberikan bobot dalam jumlah tertentu Contoh: jaringan transportasi:

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang 9 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Travelling Salesman Problem (TSP) merupakan salah satu permasalahan yang penting dalam dunia matematika dan informatika. TSP dapat diilustrasikan sebagai perjalanan

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI.. Definisi Graf Secara matematis, graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) ditulis dengan notasi G = (V, E), yang dalam hal ini: V = himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul

Lebih terperinci

Termilogi Pada Pohon Berakar 10 Pohon Berakar Terurut

Termilogi Pada Pohon Berakar 10 Pohon Berakar Terurut KATA PENGANTAR Puji syukur penyusun panjatkan ke hadirat Allah Subhanahu wata?ala, karena berkat rahmat-nya kami bisa menyelesaikan makalah yang berjudul Catatan Seorang Kuli Panggul. Makalah ini diajukan

Lebih terperinci

PENYELESAIAN TRAVELLING SALESMAN PROBLEM MENGGUNAKAN METODE SIMPLE HILL CLIMBING

PENYELESAIAN TRAVELLING SALESMAN PROBLEM MENGGUNAKAN METODE SIMPLE HILL CLIMBING Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 0, No. (2015), hal 17 180. PENYELESAIAN TRAVELLING SALESMAN PROBLEM MENGGUNAKAN METODE SIMPLE HILL CLIMBING Kristina Karunianti Nana, Bayu Prihandono,

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pengertian Algoritma Algoritma adalah teknik penyusunan langkah-langkah penyelesaian masalah dalam bentuk kalimat dengan jumlah kata terbatas tetapi tersusun secara logis dan sitematis

Lebih terperinci

TEOREMA CAYLEY DAN PEMBUKTIANNYA

TEOREMA CAYLEY DAN PEMBUKTIANNYA TEOREMA CAYLEY DAN PEMBUKTIANNYA Eddy Djauhari Departemen Matematika Fmipa Universitas Padjadjaran Jalan Raya Bandung-Sumedang km. 21, tlp./fax. : 022-7794696, Jatinangor, 45363 Email : eddy.djauhari@unpad.ac.id

Lebih terperinci

Kode MK/ Matematika Diskrit

Kode MK/ Matematika Diskrit Kode MK/ Matematika Diskrit TEORI GRAF 1 8/29/2014 Cakupan Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 2 8/29/2014 1 TEORI GRAF Tujuan Mahasiswa memahami konsep

Lebih terperinci

PENYELESAIAN TRAVELLING SALESMAN PROBLEM DENGAN METODE TABU SEARCH

PENYELESAIAN TRAVELLING SALESMAN PROBLEM DENGAN METODE TABU SEARCH Buletin Ilmiah Mat. Stat. Dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 1 (2015), hal 17 24. PENYELESAIAN TRAVELLING SALESMAN PROBLEM DENGAN METODE TABU SEARCH Fatmawati, Bayu Prihandono, Evi Noviani INTISARI

Lebih terperinci

MODEL ARUS JARINGAN. Pertemuan 9

MODEL ARUS JARINGAN. Pertemuan 9 MODEL ARUS JARINGAN Pertemuan 9 Pengertian Jaringan Jaringan adalah suatu susunan garis edar (path) yang terhubung pada berbagai titik, dimana satu atau beberapa barang bergerak dari satu titik ke titik

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Teori graf 2.1.1 Defenisi graf Graf G adalah pasangan {,} dengan adalah himpunan terhingga yang tidak kosong dari objek-objek yang disebut titik (vertex) dan adalah himpunan pasangan

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI Sebelum memulai pembahasan lebih lanjut, pertama-tama haruslah dijelaskan apa yang dimaksud dengan traveling salesman problem atau dalam bahasa Indonesia disebut sebagai persoalan

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Teori graf merupakan suatu kajian ilmu yang pertama kali dikenalkan pada tahun

BAB I PENDAHULUAN. Teori graf merupakan suatu kajian ilmu yang pertama kali dikenalkan pada tahun BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Teori graf merupakan suatu kajian ilmu yang pertama kali dikenalkan pada tahun 1736, yakni ketika Euler mencoba untuk mencari solusi dari permasalahan jembatan

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sistem informasi adalah suatu sistem manusia dan mesin yang terpadu untuk menyajikan informasi guna mendukung fungsi operasi, manajemen, dan pengambilan keputusan. Tujuan dari sistem

Lebih terperinci

GRAF. Graph seperti dimaksud diatas, ditulis sebagai G(E,V).

GRAF. Graph seperti dimaksud diatas, ditulis sebagai G(E,V). GRAF GRAF Suatu Graph mengandung 2 himpunan, yaitu : 1. Himpunan V yang elemennya disebut simpul (Vertex atau Point atau Node atau Titik) 2. Himpunan E yang merupakan pasangan tak urut dari simpul. Anggotanya

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. adalah dengan menyatakan objek dinyatakan dengan sebuah titik (vertex),

BAB I PENDAHULUAN. adalah dengan menyatakan objek dinyatakan dengan sebuah titik (vertex), BAB I PENDAHULUAN 1. 1 Latar Belakang Masalah Teori graf merupakan salah satu bidang matematika, yang diperkenalkan pertama kali oleh ahli matematika asal Swiss, Leonardo Euler pada tahun 1736. Teori graf

Lebih terperinci

TEKNIK INFORMATIKA. Teori Dasar Graf

TEKNIK INFORMATIKA. Teori Dasar Graf Teori Graf mulai dikenal pada saat seorang matematikawan bangsa Swiss, bernama Leonhard Euler, berhasil mengungkapkan Misteri Jembatan Konigsberg pada tahun 1736. Di Kota Konigsberg (sekarang bernama Kalilingrad,

Lebih terperinci

Optimasi Jaringan. Masalah Optimasi Jaringan Model Optimasi Jaringan Penyelesaian Optimasi Jaringan dengan Simpleks

Optimasi Jaringan. Masalah Optimasi Jaringan Model Optimasi Jaringan Penyelesaian Optimasi Jaringan dengan Simpleks Optimasi Jaringan Masalah Optimasi Jaringan Model Optimasi Jaringan Penyelesaian Optimasi Jaringan dengan Simpleks Pendahuluan Sebuah model jaringan terdiri dari dua buah element utama, yaitu: Arc, marupakan

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang dan Permasalahan

BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang dan Permasalahan BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang dan Permasalahan Kereta api merupakan salah satu angkutan darat yang banyak diminati masyarakat, hal ini dikarenakan biaya yang relatif murah dan waktu tempuh yang

Lebih terperinci

STUDI OPTIMALISASI JUMLAH PELABUHAN TERBUKA DALAM RANGKA EFISIENSI PEREKONOMIAN NASIONAL

STUDI OPTIMALISASI JUMLAH PELABUHAN TERBUKA DALAM RANGKA EFISIENSI PEREKONOMIAN NASIONAL BAB III METODOLOGI 3.1 POLA PIKIR Proses analisis diawali dari identifikasi pelabuhan yang terbuka bagi perdagangan luar negeri, meliputi aspek legalitas, penerapan ISPS Code dan manajemen pengelolaan

Lebih terperinci

Pencarian Jalur Terpendek dengan Algoritma Dijkstra

Pencarian Jalur Terpendek dengan Algoritma Dijkstra Volume 2 Nomor 2, Oktober 207 e-issn : 24-20 p-issn : 24-044X Pencarian Jalur Terpendek dengan Algoritma Dijkstra Muhammad Khoiruddin Harahap Politeknik Ganesha Medan Jl.Veteran No. 4 Manunggal choir.harahap@yahoo.com

Lebih terperinci

Graf dan Analisa Algoritma. Pertemuan #01 - Dasar-Dasar Teori Graf Universitas Gunadarma 2017

Graf dan Analisa Algoritma. Pertemuan #01 - Dasar-Dasar Teori Graf Universitas Gunadarma 2017 Graf dan Analisa Algoritma Pertemuan #01 - Dasar-Dasar Teori Graf Universitas Gunadarma 2017 Who Am I? Stya Putra Pratama, CHFI, EDRP Pendidikan - Universitas Gunadarma S1-2007 Teknik Informatika S2-2012

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini, akan dibahas landasan teori mengenai teori-teori yang digunakan dan konsep yang mendukung pembahasan, serta penjelasan mengenai metode yang digunakan. 2.1. Jalur Terpendek

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Simulasi Sistem didefinisikan sebagai sekumpulan entitas baik manusia ataupun mesin yang yang saling berinteraksi untuk mencapai tujuan tertentu. Dalam prakteknya,

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI 5 BAB II LANDASAN TEORI.1 Sejarah Graf Menurut catatan sejarah, masalah jembatan KÖnigsberg adalah masalah yang pertama kali menggunakan graf (tahun 1736). Di kota KÖnigsberg (sebelah timur Negara bagian

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Konsep Dasar Graph Sebelum sampai pada pendefenisian masalah lintasan terpendek, terlebih dahulu pada bagian ini akan diuraikan mengenai konsep-konsep dasar dari model graph dan

Lebih terperinci

Dwiprima Elvanny Myori

Dwiprima Elvanny Myori PENGOPTIMALAN JARINGAN LISTRIK DENGAN MINIMUM SPANNING TREE Dwiprima Elvanny Myori Abstract One of mathematics branch that have many application in daily life is graph theory. Graph theory is used to link

Lebih terperinci

Dynamic Programming. Pemrograman Dinamis

Dynamic Programming. Pemrograman Dinamis Pemrograman Dinamis Pemrograman dinamis merupakan suatu teknik analisa kuantitatif untuk membuat tahapan keputusan yang saling berhubungan. Teknik ini menghasilkan prosedur yang sistematis untuk mencari

Lebih terperinci

Penggunaan Perwarnaan Graf dalam Mencari Solusi Sudoku

Penggunaan Perwarnaan Graf dalam Mencari Solusi Sudoku Penggunaan Perwarnaan Graf dalam Mencari Solusi Sudoku Mahdan Ahmad Fauzi Al-Hasan - 13510104 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Graf (Graph) Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) yang dinotasikan dalam bentuk G = {V(G), E(G)}, dimana V(G) adalah himpunan vertex (simpul) yang tidak kosong

Lebih terperinci

BAB II DASAR TEORI PENELITIAN

BAB II DASAR TEORI PENELITIAN BAB II DASAR TEORI PENELITIAN 2.1 Pengangkutan Sampah Pengangkutan sampah adalah kegiatan membawa sampah dari lokasi tempat pembuangan sampah sementara (TPS) atau langsung dari sumber sampah menuju tempat

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Di tengah masyarakat dengan aktivitas yang tinggi, mobilitas menjadi hal yang penting.

BAB I PENDAHULUAN. Di tengah masyarakat dengan aktivitas yang tinggi, mobilitas menjadi hal yang penting. BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Permasalahan Di tengah masyarakat dengan aktivitas yang tinggi, mobilitas menjadi hal yang penting. Namun pada kenyataannya, terdapat banyak hal yang dapat menghambat

Lebih terperinci

Matematik tika Di Disk i r t it 2

Matematik tika Di Disk i r t it 2 Matematika tik Diskrit it 2 Teori Graph Teori Graph 1 Kelahiran Teori Graph Masalah Jembatan Konigsberg g : Mulai dan berakhir pada tempat yang sama, bagaimana caranya untuk melalui setiap jembatan tepat

Lebih terperinci

Graf. Matematika Diskrit. Materi ke-5

Graf. Matematika Diskrit. Materi ke-5 Graf Materi ke-5 Graf Isomorfik Diketahui matriks ketetanggaan (adjacency matrices) dari sebuah graf tidak berarah. Gambarkan dua buah graf yang yang bersesuaian dengan matriks tersebut. 2 0 0 0 0 0 0

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. Siklus kehidupan adalah suatu rangkaian aktivitas secara alami yang dialami oleh

BAB 1 PENDAHULUAN. Siklus kehidupan adalah suatu rangkaian aktivitas secara alami yang dialami oleh BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Siklus kehidupan adalah suatu rangkaian aktivitas secara alami yang dialami oleh individu-individu dalam populasi berkaitan dengan perubahan tahap-tahap dalam kehidupan.

Lebih terperinci

Mata Kuliah Penelitian Operasional II OPERATIONS RESEARCH AN INTRODUCTION SEVENTH EDITION BY HAMDY A. TAHA BAB 6.

Mata Kuliah Penelitian Operasional II OPERATIONS RESEARCH AN INTRODUCTION SEVENTH EDITION BY HAMDY A. TAHA BAB 6. Mata Kuliah Penelitian Operasional II OPERATIONS RESEARCH AN INTRODUCTION SEVENTH EDITION BY HAMDY A. TAHA BAB 6 Analisis Jaringan Dipresentasikan oleh: Herman R. Suwarman, S.Si Pendahuluan- Ilustrasi

Lebih terperinci

Aplikasi Algoritma Prim dalam Penentuan Pohon Merentang Minimum untuk Jaringan Pipa PDAM Kota Tangerang

Aplikasi Algoritma Prim dalam Penentuan Pohon Merentang Minimum untuk Jaringan Pipa PDAM Kota Tangerang Aplikasi Algoritma Prim dalam Penentuan Pohon Merentang Minimum untuk Jaringan Pipa PDAM Kota Tangerang Adam Fadhel Ramadhan/13516054 1 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Graf adalah salah satu metode yang sering digunakan untuk mencari solusi dari permasalahan diskrit dalam dunia nyata. Dalam kehidupan sehari-hari, graf digunakan untuk

Lebih terperinci

Model Arus Jaringan. Rudi Susanto

Model Arus Jaringan. Rudi Susanto Model Arus Jaringan Rudi Susanto Pengertian Jaringan Jaringan adalah suatu susunan garis edar (path) yang terhubung pada berbagai titik, dimana satu atau beberapa barang bergerak dari satu titik ke titik

Lebih terperinci

PENERAPAN TEORI GRAF UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH MINIMUM SPANNING TREE (MST) MENGGUNAKAN ALGORITMA KRUSKAL

PENERAPAN TEORI GRAF UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH MINIMUM SPANNING TREE (MST) MENGGUNAKAN ALGORITMA KRUSKAL PENERAPAN TEORI GRAF UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH MINIMUM SPANNING TREE (MST) MENGGUNAKAN ALGORITMA KRUSKAL Swaditya Rizki Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas

Lebih terperinci

Aplikasi Graf dalam Struktur Molekul Kimia

Aplikasi Graf dalam Struktur Molekul Kimia Aplikasi Graf dalam Struktur Molekul Kimia Megariza 1) NIM: 13507076 1) Jurusan Teknik Informatika ITB, Bandung, email: megariza@students.itb.ac.id Abstract Makalah ini membahas tentang penggunaan graf

Lebih terperinci

ALGORITMA RUTE FUZZY TERPENDEK UNTUK KONEKSI SALURAN TELEPON

ALGORITMA RUTE FUZZY TERPENDEK UNTUK KONEKSI SALURAN TELEPON Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 1 Hal. 93 97 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND ALGORITMA RUTE FUZZY TERPENDEK UNTUK KONEKSI SALURAN TELEPON NELSA ANDRIANA, NARWEN, BUDI RUDIANTO Program

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI II LNSN TEORI Landasan teori dalam penyusunan tugas akhir ini menggunakan beberapa teori pendukung yang akan digunakan untuk menentukan lintasan terpendek pada jarak esa di Kecamatan Rengat arat. 2.1 Graf

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Kotler (1999) adalah serangkaian organisasi yang saling tergantung dan terlibat

BAB II LANDASAN TEORI. Kotler (1999) adalah serangkaian organisasi yang saling tergantung dan terlibat BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Distribusi Distribusi adalah salah satu aspek pemasaran. Pengertian distribusi menurut Kotler (1999) adalah serangkaian organisasi yang saling tergantung dan terlibat dalam proses

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Jasa Jasa (service) merupakan suatu atau serangkaian aktivitas yang tidak berwujud dan yang biasanya, tidak selalu, berhubungan dengan interaksi antara customer (pelanggan) dan

Lebih terperinci

Model Arus Jaringan. Riset Operasi TIP FTP UB Mas ud Effendi

Model Arus Jaringan. Riset Operasi TIP FTP UB Mas ud Effendi Model Arus Jaringan Riset Operasi TIP FTP UB Mas ud Effendi 1 Pokok Bahasan Masalah rute terpendek (The Shortest Route Problem) Masalah rentang pohon minimal (The Minimal Spanning Tree Problem) Masalah

Lebih terperinci

Matematika Diskrit. Rudi Susanto

Matematika Diskrit. Rudi Susanto Matematika Diskrit Rudi Susanto Rasa ingin tahu adalah ibu dari semua ilmu pengetahuan Tak kenal maka tak sayang, tak sayang maka tak cinta Perjalanan satu mil dimulai dari satu langkah Kuliah kita.. Matematika

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Clustering Analysis Clustering analysis merupakan metode pengelompokkan setiap objek ke dalam satu atau lebih dari satu kelompok,sehingga tiap objek yang berada dalam satu kelompok

Lebih terperinci

TARGET BERORIENTASI METODE CABANG DAN BATAS UNTUK OPTIMISASI GLOBAL

TARGET BERORIENTASI METODE CABANG DAN BATAS UNTUK OPTIMISASI GLOBAL TARGET BERORIENTASI METODE CABANG DAN BATAS UNTUK OPTIMISASI GLOBAL Mochamad Suyudi 1, Sisilia Sylviani 2 1,2 Departmen Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran moch.suyudi@gmail.com Abstrak: Fokus utama

Lebih terperinci

GRAF BERARAH Definisi, Matriks, dan Relasi

GRAF BERARAH Definisi, Matriks, dan Relasi GRAF BERARAH Definisi, Matriks, dan Relasi OLEH: I GUSTI AYU WAHYUNDARI (E1R011018) IRWANSYAH (E1R011020) ANISA ULFA (E1R011005) EKA KURNIAWAN (E1R010039) MADE DEWI ARINI (E1R010051) Prodi Matematika Jurusan

Lebih terperinci

Aplikasi Teori Graf dalam Penggunaan Cairan Pendingin pada Proses Manufaktur

Aplikasi Teori Graf dalam Penggunaan Cairan Pendingin pada Proses Manufaktur Aplikasi Teori Graf dalam Penggunaan Cairan Pendingin pada Proses Manufaktur Steffi Indrayani / 13514063 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung,

Lebih terperinci

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 21 2 TINJUN PUSTK 2.1. lgoritma lgoritma merupakan suatu langkah langkah untuk menyelesaikan masalah yang disusun secara sistematis, tanpa memperhatikan bentuk yang akan digunakan sebagai implementasinya,

Lebih terperinci

G r a f. Pendahuluan. Oleh: Panca Mudjirahardjo. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut.

G r a f. Pendahuluan. Oleh: Panca Mudjirahardjo. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. G r a f Oleh: Panca Mudjirahardjo Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. 1 Pendahuluan Jaringan jalan raya di propinsi Jawa Tengah

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E), ditulis dengan notasi G = (V, E). Dalam hal ini, V merupakan himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices atau

Lebih terperinci

MENENTUKAN LINTASAN TERPENDEK SUATU GRAF BERBOBOT DENGAN PENDEKATAN PEMROGRAMAN DINAMIS. Oleh Novia Suhraeni 1, Asrul Sani 2, Mukhsar 3 ABSTRACT

MENENTUKAN LINTASAN TERPENDEK SUATU GRAF BERBOBOT DENGAN PENDEKATAN PEMROGRAMAN DINAMIS. Oleh Novia Suhraeni 1, Asrul Sani 2, Mukhsar 3 ABSTRACT MENENTUKAN LINTASAN TERPENDEK SUATU GRAF BERBOBOT DENGAN PENDEKATAN PEMROGRAMAN DINAMIS Oleh Novia Suhraeni 1, Asrul Sani 2, Mukhsar 3 ABSTRACT One of graph application on whole life is to establish the

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. a) Purwadhi (1994) dalam Husein (2006) menyatakan: perangkat keras (hardware), perangkat lunak (software), dan data, serta

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. a) Purwadhi (1994) dalam Husein (2006) menyatakan: perangkat keras (hardware), perangkat lunak (software), dan data, serta BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Informasi Geografis (SIG) 2.1.1 Pengertian Sistem Informasi Geografis Ada beberapa pengertian dari sistem informasi geografis, diantaranya yaitu: a) Purwadhi (1994) dalam

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Ide Leonard Euler di tahun 1736 untuk menyelesaikan masalah jembatan

II. LANDASAN TEORI. Ide Leonard Euler di tahun 1736 untuk menyelesaikan masalah jembatan 4 II. LANDASAN TEORI Ide Leonard Euler di tahun 1736 untuk menyelesaikan masalah jembatan Konisberg yang kemudian menghasilkan konsep graf Eulerian merupakan awal dari lahirnya teori graf. Euler mengilustrasikan

Lebih terperinci

Bab 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah

Bab 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Bab 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Teori graph merupakan topik yang banyak mendapatkan perhatian saat ini, karena model-model yang ada pada teori graph berguna untuk aplikasi yang luas. Walaupun

Lebih terperinci

APLIKASI ALGORITMA SEQUENTIAL COLOR UNTUK PEWARNAAN PETA WILAYAH KABUPATEN KUANTAN SINGINGI PROVINSI RIAU TUGAS AKHIR

APLIKASI ALGORITMA SEQUENTIAL COLOR UNTUK PEWARNAAN PETA WILAYAH KABUPATEN KUANTAN SINGINGI PROVINSI RIAU TUGAS AKHIR APLIKASI ALGORITMA SEQUENTIAL COLOR UNTUK PEWARNAAN PETA WILAYAH KABUPATEN KUANTAN SINGINGI PROVINSI RIAU TUGAS AKHIR Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada Jurusan

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. Universitas Sumatera Utara

BAB 1 PENDAHULUAN. Universitas Sumatera Utara BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Semakin dengan berkembangnya teknologi fotografi di Indonesia, khususnya di Kota Medan, fotografi tidak hanya sebagai sarana atau alat untuk mengabadikan suatu kejadian

Lebih terperinci

Aplikasi dan Algoritma Penyelesaian Optimal dari Persoalan Tukang Pos Cina

Aplikasi dan Algoritma Penyelesaian Optimal dari Persoalan Tukang Pos Cina Aplikasi dan Algoritma Penyelesaian Optimal dari Persoalan Tukang Pos Cina Adhiguna Surya / 13509077 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung Jl.

Lebih terperinci

Studi Algoritma Optimasi dalam Graf Berbobot

Studi Algoritma Optimasi dalam Graf Berbobot Studi Algoritma Optimasi dalam Graf Berbobot Vandy Putrandika NIM : 13505001 Program Studi Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung Jl. Ganesha 10, Bandung E-mail : if15001@students.if.itb.ac.id

Lebih terperinci

TEORI DASAR GRAF 1. Teori Graf

TEORI DASAR GRAF 1. Teori Graf TEORI SR GRF 1 Obyektif : 1. Mengerti apa yang dimaksud dengan Graf 2. Memahami operasi yang dilakukan pada Graf 3. Mengerti derajat dan keterhubungan Graf Teori Graf Teori Graf mulai dikenal pada saat

Lebih terperinci

Matematika Diskret (Graf II) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.

Matematika Diskret (Graf II) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. Matematika Diskret (Graf II) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. Beberapa Aplikasi Graf Lintasan terpendek (shortest path) Persoalan pedagang keliling (travelling salesperson problem) Persoalan

Lebih terperinci

Penggunaan Algoritma Dijkstra dalam Penentuan Lintasan Terpendek Graf

Penggunaan Algoritma Dijkstra dalam Penentuan Lintasan Terpendek Graf Penggunaan Algoritma Dijkstra dalam Penentuan Lintasan Terpendek Graf Rahadian Dimas Prayudha - 13509009 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung,

Lebih terperinci

OPTIMASI RUTE PERJALANAN AMBULANCE MENGGUNAKAN ALGORITMA A-STAR. Marhaendro Bayu Setyawan

OPTIMASI RUTE PERJALANAN AMBULANCE MENGGUNAKAN ALGORITMA A-STAR. Marhaendro Bayu Setyawan OPTIMASI RUTE PERJALANAN AMBULANCE MENGGUNAKAN ALGORITMA A-STAR Marhaendro Bayu Setyawan 2206 100 021 AGENDA PEMBUKAAN DASAR TEORI Latar belakang Permasalahan Batasan masalah Tujuan Permasalahan Lintasan

Lebih terperinci

MODUL 4 Materi Kuliah New_S1

MODUL 4 Materi Kuliah New_S1 MODUL Materi Kuliah New_S KULIAH, TEOREMA : Jika dari vertex ke vertex dari graph G dengan n vertex terdapat suatu lintasan, maka ada lintasan yang panjangnya tidak lebih dari n. Bukti : Misalnya p = (,

Lebih terperinci

APLIKASI GRAF DALAM PEMBUATAN JALUR ANGKUTAN KOTA

APLIKASI GRAF DALAM PEMBUATAN JALUR ANGKUTAN KOTA APLIKASI GRAF DALAM PEMBUATAN JALUR ANGKUTAN KOTA Kenny Enrich NIM : 13506111 Program Studi Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung Jl. Ganesha 10, Bandung E-mail : if16111@students.if.itb.ac.id

Lebih terperinci

Graf. Bekerjasama dengan. Rinaldi Munir

Graf. Bekerjasama dengan. Rinaldi Munir Graf Bekerjasama dengan Rinaldi Munir Beberapa Aplikasi Graf Lintasan terpendek (shortest path) (akan dibahas pada kuliah IF3051) Persoalan pedagang keliling (travelling salesperson problem) Persoalan

Lebih terperinci

WEBGIS PENCARIAN RUTE TERPENDEK MENGGUNAKAN ALGORITM A STAR (A*) (Studi Kasus: Kota Bontang)

WEBGIS PENCARIAN RUTE TERPENDEK MENGGUNAKAN ALGORITM A STAR (A*) (Studi Kasus: Kota Bontang) Jurnal Informatika Mulawarman Vol. 8 No. 2 Edisi Juli 2013 50 WEBGIS PENCARIAN RUTE TERPENDEK MENGGUNAKAN ALGORITM A STAR (A*) (Studi Kasus: Kota Bontang) 1) Yuliani, 2) Fahrul Agus 1,2) Program Studi

Lebih terperinci