7. Counting Trees. Oleh : Ade Nurhopipah. Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J Graph and Applications. Springer: UK.
|
|
- Benny Sutedja
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 7. Counting Trees Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Menghitung Labelled Tree 2. Menghitung Binary Tree 3. Menghitung Chemical Tree Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J Graph and Applications. Springer: UK. Pada bagian ini kita akan menghitung banyaknya tree pada graph dengan sifat tertentu. Dua masalah berkaitan hal ini diberikan sebagai berikut. Berapa banyak sistem kanal irigasi yang menghubungkan delapan lokasi dengan tujuh kanal? Berapa banyak molekul yang memiliki formula C 6 H 14? Kita dapat menyelesaikan masalah ini dengan menentukan banyaknya tree yang memiliki sifat tersebut. Kasus pertama merupakan masalah menghitung banyaknya tree berlabel dengan delapan vertex, dan kasus kedua merupakan menghitung banyaknya tree tidak berlabel dengan enam vertex yang masing-masing vertex memiliki derajat empat atau kurang. Menghitung Tree Berlabel Menghitung graph berlabel lebih mudah daripada menghitung graph analognya yang tidak berlabel. Tabel 7.1 menunjukan jumlah tree berlabel dan tree tidak berlabel dengan n 9 vertex. Pada kasus tree berlabel peningkatan jumlah n mengakibatkan meningkatnya jumlah tree berlabel dengan sangat cepat yang dikenal dengan combinatorial explosion. Gambar 7.1 menunjukan tree berlabel yang dapat dibuat dengan jumlah vertex 1, 2 dan 3. Tabel 7.1 Jumlah tree berlabel dan tree tidak berlabel dengan vertex n 9 Gambar 7.1 Tree berlabel dengan n=1, n=2, n=3 1
2 Latihan 7.1 Gambarlah enam belas tree berlabel dengan empat buah vertex. Petunjuk : Gambar dua buah tree tak berlabel dengan empat vertex (K 1,3 dan P 4 ) dan beri label dengan semua cara yang mungkin. Dengan memperhatikan Tabel 7.1, kita dapat menebak suatu rumus untuk jumlah tree berlabel dengan n titik. Ada tepat n n-2 tree berlabel yang dapat dibuat dengan n titik. Rumus ini dikenal dengan teorema Cayley. Untuk membuktikannya, kita dapat membangun korespondensi satu-satu antara tree berlabel dengan n vertex dan barisan bilangan sebanyak n-2 yang disebut barisan Prὓper. Konstruksi dari krespondensi satu-satu antara tree berlabel dan barisan Prὓper ini terdiri dari dua bagian. Pada konstruksi pertama kita membangun barisan Prὓper jika diketahui sebuah tree, dan pada konstruksi kedua kita membangun sebuah tree jika diketahui barisan Prὓper dari tree tersebut. Pada bagian pertama, kita diberikan tree berlabel dengan n vertex, lalu kita membangun barisan Prὓper (a 1,a 2,a 3, a n-2 ) di mana setiap a i adalah salah satu dari bilangan integer 1,2,3,, n (pengulangan diperbolehkan). Konstruksi ini disajikan sebagai berikut. Konstruksi A : Membangun barisan Prὓfer dari tree berlabel yang diberikan Temukan vertex dengan derajat 1 dan pilih vertex dengan label terkecil. Perhatikan vertex yang bertetangga dengan vertex yang dipilih dan tempatkan label vertex tetangga tersebut pada barisan Prὓfer. Hilangkan vertex yang dipilih pada langkah 1 beserta edge yang insiden dengannya, maka terciptalah sebuah tree yang lebih kecil. Ulang langkah 1-3 untuk sisa tree yang ada, teruskan sampai hanya ada dua vertex tersisa lalu berhentilah. Barisan Prὓper yang diinginkan telah terbangun. Contoh konstruksi A Diberikan sebuah tree berlabel sebagai berikut. 2
3 Tree tersebut memiliki 7 vertex, sehingga barisan Prὓper-nya memiliki lima buah angka. Bagian pertama Vertex dengan derajat 1 adalah titik 3,2,4 dan 7. Yang berlabel paling kecil adalah vertex 2. : Vertex yang bertetangga dengan vertex 2 adalah vertex 6 sehingga angka pertama pada barisan Prὓper adalah 6. (6,?,?,?,?) Hilangkan vertex 2 dan edge 26 sehingga tersisa tree berikut. Bagian kedua Vertex dengan derajat 1 adalah titik 3,4 dan 7. Yang berlabel paling kecil adalah vertex 3. : Vertex yang bertetangga dengan vertex 3 adalah vertex 6 sehingga angka kedua pada barisan Prὓper adalah 6. (6,6,?,?,?) Hilangkan vertex 3 dan edge 36 sehingga tersisa tree berikut. Bagian ketiga Vertex dengan derajat 1 adalah titik 4,6 dan 7. Yang berlabel paling kecil adalah vertex 4. : Vertex yang bertetangga dengan vertex 4 adalah vertex 5 sehingga angka ketiga pada barisan Prὓper adalah 5. (6,6,5,?,?) Hilangkan vertex 4 dan edge 45 sehingga tersisa tree berikut. Bagian keempat Vertex dengan derajat 1 adalah titik 6 dan 7. Yang berlabel paling kecil adalah vertex 6. : Vertex yang bertetangga dengan vertex 6 adalah vertex 5 sehingga angka keempat pada barisan Prὓper adalah 5. (6,6,5,5,?) Hilangkan vertex 6 dan edge 65 sehingga tersisa tree berikut. 3
4 Bagian kelima Vertex dengan derajat 1 adalah titik 5 dan 7. Yang berlabel paling kecil adalah vertex 5. Vertex yang bertetangga dengan vertex 5 adalah vertex 1 sehingga angka terakhir pada barisan Prὓper adalah 1. (6, 6,5,5,1) Hilangkan vertex 5 dan edge 51 sehingga tersisa tree berikut. Kita telah mendapatkan dua vertex sehingga proses selesai dan didapatkan barisan Prὓfer yaitu (6,6,5,5,1) Latihan 7.2 Temukan barisan Prὓfer untuk setiap tree berlabel berikut. Pada bagian kedua, kita diberikan barisan Prὓper (a 1,a 2,a 3, a n-2 ) di mana setiap a i adalah salah satu dari bilangan integer 1,2,3,, n (pengulangan diperbolehkan), lalu kita membangun sebuah tree berlabel dengan n vertex. Konstruksi ini disajikan sebagai berikut. Konstruksi B : Membangun tree berlabel dari barisan Prὓfer yang diberikan Gambar n vertex, beri label dari 1 sampai n. Daftar suatu bilangan dari 1 sampai n Temukan dua buah angka, angka pertama merupakan angka terkecil yang ada dalam daftar namun tidak ada pada barisan Prὓfer. Angka kedua merupakan angka pertama yang ada pada barisan Prὓfer. Tambahkan edge yang menghubungkan vertex yang memiliki label kedua angka yang dipilih. Hilangkan angka pertama yang ditemukan pada langkah 2 dari daftar, dan hilangkan angka kedua yang ditemukan dari barisan Prὓfer, sehingga tersisa daftar bilangan dan barisan Prὓfer yang lebih sedikit. Ulangi langkah 2-3 untuk sisa daftar dan barisan Prὓfer, teruskan sampai hanya ada dua angka yang tersisa dalam daftar. Hubungkan kedua vertex dengan label angka pada daftar tersebut dan berhentilah. Tree berlabel yang diinginkan telah terbangun. 4
5 Contoh Konstruksi B Diberikan barisan Prὓfer (6,6,5,5,1). Barisan ini memiliki lima angka, sehingga jumlah vertex pada tree yang akan dibuat adalah tujuh vertex. Tidak ada Edge Gambar tujuh vertex, labeli dengan angka 1 sampai 7. Daftar bilangan (1,2,3,4,5,6,7) dan barisan Prὓfer (6,6,5,5,1) Edge pertama Angka terkecil pada daftar tapi tidak ada pada barisan Prὓfer adalah 2, dan angka pertama pada barisan Prὓfer adalah 6. Sehingga kita menghubungkan vertex 2 dan vertex 6. Hilangkan angka 2 dari daftar dan hilangkan angka 6 dari barisan Prὓfer sehingga tersisa daftar (1,3,4,5,6,7) dan barisan Prὓfer(6,5,5,1) Edge kedua Angka terkecil pada daftar tapi tidak ada pada barisan Prὓfer adalah 3, dan angka pertama pada barisan Prὓfer adalah 6. Sehingga kita menghubungkan vertex 3 dan vertex 6. Hilangkan angka 3 dari daftar dan hilangkan angka 6 dari barisan Prὓfer sehingga tersisa daftar (1,4,5,6,7) dan barisan Prὓfer(5,5,1) Edge ketiga Angka terkecil pada daftar tapi tidak ada pada barisan Prὓfer adalah 4, dan angka pertama pada barisan Prὓfer adalah 5. Sehingga kita menghubungkan vertex 4 dan vertex 5. Hilangkan angka 4 dari daftar dan hilangkan angka 5 dari barisan Prὓfer sehingga tersisa daftar (1,5,6,7) dan barisan Prὓfer(5,1) Edge keempat Angka terkecil pada daftar tapi tidak ada pada barisan Prὓfer adalah 6, dan angka pertama pada barisan Prὓfer adalah 5. Sehingga kita menghubungkan vertex 6 dan vertex 5. Hilangkan angka 6 dari daftar dan hilangkan angka 5 dari barisan Prὓfer sehingga tersisa daftar (1, 5,7) dan barisan Prὓfer(1) 5
6 Edge kelima Angka terkecil pada daftar tapi tidak ada pada barisan Prὓfer adalah 5, dan angka pertama pada barisan Prὓfer adalah 1. Sehingga kita menghubungkan vertex 5 dan vertex 1. Hilangkan angka 1 dari daftar dan hilangkan angka 5 dari barisan Prὓfer sehingga tersisa daftar ( 1,7) dan barisan Prὓfer() Edge keenam Pada daftar tersisa dua angka yaitu 1 dan 7, sehingga kita menghubungkan vertex 1 dengan vertex 7. Proses selesai dan kita memperoleh tree berlabel yang diminta. Jika kita menggambar ulang graph yang diperoleh tanpa ada edge yang berpotongan, kita akan mendapatkan tree berikut. Latihan 7.3 Temukan tree berlabel yang berkorespondensi dengan barisan Prὓfer berikut a. (2,1,1,3,5,5) b. (1,1,4,4,4) Catat bahwa barisan Prὓfer yang muncul dari tree berlabel pada contoh konstruksi A, memberikan hasil tree berlabel yang sama pada contoh konstruksi B. Hal ini terjadi secara umum. Jika kita memiliki tree berlabel, lalu kita mencari barisan Prὓfer dari tree tersebut, kemudian jika kita membangun suatu tree dari barisan Prὓfer yang telah didapatkan, maka kita akan membangun suatu tree berlabel yang sama dengan tree yang diberikan di awal. Dua konstruksi tersebut memberikan kita korespondensi satu-satu yang dibutuhkan antara tree berlabel dengan barisan Prὓfer. Korespondensi satu-satu ini dapat dipakai untuk membuktikan teorema Cayley berikut. Teorema 7.1 : Teorema Cayley Jumlah dari tree berlabel dengan n vertex adalah n n-2 6
7 Bukti Kita mengasumsikan n 3, karena hasil untuk n=1 dan n=2 sudah jelas. Kita membangun korespondensi satu-satu antara himpunan tree berlabel dengan n vertex dan himpunan barisan Prὓfer dengan bentuk (a 1,a 2,a 3,,a n-2 ), di mana setiap a i adalah bilangan integer 1,2,3,, n (pengulangan diperbolehkan). Karena ada tepat n kemungkinan nilai untuk setiap bilangan integer ai, maka jumlah total dari barisan Prὓfer adalah : n x n x n = n n-2 (n-2 kali) Sehingga dengan korespondensi satu-satu, antara barisan Prὓfer dengan tree yang dapat dibangun maka, jumlah tree berlabel dengan n vertex juga memiliki total n n-2. Latihan Bangunlah korespondensi satu-satu antara enam belas tree berlabel dengan empat vertex dan enam belas barisan Prὓfer-nya 2. Berapa banyak sitem kanal irigasi yang menghubungkan delapan lokasi dengan tujuh kanal? Catatan sejarah Pernyataan paling awal tentang teorema Cayley muncul pada artikel A theorem on trees, pada tahun 1889, walaupun hasil yang berkaitan pernah diterangkan sebelumnya. Namun pembuktian Cayley dianggap belum memuaskan, karena ia hanya mendiskusikannya dengan kasus n=6 dan argumennya tidak mudah digeneralisasikan untuk nilai n yang lebih besar. Sejak itu, beberapa pembuktian muncul. Pembuktian Prufer pada tahun 1918 dinilai sebagai pembuktian terbaik. Menghitung Binary Tree Pada bagian ini kita akan menghitung tree tak berlabel dengan menyajikan sebuah persamaan matematika untuk jumlah tree berdasarkan jumlah vertex yang diberikan dengan bantuan persamaan matematika untuk jumlah tree berdasarkan jumlah vertex lebih kecil. Persamaan ini disebut dengan hubungan recurrent. Kebanyakan masalah dengan jenis ini adalah masalah yang sangat kompleks untuk disajikan, namun pembahasan berikut tentang binary tree mengilustrasikan beberapa teknik yang dilibatkan. Definisi 7.1 Binary tree adalah tree berakar (rooted tree) di mana jumlah edge yang turun dari vertex-nya paling banyak 2, dan cabang bagian kiri dengan cabang bagian kanan ditetapkan sebagai cabang yang berbeda. 7
8 Gambar 7.2 menunjukan binarry tree dengan paling banyak tiga vertex (termasuk root). Root digambarkan dengan segiempat kecil. Gambar 7.2 Binary Tree dengan n 3 Tree yang memiliki cabang ke kanan dan cabang ke kiri merupakan binary tree yang berbeda. Sehingga ada lima binary tree yang diperoleh jika kita memiliki tiga vertex. Sedangkan pada rooted tree, secara umum hanya ada dua rooted tree yang diperoleh jika kita memiliki iga vertex seperti ditunjukan pada Gambar 7.3. Gambar 7.3 Rooted Tree dengan n=3 Latihan 7.5 Gambarlah empat belas binary tree dengan empat vertex. Selanjutnya muncul pertanyaan, berapa banyak binary tree jika kita diberikan n jumlah vertex tertentu? Misalnya u n adalah notasi untuk jumlah binary tree dengan n vertex. Maka kita memperoleh nilai u n sebagai berikut. u 1 = 1, u 2 =2, u 3 =5 dan u 4 =14. Untuk menemukan nilai u n, secara umum kita membedakan binary tree sebagai berikut. 1. Trre yang memiliki cabang dari root ke sebelah kiri 2. Tree yang memiliki cabang dari root ke sebelah kanan 3. Tree yang memiliki cabang ke sebelah kiri dan ke sebelah kanan. Sebagai contoh untuk n=3, terdapat dua binary tree yang memilliki edge ke sebelah kiri dari root, dua binary tree yang memilliki edge ke sebelah kanan dari root, dan satu binary tree yang memiliki edge ke sebelah kiri dan ke sebelah kanan root. Misalnya a n dinotasikan dengan jumlah binary tree dengan n vertex yang memiliki root edge ke kiri, dan b n dinotasikan dengan jumlah binary tree yang memilki root edge ke kanan, dan c n dinotasikan dengan jumlah binary tree yang memiliki keduanya, maka kita mendapatkan pola sebagai berikut. 8
9 Untuk binary tree dengan 1 vertex a 1 = 0, b 1 =0, c 1 =0, u 1 =1 Untuk binary tree dengan 2 vertex a 2 =1, b 2 =1, c 2 =0, u 2 =2 Untuk binary tree dengan 3 vertex a 3 = 2, b 3 =2, c 3 =1, u 3 =5 Untuk binary tree dengan 4 vertex a 4 = 5, b 4 =5, c 4 =4, u 4 =14 Sehingga, untuk n 2 kita mendapatkan u n = a n +b n +c n Perhatikan a n dan b n. Binary tree dengan n vertex dan sebuah root memiliki satu dari bentuk sebagai berikut. Binary tree ini dapat diperoleh dari binary tree dengan n-1 vertex yang berakar di Q, dan menghubunkannya dengan root R dengan root edge RQ seperti ditunjukan pada Gambar 7.4. Gambar 7.4 Konstruksi binary tree untuk memperoleh nilai a n dan b n Sehingga jumlah binary tree yang berakar di Q sama dengan u n-1 atau, a n = u n-1, b n = u n-1, untuk n 2 Selanjutnya perhatikan nilai c n. Setiap binary tree dengan n vertex dan dua root edge pada Gambar 7.5, dapat diperoleh dengan mengambil binary tree dengan k vertex yang berakar di P, dan binary tree dengan (n-1)-k vertex yang berakar di Q dan menghubungkan keduanya dengan root R dengan root edge RP dan RQ. Gambar 7.5 Konstruksi binary tree untuk memperoleh nilai c n 9
10 Karena u k sebagai binary tree yang berakar di P dan u n-k-1 sebagai binary tree yang berakar di Q adalah U n-1, dan k dapat berupa angka 1,2,3,, n-2, maka kita dapat kita mendapat kesempulan untuk n 3 sebagai berikut. c n = u 1 u n-2 + u 2 u n-3 + u 3 u n u n-2 u 1 Jika kita melakukan subtitusi nilai a n, b n dan c n pada persamaan u n maka kita akan memperoleh hasil sebagai berikut. u n = 2u n-1 + u 1 u n-2 + u 2 u n-3 + u 3 u n u n-2 u 1 Dengan menggunakan hubungan reccurent dengan n=5,6,, kita dapat menemukan nilai u 5, u 6, dan seterusnya. Sebagai contoh, u 5 = 2u 4 + u 1 u 3 + u 2 u 2 + u 3 u 1 Latihan 7.6 Gunakan hubungan reccurent yang telah dipelajari untuk menentukan jumlah binary tree dengan enam titik. Menghitung Chemical Tree Kita telah mengetahui bahwa graph dapat merepresentasikan sebuah sebuah molekul, di mana vertex mewakili atom dan edge mewakili ikatan yang menghubungkan atom. Sebagai contoh ethanol dengan rumus fungsi C 2 H 5 OH dapat direpresentasikan oleh Gambar 7.6. Gambar 7.6 Tree untuk molekul ethanol (C 2 H 5 OH) Graph pada Gambar 7.6 tersebut, derajat dari setiap vertex secara sederhana dapat merepresentasikan valensi sebuah atom. Vertex atom karbon memiliki derajat 4, vertex oksigen memiliki derajat 2, dan vertex hidrogen memiliki derajat 1. Tipe graph tersebut dapat dipakai untuk merepresentasikan susunan atom dalam molekul, graph tersebut juga dapat menjelaskan adanya isomer (molekul dengan rumus yang sama namun memiliki sifat yang berbeda). Sebagai contoh, molekul n-butana dan 2-methyl propana (secara formal disebut butana dan isobutana) keduanya memiliki rumus C 4 H 10, namun atom di dalamnya disusun secara berbeda seperti ditunjukan pada Gambar
11 Gambar 7.6 Tree untuk molekul n-butana dan molekul 2-methyl propana Selanjutnya pertanyaan yang muncul adalah, apakan ada molekul lain dengan formula C 4 H 10? Pertanyaan ini mengarah langsung pada masalah jumlah isomer (penentuan jumlah dari molekul non-isomer dengan rumus yang diberikan). Masalah yang paling terkenal adalah menghitung jumlah alkana (paraffin) C n H 2n+2. Untuk nilai n yang kecil, kita dapat mengkonstruksi semua molekul tersebut seperti ditunjukan pada Tabel 7.2. Namun jika nilai n bertambah, masalahnya akan menjadi lebih rumit. Masalah perhitungan jumlah alkana adalah masalah perhitungan tree. Kita dapat mensederhanakan masalah ini dengan menghilangkan semua atom hidrogen dan menyisakan graph karbon yang tidak isomorfik seperti ditunjukan pada Gambar 7.7. Graph karbon pada Gambar 7.8 adalah graph untuk n 5. Gambar 7.7 Membentuk graph karbon Gambar 7.8 Graph karbon untuk n 5 11
12 Tabel 7.3 Molekul Alkana C n H 2n+2 untuk n 5 12
13 Setiap graph karbon memiliki struktur seperti tree dengan setiap vertex memiliki derajat titik 4 atau kurang. Sebaliknya dari suatu tree yang memiliki derajat vertex empat atau kurang kita juga dapat membuat alkana dengan menambahkan atom hidrogen untuk menjadikan atom korbon memiliki derajat sampai 4 seperti pada Gambar 7.9 Gambar 7.9 Menggambar suatu molekul dari graph karbon yang diketahui Latihan Gambarlah graph karbon untuk molekul berikut. 2. Gambarlah molekul dengan graph karbon berikut. 3. Tentukan jumlah vertex dan edge dalam graph pada molekul dengan rumus C 6 H 14. Dengan menggunakan daftar tree tidak berlabel dengan enam vertex, kita dapat menemukan semua alkana dengan rumus C 6 H 14. Terdapat enam tree sepeti ditunjukan pada Gambar 7.10 berikut. Gambar 7.10 Enam buah tree untuk alkana C 6 H 14 13
14 Lima tree pertama adalah graph karbon alkana yaitu : hexana, 2-methyl pentane, 2-methyl pentana, 2-3 dimethyl butana, dan 2-2 dimethyl butana. Tree keenam tidak dapat menjadi graph karbon karena memiliki derajat 5. Latihan 7.8 Tentukan jumlah vertex dan edge pada graph dari semua alkana dengan rumus C n H 2n+2. Simpulkan bahwa graph tersebut merupakan tree. Masalah umum dari menentukan jumlah alkana dengan rumus C n H 2n+2 telah diselesaikan pada tahun 1870 oleh Arthur Cayley. Dalam menguraikan metode ini, kita diperkenalkan konsep pusat tree. Pada tree dengan bentuk simetris, kita dengan mudah dapat menentukan di mana pusatnya, misalnya tree pada Gambar Namun bagaimanakah kita dapat menentukan pusat tree dari tree yang tidak beraturan? Gambar 7.11 Pusat pada sebuah Tree Untuk menjawab pertanyaan ini, kita ambil sebuah tree lalu kita hapus semua vertex yang memiliki derajat 1 secara bersama-sama dengan edge yang insiden dengannya. Lalu kita mengulangi proses tersebut sampai kita memperoleh pusat berupa sebuah vertex yang dinamakan dengan center atau dua vertex bertetangga yang disebut bicenter. Suatu tree dengan sebuah pusat disebut central tree dan tree dengan dua pusat disebut bicentral tree. Setiap tree merupakan satu dari jenis central tree atau bicentral tree, tapi tidak bisa menjadi keduanya. Sebagai contoh pada Gambar 7.12 menunjukan central tree dengan centre e dan Gambar 7.13 menunjukan tree dengan bicentral cd. Gambar 7.12 Menemukan central e dari sebuah tree 14
15 Gambar 7.13 Menemukan bicentral cd dari sebuah tree Latihan 7.9 Klasifikasikan setiap tree dengan lima dan enam vertex sebagai central atau bicentral tree, dan posisikan center atau bicenter pada setiap kasus. Pendekatan Cayley terhadap masalah menemukan jumlah alkana adalah dengan memperhatikan setiap molekul seperti sebuah tree dengan kemungkinan sebuah center (suatu vertex karbon dengan derajat 4) atau bicenter( dua vertex yang dihubungkan satu edge). Dengan menghapus center atau bicenter, akan dihasilkan jumlah tree yang lebih sedikit, sehingga diperoleh hubungan reccurent yang kompleks yang secara berurutan memberikan jumlah alkana dengan formula C n H 2n+2. Tabel 7.3 menunjukan jumlah alkana yang berbeda dari molekul C n H 2n+2 dengan n atom karbon, untuk n=1,2,3,,15. Tabel 7.3 Jumlah alkana molekul C n H 2n+2 dengan n 15 15
5. Representasi Matrix
5. Representasi Matrix Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Matrix Ketetanggaan 2. Walk Pada Graph dan Digraph 3. Matrix Insidensi Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph and Applications.
Lebih terperinci1. Pengantar Teori Graph
1. Pengantar Teori Graph Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Graph, Digraph dan Network 2. Klasifikasi Masalah 3. Pencarian Solusi Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph and Applications.
Lebih terperinci12. Pewarnaan dan Dekomposisi Vertex
12. Pewarnaan dan Dekomposisi Vertex Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Pewarnaan Vertex 2. Algoritma Pewarnaan Vertex 3. Vertex Dekomposisi Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph
Lebih terperinci8. Algoritma Greedy. Oleh : Ade Nurhopipah
8. Algoritma Greedy Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Minimum Connector Problem 2. Travelling Salesman Problem Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph and Applications. Springer: UK.
Lebih terperinci2. Terminologi Graph
2. Terminologi Graph Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Graph dan Subgraph 2. Derajat Titik 3. Path dan Cycle 4. Graph Regular dan Graph Bipartit Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph
Lebih terperinci6. Struktur Tree. Pokok Bahasan : Sumber : Oleh : Ade Nurhopipah. 1. Properties of Trees 2. Spanning Trees 3. Rooted Trees
6. Struktur Tree Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Properties of Trees 2. Spanning Trees 3. Rooted Trees Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph and Applications. Springer: UK. Tree
Lebih terperinci9. Algoritma Path. Oleh : Ade Nurhopipah
9. Algoritma Path Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Algoritma Fleury 2. Algoritma Shortest Path 3. Studi Kasus Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph and Applications. Springer: UK.
Lebih terperinci3. Graph Euler dan Graph Hamilton
3. Graph Euler dan Graph Hamilton Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Masalah Exploring dan Travelling 2. Graph Euler 3. Graph Hamilton Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph and Applications.
Lebih terperinci4. Digraph. Oleh : Ade Nurhopipah
4. Digraph Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Digraph dan Subdigraph 2. Derajat Titik Pada Digraph 3. Path dan Cycle Pada Digraph 4. Digraph Euler dan Digraph Hamilton Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson,
Lebih terperinci11. Planaritas. Oleh : Ade Nurhopipah. Gambar 11.1 Masalah Utilitas
11. Planaritas Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Graph Planar 2. Rumus Euler 3. Metode Cycle untuk Test Planaritas 4. Teorema Kuratowski 5. Dualitas Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004.
Lebih terperinci10. Path dan Konektivitas
10. Path dan Konektivitas Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Graph dan Digraph Terhubung 2. Teorema Menger 3. Analog Teorema Manger 4. Studi Kasus Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004.
Lebih terperinciPohon. Modul 4 PENDAHULUAN. alam modul-modul sebelumnya Anda telah mempelajari graph terhubung tanpa sikel, misalnya model graph untuk molekul C 4
Modul 4 Pohon Dr. Nanang Priatna, M.Pd. D PENDAHULUAN alam modul-modul sebelumnya Anda telah mempelajari graph terhubung tanpa sikel, misalnya model graph untuk molekul C 4 H 10, hierarki administrasi
Lebih terperinciTEOREMA CAYLEY DAN PEMBUKTIANNYA
TEOREMA CAYLEY DAN PEMBUKTIANNYA Eddy Djauhari Departemen Matematika Fmipa Universitas Padjadjaran Jalan Raya Bandung-Sumedang km. 21, tlp./fax. : 022-7794696, Jatinangor, 45363 Email : eddy.djauhari@unpad.ac.id
Lebih terperinciTeorema Cayley pada Pohon Berlabel dan Pembuktiannya
Teorema Cayley pada Pohon Berlabel dan Pembuktiannya Fakhri NIM : 13506102 Program Studi Teknik Informatik ITB, Bandung, e-mail : if16102@students.if.itb.ac.id Abstrak Makalah ini membahas tentang teorema
Lebih terperinci- Tree Adalah graph tak berarah yang terhubung dan tidak memuat cycle. Suatu Tree paling sedikit mengandung satu vertex. Contoh :
Kuliah 5, 6 MODUL 3 - Tree Adalah graph tak berarah yang terhubung dan tidak memuat cycle. Suatu Tree paling sedikit mengandung satu vertex. Contoh : Tree dgn vertex (a) Tree dgn vertex (b) Tree dgn 3
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Teori Graf 2.1.1 Defenisi Graf Suatu graf G adalah suatu himpunan berhingga tak kosong dari objek-objek yang disebut verteks (titik/simpul) dengan suatu himpunan yang anggotanya
Lebih terperinciMata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 8
POHON / TREE Dalam dunia informatika, pohon memegang peranan penting bagi seorang programmer untuk menggambarkan hasil karyanya. Bagi seorang user, setiap kali berhadapan dengan monitor untuk menjalankan
Lebih terperinciMinggu ke II. Dua isomer hidrokarbon dengan rumus molekul C 4 H 10 disajikan pada Gambar 2.1. H H H H C C C C H H H H H H H H. Gambar 2.
Minggu ke II Dua isomer hidrokarbon dengan rumus molekul C disajikan pada Gambar.. Gambar. Dalam bahasa teori graf kedua graf ini tidak isomorfik. Dengan perkataan lain bahasa teori graf bagi persoalan
Lebih terperinciPOHON CARI BINER (Binary Search Tree)
POHON CARI BINER (Binary Search Tree) 50 24 70 10 41 61 90 3 12 35 47 55 67 80 99 POHON CARI BINER (Binary Search Tree) Definisi : bila N adalah simpul dari pohon maka nilai semua simpul pada subpohon
Lebih terperinciPohon (Tree) Contoh :
POHON (TREE) Pohon (Tree) didefinisikan sebagai graph terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Sedangkan Hutan (Forest) adalah graph yang tidak mengandung sirkuit. Jadi pohon adalah hutan yang terhubung.
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini.. Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan
Lebih terperinciBAB VII POHON BINAR POHON
BAB VII POHON BINAR POHON Pohon atau tree adalah salah satu bentuk graph terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Karena merupakan graph terhubung, maka pada pohon selalu terdapat path atau jalur yang
Lebih terperinciPertemuan 9 STRUKTUR POHON & KUNJUNGAN POHON BINER
Pertemuan 9 STRUKTUR POHON & KUNJUNGAN POHON BINER DEFINISI POHON (TREE) Pohon (Tree) termasuk struktur non linear yang didefinisikan sebagai data yang terorganisir dari suatu item informasi cabang yang
Lebih terperinciSTRUKTUR POHON (TREE) Pohon atau Tree adalah salah satu bentuk Graph terhubung yang tidak mengandung sirkuit.
Pertemuan 9 STRUKTUR POHON (TREE) ISTILAH-ISTILAH DASAR Pohon atau Tree adalah salah satu bentuk Graph terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Karena merupakan Graph terhubung, maka pada Pohon (Tree)
Lebih terperinciPerluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks
Vol. 8, No.1, 1-11, Juli 2011 Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks Nur Erawati, Azmimy Basis Panrita Abstrak Teorema Cayley-Hamilton menyatakan bahwa setiap matriks bujur sangkar memenuhi persamaan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Graf G adalah suatu struktur (V,E) dengan V(G) = {v 1, v 2, v 3,.., v n } himpunan
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Definisi 2.1 Graf (Deo,1989) Graf G adalah suatu struktur (V,E) dengan V(G) = {v 1, v 2, v 3,.., v n } himpunan tak kosong dengan elemen-elemennya disebut vertex, sedangkan E(G)
Lebih terperinciPENENTUAN SATURATION NUMBER DARI GRAF BENZENOID
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 41 46 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENENTUAN SATURATION NUMBER DARI GRAF BENZENOID DARA RIFKA MAHZURA Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E), ditulis dengan notasi G = (V, E). Dalam hal ini, V merupakan himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices atau
Lebih terperinciSTRUKTUR POHON (TREE) Pohon atau Tree adalah salah satu bentuk Graph terhubung yang tidak mengandung sirkuit.
Pertemuan 9 STRUKTUR POHON (TREE) ISTILAH-ISTILAH DASAR Pohon atau Tree adalah salah satu bentuk Graph terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Karena merupakan Graph terhubung, maka pada Pohon (Tree)
Lebih terperinciDiscrete Mathematics & Its Applications Chapter 10 : Graphs. Fahrul Usman Institut Teknologi Bandung Pengajaran Matematika
Discrete Mathematics & Its Applications Chapter 10 : Graphs Fahrul Usman Institut Teknologi Bandung Pengajaran Matematika 16/12/2015 2 Sub Topik A. Graf dan Model Graf B. Terminologi Dasar Graf dan Jenis
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan. kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini.
6 II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Pada sub bab ini akan diberikan
Lebih terperinciKONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON. Pada bab ini akan dijabarkan teori graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf
II. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON Pada bab ini akan dijabarkan teori graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Pada bagian ini
Lebih terperinciAPLIKASI CAYLEY TREE DALAM MENENTUKAN BANYAK ISOMER SENYAWA ALKANA
APLIKASI CAYLEY TREE DALAM MENENTUKAN BANYAK ISMER SENYAWA ALKANA SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk memenuhi sebagian persyaratan
Lebih terperinciDEKOMPOSISI - -ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF GENERALIZED PETERSEN
Jurnal LOG!K@, Jilid 6, No. 2, 2016, Hal. 84-95 ISSN 1978 8568 DEKOMPOSISI - -ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF GENERALIZED PETERSEN M. Irvan Septiar Musti, Nur Inayah, dan Irma Fauziah Program Studi Matematika,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. himpunan bagian bilangan cacah yang disebut label. Pertama kali diperkenalkan
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Objek kajiannya berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan bagian bilangan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan definisi dan teorema yang berhubungan dengan
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan definisi dan teorema yang berhubungan dengan penelitian yang dilakukan. 2.1. Konsep Dasar Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan terurut
Lebih terperinciPENGETAHUAN DASAR TEORI GRAF
PENGETAHUAN DASAR TEORI GRAF 1 Sejarah Singkat dan Beberapa Pengertian Dasar Teori Graf Teori graf lahir pada tahun 1736 melalui makalah tulisan Leonard Euler seorang ahli matematika dari Swiss. Euler
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan teori dalam penelitian ini. Konsep dasar tersebut berkaitan dengan definisi graf,
Lebih terperinciPemrograman Algoritma Dan Struktur Data
MODUL PERKULIAHAN Modul ke: 14Fakultas Agus FASILKOM Pemrograman Algoritma Dan Struktur Data ADT BINARY TREE Hamdi.S.Kom,MMSI Program Studi Teknik Informatika ISTILAH-ISTILAH DASAR Pohon atau Tree adalah
Lebih terperinciPenerapan Pewarnaan Titik pada Graf dalam Penyusunan Lokasi Duduk Menggunakan Algoritma Greedy Berbantuan Microsoft Visual Basic 6.
Penerapan Pewarnaan Titik pada Graf dalam Penyusunan Lokasi Duduk Menggunakan Algoritma Greedy Berbantuan Microsoft Visual Basic.0 Halimah Turosdiah #1, Armiati #, Meira Parma Dewi # # Mathematic Department
Lebih terperinciTermilogi Pada Pohon Berakar 10 Pohon Berakar Terurut
KATA PENGANTAR Puji syukur penyusun panjatkan ke hadirat Allah Subhanahu wata?ala, karena berkat rahmat-nya kami bisa menyelesaikan makalah yang berjudul Catatan Seorang Kuli Panggul. Makalah ini diajukan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dengan V adalah himpunan yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang anggotanya
Lebih terperinciPewarnaan Total Pada Graf Outerplanar
JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 1 Pewarnaan Total Pada Graf Outerplanar Prihasto.B Sumarno Jurusan Matematika, Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dalam teori graf dan pelabelan graf yang akan digunakan pada bab selanjutnya. 2.1 Definisi dan Istilah Dalam Teori Graf
Lebih terperinciSTRUKTUR POHON & KUNJUNGAN POHON BINER
STRUKTUR POHON & KUNJUNGAN POHON BINER Pohon (Tree) termasuk struktur non linear yang didefinisikan sebagai data yang terorganisir dari suatu item informasi cabang yang saling terkait Istilah istilah Dalam
Lebih terperinciBILANGAN AJAIB MAKSIMUM DAN MINIMUM PADA GRAF SIKLUS GANJIL
Jurnal Matematika UNAND Vol. No. 3 Hal. 150 156 ISSN : 303 910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND BILANGAN AJAIB MAKSIMUM DAN MINIMUM PADA GRAF SIKLUS GANJIL ANNISAH ISKANDAR Program Studi Matematika, Fakultas
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Teori graf merupakan salah satu kajian matematika yang memiliki banyak
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori graf merupakan salah satu kajian matematika yang memiliki banyak terapannya diberbagai bidang sampai saat ini. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA GRAF LENGKAP DENGAN METODE MODIFIKASI MATRIK BUJURSANGKAR AJAIB DENGAN n GANJIL, n 3
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 34 40 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA GRAF LENGKAP DENGAN METODE MODIFIKASI MATRIK BUJURSANGKAR AJAIB DENGAN
Lebih terperinciPohon (Tree) Universitas Gunadarma Sistem Informasi 2012/2013
Pohon (Tree) Universitas Gunadarma Sistem Informasi 2012/2013 Pohon (Tree) Pohon (Tree) didefinisikan sebagai graf terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Karena merupakan graf terhubung, maka pohon selalu
Lebih terperinciBILANGAN KROMATIK LOKASI DARI GRAF ULAT
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 1 6 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND BILANGAN KROMATIK LOKASI DARI GRAF ULAT AIDILLA DARMAWAHYUNI, NARWEN Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI.. Definisi Graf Secara matematis, graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) ditulis dengan notasi G = (V, E), yang dalam hal ini: V = himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul
Lebih terperinciBAB III KONSEP DASAR TEORI GRAF. Teori graf adalah salah satu cabang matematika yang terus berkembang
BAB III KONSEP DASAR TEORI GRAF Teori graf adalah salah satu cabang matematika yang terus berkembang dengan pesat. Teori ini sangat berguna untuk mengembangkan model-model terstruktur dalam berbagai keadaan.
Lebih terperinciMENENTUKAN NILAI KETIDAKTERATURAN GRAF KEMBANG API YANG DIPERUMUM. Edy Saputra, Nurdin, dan Hasmawati
MENENTUKAN NILAI KETIDAKTERATURAN GRAF KEMBANG API YANG DIPERUMUM Edy Saputra, Nurdin, dan Hasmawati Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin (UNHAS), Jln
Lebih terperinciInteger (Bilangan Bulat) Yang dimaksud bilangan bulat adalah, -1, -2, -3, 0, 1, 2, 3, 4 dan lain lain yang bukan merupakan bilangan pecahan.
Struktur Data Struktur Data Setiap data memiliki tipe data, apakah merupakan angka bulat, angka pecahan, atau berupa karakter, dan sebagainya. Jadi, tipe data adalah pengelompokan data berdasarkan isi
Lebih terperinciPELABELAN SUPER GRACEFUL PADA GRAPH. Griselda Afrian Y, Purwanto, dan Lucky Tri Oktoviana Universitas Negeri Malang
PELABELAN SUPER GRACEFUL PADA GRAPH Griselda Afrian Y, Purwanto, dan Lucky Tri Oktoviana Universitas Negeri Malang ABSTRAK: Pelabelan pada suatu graph adalah pemetaan yang memetakan unsur-unsur graph yaitu
Lebih terperinciCombinatorics dan Counting
CHAPTER 6 COUNTING Combinatorics dan Counting Kombinatorik Ilmu yang mempelajari pengaturan obyek Bagian penting dari Matematika Diskrit Mulai dipelajari di abad 17 Enumerasi Penghitungan obyek dengan
Lebih terperinciTEORI GRAF UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER ILHAM SAIFUDIN PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK. Selasa, 13 Desember 2016
PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER TEORI GRAF ILHAM SAIFUDIN Selasa, 13 Desember 2016 Universitas Muhammadiyah Jember Pendahuluan 1 OUTLINE 2 Definisi Graf
Lebih terperinciPELABELAN GRAF SIKLUS SEDERHANA UNTUK MENGKONSTRUKSI VERTEX-MAGIC GRAPH
PELABELAN GRAF SIKLUS SEDERHANA UNTUK MENGKONSTRUKSI VERTEX-MAGIC GRAPH MAKALAH Disusun untuk Melengkapi salah satu Tugas Mata Kuliah Seminar Pendidikan Matematika Semester Genap Tahun Akademik 006/007
Lebih terperinciSebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah
BAB II KAJIAN TEORI II.1 Teori-teori Dasar Graf II.1.1 Definisi Graf Sebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah himpunan tak kosong dari titik graf G, dan E, himpunan sisi
Lebih terperinciPengetahuan Dasar Teori Graph
Modul 1 Pengetahuan Dasar Teori Graph Prof. Dr. Didi Suryadi, M.Ed. Dr. Nanang Priatna, M.Pd. P PENDAHULUAN ada bagian ini Anda akan mempelajari sejarah singkat perkembangan teori graph serta beberapa
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Teori Graph 2.1.1 Graph Tak Berarah dan Digraph Suatu Graph Tak Berarah (Undirected Graph) merupakan kumpulan dari titik yang disebut verteks dan segmen garis yang
Lebih terperinciPENGGUNAAN TEOREMA POLYA DALAM MENENTUKAN BANYAKNYA GRAF SEDERHANA YANG TIDAK SALING ISOMORFIS
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 1 (2013), hal. 39-44. PENGGUNAAN TEOREMA POLYA DALAM MENENTUKAN BANYAKNYA GRAF SEDERHANA YANG TIDAK SALING ISOMORFIS Vivy Tri Rosalianti,
Lebih terperinciBAB 2 STUDI LITERATUR
BAB 2 STUDI LITERATUR Pada bagian studi literatur ini dijelaskan hal-hal yang dibutuhkan untuk memahami laporan penelitian. Selain itu, juga diberikan hasil studi literatur pada bagian ini. 2.1. Sistem
Lebih terperinciJUDUL PEMBELAJARAN DEDUKTIF PADA PEMBELAJARAN ALKANA
JUDUL PEMBELAJARAN DEDUKTIF PADA PEMBELAJARAN ALKANA OLEH: M.BUSRAH LEMBAGA PENJAMINAN MUTU PENDIDIKAN (LPMP) SULAWESI SELATAN TAHUN 2012 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR ISI... i I. PENDAHULUAN... 1 A. Latar
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Masalah Seiring perkembangan zaman, maka perkembangan ilmu pengetahuan berkembang pesat, begitu pula dengan ilmu matematika. Salah satu cabang ilmu matematika yang memiliki
Lebih terperinciPembuktian Cayley s Formula dengan Prüfer Sequence
Pembuktian Cayley s Formula dengan Prüfer Sequence Muntaha Ilmi (13512048) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132,
Lebih terperinciKendal. Temanggung Salatiga Wonosobo Purbalingga. Boyolali. Magelang. Klaten. Purworejo. Gambar 6.1 Jaringan jalan raya di Provinsi Jawa Tengah
Bab 8 Graf Jangan ikuti kemana jalan menuju, tetapi buatlah jalan sendiri dan tinggalkan jejak (Anonim) Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki banyak terapan sampai saat
Lebih terperinciPada catatan kuliah ini akan dibahas tentang konsep digraph (graph berarah) yang merupakan konsep penting dalam kuliah teori graph
COURSE NOTE : DIGRAPH Pada catatan kuliah ini akan dibahas tentang konsep digraph (graph berarah) yang merupakan konsep penting dalam kuliah teori graph Definisi Digraph Suatu digraph (graph berarah) adalah
Lebih terperinciBEBERAPA APLIKASI GRAF DAN KOMBINATORIAL UNTUK MENENTUKAN JUMLAH ISOMER SENYAWA KIMIA
BEBERAPA APLIKASI GRAF DAN KOMBINATORIAL UNTUK MENENTUKAN JUMLAH ISOMER SENYAWA KIMIA Reisha Humaira NIM 13505047 Program Studi Teknik Informatika Institut Teknologi Bandung Jl. Ganesha 10, Bandung E-mail
Lebih terperinciPemodelan CNF Parser dengan Memanfaatkan Pohon Biner
Pemodelan CNF Parser dengan Memanfaatkan Pohon Biner Jansen 13510611 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132, Indonesia
Lebih terperinciGambar 6. Graf lengkap K n
. Jenis-jenis Graf Tertentu Ada beberapa graf khusus yang sering dijumpai. Beberapa diantaranya adalah sebagai berikut. a. Graf Lengkap (Graf Komplit) Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap titiknya
Lebih terperinciPewarnaan Titik pada Graf Khusus: Operasi dan Aplikasinya
Pewarnaan Titik pada Graf Khusus: Operasi dan Aplikasinya Desy Tri Puspasari, Dafik CGANT-University of Jember Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jember e-mail: desytripuspasari@gmail.com,
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA Latihan 1 1. A. NOTASI SIGMA 1. Pengertian Notasi Sigma Misalkan jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah S n = U 1 + U 2 + U 3 + + U
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Teori graf merupakan salah satu bidang matematika yang mempelajari
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori graf merupakan salah satu bidang matematika yang mempelajari himpunan titik yang dihubungkan oleh himpunan garis. Suatu graf adalah himpunan tidak kosong yang
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN Bab 1 merupakan pendahuluan dari kajian yang akan dilakukan. Pada bab ini akan dibahas latar belakang penulis dalam pemilihan judul kajian. Selain latar belakang, dijelaskan pula tentang
Lebih terperinciBAB I BAB I. PENDAHULUAN. menjadikan pemikiran ilmiah dalam suatu bidang ilmu, dapat dilakukan
BAB I BAB I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Pada awalnya Matematika merupakan alat berpikir yang sederhana dari kelompok orang biasa untuk menghitung dan mengukur barang-barang miliknya, kemudian
Lebih terperinciBAB V PENERAPAN 5.1 PERMASALAHAN PENUGASAN PEGAWAI. Dalam suatu perusahaan, n pekerja-pekerja X 1, X 2,... X 3 tersedia untuk
BAB V PENERAPAN 5.1 PERMASALAHAN PENUGASAN PEGAWAI Dalam suatu perusahaan, n pekerja-pekerja X 1, X 2,... X 3 tersedia untuk mengerejakan n pekerjaan-pekerjaan Y 1, Y 2,... Y 3, masing-masing pekerja terkualifikasi
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
5 BAB II LANDASAN TEORI.1 Sejarah Graf Menurut catatan sejarah, masalah jembatan KÖnigsberg adalah masalah yang pertama kali menggunakan graf (tahun 1736). Di kota KÖnigsberg (sebelah timur Negara bagian
Lebih terperinciG r a f. Pendahuluan. Oleh: Panca Mudjirahardjo. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut.
G r a f Oleh: Panca Mudjirahardjo Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. 1 Pendahuluan Jaringan jalan raya di propinsi Jawa Tengah
Lebih terperinciMisalkan dipunyai graf G, H, dan K berikut.
. Pewarnaan Graf a. Pewarnaan Titik (Vertex Colouring) Misalkan G graf tanpa loop. Suatu pewarnaan-k (k-colouring) untuk graf G adalah suatu penggunaan sebagian atau semua k warna untuk mewarnai semua
Lebih terperinciAplikasi Pohon dan Graf dalam Kaderisasi
Aplikasi Pohon dan Graf dalam Kaderisasi Jonathan - 13512031 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132, Indonesia
Lebih terperinciI. PENDAHULUAN. Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi sampai saat ini terus
1 I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi sampai saat ini terus mengalami kemajuan. Salah satunya adalah cabang ilmu matematika yang sampai saat ini mengalami perkembangan
Lebih terperinciMenyelesaikan Topological Sort Menggunakan Directed Acyclic Graph
Menyelesaikan Topological Sort Menggunakan Directed Acyclic Graph Muhammad Afif Al-hawari (13510020) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung,
Lebih terperinciHAND OUT MATA KULIAH TEORI GRAF (MT 424) JILID SATU. Oleh: Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si.
HAND OUT MATA KULIAH TEORI GRAF (MT 424) JILID SATU Oleh: Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si. JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Lebih terperinciVERTEX ANTIMAGIC TOTAL LABELING PADA MULTICYCLE DAN MULTICOMPLETE BIPARTITE. Dominikus Arif Budi Prasetyo, Chairul Imron. ABSTRAK
VERTEX ANTIMAGIC TOTAL LABELING PADA MULTICYCLE DAN MULTICOMPLETE BIPARTITE Dominikus Arif Budi Prasetyo, Chairul Imron. ABSTRAK Labeling graph merupakan salah satu bidang dalam graph yang berkembang pesat
Lebih terperinciFAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA BAHAN AJAR KIMIA DASAR BAB VII KIMIA ORGANIK
BAAN AJAR KIMIA DASAR No. BAK/TBB/SBG201 Revisi : 00 Tgl. 01 Mei 2008 al 1 dari 19 BAB VII KIMIA ORGANIK Dari 109 unsur yang ada di alam ini, karbon mempunyai sifat-sifat istimewa : 1. Karbon dapat membentuk
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Ide Leonard Euler di tahun 1736 untuk menyelesaikan masalah jembatan
4 II. LANDASAN TEORI Ide Leonard Euler di tahun 1736 untuk menyelesaikan masalah jembatan Konisberg yang kemudian menghasilkan konsep graf Eulerian merupakan awal dari lahirnya teori graf. Euler mengilustrasikan
Lebih terperinciIII. BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF. Bilangan kromatik lokasi graf pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk.(2002). = ( ) {1,2,3,, } dengan syarat
III. BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF Bilangan kromatik lokasi graf pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk.00). Konsep ini merupakan pengembangan dari konsep dimensi partisi dan pewarnaan graf. Pewarnaan
Lebih terperinciBAB 2 OPTIMISASI KOMBINATORIAL. Masalah optimisasi merupakan suatu proses pencarian varibel bebas yang
BAB 2 OPTIMISASI KOMBINATORIAL 2.1 Masalah Model Optimisasi Kombinatorial Masalah optimisasi merupakan suatu proses pencarian varibel bebas yang memenuhi kondisi atau batasan yang disebut kendala dari
Lebih terperinciII. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON. Graf G adalah himpunan terurut ( V(G), E(G)), dengan V(G) menyatakan
II. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON 2.1 Konsep Dasar Graf Teori dasar mengenai graf yang akan digunakan dalam penelitian ini diambil dari Deo (1989). Graf G adalah himpunan terurut ( V(G), E(G)), dengan
Lebih terperinci1. PENDAHULUAN 2. METODE PENELITIAN 3. HASIL DAN PEMBAHASAN. Abstrak
Kajian mengenai Konstruksi Aljabar Simetris Kiri Menggunakan Fungsi Linier Sofwah Ahmad Departemen Matematika FMIPA UI Kampus UI Depok 16424 sofwahahmad@sciuiacid Abstrak Aljabar merupakan suatu ruang
Lebih terperincimerupakan himpunan sisi-sisi tidak berarah pada. (Yaoyuenyong et al. 2002)
dari elemen graf yang disebut verteks (node, point), sedangkan, atau biasa disebut (), adalah himpunan pasangan tak terurut yang menghubungkan dua elemen subset dari yang disebut sisi (edge, line). Setiap
Lebih terperinciNOTASI ILMIAH DAN ANGKA PENTING
NOTASI ILMIAH DAN ANGKA PENTING Apa itu notasi ilmiah? Apa itu angka penting? Dalam fisika, sering dijumapi bilangan yang sangat kecil atau sangat besar. Misalnya jari-jari atom hidrogen 0,000000000053
Lebih terperinciTHE TOTAL EDGE IRREGULARITY STRENGTH OF DOUBLE HEADED CIRCULAR FAN GRAPH
1 PENENTUAN NILAI TOTAL KETIDAKTERATURAN SISI GRAF KIPAS MELINGKAR BERKEPALA GANDA Winda Sari *), Nurdin, Jusmawati Jurusan Matematika, Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin
Lebih terperincikimia HIDROKARBON III DAN REVIEW Tujuan Pembelajaran
K-13 kimia K e l a s XI HIDROKARBON III DAN REVIEW Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut 1 Memahami definisi dan jenis-jenis isomer beserta contohnya
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA
BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Logika Fuzzy Logika fuzzy pertama kali dikembangkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh, seorang peneliti dari Universitas California, pada tahun 1960-an. Logika fuzzy dikembangkan dari
Lebih terperinciPenyelesaian Traveling Salesman Problem dengan Algoritma Heuristik
Penyelesaian Traveling Salesman Problem dengan Algoritma Heuristik Filman Ferdian - 13507091 Program Studi Teknik Informatika, Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jalan Ganesha
Lebih terperinciAplikasi Teori Graf dalam Penggunaan Cairan Pendingin pada Proses Manufaktur
Aplikasi Teori Graf dalam Penggunaan Cairan Pendingin pada Proses Manufaktur Steffi Indrayani / 13514063 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung,
Lebih terperinciPENGANTAR. Kekhasan atom Karbon Perbedaan Rantai Karbon Perbedaan Atom Karbon. Hidrokarbon EVALUASI PENUTUP. Created By EXIT
Loading. 5 4 3 2 1 : : Atom C mempunyai nomor atom 6 memiliki konfigurasi elektron : K L C (z=6) : 2 4 maka elektron valensinya = 4 Atom C dapat mengikat 4 atom yang lain dan dapat mengikat 4 atom C yang
Lebih terperinciSOAL TUGAS STRUKTUR DATA
SOAL TUGAS STRUKTUR DATA Catatan Tugas: - Terdiri dari 15 soal Pilihan berganda dan 3 soal essay yang dapat dipilih. - Tugas ini wajib di kerjakan untuk mahasiswa yang mengerjakan tugas Senarai Berantai
Lebih terperinci