Panitia Pengarah (Steering Committee):

Transkripsi

1

2

3 Panitia Pengarah (Steering Committee:.S niversitas umatera tara (Universitas Padjadjaran nstitut eknologi andung niversitas endidikan ndonesia PANITIA PELAKSANA Reviewer Extended Abstrak i

4 ii

5 TIM PROSIDING KOORDINATOR EDITOR uhammad ' TIM TEKNIS LAYOUT & COVER iii

6 Tim Reviewer nstitut eknologi andung nstitut eknologi andung ( Institut Teknologi Sepuluh Nopember iversitas Padjajaran niversitas Negeri Surabaya Abdur Rahman ' niversitas egeri alang niversitas egeri ogayakarta (Institut Teknologi Sepuluh Nopember (Institut Teknologi Sepuluh Nopember (Institut Teknologi Sepuluh Nopember 0 (Institut Teknologi Sepuluh Nopember 1 (Institut Teknologi Sepuluh Nopember 2 (Institut Teknologi Sepuluh Nopember 3 (Institut Teknologi Sepuluh Nopember 4 niversitas Negeri Jember iv

7 Sambutan Ketua Panitia Assalamu alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Tema yang diambil dalam konferensi adalah Peranan Matematika dan Statistika SEAN Economics Community, dengan harapan sebagai persiapan S v

8 SAMBUTAN PRESIDEN IndoMS Dengan Nama Allah Yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang Assalamu alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Peranan Matematika dan Statistika menyongsong AEC (ASEAN Economics Community, vi

9 Wassalamu alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh vii

10 BIDANG 1. Aljabar & Geometri 2. Analisis 3. Ilmu Komputer 4. Matematika Keuangan 5. Matematika Pendidikan 6. Matematika Terapan 7. Statistika 8. Teori Graf & Kombinatorik 9. Teori dan Sistem Kendali

11 DAFTAR ISI PROSIDING KNM BIDANG : ALJABAR DAN GEOMETRI (7 NO JUDUL MAKALAH HAL 1 PEMODELAN JADWAL MONOREL DAN TREM MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS UNTUK TRANSPORTASI MASA DEPAN SURABAYA Kistosil Fahim, Lukman Hanafi, Subiono, dantahiyatul Asfihani 1 2 SIFAT-SIFAT ALJABAR DARI PEMETAAN TOPOLOGI TOPOGRAFI FUZZY 9 Muhammad Abdy 3 EKSISTENSI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS INTERVAL 15 Siswanto, Ari Suparwanto, dan M. Andy Rudhito 4 DIAGNOSIS SUATU PENYAKIT MENGGUNAKAN MATRIKS D-DISJUNCT 25 Siti Zahidah 5 KARAKTERISTIK ELEMEN SIMETRIS ANGGOTA RING DENGAN ELEMEN SATUAN YANG DILENGKAPI INVOLUSI Titi Udjiani SRRM, Budi Surodjo,dan Sri Wahyuni 37 6 ASSOSIASI PRIMA PADA MODUL FRAKSI ATAS SEBARANG RING 47 Uha Isnaini dan Indah Emilia Wijayanti 7 KAJIAN KEINJEKTIFAN MODUL (MODUL INJEKTIF, MODUL INJEKTIF LEMAH, MODUL MININJEKTIF 59 Baidowi dan Yunita Septriana Anwar BIDANG : ANALISIS (8 NO JUDUL MAKALAH HAL 8 PERSAMAAN DIFERENSIAL FRAKSIONAL DAN SOLUSINYA MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE Endang Rusyaman, Kankan Parmikanti,dan Emacarnia 69 9 INTEGRAL HENSTOCK-KURZWEIL FUNGSI BERNILAI C [a,b ]: TEOREMA KEKONVEGENAN SERAGAM 77 Firdaus Ubaidillah, Soeparna Darmawijaya, dan CH. Rini Indrati 10 KAJIAN KELENGKUNGAN PERSAMAAN KURVA DI 85 Iis Herisman dan Komar Baihaqi 11 KONSTRUKSI TRANSFORMASI MP-WAVELET TIPE A 93 Kistosil Fahim dan Mahmud Yunus 12 PENERAPAN GARIS BERAT SEGITIGA CENTROID UNTUK MENENTUKAN KELOMPOK PADA ANALISIS DISKRIMINAN I Komang Gede Sukarsa, I Putu Eka Nila Kencana, dan NM. Dwi Kusumawardani BEBERAPA SIFAT DARI KLAS FUNGSI P-SUPREMUM BOUNDED VARIATION FUNCTIONS 113 Moch Aruman Imron, Ch. Rini Indrati, dan Widodo 14 KEKONTINUAN SIMETRIS FUNGSI BERNILAI REAL PADA RUANG METRIK 121 Manuharawati

12 NO JUDUL MAKALAH HAL 15 PENENTUAN POSISI SUMBER ARUS LISTRIK LEMAH DALAM OTAK DENGAN METODE INVERS 127 Muhammad Abdy BIDANG : ILMU KOMPUTER (18 NO JUDUL MAKALAH HAL 16 PELATIHAN JARINGAN FUNGSI BASIS RADIAL MENGGUNAKAN EXTENDED KALMAN FILTER UNTUK IDENTIFIKASI INSTRUMEN GAMELAN JAWA 133 Abduh Riski, Mohammad Isa Irawan, dan Erna Apriliani 17 EKSTRAKSI CIRI MFCC PADA PENGENALAN LAFAL HURUF HIJAIYAH 143 Agus Jamaludin, dan Arief Fatchul Huda, S.Si., M.Kom 18 PEMILIHAN GURU BERPRESTASI BERDASARKAN PENILAIAN KINERJA GURU DENGAN METODE ANALYTIC NETWORK PROCESS (ANP Alvida Mustika Rukmi, M. Isa Irawan, dan Nuriyatin SEGMENTASI CITRA DENGAN MENGGUNAKAN MODIFIKASI ROBUST FUZZY C-MEANS 165 Charista Christie Tjokrowidjaya dan Zuherman Rustam 20 PERBANDINGAN METODE LEARNING VECTOR QUANTIZATION (LVQ DAN SUPPORT VECTOR MACHINE (SVM UNTUK PREDIKSI PENYAKIT JANTUNG KORONER Desy Lusiyanti dan M. Isa Irawan DETEKSI KECACATAN PERMUKAAN LOSONG AMUNISI BERBASIS PENGOLAHAN CITRA DIGITAL 183 Dwi Ratna Sulistyaningrum, Budi Setiyono, dan Dyah Ayu Erniasanti 22 PENERAPAN VEKTOR PADA APLIKASI WINDOWS PHONE BERBASIS AUGMENTED REALITY 191 Erick Paulus, Stanley P. Dewanto, InoSuryana, dan Septya Happytasari S 23 METODE BACKPROPAGATION JARINGAN SYARAF TIRUAN DALAM MEMPREDIKSI HARGA SAHAM 197 Feni Andriani dan Ilmiyati Sari 24 PEMODELAN VOLATILITAS SAHAM MENGGUNAKAN JARINGAN SYARAF TIRUAN DAN ALGORITMA GENETIKA Hasbi Yasin APLIKASI METODE FUZZY PADA PERAMALAN JUMLAH WISATAWAN AUSTRALIA KE BALI 211 I Putu Eka Nila Kencana dan IBK. Puja Arimbawa K 26 PREDIKSI CUACA EKSTRIM MENGGUNAKAN ALGORITMA CLUSTERING BERDASARKAN ROUGH SET 221 Mohammad Iqbal dan Hanim Maria Astuti 27 KAJIAN LANJUTAN TERHADAP KUNCI LEMAH ALGORITMA SIMPLIFIED IDEA 229 Retno Indah dan Sari Agustini Hafman 28 PENGGUNAAN METODE PCA UNTUK REDUKSI DATA IMAGE PEMBULUH DARAH VENA 241 Rifki Kosasih 29 IMPLEMENTASI KALIBRASI KAMERA ZHANG PADA ESTIMASI JARAK 249 Shofwan Ali Fauji dan Budi Setiyono 30 KONSTRUKSI POHON FILOGENETIK MENGGUNAKAN ALGORITMA NEIGHBOR JOINING UNTUK IDENTIFIKASI HOST DAN PENYEBARAN EPIDEMI SARS Siti Amiroch dan M. Isa Irawan 259

13 NO JUDUL MAKALAH HAL 31 DESAIN PENGENDALI UMPAN BALIK LINIER BERORDE MINIMUM PADA SISTEM BILINIER PEMBANGKIT LISTRIK DENGAN ALGORITMA GENETIKA 269 Taufan Mahardhika, Roberd Saragih, dan Bambang Riyanto Trilaksono APLIKASI ENTROPI FUZZY C-MEANS UNTUK MENDIAGNOSA CANCER BERDASARKAN KONSENTRASI UNSUR KIMIA DALAM DARAH Zuherman Rustam MODEL MANAJEMEN POLA TANAM MENGGUNAKAN JARINGAN SYARAF TIRUAN FUNGSI RADIAL BASIS Alven Safik Ritonga dan Mohammad Isa Irawan BIDANG : MATEMATIKA KEUANGAN (3 NO JUDUL MAKALAH HAL 34 ESTIMASI VALUE AT RISK PADA SAHAM PT. X DENGAN METODE EXTRIM VALUE THEORY 297 Mochammad Afandi dan Santi Puteri Rahayu CONDITIONAL VALUE-AT-RISK DI BAWAH MODEL ASET LIABILITAS DENGAN VOLATILITAS TAK KONSTAN Sukono, Sudradjat Supian, dan Dwi Susanti ESTIMASI VOLATILITAS UNTUK PENGHITUNGAN VALUE at RISK (VaR SAHAM LQ-45 MENGGUNAKAN MODEL GARCH Tarno dan Hasbi Yasin BIDANG : MATEMATIKA PENDIDIKAN (44 NO JUDUL MAKALAH HAL THE IMPLEMENTATION OF COOPERATIVE LEARNING BASED ON NEWMAN S ERROR ANALYSIS PROCEDURES TO IMPROVE STUDENTS MATHEMATICAL LEARNING Yoga Dwi Windy Kusuma Ningtyas PERMAINAN TRADISIOANAL ICAK-ICAKAN PADA MATERI PERSENTASE LABA RUGI UNTUK SISWA CENDERUNG KINESTETIK Fadila Hasmita, Oryza Zafivani, dan Rully Charitas Indra Prahmana PENERAPAN PENDEKATAN PMRI UNTUK MELATIH KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS SISWA PADA MATERI BALOK DAN KUBUS Dimas Danar Septiadi MATCHAN (MATHEMATICS DAKOCAN UNTUK MENINGKATKAN KEMAMPUAN BERHITUNG SISWA SEKOLAH DASAR Dwi Wulandari dan Ira Silviana Rahman PENGGUNAAN BACKWARD DESIGN DALAM MERANCANG PEMBELAJARAN MATEMATIKA YANG BERNUANSA OBSERVATION-BASED LEARNING Abdur Rahman As ari PENGEMBANGAN PERANGKAT PEMBELAJARAN MATERI SEGIEMPAT BERBASIS REALISTIC MATHEMATICS EDUCATION (RME UNTUK MELATIH KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS SISWA KELAS VII SMP Abdur Rohim, Ipung Yuwono, dan Sri Mulyati PENGEMBANGAN SOAL BERBASIS LITERASI MATEMATIKA DENGAN MENGGUNAKAN KERANGKA PISA TAHUN 2012 Ahmad Wachidul Kohar dan Zulkardi

14 NO JUDUL MAKALAH HAL ANALISIS KEMAMPUAN ADVANCED MATHEMATICAL THINKING MAHASISWA PADA MATA KULIAH STATISTIKA MATEMATIKA Andri Suryana KONTSRUKSI TEORITIK TENTANG BERPIKIR REFLEKTIF SEBAGAI AWAL TERJADINYA BERPIKIR REFRAKSI DALAM MATEMATIKA Anton Prayitno, Akbar Sutawidjaja, Subanji, dan Makbul Muksar MENGHIDUPKAN TAHAP MENANYA PADA IMPLEMENTASI PENDEKATAN SAINTIFIK DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA DI SEKOLAH Djamilah Bondan Widjajanti PENGEMBANGAN BAHAN AJAR PERSAMAAN DIFERENSIAL UNTUK MENINGKATKAN KEMAMPUAN PENALARAN DAN KOMUNIKASI MATEMATIS MAHASISWA MELALUI BLENDED LEARNING DENGAN STRATEGI PROBING-PROMPTING Hapizah PROFIL PEMAHAMAN SUBJEK UJI COBA 6 TERHADAP FILOSOFI, PRINSIP, DAN KARAKTERISTIK PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK Hongki Julie, St. Suwarsono, dan Dwi Juniati ANALISIS PENGUASAAN KONSEP DASAR DAN KETUNTASAN PEMAHAMAN MATERI PENCACAHAN DALAM MATEMATIKA DISKRET Luh Putu Ida Harini, I Gede Santi Astawa, dan I Gusti Ayu Made Srinadi FAKTOR-FAKTOR YANG MEMENGARUHI KEPUTUSAN SISWA SMA MELANJUTKAN STUDI S1 DI UNIVERSITAS UDAYANA Made Susilawati, I Putu Eka Nila Kencana, dan Ni Made Dwi Yana Putri PERANCANGAN DAN PEMBUATAN ENSIKLOPEDIA MATEMATIKA DIGITAL DALAM KOMUNITAS DAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA Mahmuddin Yunus, Indriati Nurul H, dan Lucky Tri O. PENGEMBANGAN BUKU ELEKTRONIK OLIMPIADE MATEMATIKA BERBASIS WEB DENGAN PENDEKATAN STRATEGI PEMECAHAN MASALAH Mahmuddin Yunus dan Tjang Daniel Chandra EFEKTIVITAS METODE GRUP INVESTIGASI DI KELAS KALKULUS I PADA JURUSAN MATEMATIKA DAN ILMU KOMPUTER FMIPA UNIVERSITAS UDAYANA Ni Made Asih PENGEMBANGAN PERANGKAT PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS BRAIN GYM DENGAN MEDIA MANIPULATIF UNTUK ABK Nia Wahyu Damayanti, Akbar Sutawidjajadan I Nengah Parta PENANAMAN KONSEP OPERASI PEMBAGIAN MENGGUNAKAN PERMAINAN TRADISIONAL BOLA BEKEL DI KELAS III SEKOLAH DASAR Nurochmah dan Novia Larosa MODEL PROBLEM BASED LEARNINGDALAM MENINGKATKAN KEMAMPUAN ANALISIS SISWA KELAS VIII SMP Nur Wahidin Ashari PENGEMBANGAN LKS BERCIRIKAN PENEMUAN TERBIMBING DAN DIDUKUNG GEOGEBRA PADA MATERI FUNGSI KUADRAT Nurul Firdaus

15 NO JUDUL MAKALAH HAL 58 PENGARUH PERMAINAN TRADISIONAL KELERENG DALAM OPERASI PENGURANGAN DI KELAS I SD 517 Olanda Dwi Sumintra, Armianti, dan Rully Charitas Indra Prahmana IDENTIFIKASI KONSEP BERFIKIR ANAK USIA DINI DALAM KONSEP MATEMATIKA MENURUT TAHAPAN PIAGET Reni Dwi Susanti KEMAMPUAN MAHASISWA DALAM MENGANALISA KEKONVERGENAN SUATU BARISAN BERDASARKAN PENGETAHUAN KONSEPTUAL DAN PROSEDURAL Ria Amalia THINKING IMPLEMENTATION TO INTRODUCE FRACTION IN TALL S THREE WORDS 543 Rustanto Rahardi dan Eddi Budiono PENERAPAN STRATEGI MOTIVASI ARCS DALAM PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE STAD PADA MATERI BALOK DI KELAS VIII SMP NEGERI 3 GRESIK Sabrina Apriliawati Sa ad PENINGKATAN KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS MATEMATIS MELALUI PENDEKATAN RME BERBASIS GAYA KOGNITIF SISWA Salwah, Yaya S. Kusumah, dan Stanley Dewanto PENGEMBANGAN MODUL PENERAPAN TEORI GRAPH BERBASIS ICT SEBAGAI PEDOMAN PRAKTEK KERJA LAPANGAN (PKL MAHASISWA JURUSAN MATEMATIKA DI INDUSTRI Sapti Wahyuningsih dan Darmawan Satyananda PENGGUNAAN PERMAINAN TRADISIONAL YEYE DALAM PEMAHAMAN KONSEP PERKALIAN UNTUK SISWA SEKOLAH DASAR Sri Ratna Dewi, Sari Juliana, dan Rully Charitas Indra Prahmana PROSES PENALARAN ANALOGI SISWA DALAM ALJABAR 601 Siti Lailiyah dan Toto Nusantara 67 IMPLEMENTASI KURIKULUM 2013 DAN PENDEKATAN PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK INDONESIA PADA PEMBELAJARAN PECAHAN Sitti Busyrah Muchsin PEMBELAJARAN ON-LINE KALULUS III BERSTANDART NCTM 615 Suharto dan Moh. Hasan PENERAPAN SELF DIRECTED LEARNING PADA PEMBELAJARAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL ORDE SATU Susi Setiawani EDUCATIONAL DESIGN RESEARCH: DEVELOPING STUDENTS UNDERSTANDING OF THE MULTIPLICATION STRATEGY IN AREA MEASUREMENT Susilahudin Putrawangsa, Agung Lukito, Siti M Amin, dan Monica Wijers PENINGKATAN KEMAMPUAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIS, DAN SIKAP SISWA TERHADAP MATEMATIKA MELALUI PENDEKATAN PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK Syaiful PERBEDAAN KEMAMPUAN KOMUNIKASI MATEMATIS SISWA LAKI-LAKI DAN SISWA PEREMPUAN 667 Syamsu Qamar Badu dan Siti Azizah A. Husain 73 MULTIGROUP STRUCTURAL EQUATION MODELING DENGAN PARTIAL LEAST SQUARE PADA HASIL BELAJAR MATEMATIKA SISWA KELAS IX SMP NEGERI DI KOTA KENDARI 677

16 NO JUDUL MAKALAH HAL Tandri Patih dan Bambang Widjanarko Otok PENINGKATAN SELF-EFFICACY SISWA MELALUI PENDEKATAN PROBLEM-CENTERED LEARNING DISERTAI STRATEGI SCAFFOLDING Tedy Machmud PENERAPAN STRATEGI BELAJAR METAKOGNISI UNTUK MEMAHAMI BACAAN DALAM IMPLEMENTASI KURIKULUM 2013 Theresia Kriswianti Nugrahaningsih, Iswan Riyadi, dan Hersulastuti PENGEMBANGAN MOBILE LEARNING APPLICATION (MLA SEBAGAI MEDIA PEMBELAJARAN ALTERNATIF PADA MATERI KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN BANGUN DATAR Wulan Marlia Sandi KEMAMPUAN BERPIKIR LOGIS MATEMATIS MAHASISWA DALAM PERKULIAHAN MATEMATIKA DASAR DAN MATEMATIKA DISKRIT Yaya S. Kusumah dan Heni Pujiastuti PENTINGNYA PENGARUH PERMAINAN TRADISIONAL LAYANG-LAYANG DALAM PEMBELAJARAN PHYTAGORAS DI KELAS VIII SMP Yuli Pinasthika dan Yuannisya Walimun PROSES BERPIKIR ALJABAR SISWA BERDASARKAN TAKSONOMI MARZANO 739 Yunita Oktavia Wulandari, Edy Bambang Irawan, dan Toto Nusantara 80 MASALAH NILAI YANG DICARI: PENALARAN PROPORSIONAL SISWA SETELAH MEMPELAJARI PERBANDINGAN DAN PROPORSI Zainul Imron, I Nengah Parta, dan Hery Susanto 749 BIDANG : MATEMATIKA TERAPAN (27 NO JUDUL MAKALAH HAL 81 MODEL EPIDEMIK SIR UNTUK PENYAKIT YANG MENULAR SECARA HORIZONTAL DAN VERTIKAL 757 Ilmiyati Sari dan Hengki Tasman HILANGNYA DUA BIFURKASI FOLD TANPA MELALUI BIFURKASI CUSP PADA SISTEM PREDATOR- PREY DENGAN FAKTOR PERTAHANAN GRUP DAN GANGGUAN BERKALA Harjanto, E dan Tuwankotta, J. M BIFURKASI HOPF MODEL MANGSA-PEMANGSA WANGERSKY-CUNNINGHAM DENGAN WAKTU TUNDA Ali Kusnanto, Ni Nyoman Suryani, dan N K Kutha Ardana PENERAPAN GOAL PROGRAMMING DALAM PENJADWALAN DAN PENUGASAN KEGIATAN KEMAHASISWAAN Anis Fauziyyah, Toni Bakhtiar, dan Farida Hanum PENERAPAN PROJECTION PURSUIT DALAM BLIND SOURCE SEPARATION 787 Atik Wintarti, Abadi, dan Yoyon K. Suprapto 86 KAJIAN NUMERIK: PENGARUH UKURAN SISTEM TERHADAP GAYA HAMBAT PADA SILINDER 795 Chairul Imron, Basuki Widodo, dan Triyogi Yuwono 87 ANALISA DAN SIMULASI MODEL MANGSA-PEMANGSA YANG DILAKUKAN PEMANENAN 801 Diny Zulkarnaen dan Linda Yunengsih 88 METODE OPERATOR SPLITTING : EKSPLORASI DAN SIMULASI 809

17 NO JUDUL MAKALAH HAL Endar H. Nugrahani 89 PERAMALAN VOLUME PRODUKSI AIR DI PDAM BOJONEGORO DENGAN METODE FUNGSI TRANSFER 815 Fastha Aulia Pradhani dan Adatul Mukarromah 90 KEKUATAN INFEKSI HIV DALAM KOMUNITAS INJECTING DRUG USERS 823 Iffatul Mardhiyah dan Hengki Tasman 91 METODE ELEMEN BATAS UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PERPINDAHAN PANAS 833 Imam Solekhudin ANALISIS PEMAKAIAN MADU PADA PENGAWETAN MAKANAN MENGGUNAKAN METODE MATEMATIKA Imelda Hendriani Eku Rimo dan Basuki Widodo SKEMA BEDA HINGGA NONSTANDAR MODEL EPIDEMI SIR DENGAN TINGKAT KEJADIAN TERSATURASI DAN MASA INKUBASI Isnani Darti dan Agus Suryanto MODEL TRANSMISI PENYAKIT TUBERKULOSIS DENGAN MEMPERHATIKAN KOMPARTEMEN VAKSINASI J. Nainggolan, S. Supian, A. K. Supriatna, dan N. Anggriani SUATU TINJAUAN NUMERIK PERSAMAAN ADVEKSI DIFUSI 2-D TRANSFER POLUTAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA DU-FORT FRANKEL Jeffry Kusuma, Khaeruddin, Syamsuddin Toaha, Naimah Aris, dan Alman MASALAH TRANSPORTASI MULTIOBJECTIVE FUZZY DENGAN VARIABEL KEPUTUSAN FUZZY 871 Listy Vermana dan Salmah 97 MODEL PERTUMBUHAN KRISTAL PADA GAMBUT YANG DIBENTUK DARI KAPUR, FLY ASH DAN AIR 881 Mohammad Syaiful Pradana dan Basuki Widodo 98 APROKSIMASI VARIASIONAL UNTUK SOLITON DISKRIT GELAP 891 Mahdhivan Syafwan 99 PENGGUNAAN METODE LEVEL SET DALAM MENYELESAIKAN MASALAH STEFAN DUA FASE (KASUS MASALAH PENCAIRAN ES Makbul Muksar, Tjang Daniel Candra, dan Susy Kuspambudi Andaini ANALISIS SENSITIVITAS MODEL EPIDEMIOLOGI HIV DENGAN EDUKASI 907 Marsudi 101 SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN PENDEKATAN MODEL MULTI GRUP 919 Nur Asiyah, Suhud Wahyudi, dan M. Setijo Winarko 102 PEMBENTUKAN VIEWS PADA MODEL BLACK LITTERMAN 933 Retno Subekti MODELLING ROAD TRAFFIC ACCIDENT DEATHS IN SOUTH AFRICA USING GENERALIZED LINEAR MODELS Sharon Ogolla, Sony Sunaryo, dan Irhamah ANALISIS KESTABILAN DAN KEBIJAKAN KEUNTUNGAN MAKSIMAL PADA MODEL POPULASI SATU MANGSA-DUA PEMANGSA DENGAN TAHAPAN STRUKTUR Syamsuddin Toaha, Jeffry Kusuma, Khaeruddin, dan Mawardi

18 NO JUDUL MAKALAH HAL 105 PENDEKATAN FUNGSI SELEKSI UNTUK MASALAH PEMROGRAMAN BILEVEL FUZZY DALAM PENGOPTIMALAN RETRIBUSI JALAN TO 965 Syarifah Inayati dan Irwan Endrayanto A 106 KAJIAN DUALITAS DAN ANALISA SENSITIVITAS MASALAH GOAL PROGRAMMING 985 Talisadika Serrisanti Maifa 107 MODEL MATEMATIKA PENGARUH SUHU DAN KETINGGIAN TERHADAP SPONTANEOUS-POTENTIAL UNTUK KARAKTERISASI PANASBUMI DI GEDONGSONGO, SEMARANG, JAWA TENGAH Widowati, Agus Setyawan, Mustafid, Muh. Nur, Sudarno, Udi Harmoko, Satriyo, Gunawan S, Agus Subagio, Heru Tj, Djalal Er Riyanto, Suhartono, Moch A Mukid, Jatmiko E. 997 BIDANG : STATISTIKA (39 NO JUDUL MAKALAH HAL 108 PENENTUAN PREMI BULANAN UNTUK KONTRAK ASURANSI JIWA ENDOWMENT UNIT LINK DENGAN METODE POINT TO POINT Erna Hayati dan Sony Sunaryo ASUMSI CONSTANT FORCE PADAASURANSI DWIGUNA LAST SURVIVOR 1015 Hasriati, Azis Khan, dan Dian Fauzia Rahmi 110 METODE PENDETEKSIAN HOTSPOT MULTIVARIAT DAN PERANGKINGAN ORDIT: Study Kasus Tingkat KesehatanIbudanBalita di Kota Depok Yekti Widyaningsih dan Titin Siswantining PREDIKSI CURAH HUJAN DI SURABAYA UTARA DENGAN MENERAPKAN FUZZY-MAMDANI 1035 Farida Agustini Widjajati dan Dynes Rizky Navianti 112 MODEL REGRESI NONPARAMETRIK MULTIRESPON SPLINE TRUNCATED UNTUK DATA LONGITUDINAL (STUDI KASUS KEBERHASILAN KB Dita Amelia dan I Nyoman Budiantara KLASIFIKASI KAYU DENGAN MENGGUNAKAN NAÏVE BAYES-CLASSIFIER 1057 Achmad Fahrurozi 114 KALKULATOR SURVIVAL DAN LIFE TABEL MENGGUNAKAN SOFTWARE R 1067 Adhitya Ronnie Effendie dan Hendra Perdana 115 PREDIKSI INDEKS HARGA KONSUMEN DENGAN MODEL FUZZY DAN RECURRENT NEURAL NETWORK 1073 Agus Maman Abadi 116 PERAMALAN PENJUALAN SEPEDA MOTOR DI PT. X DENGAN MENGGUNAKAN ARIMAX DI KABUPATEN PONOROGO Ani Satul Ru yati Badriyah dan Agus Suharsono PENERAPAN MODEL ARX ORDE 1 PADA INDEKS SAHAM DAN HARGA MINYAK MENTAH DUNIA Indah Pratiwi, Kankan Parmikanti, dan Budi Nurani Ruchjana PENGELOMPOKAN KABUPATEN/KOTADI PROVINSI NTB BERDASARKAN KARAKTERSTIK KEMISKINAN MENGGUNAKAN METODE WARD Desy Komalasari 119 PENGGUNAAN SOFTWARE MATLAB PADA MODIFIKASI SINGLE SYSTEMATIC SAMPLING 1115 Dewi Putrie Lestari dan Aini Suri Talita 1107

19 NO JUDUL MAKALAH HAL 120 EVALUASI SKILL MODEL DENGAN KURVA RELATIVE OPERATING CHARACTERISTICS (ROC 1123 Dewi Retno Sari Saputro ANALISIS SURVIVAL PADA DATA REKURENSI DENGAN COUNTING PROCESS APPROACH DAN MODEL PWP-GT Diah Ayu Novitasari dan Santi Wulan Purnami OPTIMISASI PERENCANAAN PRODUKSIMODEL PROGRAM LINEAR MULTI OBJEKTIF DE NOVO DENGAN PENDEKATAN GOAL PROGRAMMING Dwi Lestari REGRESI KUANTIL DENGAN ESTIMASI METODE SPARSITY UNTUK PEMODELAN TINGKAT PENGANGGURAN TERBUKA DI INDONESIA Dynes Rizky Navianti PREDIKSI PERMINTAAN SEPEDA MOTOR PER JENIS MERK HONDA DAN TOTAL MARKET DI KABUPATEN SIDOARJO MENGGUNAKAN VECTOR AUTOREGRESSIVE (VAR Efrandi Andiarga dan Agus Suharsono VOLATILITAS MODEL GARCH SAHAM SYARIAH YANG BERHUBUNGAN KAUSALITAS DENGAN INDEKS PASAR Endang Soeryana Hasbullah, Ismail Bin Mohd, Mustafa Mamat, Sukono, dan Endang Rosyaman PENGARUH FAKTOR INDIVIDU DAN FAKTOR KONTEKSTUAL TERHADAP FERTILITAS DI INDONESIA TAHUN 2011 (Analisis Multilevel Febri Wicaksono dan Dhading Mahendra KAJIAN METODE STATISTIK NONPARAMETRIK UJI HILDEBRAND SEBAGAI PADANAN ANALISIS VARIANSI DUA ARAH Fitri Catur Lestari PEMODELAN PREVALENSI KEJADIAN KUSTA DI JAWA TIMUR DENGAN PENDEKATAN SPATIAL AUTOREGRESSIVE SEM PLS Gilang Maulana Abdi dan Ismaini Zain PENENTUAN PREMI TUNGGAL PADA KONTRAK ASURANSI jiwaendowment UNIT LINK METODE HIGH WATER MARK Gusmi Kholijah dan Sony Sunaryo PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIKA MENGGUNAKAN SOFTWARE R 1241 Hendra Perdana, Khabib Mustofa, dan Dedi Rosadi 131 PENGEMBANGAN GRAFIK PENGENDALI DISTRIBUSI BETA BINOMIAL SEBAGAI PENGANTI p-chart MELALUI MCMC Hendro Permadi PENGARUH OUTLIER TERHADAP ESTIMATOR PARAMETER REGRESI DAN METODE REGRESI ROBUST 1259 I GustiAyu Made Srinadi 133 SUATU SURVEI TENTANG REGRESI BERBASIS KOPULA 1267 I Wayan Sumarjaya ANALISIS REGRESI PROBIT DENGAN EFEK INTERAKSI UNTUK MEMODELKAN ANGKA FERTILITAS TOTAL DI INDONESIA Imam Ahmad Al Fattah dan Vita Ratnasari ANALISIS GEROMBOL BERBASIS MODEL (StudiKasusStandarPelayanan Minimal SMP di KabupatenManokwari

20 NO JUDUL MAKALAH HAL Surianto Bataradewa, Nurhaida, Rium Hilum, dan Indah Ratih Anggriyani 136 KAJIAN ANALISIS DISKRIMINAN BERBASIS MODEL (Model Based Discriminant Analysis Study 1299 Indah Ratih Anggriyani MODEL BINOMIAL NEGATIF DAN POISSON INVERSE GAUSSIAN DALAM MENGATASI OVERDISPERSI PADA REGRESI POISSON. Laksmi Prita W ESTIMASI PARAMETER MODEL GEOGRAPHICALLY WEIGHTED ZERO-INFLATED POISSON REGRESSION (GWZIPR Luthfatul Amaliana dan Purhadi ANALISIS DATA INFLASI DI INDONESIAMENGGUNAKAN MODEL REGRESI KERNEL (SEBELUM DAN SESUDAH KENAIKAN TDL DAN BBM TAHUN 2013 Suparti, Budi Warsito, dan Moch Abdul Mukid ESTIMASI DAN PENGUJIAN HIPOTESIS GEOGRAPHICALLY WEIGHTED MULTINOMIAL LOGISTIC REGRESSION M. Fathurahman, Purhadi, Sutikno, dan Vita Ratnasari PENAKSIRAN PARAMETER MODEL GENERALISASI SPACE TIME AUTOREGRESI ASUMSI HETEROSKEDASTIK Nelson Nainggolan TAKSIRAN TITIK MEAN MODEL CAR FAY-HERRIOT MENGGUNAKAN PENDEKATAN HIERARKI BAYES PADA SMALL AREA ESTIMATION Kurnia Susvitasari dantitin Siswantining PERBANDINGAN ANALISIS REGRESI COX DAN ANALISIS SURVIVAL BAYESIAN PADA PASIEN KANKER SERVIKS Rina Wijayanti dan Santi Wulan Purnami MODEL REGRESI PROBIT BIVARIAT PADA INDEKS PEMBANGUNAN GENDER DAN INDEKS PEMBERDAYAAN GENDER Ririn Wahyu Ningsih dan Vita Ratnasari PEMODELAN KUALITAS PEMBANGUNAN MANUSIA INDONESIA DENGAN PENDEKATAN MODEL PROBIT BIVARIAT Vita Ratnasari PENAKSIRAN PARAMETER UNTUK MODEL GEOGRAPHICALLY WEIGHTED REGRESSION (GWTR 1391 Harmi Sugiarti, Purhadi, Sutikno, dan Santi Wulan Purnami BIDANG : TEORI GRAPH DAN KOMBINATORIK(11 NO JUDUL MAKALAH HAL 147 GRAF AMALGAMASI POHON BERBILANGAN KROMATIK LOKASI EMPAT 1399 Asmiati dan Fitriani 148 PELABELAN GRACEFUL SUPER FIBONACCI PADA GRAF FRIENDSHIP DAN VARIASINYA 1409 Budi Poniam dan Kiki A. Sugeng 149 PEMANFAATAN PELABELAN GRACEFUL PADA SYMMETRIC TREE UNTUK KRIPTOGRAFI POLYALPHABETIC Indra Bayu Muktyas dan Kiki A. Sugeng PELABELAN TOTAL SUPER (A,D- SISI ANTIMAGIC PADA GABUNGAN GRAF PRISMA 1421

21 NO JUDUL MAKALAH HAL Ira Aprilia dan Darmaji 151 BATAS ATAS DIMENSI PARTISI GRAF SUBDIVISI DARI GRAF POHON 1427 Amrullah, Edy Tri Baskoro, Saladin Uttunggadewa, dan Rinovia Simanjuntak 152 PELABELAN HARMONIS PADA GRAF TANGGA SEGITIGA 1435 Kurniawan Atmadja, Kiki A. Sugeng dan Teguh Yuniarko 153 PELABELAN GRACEFUL PADA GRAF MERCUSUAR DAN GRAF BUNGA DHIFA 1441 Nadia Paramita, Rostika Listyaningrum dan Kiki A. Sugeng 154 PEMBENTUKKAN SUPER GRAF PADA KLASIFIKASI SIDIK JARI 1447 Nurma Nugraha dan Kiki Ariyanti MENGKONTRUKSI SUPER EDGE MAGIC GRAPH BARU DARI SUPER EDGE MAGIC GRAPH YANG SUDAH ADA Suhud Wahyudi dan Sentot Didik Surjanto MENENTUKAN CLIQUE MAKSIMUM PADA SUATU GRAF DENGAN MENGGUNAKAN HEURISTIK GREEDY Mochamad Suyudi, Ismail Bin Mohd, Roslan Bin Hasni, Sudradjat Supian, dan Asep K. Supriatna KAJIAN EKSISTENSI GRAF BERARAH HAMPIR MOORE 1471 Yus Mochamad Cholily BIDANG : TEORI SISTEM DAN KENDALI (4 NO JUDUL MAKALAH HAL 158 KENDALI OPTIMAL PADA MANAJEMEN PERSEDIAAN MULTI-SUPPLIER DENGAN LEAD TIME 1477 Darsih Idayani dan Subchan ANALISA PERBANDINGAN PERFORMANSI KONTROL TWO WHEELED INVERTED PENDULUM ROBOT DENGAN MENGGUNAKAN FSMC DAN T2FSMC Mardlijah dan Muh Abdillah METODE LANGSUNG PADA PERMASALAHAN KENDALI OPTIMAL DENGAN LEGENDRE PSEUDOSPECTRAL Rahmawati Erma Standsyah dan Subchan KENDALI OPTIMAL MODEL DIVERSIFIKASI BERAS DAN NON-BERAS 1507 Retno Wahyu Dewanti dan Subchan

22 PEMODELAN JADWAL MONOREL DAN TREM MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS UNTUK TRANSPORTASI MASA DEPAN SURABAYA Kistosil Fahim 1, Lukman Hanafi 2, Subiono 3, dan Tahiyatul Asfihani 4 1 ITS, kfahimt@gmail.com 2 ITS, lukman@matematika.its.ac.id 3 ITS, subiono2008@matematika.its.ac.id 2 ITS, tahiyatul.asfihani@gmail.com Abstrak. Transportasi memiliki peranan yang sangat penting dalam keterkaitan antar wilayah dan diharapkan menjadi sistem yang terintegrasi. Pada penelitian ini dilakukan pengkajian dalam pemodelan dan desain penjadwalan monorel yang diintegrasikan dengan trem di kota Surabaya dengan menggunakan aljabar maxplus. Langkah pertama yang dilakukan yaitu penyusunan graf berarah yang didasarkan pada data rencana pembangunan monorel dan trem di kota Surabaya kemudian dilakukan integrasi monorel dan trem dengan menggunakan aturan sinkronisasi. Selanjutnya dibentuk model penjadwalan untuk monorel dan trem. Kata Kunci: Aljabar Max-Plus; Integrasi; Nilai Eigen; Pemodelan. 1 Pendahuluan Transportasi merupakan salah satu mata rantai jaringan distribusi barang dan mobilitas penumpang yang berkembang sangat dinamis, serta berperan dalam mendukung, mendorong dan menunjang segala aspek kehidupan baik dalam pembangunan politik, ekonomi, sosial budaya, dan pertahanan keamanan [1]. Di berbagai wilayah di Indonesia termasuk kota Surabaya, kebutuhan transportasi semakin meningkat. Sejalan deng- an kebutuhan dan perkembangan transportasi di kota Surabaya, Pemkot Surabaya telah menyiapkan monorel dan trem sebagai transportasi massal. Monorel digunakan di jalur Timur-Barat, sementara trem pada jalur Utara-Selatan[2]. Pembangunan monorel dan trem diharapkan menjadi sebuah sistem transportasi yang terintegrasi dan memiliki managemen transportasi yang baik sehingga memenuhi kebutuhan transportasi masyarakat. Pada penelitian ini mengkaji model dan desain penjadwalan monorel yang diintegrasikn dengan trem dengan mensimulasikan 21 trem dan 18 monerel yang beroperasi dengan menggunakan aljabar max-plus. Pada tahap awal penelitian dikaji mengenai beberapa data mengenai rencana pembangunan jalur monorel dan trem di Surabaya, tempat pemberhentian dan pemberangkatan monorel dan trem, kecepatan monorel dan trem, dan panjang jalan. Selanjutnya disusun graph berarah dari jaringan monorel dan trem di Surabaya, node-node (titik-titik pertemuan sebagai titik pemberangkatan dan pemberhentian dari monorel dan trem, untuk pembo-botan menggunakan waktu tempuh antar dua titik pertemuan (antara dua stasiun pada jalur monorel/trem. 1

23 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya Penyusunan model jalur monorel yang diintegrasikan dengan jalur trem dilakukan pada titik pemberhentian dan pemberangkatan yang ditentukan dengan menggunakan aturan sinkronisasi. Dari hasil analisis model yang didapat kemudian dilakukan analisis desain penjadwalan monorel dan trem sehingga diperoleh jadwal monorel dan trem yang terintegrasi. 2 Tinjauan Pustaka 2.1 Penelitian Sebelumnya Sebelum penelitian ini dilakukan, telah ada bebe- rapa penelitian mengenai transportasi dengan menggunakan metode aljabar max-plus. Penelitian yang telah dilakukan dengan menganalisis pemodelan serta penjadwalan dengan menggunakan aljabar max-plus interval atas dan bawah untuk menentukan desain penjadwalan sebagaimana tesis yang telah ditulis oleh Nahlia dengan judul Analisis Pemodelan dan Penjadwalan Busway di Surabaya menggunakan Aljabar Max-Plus [3]. Dalam tesis tersebut dituangkan gagasan penentuan jalur busway untuk kota Surabaya yang menghubungkan Surabaya Selatan dan Utara, Surabaya Timur dan Surabaya barat serta jalur pusat. Selanjutnya pemodelan jalur busway di Surabaya yang diintegrasikan dengan KA Komuter Sidoarjo-Surabaya yang merupakan pengembangan penelitian dari[3] dilakukan oleh Kistosil Fahim(2013 yaitu Aplikasi Aljabar Max-Plus pada Pemodelan dan Penjadwalan Busway yang Diintegrasikan dengan Kereta Api Komuter [4] dan penelitian yang juga membahas pemodelan yaitu Implementasi Aljabar Max-Plus pada Pemodelan dan Penjadwalan Keberangkatan Bus Kota Damri(Studi Kasus di Surabaya [5] yang ditulis oleh Kresna Oktavianto. 2.2 Aljabar Max-Plus Berikut ini diiberikan pengenalan konsep dari Aljabar Maxplus. Definisi 1 Definisi aljabar max-plus[6] Diberikan R ε = R {ε} dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan ε =. Pada R ε didefinisikan operasi berikut: x,y R ε, x y def = max{x,y} dan x y def = x+y Selanjutnya ditunjukkan (R ε,, adalah semiring dengan elemen netral ε dan elemen satuan e = 0, karena untuk setiap x,y,z R ε berlaku: i. x y = max{x,y} = max{y,x} = y x, (x y z = max{max{x,y},z} = max{x,y,z} = max{x max{y,z}} = x (y z, x ε = max{x, } = max{,x} = ε x = x ii. (x y z = (x+y+z = x+(y +z = x (y z, x e = x+0 = 0+x = e x = x, iii. x ε = x+( = = +x = ε x 2

24 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya iv. (x y z = max{x,y}+z = max{x+z,y +z} = (x z (y z, x (y z = x+max{y,z} = max{x+y,x+z} = (x y (x y. Operasi dibaca o-plus dan operasi dibaca o-times dan untuk lebih ringkasnya, penulisan (R ε,, ditulis sebagai R max Vektor dan Matriks Himpunan matriks n m dalam aljabar max-plus di- nyatakan dalam R n m max. Didefinisikan n = {1,2,3,...,n} untuk n N. Elemen dari matriks A R n m max pada baris ke-i kolom ke-j dinyatakan dengan a i,j, untuk i n dan j m. Dalam hal ini matriks A dapat dituliskan sebagai a 1,1 a 1,2... a 1,m a 2,1 a 2,2... a 2,m A = a n,1 a n,2...a n,m ada kalanya elemen a i,j juga dinotasikan sebagai [A] i,j,i n,j m Untuk penjumlahan matriks A,B R n m max dinotasikan oleh A B didefinisikan sebagai untuk i n dan j m. [A B] i,j =a i,j b i,j =max{a i,j,b i,j } Matriks dan Graph Misalkan matriks A R n n max dan suatu graph berarah dari matriks tersebut adalah G(A =(E,V. Graph G(A memilikintitikdansemuahimpunantitikdarig(adinyatakanolehv.suatugaris dari titik j ke titik i ada bila a i.j ε, garis ini dinotasikan oleh (j,i. Himpunan semua garis dari graph G(A dinotasikan oleh E. Bobot dari garis (j,i adalah nilai dari a i.j yang dinotasikan oleh w(j,i = a i.j R. Bila a i.j = ε, maka garis (j,i tidak ada. Suatubarisangaris (i 1,i 2,(i 2,i 3,...,(i l 1,i l darisuatugraphdinamakan suatu path. Suatu path dikatakan elementer bila tidak ada titik terjadi dua kali dalam path tersebut. Untuk suatu matriks persegi A R n n max, matriks A + didefinisikan sebagai: A + def = i= Nilai Eigen dan Vektor Eigen Pengertian dari nilai eigen dan vektor eigen yang ber- sesuaian dari suatu matriks persegi A berukuran n n dalam aljabar linear biasa juga dijumpai dalam Aljabar Maxplus, yaitu bila diberikan suatu persamaan: A i A x = λ x. 3

25 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya dalam hal ini masing-masing vektor x R n n max dan λ R dinamakan vektor eigen dan nilai eigen dari matriks A dengan vektor x (ǫ,ǫ,...,ǫ T. Suatu Algoritma untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A R n n max dilakukan secara berulang dari bentuk persamaan linier x(k +1 = A x(k,k = 0,1,2,3,... (1 Perilaku periodik dari persamaan (1 erat kaitannya deng- an apa yang dinamakan vektor waktu sikel yang didefinisikan sebagai x(k lim k k. Limit ini ada untuk setiap keadaan awal x(0 (ε,ε,...,ε T dan untuk matriks dalam Persamaan (1 yang tereduksi selalu bisa dijadikan suatu bentuk blok matriks segitiga atas, yang diberikan oleh bentuk A 1,1 A 1,2 A 1,q ε A 2,2 A 2,q. ε ε... ε ε A q,q Dan untuk setiap i = 1,2,3,...,q,A i,i berukuran q i q i adalah matriks tak tereduksi dengan nilai eigen λ i. Dalam hal yang demikian vektor waktu sikel diberikan oleh x(k lim = ( λ T 1 λ 2T λ T T q, k k dengan tanda T menyatakan transpose dari matriks dan λ i = ( λ i λ i λ i T dan vektor λ i berukuran q i 1. Keujudan nilai eigen dari matriks persegi A diberikan dalam teorema berikut. Teorema 2 Bila untuk sebarang keadaan awal x(0 ε sistem Persamaan (1 memenuhi x(p = c x(q untuk beberapa bilangan bulat p dan q dengan p > q 0 dan beberapa bilangan real c, maka x(k lim k k = ( λλ λ T dengan λ = c. Selanjutnya λ adalah suatu nilai eigen dari matriks A dengan p q vektor eigen diberikan oleh p q ( v = λ (p q i x(q +i 1 i=1 Berdasarkan Teorema 2, dapat ditemukan nilai eigen sekaligus vector eigen dari suatu matriks persegi yang dikenal dengan Algoritma Power[6], yaitu sebagai berikut: 4

26 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya 1. Mulai dari sebarang vektor awal x(0 ε 2. Iterasi persamaan 1 sampai ada bilangan bulat p > q 0 dan bilangan real c sehingga suatu perilaku periodik terjadi, yaitu x(p = c x(q. 3. Hitung nilai eigen λ = c p q 4. Hitung vektor eigen p q ( v = λ (p q i x(q +i 1 i=1 Algoritma tersebut sudah diimplementasikan dengan Scilab dalam Max Plus Toolbox[7]. 3 Analisis Dan Pembahasan 3.1 Jalur Monorel dan Trem di Surabaya Pada penelitian ini jalur monorel dan trem dibahas dalam koridor satu dan dua. 1. Koridor Satu Koridor ini ditentukan berdasarkan rencana pembangunan jalur monorel yaitu jalur yang menghubungkan Surabaya Timur dan Barat. Pada koridor jalur monorel melewati Kejawan (East Coast Citraland Kejawan (East Coast, lebih lengkapnya yaitu: East Coast (SM 1 Mulyosari (SM 2 ITS (SM 3 GOR Kertajaya Indah (SM 4 Galaxy Mall (SM 5 Unair Kampus C (SM 6 Dharmahusada (SM 7 RS Dr.Sutomo (SM 8 Stasiun Gubeng (SM 9 Jl. Raya Gubeng (SM 10 Jl.Irian Barat (SM 11 Jl.Bung Tomo/Marvel City(SM 12 Ngagel (Novotel (SM 13 Wonokromo (DTC (SM 14 Joyoboyo (SM 15 Sutos (SM 16 Ciputra World (SM 17 Dukuh Kupang (SM 18 Bundaran Satelit (SM 19 HR.Muhammad(SM 20 SimpangDarmoPermai(SM 21 Simpang PTC Lenmark (SM 22 Unesa (SM 23 Citraland (SM 24 Unesa (SM 23 Simpang PTC Lenmark (SM 22 Simpang Darmo Permai (SM 21 HR.Muhammad (SM 20 Bundaran Satelit (SM 19 Dukuh Kupang (SM 18 Ciputra World (SM 17 Sutos (SM 16 Joyoboyo (SM 15 Wonokromo (DTC (SM 14 Ngagel(Novotel (SM 13 Jl.Bung Tomo (SM 12 Jl.Irian Barat (SM 11 Jl.Raya Gubeng (SM 10 Stasiun Gubeng (SM 9 RS Dr.Sutomo (SM 8 Dharmahusada (SM 7 Unair Kampus C (SM 6 Galaxy Mall (SM 5 GOR Kertajaya Indah (SM 4 ITS (SM 3 Mulyosari (SM 2 Kejawan (East Coast(SM Koridor dua Korodor ini ditentukan berdasarkan rencana pembangunan jalur trem yaitu jalur yang menghubungkan Surabaya Utara dan Selatan. Pada koridor ini terdapat jalur trem yang melewati Joyoboyo Rajawali Joyyoboyo, lebih lengkapnya sebagai berikut : 5

27 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya Joyoboyo (ST 1 Kebun Binatang (ST 2 Taman Bungkul (ST 3 Bintoro(ST 4 Pandegiling(ST 5 UripSumoharjo/Keputran(ST 6 Kombespol M.Duryat (ST 7 Tegalsari (ST 8 Embong Malang (ST 9 Kedungdoro (ST 10 Pasar Blauran (ST 11 Bubutan (ST 12 PasarTuri(ST 13 Kemayoran(ST 14 Indrapura(ST 15 Rajawali (ST 16 Jembatan Merah (ST 17 Veteran (ST 18 Tugu Pahlawan(ST 19 Baliwerti(ST 20 Siola(ST 21 Genteng(ST 22 Pasar Tunjungan (ST 23 Gubernur Suryo (ST 24 Bambu Runcing (ST 25 Sonokembang (ST 26 Urip Sumoharjo/Keputran (ST 6 Pandegiling (ST 5 Bintoro (ST 4 Taman Bungkul (ST 3 Bonbin (ST 2 Joyoboyo. Dari jalur monorel dan trem tersebut terdapat dua intermoda (titik pertemuan monorel dan trem yang memungkinkan penumpang untuk berpindah moda dari monorel ke trem ataupun sebaliknya. Intermoda pertama yang dimaksud yaitu stasiun monorel dengan stasiun trem di Joyoboyo, intermoda kedua yang dimaksud yaitu stasiun monorel di Jl.Irian Barat dengan stasiun trem di Keputran. Jalur monorel yang menghubungkan Surabaya Timur dan Barat terdiri dari 24 titik pertemuan/stasiun monorel. Sedangkan untuk koridor 2 terdapat 26 stasiun pemberhentian dengan dengan 2 stasiun trem yang memungkinkan penumpang untuk melakukan perpindahan dalam koridor yang sama, stasiun yang dimaksud yaitu stasiun trem yang berada di Urip Sumoharjo/Keputran dan Ps.Tunjungan Plasa dengan Embong Malang. Terdapat 24 stasiun monorel dan 26 stasiun trem yang selanjutnya akan dijadikan vertex dalam graf berarah, yaitu SM 1,SM 2,...,SM 24 dan ST 1,ST 2,...,ST Penyusunan Graf Berarah dari Jalur Monorel dan Trem di Surabaya Dalam penyusunan graf berarah diperlukan data-data berupa vertex yang dapat diartikan sebagai titik-titik pemberangkatan dan pemberhentian (stasiun monorel dan stasiun trem dan waktu tempuh antara dua vertex (antara dua stasiun. Dalam penelitian ini, jumlah alokasi monorel ataupun trem yang digunakan untuk penyusunan model yaitu berdasarkan lama waktu tempuh antar stasiun. Dari data yang diperoleh dapat digambarkan graf berarah dimana vertex-vertex nya merupakan stasiun sedangkan garis(edge yang menghubungkan vertex-vertex tersebut dinamakan path dengan bobot pada setiap edge adalah waktu tempuh rata-rata antar stasiun t i, untuk i = 1,2,3,,77. Arah graf didadapatkan dari arah monorel dan trem yang beroperasi sebagaimana telah di uraikan pada jalur monorel dan trem di kota Surabaya. Dalam pembahasan ini didapatkan graf berarah dari stasiun monorel East Cost (SM 1 menuju stasiun monorel Mulyosari (SM 2 dengan waktu tempuh tempuh rata-rata t Sinkronisasi Dan Penyusunan Model Sinkronisasi menjelaskan mengenai aturan keberangkatan monorel dan trem dari suatu stasiun yang harus menunggu kedatangan monorel atau trem yang menuju ke stasiun tersebut. Hal ini dimaksudkan untuk menjamin penumpang 6

28 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya dapat berpindah dari suatu moda dari jalur tertentu ke moda lainnya dengan jalur yang berbeda. Tabel 1. Pendefinisian variable Waktu Keberangkatan pada saat ke k Dari Ke Variabel Dari ke Variabel SM 1 SM 2 x 1(k SM 8 SM 7 x 40(k SM 2 SM 3 x 2(k SM 7 SM 6 x 41(k SM 3 SM 4 x 3(k SM 6 SM 5 x 42(k SM 4 SM 5 x 4(k SM 5 SM 4 x 43(k SM 5 SM 6 x 5(k SM 4 SM 3 x 44(k SM 6 SM 7 x 6(k SM 3 SM 2 x 45(k SM 7 SM 8 x 7(k SM 2 SM 1 x 46(k SM 8 SM 9 x 8(k ST 1 ST 2 x 47(k SM 9 SM 10 x 9(k ST 2 ST 3 x 48(k SM 10 SM 11 x 10(k ST 3 ST 4 x 49(k SM 11 SM 12 x 11(k ST 4 ST 5 x 50(k SM 12 SM 13 x 12(k ST 5 ST 6 x 51(k SM 13 SM 14 x 13(k ST 6 ST 7 x 52(k SM 14 SM 15 x 14(k ST 7 ST 8 x 53(k SM 15 SM 16 x 15(k ST 8 ST 9 x 54(k SM 16 SM 17 x 16(k ST 9 ST 10 x 55(k SM 17 SM 18 x 17(k ST 10 ST 11 x 56(k SM 18 SM 19 x 18(k ST 11 ST 12 x 57(k SM 19 SM 20 x 19(k ST 12 ST 13 x 58(k SM 20 SM 21 x 20(k ST 13 ST 14 x 59(k SM 21 SM 22 x 21(k ST 14 ST 15 x 60(k SM 22 SM 23 x 22(k ST 15 ST 16 x 61(k SM 23 SM 24 x 23(k ST 16 ST 17 x 62(k SM 24 SM 23 x 24(k ST 17 ST 18 x 63(k SM 23 SM 22 x 25(k ST 18 ST 19 x 64(k SM 22 SM 21 x 26(k ST 19 ST 20 x 65(k SM 21 SM 20 x 27(k ST 20 ST 21 x 66(k SM 20 SM 19 x 28(k ST 21 ST 22 x 67(k SM 19 SM 18 x 29(k ST 22 ST 23 x 68(k SM 18 SM 17 x 30(k ST 23 ST 24 x 69(k SM 17 SM 16 x 31(k ST 24 ST 25 x 70(k SM 16 SM 15 x 32(k ST 25 ST 26 x 71(k SM 15 SM 14 x 33(k ST 26 ST 6 x 72(k SM 14 SM 13 x 34(k ST 6 ST 5 x 73(k SM 13 SM 12 x 35(k ST 5 ST 4 x 74(k SM 12 SM 11 x 36(k ST 4 ST 3 x 75(k SM 11 SM 10 x 37(k ST 3 ST 2 x 76(k SM 10 SM 9 x 38(k ST 2 ST 1 x 77(k SM 9 SM 8 x 39(k Dari Tabel 1 dan berdasarkan aturan sinkronisasi serta asumsi keberangkatan jumlah monorel dan trem yang didasarkan pada jarak tempuh antar dua stasiun. Selanjutnya apat dikonstruksi model monorel dan trem sebagai berikut: x (k = B x(k (2 dengan matriks B yanng berukuran dan x berukuran 38 1, dimana x = [ x a x b x c x d x e ] T 7

29 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya dengan x a = [ ] T x 2 x 3 x 5 x 6 x 8 x 9 x 11 x 12 x 14 x b = [ ] T x 16 x 17 x 19 x 21 x 23 x 25 x 27 x 29 x c = [ ] T x 31 x 32 x 34 x 35 x 37 x 39 x 40 x 42 x d = [ ] T x 43 x 45 x 46 x 48 x 51 x 54 x 57 x 59 x e = [ ] T x 64 x 66 x 68 x 70 x 72 4 Kesimpulan Dari hasil analisa yang telah dilakukan dalam memodelkan diperoleh model jalur monorel dan trem yang terintegrasi di kota Surabaya menggunakan aljabar max-plus bentuk model x(k +1 = A x(k dan x = B x(k. Daftar Pustaka [1]. Pusat Data dan Informasi Sekretariat Jenderal Kementerian Perhubungan - Republik Indonesia Rencana Pembangunan Jangka Panjang Departemen Perhubungan <URL: > [2]. BKKPM. Surabaya Akan Bangun Trem dan Monorel. <URL: [3]. Rahmawati, N. Analisis Pemodelan Dan Penjadwalan Busway Di Surabaya dengan Aljabar Max-Plus, Tesis Magister Matematika ITS Surabaya,2012. [4]. Fahim, K. Aplikasi Aljabar Max-Plus Pada Pemodelan Dan Penjadwalan Busway Yang Diintegrasikan Dengan Kereta Api Komuter, Tugas Akhir Matematika ITS Surabaya,2013. [5]. Oktavianto, K. Implementasi Aljabar Max-Plus pada Pemodelan dan Penjadwalan Keberangkatan Bus Kota Damri(Studi Kasus di Surabaya, Tugas Akhir Matematika ITS,2013. [6]. Subiono. Aljabar Maxplus dan Terapannya.Buku Ajar Kuliah Pasca Sarjana Matematika, ITS, Surabaya,2012. [7]. Subiono,Fahim.K., dan Adzkiya,D.Maxplus Algebra And Petrinet Toolbox. < org/toolboxes/maxplus etrinet>,

30 Sifat-sifat Aljabar dari Pemetaan Topologi Topografi Fuzzy Muhammad Abdy Jurusan Matematika, FMIPA - Universitas Negeri Makassar muh.abdy@unm.ac.id Abstrak: Pemetaan Topologi Topografi Fuzzy (PTTF merupakan suatu metode baru untuk menyelesaikan masalah invers neuromagnetik dalam menentukan posisi sumber arus lemah dalam otak. PTTF terdiri dari empat komponen yang dihubungkan oleh tiga algoritma. Dalam paper ini, keempat komponen tersebut diperlihatkan sifat-sifat aljabarnya, yaitu sebagai suatu grup komutatif dan ruang vektor. Kata kunci: invers neuromagnetik, PTTF, Kontur Magnetik, Bidang Dasar Magnetik, Magnetik Fuzzy, Topografi Medan Magnet 1. Pendahuluan Pemetaan Topologi Topografi Fuzzy (PTTF merupakan suatu metode baru untuk menyelesaikan masalah invers neuromagnetik dalam menentukan posisi sumber arus lemah dalam otak. PTTF terdiri dari empat komponen yang dihubungkan oleh tiga algoritma, seperti terlihat pada Gambar 1 Bidang Kontur Magnetik Topografi Medan Magnetik Algoritma 1 Bidang Dasar Magnetik Algoritma 2 Gambar 1 Algoritma 3 Medan Magnetik Fuzzy Keempat komponen itu adalah bidang kontur magnetik (KM, bidang dasar magnetik (DM, medan magnetik fuzzy (MF dan topografi medan magnetik (TM. KM adalah suatu medan magnet pada bidang di atas suatu sumber arus dengan z = 0. Bidang ini diturunkan ke bawah (DM yaitu suatu bidang dimana sumber arus berada dengan z = -h. Kemudian semua elemen DM difuzzikan ke dalam suatu lingkungan fuzzy (MF, yaitu semua nilai medan magnet difuzzikan. Proses terakhir adalah defuzzifikasi dari data fuzzi medan magnet untuk mendapatkan posisi sumber arus dalam bentuk 3-dimensi (TM. Dengan 9

31 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya menggunakan data simulasi medan magnet yang dibangkitkan dengan program MATLAB, Fauziah [1] menyelesaikan masalah invers neuromagnetik untuk suatu sumber arus tunggal tak terbatas dengan menggunakan PTTF. Liau [3] mengkonstruksi PTTF sebagai suatu himpunan dari model dengan empat komponen dan tiga algoritma yang menghubungkan keempat. komponen itu. Kemudian dia membuktikan bahwa keempat komponen itu adalah homeomorfik satu sama lain. 2. Sifat-sifat Aljabar PTTF Fauziah [2] mendefinisikan suatu formula bacaan medan magnet dalam arah yang sejajar sumbu-z sebagai µ I y 0 B Z = ( π y + z Kemudian [3] memodifikasi persamaan (1 menjadi µ I y y 0 p B (, = 2 2 ( + ( + ( (2 Z x y 0 2π y y p h x x p tg θ 90 Dimana µ adalah permiabilitas (4π.10-7 metertesla/ampere, I adalah kuat arus, 0 θ adalah sudut antara arus dan sumbu-z, h adalah jarak antara KM dan sumber arus. x y, B x, y R, B B B, dan misalkan Misalkan KM = ( {( [ ]},, 0 Z ( x, y Z ( x, y Zmin Zmax didefinisikan suatu relasi + KM dari KM KM ke KM seperti berikut: + KM = {( x y, B, ( x, y, B, ( x, y, B Dengan 1, 1 0 Z ( x1, y Z ( x2, y Z ( x3, y3 ( } 1 + x2, y1 + y2, B 0 ( 1 2, 1 2 x3, y3, B Z x x y + y 0 Z ( x3, y3 ( x = ( + (3 B µ I ( y + y y 1 2 p = 2 0 ( y + y y + h + ( x + x x tg( θ 90 Ambil. ( Perhatikan bahwa ( Oleh karena itu, diperoleh ( 0 + ( 1 y2 2π 1 2 p 1 2 p ( x y B ( ( Z x y x y BZ x y x y BZ x y + 1, 1, (,, 2, 2, 0 0 (,, 3, , 0 ( 3, 3 KM ( x y 1 0, B (,, ( x 2, y 2 0, B (,, ( x 3, y 3 Z x1 y1 Z x2 y2 0, BZ ( x3, ( y, B, ( x, y B Z ( x1 + x2, y 2 ( KM. 1, y3 1, 1 0 Z ( x1, y 2 2, 1 0 Z ( x2, y2 x KM KM, dan juga diperoleh bahwa ( ( x y, B, ( x, y, B, ( x, y B (KM KM KM. 1, 1 0 Z ( x1, y Z ( x2, y2 3 3, 0 Z ( x3, y3 Sehingga, + KM (KM KM KM. Jadi + KM adalah suatu relasi. Selanjutnya diperlihatkan bahwa + KM adalah suatu pemetaan dari KM KM ke KM. Jika untuk ( ( x, ( ( 1 y1, B (,, x2, y2, B (,, x, y, B (, + 0 Z x 1 y 1 0 Z x 2 y2 a a 0 Z x a y a KM dan ( ( x y, B, ( x, y, B, ( x, y B + KM, maka, Z ( x, (,, 1 y1 Z x2 y 2 b b 0 Z ( x b, yb, y 0, B a a Z ( x a, y a ( x 1 + x 2, y 1 + y 2 0, B Z (, x1 + x2 y1 + y2 ( x = ( 10

32 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya dan = ( x x, y + y µ 0I, 2π ( y + y y 1 2 p 2 0 ( y + y y + h + ( x + x x tg( θ ( x y B = ( + x y + y, 0, b b Z ( x b, y b 1 2 (, x 1 2, B Z ( x1 + x2, y1 + y2 p ( 1 2 p µ ( = ( + 0I y y y 1 2 p x1 x2, y1 + y2, π ( ( ( y1 + y2 y p + h + x1 + x2 x p tg θ 90 Dengan demikian, ( x y ( x + x, y + y ( x, y x + 2 ( a, a = = b b, sehingga x = + x = x a 1 2 b, B Z ( xa, y = B a Z ( x1 + x2, y1 + y2 = BZ ( xb, y. Jadi diperoleh b x, y 0, B b b Z ( x b, y b. Dengan demikian, jika diberikan sebarang y a = y1 + y2 = y b, dan ( x y B = (, 0, a a Z ( x a, y a ( himpunan tak kosong KM, maka + KM adalah suatu relasi sedemikian sehingga x y, B, x, y B KM KM, terdapat suatu ( ( 1, 2 2, 1 0 Z ( x2, y2 ( 3, 0, B Z (, x3 y3 ( ( (, ( x, y B untuk setiap ( 1 0 Z ( x, y1 elemen tunggal ( y 3 ( y, B, x, y, B x KM sedemikian sehingga x + KM. Oleh karena itu, 1, 1 (, (, 3 3, 0 Z x1 y1 Z x2 y2 0 Z ( x3, y3 + KM.adalah suatu pemetaan dari KM KM ke KM. Jadi, + KM adalah suatu operasi biner pada KM sedemikian sehingga y, B + x, y, B = x + x, y + y B (4 ( ( ( ( x 1, 1 0 Z ( x1, y1 KM Z ( x2, y , Z ( x1 + x2, y1 + y2 Selanjutnya diperlihatkan bahwa kontur magnetik pada PTTF dengan operasi biner + KM adalah suatu grup dengan membuktikan Teorema 1 berikut. Teorema 1 ( KM, + KM adalah suatu grup Bukti x y, B, x, y B KM, maka ( 1, 0, ( (, Z x, 1 y1 Z x2 y2 ( ( x, y, B = ( x + x, y + y B Misalkan ( 1 ( y, B x 1, 1 0 Z ( x1, y1 KM Z ( x2, y , Z ( x1 + x2, y1 + y2 x, x, y, y R (bilangan rill, maka x x, y + y B Z ( x1 + x2, y1 + y2 dapat dinyatakan dalam bentuk µ 0I Y y p 2π p θ Dengan demikian, B Z x x, y + +. Karena 2 ( p + R. Selanjutnya,, dimana X = x 1 + x dan Y = y y ( Y y + h + X x tg( 90 ( y [ B, ] 2 Z min BZ max dan ( + x 2 y 1 + y 2 0 KM. Jadi, ( 1, y 1 0, B (, ( 2, 2 0, (, Z x1 y1 KM x y BZ x2 y2 Selanjutnya, misalkan ( y 1 0, B (, ( (, ( 3 3 Z x,,,,, 1 y x y B 1 Z x2 y x y 2 0, KM, maka ( x y ( ( 1, B 0 Z ( x1, y + 1 KM x2, y2, B 0 Z ( x2, y2 + KM x3, y3, B 0 Z ( x = ( x 1, y 1 0, B (, ( (, Z x,, 1 y + 1 KM x + x y + y BZ x2 + x3 y2 + y3 = ( x + x, y + ( y + y, (, x 1, B Z ( x1 + x2, y1 + y2 x + KM. (tertutup ( B (, Z x3 [ ( ] x 1, y3 1, 3, y3 ( x 1 ( B 0 Z ( x1 + ( x2 + x3, y1 + ( y2 + y3 + (5 Juga dapat ditulis: x y, B + x, y, B + [( ( ] ( x, y ( B 1, 1 (, (, 3 3, 0 Z x1 y1 KM Z x2 y2 KM 0 Z ( x3, y3 11

33 ( x 1, + ( 3, 3 0, (, 1 KM x y BZ x3 y3 ( x 1,, B Z ((,( x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 (, = ( + x 2 y 1 + y 2 0, BZ ( x + x2, y1 + y2 = (( + x 2 + x 3 ( y 1 + y 2 + y 3 0 = ( x + x, y + ( y + y x 1 ( B 0 Z ( x1 + ( x2 + x3, y1 + ( y2 + y3 Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII Juni 2014, ITS, Surabaya + (6 Dari (5 dan (6, maka x y, B + x, y, B + [ ( ] ( ( ( ( 1, 1 (, (, 3, 0 3, Z x1 y1 KM Z x2 y2 KM x y B 0 Z ( x3, y3 = [( x y ( ] ( 1, B (, x2, y2, B ( 2, 2 + x3, y3, B Z x y KM Z x y KM 0 Z ( x3, Selanjutnya, dalam KM terdapat ( 0,0 0, B (0,0 Z ( x, y 0, B Z (, x y KM, maka ( 0,0 0, B (0,0 Z + KM (, y 0, B Z ( x, y ( 0 + x,0 + y 0, B Z (0,0 + x + y = ( 0,0 0, B (0,0 Z. Juga dapat ditulis ( x, y 0, B Z (, x y + KM (,0 ( x, y + 0 = (,0 B. Jadi (,0 1, y3 ( + 0 0, B Z ( x+ 0, y+ 0 + (assosiatif ( 0 0, Z (0,0 identitas dalam KM dengan operasi + KM.. Perhatikan bahwa untuk setiap ( x = ( 0 0, (0,0 Z ( 0 0, Z (0,0 Selanjutnya, perhatikan bahwa untuk setiap (, y 0, B Z ( x, y ( x, y 0, B Z (, x y + KM ( x, y 0, B Z (, x y = ( x + x, y + ( y = (,0 Juga dapat ditulis: x y B = B adalah elemen ( x KM, maka ( ( 0, B Z ( x+ ( x, y+ ( y ( 0 0, Z (0,0 (, 0, B Z (, x y + KM ( x, y 0, B Z (, x y = ( + x y + y = (,0 B (7 ( x, 0, B Z (, x+ x y+ y ( 0 0, Z (0,0 B (8 Jadi setiap elemen KM mempunyai elemen invers dalam KM dengan operasi + KM. Teorema 2 ( KM, + KM adalah suatu grup komutatif Bukti x y, B, x, y B ( 1, 0, ( (, Z x, 1 y1 Z x2 y KM, maka 2 ( ( x, y, B = ( x + x, y + y B Misalkan ( 1 ( y, B x 1, 1 0 Z ( x1, y1 KM Z ( x2, y , Z ( x1 + x2, y1 + y2 Demikian juga, y, B ( + ( x, y + (9 ( 1 1 0, B (, ( (, Z x, 1 y = x + x y + y B 1 Z x2+ x1 y2 = ( x y + y, x 2, 2 0 Z ( x2, y2 KM, + y1 x 1 2, B Z ( x1 + x2, y1 + y2 Dari (9 dan (10, maka y, B x, y ( x + ( B = ( y 1, 1 0 Z ( x1, y1 KM 2 2 0, Z ( x2, y2 + (10 (, B ( x, y B x + 2, 2 0 Z ( x2, y2 KM 1 1 0, Z ( x1, y1 Teorema berikut memperlihatkan bahwa kontur magnetik pada PTTF adalah suatu ruang vektor. Teorema 3 KM adalah suatu ruang vektor Bukti Terlebih dahulu didefinisikan operasi perkalian pada KM sedemikian sehingga y rx ry ; r R, ( r ( x = (, 0, B Z ( x, y (, 0, B Z ( rx, ry 12

34 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya ( Karena rx, ry R, maka ( rx, ry 0, B Z ( rx, ry KM sehingga r ( x, y 0, B Z (, x y KM untuk setiap (, y 0, B Z (, x y Selanjutnya, misalkan ( 1, y 1 0, B (,, ( 2, 2 0, (, Z x1 y x y B 1 Z x2 y2 r [( x ( ] 1, y1, B 0 Z ( x1, y1 + KM x2, y2, B 0 Z ( x2, y2 = r ( + x 2 y 1 + y 2 = ( x x, r( y + y, Juga dapat ditulis, y, r ( x 1, 1 0 B Z ( x1, y1 + KM r ( x y 1 0 = ( rx 1, ry 1 0, B Z (, rx1 ry + 1 KM ( rx ry 2 = ( rx 1 + rx 2, ry 1 + ry 2 0, B Z ( rx1 + rx2, ry1+ ry2 = ( x x, r( y + y, x dan r R. x KM dan r R, maka ( x 1, 0, B Z (, x1 + x2 y1+ y2 ( r ( B 0 Z ( r ( x1 + x2, r ( y1+ y2 ( ( 1,, B Z (, x1 y1 ( 2, 0, B Z (, rx2 ry2 ( ( r ( B Z ( r ( x1 + x2, r ( y1+ y2 + (11 + (12 Dari (11 dan (12, maka x y, B + x, y [( ( ] ( r ( 1, 1 0 Z ( x1, y1 KM 2 2, B 0 Z ( x2, y2 = r ( x 1, y 1 0, B Z (, x1 y + 1 KM r ( x 1, y 1 0, B Z ( x1, y1 Selanjutnya, misalkan ( x, y 0, B Z (, x y r + t ( x, y = ( t x,( r + t y ( ( 0, B Z ( x, y Juga dapat ditulis y ( r ( x, 0, B Z ( x, y + KM s ( x y = ( rx, ry 0, B Z (, rx ry + KM ( tx ty = ( rx + tx, ry + ty 0, B Z (, rx+ tx ry+ ty = ( t x,( r + t y,dan r, t R, maka ( + (13 ( r 0, B Z (( r+ t x,( r+ t y (, 0, B Z (, x y ( ( r 0, B Z ( r+ t x,( r+ t y, 0, B Z ( tx, ty + (14 Dari (13 dan (14, maka r t x, y ( + ( 0, B Z (, x y = r ( x, y 0, B Z (, x y + KM t ( y 0, ( x, y 0, B KM Z ( x, y dan r, t R. Selanjutnya, misalkan ( x y 0, B Z ( x, y KM (rt ( x y = ( rtx rty = ( tx, r( ty (, 0, B Z ( x, y Juga dapat ditulis r t ( x y 0, B Z ( ( ( ( x untuk setiap, B Z ( x, y,, dan r, t R, maka (, 0, B Z ( rtx, rty ( (, x, y = r ( tx, ty 0, B Z ( tx, ty = ( tx, r( ty 0, Dari (15 dan (16, maka (rt ( x, y 0, B Z (, x y = r t ( x y Terakhir, misalkan ( x, y 0, B Z ( x, y KM, maka 1 ( x, y 0, B Z (, x y = ( 1,1 y 0, B Z (1,1 x y Juga dapat ditulis ( x, y 0, B Z (, x y = ( 1,1 y 0, B Z (1,1 x y Dari (17 dan (18, maka 1 ( x y = ( x y r ( 0, B Z ( r ( tx, r ( ty (15 ( ( B Z ( r ( tx, r ( ty ( ( r (16, B Z ( x, y x (17 (, 0, B Z ( x, y Jadi KM memenuhi semua aksioma ruang vektor. x (18 (, 0, B Z ( x, y Dengan cara yang serupa seperti dalam Teorema 1, Teorema 2 dan Teorema 3, maka diperoleh bahwa Bidang Dasar Medan Magnet (MD, Medan Magnet Fuzzy 0, 13