4 I :0 1 a :4 9 1 isik F I S A T O R A IK M A IN D

Transkripsi

1 9:4:04

2 Posisi, Kecepatan dan Percepatan Angular 9:4:04 Partikel di titik P bergerak melingkar sejauh θ. Besarnya lintasan partikelp (panjang busur) sebanding sebanding dengan: s = rθ Satu keliling lingkaran panjang busurnya adalah πr, dengan sudut θ=360 =360 o 360 rad = 57, 3 π o

3 Posisiangular adalah besarnya perubahan sudut θ terhadap acuan tertentu 9:4:05 ωpositip jika berlawanan arah jarumjam, jam, dan negatip jika searah jarum jam Perpindahan angular: angular: i θ = θ f θ Kecepatan angular rata-rata: rata: Percepatan angular rata-rata: rata:

4 Persamaan gerak rotasi 9:4:05 Persamaan gerak rotasi memiliki analogi dengan gerak translasi ω= ω o + αt θ= θ o + ω o t + ½ αt ω = ω o + α(θ-θo α θ θ o ) Hubungan kinematika linier dan kinematika rotasi dari partikel yang bergerak melingkar s = θ r v = ds/ = dθ/. r = ωr a t = dv/ = dω/. r = αr ; percepatan tangensial a r = v /r = ω r ; percepatan radial (sentripetal) a a t a r Kecepatan total partikel : a = a r + a t

5 Contoh SebuahCD digunakan untuk menyimpandata, track pertama berada padar=3 mm dantrack terakhir padar=58 mm. dengan kecepatan r=58 mm. Pada pembacaandata CD berputar kecepatan konstan terhadap lensa-laser laser sebesar,3 m/s a. Tentukan kecepatanangular angular saat pembacaan data padatrack pertama dan terakhir (putaran putaran/menit menit) b. JikaCD dapat dipakai untuk menyimpandata lagu selama74 menit33 detik, berapa putaran daricd dalam durasi tersebut c. Berapa lintasantotal total dari putarancd terhadap d. Jika lensa-laser laser dalam durasi tersebut Jika diasumsikan konstan, berapa percepatan angular daricd dalaminterval 74 menit33 detik 9:4:05

6 A. Kecepatan angular DINAMIKA ROTASI Track Pertama Track Terakhir B. Jumlah putarancd dalaminterval waktu74 min 33 s Diubah ke jumlah putaran 9:4:05

7 C. Lintasantotal total dari putarancd D. Percepatanangular, angular, jika diasumsikan konstan 9:4:05 Jika kecepatan putaran tetap,3 m/s

8 9:4:05 Momentum sudut(l) dirumuskan sebagai: L = m r x v, r vektor posisi partikel terhadap sumbu putar = r x mv dan karena mv = p maka L = r x p Dari hukum Newton II dalam bentuk perubahan momentum: F = dp

9 Jika kedua ruas kita kalikan dengan vektor r sebagai berikut: r x F = r x F = r d x dp ( ) r x p Momen gaya / torka : τ = r x F dan karena r x p L, sehingga = τ d L 9:4:05

10 d d DINAMIKA ROTASI ( ) r x p = r x + x p d p dr dr karena = v dan p = ( ) r x p = r x + v x m v d p tetapi v x v = 0 maka d ( ) r x p = r x d p mv 9:4:05

11 Jika yang bekerja pada partikel ini lebih dari satu gaya dimana masingmasing gaya tersebut memberikan momen gaya, maka 9:4:05 = τ d L (Resultan semua momen gaya yang bekerja pada partikel sama dengan kecepatan perubahan momentum sudut partikel tersebut). gerak gerak translasi rotasi : : τ F = = d p d L

12 9:4:05 Jika resultan momen gaya yang bekerja pada partikel tersebut sama dengan nol. τ d L = 0 = 0 d L = 0 d L L = Lakhir L awal = 0 L akhir = Lawal (momentum sudut akhir partikel sama dengan momentum sudut awal partikel) Hukum kekekalan momentum sudut

13 9:4:05 Sebuah bola kecil bermassa m diikat dengan seutas tali. Susunan ini diputar diatas sebuah papan yang licin dengan ujung tali terbuka sebagai titik tumpunya dan berada ditengah papan yang berlubang sehingga sewaktu-waktu jari-jari tali bisa diperpanjang atau diperpendek. Perhatikan gambar. N T w v Bagaimanakah kecepatan putar bola pada saat jarijari putaran diubah-ubah.

14 N τ r DINAMIKA ROTASI 9:4:05 N T Momen gaya oleh gaya berat W : τ W = r x W Momen gaya oleh gaya normal N : τ W τ N = r x N W Momen gaya oleh tegangan tali T : Sehingga τ T W N τ T = r x T = 0 d L τ = τ + τ + = 0 = 0 Berlaku hukum kekekalan momentum sudut: akhir Lawal L =

15 9:4:05 Sehingga jika kita ambil dua kondisi sembarang, misal pada jari-jari putar r dengan kecepatan v dan pada jari-jari putar r dengan kecepatan v, maka pada kedua kondisi tersebut momentum sudut partikel sama. ur L = mr v k ˆ r = r r ˆ v = v θˆ L L = m r x v = m r x v m r ˆ ˆ θ ˆ ˆ r x v = m r r x v θ m r v k ˆ m r v k ˆ = jadi r v r = v

16 Contoh: DINAMIKA ROTASI 9:4:05 Sebuah bola dengan massa 0 gram diikat dengan tali dan diputar dengan kecepatan sudut ω o = 50 rad/s. Ujung tali diikatkan pada telunjuk sehingga memungkinkan tali melilit pada telunjuk saat bola berputar dan jari-jari putar memendek(jari-jariputaranawalr=m). a. Jika gaya gravitasi diabaikan, tentukan kecepatan sudut putar bola pada saat jari-jari putaran menjadi seperempat panjang semula. b. Jika gaya gravitasi diperhitungkan dan tali diikat longgar pada telunjuk sehingga tidak melilit, tentukan kecepatan sudut putar setiap saat yang harus dimiliki bola agar tetap bergerak pada bidang lintasan yang sama (bola tidak turun).

17 9:4:05 a. Karena gaya gravitasi diabaikan, maka yang bekerja pada tali hanyalah gaya tegangan tali saja. T tetapi = r x T = 0 τ = 0 T Momentum sudut tetap : L L = r m r v = mr v d L dan v = ω ω = r r ω r ω r m r m ω = ω r = r 4 ω ω = 800 rad / s

18 b. Gaya gravitasi diperhitungkan. 9:4:05 Tali diikat longgar sehingga tali tidak melilit pada telunjuk dengan demikian panjang tali tidak berubah. r T W v d L τ = τ T +τ W = r x T + r x W = d L r x T = 0 dan = d L d L d ( ) r x mv

19 r x W = d ( ) r x mv Bidang lintasan tidak berubah berarti harus selalu 9:4:05 r W dan r v Sehingga: d ( ) r W = r mg =, v = ω g d r m v ω = r d ω = g Integralkan! = r dω t g ω = t + ω r g r r ω ω = g r ω ( t ) = (0 t + 50) rad / s

20 y Tinjau pada benda diskrit: m m r r ω DINAMIKA ROTASI Benda Tegar ω ω m 3 r 3 x 9:4:05 Jika sistem partikel ini berotasi dengan kecepatan sudut ω (masing-masing partikel berotasi dengan kecepatan sudut yang sama) maka v = ω L = r x p = mr x v = mr x ω x r ( ) x r ( ) ( ) ( ) b x c = b a. c c a b Ingat : a x. ( ) ( ( ) ( ) ω x r = m ω r. r r r. ω = m r maka L = m r x ω sehingga L ω = m r, L = m ω r, L 3 = m 3 ω r 3

21 Momentum sudut total : DINAMIKA ROTASI L = L ( + L + L 3 = m r + m r + m r )ω 3 3 L = I.ω r + m r m 3 r jadi I = m + I N = i = m i r i I MomenInersia 3 Untuk benda kontinue(tegar) : I = N lim r i m 0 i = m i I = r dm 9:4:05

22 9:4:05. Batang(-D) Massa sepanjang dx: dm = ρdx -L/ dx L/ Momen inersia: L Sumbu putar jadi L 3 L I = x dm = x ρ dx = ρ I = 3 L 3 L x ( ρ L ) L L = M massa = L ρ =, ρ ML (momen inersia batang dengan sumbu putar melewati titik pusat massa batang)

23 . Piringan(tipis) DINAMIKA ROTASI Massa seluas da: dm = ρda = ρrdθdr 9:4:05 R Sumbu putar r dθ θ dr da=rdθ dr Momen inersia: I = r dm = R π R r ρ rd π 0 0 R r d dr. θ dr = 3. 3 ρ θ = ρ r dr d 0 0 R 3 4 R = πρ r dr = πρ r = π 0 θ πρ R jadi I = MR, M = ρπr 4

24 9:4:05 Jika sumbu rotasi tidak terletak pada titik pusat massa maka digunakan dalil sumbu sejajar: l jarak sumbu ke titik pusat massa R l Maka momen inersia terhaadap sumbu Stersebut: Sumbu Putar melalui Titik pusat massa sejajar S I = M l + s I pm untuk piringan : I pm = MR sehingga I s = M R + M R = 3 M R

25 Untuk batang: L DINAMIKA ROTASI l = L dan I pm = M L 9:4:05 l Momen inersia batang terhadap sumbu putar Sadalah: Sumbu putar titik pusat massa S I = M l + s I pm = M L + M L sejajar jadi I s = 3 M L

26 9:4:06

27 .. 3. Latihan 9:4:06 Sebuahcakramberputardenganpercepatanangular konstan α= rad/s. Jika cakram tersebut mulai dari keadaan diam, tentukan frekuansi putaran cakram tersebut dan tentukan kecepatan sudut cakram tersebut setelah 0s. Suatu cakram berputar dengan laju 3 putaran/menit. Cakram tersebut dipercepat oleh sebuah mesin sehingga 0s kemudian lajunya menjadi 8 putaran/menit. Tentukan percepatan sudut rata-rata cakram tersebut. Jika terdapat sebuah titik yang terletak 30 cm dari pusat putaran, tentukanlah jarak yang ditempuh titik tersebut dalam selang waktu 0s. Tentukanlah momentum sudut bumi terhadap sumbu rotasinya. Anggap bumisebagaisebuahbola denganmassa6 x 0 4 kg danjari-jarinya6,4 x 0 6 m.

28 Perpaduan Gerak Translasi dan Gerak Rotasi (Gerak Menggelinding) Gerak translasi Pada gerak translasi, titik sentuh bola selalu bergerak terhadap lantai. (bola tergelincir), terjadi jika lantai licin. Gerak rotasi 9:4:06

29 9:4:06 Jika gerak translasi dan gerak rotasi tersebut dimiliki secara bersamaan oleh bola maka menghasilkan gerak berikut: Perpaduan gerak translasi dan rotasi ini yang menghasilkan gerakan bola menggelinding. Proses menggelinding akan terjadi jika titik sentuh bola tidak bergerak / menempel terhadap lantai (bola tidak selip / tergelincir). Dan ini akan terjadi jika lantai kasar.

30 Perhatikan analisa berikut: 9:4:06 v T R pm Q v T =ωr P v pm Kecepatan resultan di kedua titik: V V Q P = V = V = V = V pm pm pm pm + V T +ω R V T ω R Jikatidakselip, titikp relatifdiamterhadaplantaiv P =0 V = V pm ω R = 0 V pm = P ω sehingga V = V pm + ω R V Q = R Q ω R

31 Energi kinetik gerak menggelinding : 9:4:06 K = K translasi + K rotasi K = M v pm + I pm ω Gerak menggelinding (tanpa selip) bisa diperlakukan sebagai gerak rotasi saja tetapi dengan sumbu rotasi di titik P. R P

32 Sehingga momen inersia bola jika bola berotasi dengan sumbu putar dititikp(salahsatutitikpadapermukaanbola)adalah: 9:4:06 p = M l + I pm = M R I I + Dengan demikian energi kinetik gerak menggelinding sama dengan energi kinetik gerak rotasi saja. K = K p = I p ω = ( ) M R + ω jadi I pm pm M R ω + I pm ω, R = V pm = ω K = M V pm + I pm ω

33 Contoh : DINAMIKA ROTASI 9:4:06 Sebuah bola pejal bermassa m dan berjari-jari R diletakkan di atas permukaan bidang miring pada ketinggian h. Jika keadaan awalnya diam, tentukan kecepatan saat tiba di tanah jika a. Permukaan bidang miring licin b. Permukaan bidang miring kasar Jawab: a. Jika permukaan licin maka bola akan tergelincir sehingga ia hanya bergerak translasi saja. h A B E M ( A ) = E M ( B A + K A = U B K U + ) B V B = gh

34 h DINAMIKA ROTASI 9:4:06 b. Permukaan bidang miring kasar. Menyebabkan titik sentuh tidak tergelincir dan terjadi gerak menggelinding. A Permukaan yang kasar memungkinkan titik sentuh bola selalu menempel ke permukaan. Tidak ada gesekan antar bola dan bidang. E M = M ( A ) E ( B ) B Masih berlaku hukum kekekalan energi mekanik. U + A + K A = U B K mgh + 0 = 0 + ω B I s

35 dimana I = m R + s I pm DINAMIKA ROTASI 9:4:07 I s momeninersiaterhadapsumbuyangmenyinggung permukaanbola. I pm momeninersiaterhadapsumbudiameterbola. Dan untuk bola pejal : 5 I pm = m R I s = m R + mr = mr sehingga mgh = mr gh = R ω = ω 7 0 V V = 0gh 7