SEGMENTASI CITRA MEDIS DENGAN METODE KONTUR AKTIF MULTIRESOLUSI
|
|
|
- Yanti Sutedja
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 SEGMENTASI CITRA MEDIS DENGAN METODE KONTUR AKTIF MULTIRESOLUSI Auli Fuzih 1, Ann Yunirti, Rull Soelimn 3 Teknik Informtik, Fkults Teknologi Informsi, ITS emil : ulifuzih@hoo.com 1 ABSTRAKSI Dews ini, informsi ng terdpt dlm citr medis sngt penting bgi duni kedoktern. Informsi ng terkndung dlm citr medis tersebut sngt dibutuhkn untuk mengnlisis dignosis sutu penkit tu meneliti dn keruskn sel-sel tu jringn. Oleh sebb itu, st ini kin bnk dikembngkn penelitin terhdp obek citr medis sehingg ditemukn informsi penting ng terkndung di dlmn. Slh stu penelitin ng dilkukn dlh segmentsi citr digitl untuk mengethui bentuk sutu obek pd sebuh citr medis. Dlm mklh ini diimplementsikn sebuh teknik pengolhn citr digitl ng berup segmentsi citr medis dengn metode kontur ktif multiresolusi. Metode kontur ktif multiresolusi bik digunkn untuk segmentsi citr medis kren thn terhdp noise ng d di sekitr obek, sehingg bentuk obek ng dimti pd citr medis tertentu kn ditemukn. Uji cob dilkukn pd beberp citr medis berup mmmogrm, CT scn, dn pnormic rdiogrph. Hsil segmentsi citr medis dengn metode kontur ktif reltif mendekti bentuk obek ng dihrpkn. Kt kunci : segmentsi citr, kontur ktif, multiresolusi, deteksi tepi. 1 PENDAHULUAN Dews ini, informsi ng terdpt dlm citr medis sngt penting bgi duni kedoktern. Informsi ng terkndung dlm citr medis tersebut sngt dibutuhkn untuk mengnlisis dignosis sutu penkit tu meneliti dn keruskn sel-sel tu jringn. Slh stu contoh dlh citr mmmogrm ng di dlmn terdpt informsi mengeni dn sel knker. Semkin meningktn jumlh penderit knker mupun tumor ptut diwspdi. Dignosis dini terhdp knker tersebut merupkn hl ng penting, kren kemungkinn untuk dpt disembuhkn pd thp dini sngt besr. Dignosis dini dri knker dpt dilkukn dengn mendeteksi bts derh knker. Tidk hn citr mmmogrm sj, citr medis linn jug menimpn informsi penting ng hrus digli untuk dpt memberikn dignosis ng tept. Pd umumn, gmbr hsil citr medis mempuni beberp gnggun, dintrn dlh iluminsi (penchn ng tidk mert, dn kontrs ng rendh, dn noise. Kren dn gnggun-gnggun tersebut mk d beberp obek dlm citr medis ng terliht kurng jels. Agr informsi dlm citr medis dpt terliht, mk dibutuhkn pengolhn citr medis untuk mengethui bentuk obek ng kurng jels tersebut. Dengn mendeteksi tepi dri sutu derh tertentu pd citr, mk tim medis kn lebih mudh dlm mengnlisis fitur-fitur linn. Oleh sebb itu, st ini kin bnk dikembngkn penelitin terhdp obek citr medis, slh stun dlh penelitin ng dilkukn dlh segmentsi citr digitl untuk mengethui bentuk sutu obek pd sebuh citr medis. Dlm mklh ini diimplementsikn sebuh teknik pengolhn citr digitl ng berup segmentsi citr medis dengn metode kontur ktif multiresolusi. Metode kontur ktif multiresolusi bik digunkn untuk segmentsi citr medis kren thn terhdp noise ng d di sekitr obek, sehingg bentuk obek ng dimti pd citr medis tertentu kn ditemukn. GENERALIZED GRADIENT VECTOR FLOW Xu dn Prince telh mengenlkn sebuh kontur ktif grdient vector flow untuk mencpi segmentsi ng lebih bik [], [3], [4]. Didefinisikn bidng grdient vector flow sebgi bidng vektor v (, = [ u(,, v(, ] ng meminimsi fungsi energi: = µ ε ( u + u + v + v + f v f dd (1 St f kecil, mk energi didominsi oleh penjumlhn dri kudrt turunn prsil dri bidng vektor, hsiln dlh sebuh bidng bervrisi rendh. Di smping itu, st f bernili besr, mk term kedu mendominsi fungsi integrl. Dengn menggunkn vrisi klkulus, hl ini dpt ditunjukkn bhw bidng GVF dpt ditemukn dengn menelesikn persmn Euler: µ u ( u f µ v ( v f ( f ( f + + f f = 0 = 0 ( (3 1
![diperkenlkn oleh Mllt [5].](/docs-images/70/62231860/images/2-2.jpg "Untuk citr dimensi, terdpt komponen pd trnsformsi wvelet pd skl, itu W 1 dn W ng didptkn dri konvolusi citr dengn wvelet ψ (, dn ψ (,, sebgi berikut: 1 ( (b (c Gmbr 1( Contoh pemetn tepi dengn")
2 diperkenlkn oleh Mllt [5]. Untuk citr dimensi, terdpt komponen pd trnsformsi wvelet pd skl, itu W 1 dn W ng didptkn dri konvolusi citr dengn wvelet ψ (, dn ψ (,, sebgi berikut: 1 ( (b (c Gmbr 1( Contoh pemetn tepi dengn menggunkn GGVF; (b Kekutn potensil; (c Perbesrn dri kekutn potensil pd bts melengkung (boundr concvit dimn dlh opersi Lplcin. GGVF merupkn solusi keseimbngn dri persmn diferensil prsil vektor sebgi berikut: v t = g ( f v h( f ( v f Bidng GGVF ng dihitung dengn menggunkn fungsi-fungsi pembobotn di ts kn sesui dengn grdien edge mp pd tepin ng kut. Pemberin bobot pd GGVF merupkn generlissi dri GVF ng berup: f K ( f = e ( f = g( f (4 g (5 h 1 (6 Kontur ktif GGVF memiliki derh tngkp ng lebih besr bil dibndingkn dengn kontur ktif trdisionl. Nmun, GGVF tidk dpt menemukn bentuk obek pd beberp citr medis kren dn pengruh noise. Oleh kren itu, pd mklh ini diimplementsikn sebuh metode kontur ktif multiresolusi ng memperbiki kinerj GGVF. Contoh pemetn bts obek dengn menggunkn GGVF dpt diliht pd Gmbr 1. 3 KONTUR AKTIF MULTIRESOLUSI 3.1 Deteksi Tepi Multiskl Multiscle edge detection tu deteksi tepi multiskl ng berbsis pd trnsformsi wvelet telh W W 1 f ( 1 * ψ (,, = * ψ (, (7 Wvelet (, = (8 ψ dn (, 1 ψ merupkn dilsi dri sebuh mother wvelet ng nilin mendekti turunn pertm dri fungsi Gussin smoothing θ (, pd skl. Didefinisikn mother wvelet dlh turunn prsil dri fungsi Gussin tu Meicn Ht dimensi terhdp dn. Misln ψ (, dlh bsis wvelet (Gussin tu Meicn Ht, mk: (, ψ (, = (9 (, ψ (, = (10 Kemudin mother wvelet pd skl, dpt didefinisikn sebgi berikut: ψ (, = ψ (, (11 1 ψ (, = ψ (, (1 Du komponen dri trnsformsi wvelet W 1 dn W merepresentsikn vektor grdien dri citr. Modulus dri vektor grdien dlh sebgi berikut: M W 1 + W = (13 Dn orientsi dri vektor grdien dlh sebgi berikut: = α (, W 0 (14 A A A 1 = π α (, W 0 (15 dimn: 1 < ( W / W 1 α (, = tn 1 (16
![krkteristik itu trnsformsi wvelet dlh multiskl dn bsis wvelet dlh fleksibel [1].](/docs-images/70/62231860/images/3-1.jpg "Bidng vektor wvelet dibentuk untuk meminimsi energi: E = µ V + Wf V Wf dd (17 w w ( dimn Wf dlh vektor trnsformsi wvelet pd skl : Wf = W, W (18 ( 1 (b (c Gmbr ( Citr rod.")
3 krkteristik itu trnsformsi wvelet dlh multiskl dn bsis wvelet dlh fleksibel [1]. Bidng vektor wvelet dibentuk untuk meminimsi energi: E = µ V + Wf V Wf dd (17 w w ( dimn Wf dlh vektor trnsformsi wvelet pd skl : Wf = W, W (18 ( 1 (b (c Gmbr ( Citr rod.bmp (b Deteksi tepi dengn opertor grdien (c Deteksi tepi multiskl berbsis trnsformsi wvelet Deteksi tepi multiskl berbsis trnsformsi wvelet dpt mengtsi citr bernoise dibndingkn dengn opersi grdien ng sensitif terhdp noise. Sehingg deteksi tepi multiskl jug dpt menghsilkn tepi ng lebih jels. Gmbr ( merupkn contoh citr rod.bmp. Deteksi tepi dengn opertor grdien pd citr rod.bmp dpt diliht pd Gmbr (b. Sedngkn deteksi tepi multiskl berbsis trnsformsi wvelet dpt diliht pd Gmbr (c. 3. Kontur Aktif Multiresolusi Segmentsi citr medis dengn metode kontur ktif multiresolusi dilkukn untuk mendpkn hsil segmentsi obek ng sesui dn kurt. Metode kontur ktif multiresolusi dpt mendefinisikn bidng kekutn eksternl bru itu wvelet vector field. Keuntungn dri wvelet vector field dlh thn terhdp noise dn dpt mensegmentsi citr medis ng rumit. Pd GGVF, lirn vektor dihitung dri vektor grdien citr. Nmun opersi grdien sensitif terhdp noise. Dengn trnsformsi wvelet multiskl, didptkn edge imge dn vektor wvelet ng menggntikn edge imge dn vektor pd GGVF. Grdien dri sebuh citr dlh vektor ng terdiri dri besrn dn rh. Besrn vektor merefleksikn perubhn step pd citr gr scle, sedngkn rh vektor merepresentsikn tepi obek citr. Berdsrkn hl tersebut, vektor trnsformsi wvelet Wf = W, W menggntikn vektor ( 1 grdien pd GGVF. Dri teori trnsformsi wvelet, selin besrn dn rh, vektor trnsformsi wvelet jug memiliki Berikut ini merupkn lgortim untuk metode kontur ktif multiresolusi: 1. Deteksi tepi multiskl berbsis trnsformsi wvelet pd sebuh citr kn didptkn edge mp. Pilihn bsis wvelet dn skl terbesr dlh berdsrkn krkter dri citr trget. Misln, dpt memilih skl terbesr 3 dn fungsi Meicn ht sebgi bsis wvelet. Bsis lin ng jug dpt digunkn dlh Gussin.. Pembentukn vector field dilkukn mellui perhitungn turunn prsil dri edge mp pd rh horizontl dn orientsi vertikl, mk kn didptkn W dn. Misl 1 W u = W dn v = W, mk kn 1 dilkukn sebnk n itersi pd formul berikut: u = u + µ u ( u Wf ( Wf + Wf (19 v = v + µ v ( v Wf ( Wf + Wf (0 3. Proses deformsi dimuli dri inisilissi kurv s = ( v1, v,... vn pd bidng vektor, kemudin pd setip titik v (, mendekti tepi ng dihrpkn dengn formul: = inv ( γ + κ w (1 = inv ( γ + κ w ( dimn w dn w dlh vektor komponen Wf ng telh terupdte pd u dn v. Sedngkn inv, γ, κ dlh prmeter ng mengontrol keceptn snke tu kurv kontur ktif. 3.3 Metodologi Secr umum, metode segmentsi citr dengn metode kontur ktif multiresolusi dpt diliht pd Gmbr 3. Pd Gmbr tersebut dpt diliht bhw proses pertm dlh menghitung edge mp dri citr sl dengn metode deteksi tepi multiskl ng telh diperkenlkn oleh Mllt. 3
4 ( (b Gmbr 4 ( Citr medis slice1.bmp (b Kurv inisil untuk proses deformsi (1 (b1 Gmbr 3 Digrm lir proses segmentsi citr medis dengn metode kontur ktif multresolusi Kemudin menghitung vector field dri edge mp dn mengupdte vector field sebnk n1 itersi. Hsil vector field perlu dinormlissi gr dihsilkn btsn ng lebih jels ng menndkn punck pertemun lirnlirn vektor ng jug menndkn tepin obek. Sebelum melkukn deformsi, perlu diinisilissikn sebuh snke tu kurv. Pd umumn, inisilissi kurv sering berup lingkrn tu bngun-bngun dtr linn. Proses deformsi snke dlh proses ng dilkukn untuk menemukn tepi obek ng dihrpkn. Deformsi membutuhkn vector field kontur ktif multiresolusi sebgi kekutn eksternl dn inisilissi wl snke tu kurv sebgi kekutn internl. Dengn dilkukn sebnk n itersi tertentu, proses deformsi kn dpt membw kurv menuju tepin obek ng diinginkn. 4 UJI COBA DAN EVALUASI 4.1 Perbndingn Metode Kontur Aktif Multiresolusi dengn GGVF Telh disebutkn sebelumn bhw metode kontur ktif GGVF tidk dpt menemukn bentuk obek pd beberp citr medis kren dn pengruh noise. Gmbr 4 ( dn (b dlh citr slice1.bmp dn kurv ( (b (3 (b3 Gmbr 5 (1, (, dn (3 dlh edge mp, vector field, dn hsil segmentsi citr slice1.bmp dengn metode kontur ktif multiresolusi, sedngkn (b1, (b, dn (b3 dlh edge mp, vector field, dn hsil segmentsi dengn GGVF. inisil ng kn digunkn untuk membndingkn kinerj metode kontur ktif multiresolusi dn GGVF. Gmbr 5 merupkn hsil perbndingn metode kontur ktif multiresolusi dengn GGVF. Bgin kiri merupkn hsil segmentsi citr slice1.bmp dengn metode kontur ktif multiresolusi dn bgin knn dlh hsil segmentsi dengn GGVF. Dpt diliht bhw dn pengruh obek di sekitrn, GGVF tidk mmpu menemukn tepi obek ng dihrpkn. 4
5 4. Perubhn Nili σ dn Skl ( (b Gmbr 6 ( Citr medis slice.bmp (b Kurv inisil untuk proses deformsi ( (b (1 (b1 (c (d ( (b (e Gmbr 8 ( Citr cncer3.pgm (b Edge mp (c Vector field (d Kurv inisilissi (e Hsil segmentsi (3 (b3 Gmbr 7 (1, (, dn (3 dlh edge mp, vector field, dn hsil segmentsi citr slice.bmp dengn metode kontur ktif multiresolusi, sedngkn (b1, (b, dn (b3 dlh edge mp, vector field, dn hsil segmentsi dengn GGVF. Kemudin contoh untuk membndingkn dilkukn jug terhdp citr slice.bmp (Gmbr 6. Gmbr 7 merupkn hsil segmentsi citr slice.bmp dengn metode kontur ktif multiresolusi dn GGVF. Dpt diliht bhw kontur ktif multiresolusi dpt menemukn btsn tepi obek ng dihrpkn. Pd skenrio uji cob kedu itu perubhn nili σ dn skl kn mempengruhi pembentukn edge mp, vector field, dn hsil deformsi. Selm dilkukn perubhn bik nili σ mupun skl, prmeter lin untuk kurv inisilissi mupun deformsi kn bernili tetp sesui prmeter ng dinggp optiml. Citr cncer3.pgm, edge mp, vector field, kurv inisil, dn hsil segmentsi dengn prmeter ng pling optiml dpt diliht pd Gmbr 8. Pd msing-msing perubhn nili prmeter, lus hsil segmentsi kn dibndingkn dengn lus hsil pd Gmbr 8 ng dinggp sebgi hsil segmentsi optiml. Perubhn nili σ dilkukn dengn vrisi nili σ = 4., 4.5, dn 4.8. Hsil tingkt keberhsiln segmentsi msing-msing nili σ dpt diliht pd Tbel 1. Sedngkn perubhn nili skl dilkukn dengn vrisi nili sigm = 1,, 3, dn 4 dn hsil tingkt keberhsiln segmentsi msing-msing nili sigm dpt diliht pd Tbel. 5
6 Tbel 1 Hsil uji perubhn nili σ Uji Cob σ Tingkt Keberhsiln % % % Tbel Hsil uji perubhn nili skl Uji Cob Skl Tingkt Keberhsiln % % % % Tbel 3 Hsil uji perubhn pemilihn bsis wvelet Uji Cob Bsis Tingkt Keberhsiln 1 Gussin % Meicn Ht % Tbel 4 Hsil uji perubhn nili rdius tu bentuk kurv Uji Cob Rdius Tingkt Keberhsiln % % 3 Jjrn Genjng % Dri hsil tersebut, dpt diliht bhw nili σ dn skl dpt dinikkn pbil belum mencpi nili optiml. Apbil sudh optiml, mk nili σ dn skl semkin besr kn menghsilkn edge mp ng semkin kbur dn btsn tepi tidk terliht jels. 4.3 Pemilihn Bsis Wvelet Pd proses perhitungn edge mp dengn metode deteksi tepi multiskl, dibutuhkn bsis wvelet ng kn dikonvolusi dengn citr sl. Bsis ng digunkn pd proses segmentsi citr ini dlh bsis Gussin dn Meicn Ht. Hsil perubhn pemilihn bsis wvelet terhdp citr cncer3.pgm dpt diliht pd Tbel 3. Mellui uji skenrio perubhn pemilihn bsis wvelet, dpt diliht bhw nili bsis wvelet mempengruhi hsil deformsi. Pemilihn bsis wvelet dpt dilkukn berdsrkn krkteristik citr sl. 4.4 Perubhn Nili Rdius tu Bentuk Kurv Inisilissi Sebelum melkukn deformsi, perlu diinisilissikn sebuh snke tu kurv ng dpt berbentuk lingkrn tu bngun dtr linn. Uji cob skenrio perubhn nili rdius tu bentuk kurv dpt diliht pd Tbel 4. Mellui uji skenrio perubhn nili rdius, dpt diliht bhw nili rdius mempengruhi hsil deformsi. Bentuk tu ukurn kurv inisil disesuikn dengn ukurn obek ng dimti pd citr medis. Tbel 5 Hsil uji perubhn nili λ Uji Cob Nili λ Tingkt Keberhsiln % % % % Tbel 6 Hsil uji perubhn nili β Uji Cob Nili β Tingkt Keberhsiln % % % % Tbel 7 Hsil uji perubhn nili γ Uji Cob Nili γ Tingkt Keberhsiln % % % % Tbel 8 Hsil uji perubhn nili κ Uji Cob Nili κ Tingkt Keberhsiln % % % % 4.5 Perubhn Prmeter Deformsi Untuk melkukn perubhn bentuk kurv tu deformsi, dibutuhkn beberp prmeter itu jumlh itersi, λ, β,γ, dn κ. Pd uji cob skenrio ini dilkukn beberp vrisi jumlh itersi itu 10, 50, 70, dn 100 terhdp citr cncer3.pgm. Hsil perubhn jumlh itersi dpt diliht pd Tbel 5. Mellui uji skenrio perubhn jumlh itersi, dpt diliht pbil diperoleh hsil segmentsi ng kurng sesui, dpt dilkukn penmbhn jumlh itersi. Jik jumlh itersi msih terllu sedikit mk perubhn kurv deformsi belum smpi pd bts tepin. Sedngkn jik jumlh itersi berlebih, mk hsil segmentsi ng diperoleh kn mengikuti hsil itersi dri nili optiml. Kemudin nili λ jug dilkukn beberp vrisi nili itu 0.1, 0.5, 1.5, dn 4.5. Begtiu jug dengn vrisi nili β = 0, 1.5, 3.5, dn 7.5. Hsil perubhn nili λ dpt diliht pd Tbel 6, sedngkn hsil perubhn nili β dpt diliht pd Tbel 7. Selin nili λ dn β, nili γ dn κ jug dilkukn perubhn nili, itu γ = 1,, 3, 4 dn κ = 0.6, 1.5,.5, 4. Hsil perubhn nili γ dpt diliht pd Tbel 8 dn hsil perubhn nili κ dpt diliht pd Tbel 9. Dri Tbel 6, 7, 8, dn 9 dpt diliht bhw nili prmeter deformsi itu λ,γ, dn κ jug kn 6
7 mempengruhi hsil deformsi. Sedngkn nili sedikit berpengruh dn dpt ditetpkn nilin sebgi sutu konstnt. 5 KESIMPULAN Kesimpuln ng diperoleh berdsrkn uji cob dn evlusi ng telh dilkukn dlh sebgi berikut: 1. Metode kontur ktif multiresolusi dpt menghsilkn segmentsi obek lebih bik dripd GGVF pd beberp contoh citr.. Nili σ dn skl dpt dinikkn pbil belum mencpi nili optiml. Apbil sudh optiml, mk nili sigm dn skl semkin besr kn menghsilkn edge mp ng semkin kbur dn btsn tepi tidk terliht jels. 3. Bsis wvelet ng dibutuhkn untuk menghsilkn edge mp dpt dipilih berdsrkn krkteristik dri citr sl. 4. Diperlukn nili rdius untuk membngun sebuh kurv inisilissi berbentuk lingkrn. Selin lingkrn, kurv inisilissi dpt berbentuk bngun dtr linn. Besr keciln dn bentuk kurv inisilissi disesuikn dengn ukurn obek pd citr medis. 5. Untuk jumlh itersi, jik hsil segmentsi ng diperoleh msih kurng sesui, mk perlu dilkukn penmbhn jumlh itersi untuk proses deformsi. β Sedngkn jik jumlh itersi berlebih tu besr, mk hsiln kn mengikuti hsil segmentsi dengn jumlh itersi ng hsiln pling bik. 6. Nili prmeter deformsi itu lph, gm, dn kpp jug kn mempengruhi hsil deformsi. Sedngkn nili bet sedikit berpengruh dn dpt ditetpkn nilin. REFERENSI [1] Jinong Cheng, Yihui Liu, Ruiing Ji, Weiu Guo A New Active Contour for Medicl Imge Anlsis - Wvelet Vector Flow. IAENG 36:. [] Chenng Xu, Jerr L. Prince Generlized Grdient Vector Flow Eternl Forces for Active Contours. Signl Processing 71. [3] Chenng Xu, Jerr L. Prince Snkes, Shpes, nd Grdient Vector Flow. IEEE 359. [4] Chenng Xu, Jerr L. Prince Grdient Vector Flow: A New Eternl Force for Snkes. IEEE 66. [5] Stephen Mllt, Wen Ling Hwng Singulrit Detection nd Processing with Wvelet. IEEE 38:. 7
FISIKA BESARAN VEKTOR
K-3 Kels X FISIKA BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi pengertin besrn vektor.. Mengusi konsep penjumlhn vektor dengn berbgi metode.
Integral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII
Kesumwti Prodi Sttistik FMIPA-UII Mrch 25, 205 Sutu integrl tertentu b f (x)dx () diktkn wjr jik i memenuhi du syrt berikut: i. Bts integrsi dn b merupkn bilngn berhingg ii. fungsi f (x) terbts pd intervl
INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 45
INTEGRAL Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB Bogor, 2012 (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 1 / 45 Topik Bhsn 1 Pendhulun 2 Anti-turunn 3 Lus di Bwh Kurv 4 Integrl Tentu 5 Teorem Dsr Klkulus 6
Pendeteksian Tepi (Edge Detection)
Bb Pendeteksin Tepi Edge Detection P eningktn kulits citr imge enhncement bertujun menghsilkn citr dengn kulits ng lebih bik dibndingkn dengn citr semul. Lngkh selnjutn dlm pengolhn citr dlh nlisis citr
Hubungan integral garis yang umum antara ke dua kuantitas tersebut,
6 GRADIN PONSIAL Grdien ptensil dlh sutu metde ng sederhn untuk mencri intensits medn listrik dri ptensil. Hubungn integrl gris ng umum ntr ke du kuntits tersebut,. dl Dengn mengmbil N sebgi vektr stun
Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A.
Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu
ANALISIS NUMERIK. Inter polasi. SPL simultan. Akar Persama. linear
ANALISIS NUMERIK Inter polsi SPL simultn Akr Persm n Non liner INTERPOLASI Tujun Interpolsi bergun untuk menksir hrg-hrg tengh ntr titik dt yng sudh tept. Interpolsi mempunyi orde tu derjt. Mcm Interpolsi
INTEGRAL FOURIER KED. Diasumsikan syarat-syarat berikut pada f(x): 1. f x memenuhi syarat Dirichlet pada setiap interval terhingga L, L.
INTEGRAL FOURIER Disumsikn syrt-syrt berikut pd f(x):. f x memenuhi syrt Dirichlet pd setip intervl terhingg L, L.. f x dx konvergen, yitu f(x) dpt diintegrsikn secr mutlk dlm (, ). Selnjutny, Teorem integrl
Teorema Dasar Integral Garis
ISBN: 978-979-79-55-9 Teorem Dsr Integrl Gris Erdwti Nurdin Progrm Studi Pendidikn Mtemtik FKIP UIR d_1910@yhoo.com Abstrk Slh stu generlissi integrl tentu (definite integrl) f x dx diperoleh dengn menggnti
METODE PENELITIAN. Penelitian dilaksanakan pada bulan Oktober sampai dengan November 2011
III. METODE PENELITIAN 3.1. Tempt dn Wktu Penelitin Penelitin dilksnkn pd buln Oktober smpi dengn November 2011 bertempt di Lbortorium Rekys Bioproses dn Psc Pnen, Jurusn Teknik Pertnin, Fkults Pertnin,
Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic
Sudrtno Sudirhm Studi Mndiri Fungsi dn Grfik Drpublic BAB 8 Fungsi Logritm turl, Eksponensil, Hiperbolik 8.. Fungsi Logrithm turl. Definisi. Logritm nturl dlh logritm dengn menggunkn bsis bilngn e. Bilngn
MATEMATIKA INTEGRAL TENTU DAN LUAS DAERAH
MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 5 Sesi N INTEGRAL TENTU DAN LUAS DAERAH A. DEFINISI INTEGRAL TENTU Bentuk integrl f d = f + c diseut segi integrl tk tentu kren hsil dri pengintegrlnn msih erup
STRUKTUR BETON BERTULANG I. Tulangan Rangkap. Oleh Resmi Bestari Muin
MODUL KULIAH STRUKTUR BETON BERTULANG I Minggu ke : 9 Tulngn Rngkp Oleh Resmi Bestri Muin PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL dn PERENCANAAN UNIVERSITAS MERCU BUANA 2010 DAFTAR ISI DAFTAR ISI i IX
Two-Stage Nested Design
Mteri #13 TIN309 DESAIN EKSPERIMEN Two-Stge Nested Design Nested design dlh slh stu ksus dri desin multi fktor dimn level dri slh stu fktor (misl: fktor B) serup tpi tidk identik untuk setip level yng
Integral Kompleks (Bagian Kesatu)
Integrl Kompleks (Bgin Kestu) Supm Jurusn Mtemtik, FMIPA UGM Yogykrt 55281, INDONESIA Emil:mspomo@yhoo.com, supm@ugm.c.id (Pertemun Minggu XI) Outline 1 Fungsi Bernili Kompleks 2 Lintsn tu Kontur 3 Integrl
INTEGRAL. Misalkan suatu fungsi f(x) diintegralkan terhadap x maka di tulis sebagai berikut:
INTEGRAL.PENGERTIAN INTEGRAL Integrl dlh cr mencri sutu fungsi jik turunnn di kethui tu kelikn dri diferensil (turunn) ng diseut jug nti derivtif tu nti diferensil. Untuk menentukn integrl tidk semudh
Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya 1
Skew- Semifield dn Beberp Siftny K r y t i Jurusn Pendidikn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Negeri Yogykrt E-mil: ytiuny@yhoo.com Abstrk Sutu field ( lpngn ) F dlh struktur ljbr
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN ANALISIS
Dri Gmbr 4.7, Gmbr 4.8, dn Gmbr 4.9 di ts dpt diliht bhw hybrid film yng terbentuk menglmi retkn (crck). Hl ini sm seperti yng terjdi pd hybrid film presintered dn hybrid film dengn 5% wt PDMS terhdp TEOS
APLIKASI INTEGRAL PENERAPAN INTEGRAL. Luas daerah kelengkungan
APLIKASI INTEGRAL APLIKASI INTEGRAL PENERAPAN INTEGRAL Lus derh kelengkungn Integrl digunkn pd design Menr Petrons di Kul lumpur, untuk perhitungn kekutn menr. Sdne Oper House di design berdsrkn irisn-irisn
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Bb berikut ini kn disjikn mteri pendukung yng dpt membntu penulis untuk menyelesikn permslhn yng kn dibhs pd bb selnjutny. Adpun mteri pendukungny dlh pengertin mtriks, jenis-jenis
BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Benda Putar (Khusus Kalkulus 1)
BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Bend Putr (Khusus Klkulus ) Kompetensi yng diukur dlh kemmpun mhsisw menghitung volume bend putr dengn metode cincin, metode ckrm, tu metode kulit tbung.. UAS Klkulus,
KALKULUS I Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu Program Sarjana Matematika Universitas Brawijaya
KALKULUS I Dr. Wurnsri Muhrini Kusumwinhu Progrm Srjn Mtemtik Universits Brwij Deinisi: Mislkn A dn B dlh himpunn tk kosong. Fungsi dri A ke B dlh sutu ATURAN ng MEMADANKAN SETIAP ELEMEN di A dengn tept
APLIKASI INTEGRAL PENERAPAN INTEGRAL. Luas daerah kelengkungan
APLIKASI INTEGRAL APLIKASI INTEGRAL PENERAPAN INTEGRAL Lus derh kelengkungn PENERAPAN INTEGRAL Indiktor 1 Indiktor 9 Lus derh di bwh kurv berdsr prinsip Riemn Volume bend putr, jik kurv diputr mengelilingi
INTEGRAL. Kelas XII IIS Semester Genap. Oleh : Markus Yuniarto, S.Si. SMA Santa Angela Tahun Pelajaran 2017/2018
Modul Integrl INTEGRAL Kels XII IIS Semester Genp Oleh : Mrkus Yunirto, SSi SMA Snt Angel Thun Peljrn 7/8 Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8 Modul Integrl INTEGRAL Stndr Kompetensi: Menggunkn konsep
BAB III METODE METODE DEFUZZYFIKASI
Fuy Logi Metode Metode Deuyiksi BAB III METODE METODE DEFUYFIKASI Seperti yng telh dihs dlm, hw untuk meruh kelurn uy menjdi nili risp mk diperlukn sutu proses yng leih dikenl dengn istilh deuyiksi Dlm
matematika PEMINATAN Kelas X FUNGSI LOGARITMA K-13 A. Definisi Fungsi Logaritma
K-3 Kels mtemtik PEMINATAN FUNGSI LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi fungsi logritm.. Dpt menggunkn konsep fungsi logritm dlm menyelesikn
MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI
MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI 1. Sumur Potensil Tk Berhingg Kit tinju prtikel bermss m dengn energi positif, berd dlm sumur potensil stu dimensi dengn dinding potensil tk berhingg dn potensil didlmny nol,
BAB 3 APLIKASI TAGUCHI LOSS FUNCTION
BB III PIKSI TGUHI OSS FUNTION 6 BB 3 PIKSI TGUHI OSS FUNTION 3. Kitn Tguchi oss Function dengn indeks kpilits proses p Tguchi oss Function erkitn dengn indeks kpilits proses p. Rsio rt rt loss cost seelum
STATIKA (Reaksi Perletakan)
STTIK (Reksi erletkn) Meknik Rekys I Norm uspit, ST.MT. Tumpun Tumpun merupkn tempt perletkn konstruksi tu dukungn bgi konstruksi dlm meneruskn gy gyyng bekerj ke pondsi Dlm ilmu Meknik Rekys dikenl 3
KINEMATIKA Kelas XI. Terdiri dari sub bab : 1. persamaan gerak 2. Gerak Parabola 3. Gerak Melingkar
Terdiri dri sub bb : 1. persmn gerk. Gerk Prbol 3. Gerk Melingkr KINEMATIKA Kels XI 1. PERSAMAAN GERAK Membhs tentng posisi, perpindhn, keceptn dn perceptn dengn menggunkn vector stun. Pembhnsn meliputi
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Penelitin ini dilkukn untuk mengethui hrg kut trik sert dn kut geser rektn pd interfce sert sut kelp yng dienmkn ke dlm epoksi. Pengujin jug dimksudkn untuk mengethui
LAPORAN PRAKTIKUM TEKNIK DASAR : PIPET, TIMBANGAN, PEMBUATAN LARUTAN
LAPORAN PRAKTIKUM TEKNIK DASAR : PIPET, TIMBANGAN, PEMBUATAN LARUTAN NAMA PRAKTIKAN : Rmdhn Bestri Ichwn Almsyh Lubis GRUP PRAKTIKAN : Grup Pgi (08.00-11.00) KELOMPOK : 2 HARI/TGL. PRAKTIKUM : Rbu, 2 Oktober
ANALISIS DISPARITAS INPUT PEMBANGUNAN, 2010
BADAN PUSAT STATISTIK ANALISIS DISPARITAS INPUT PEMBANGUNAN, 2010 ABSTRAKSI Ltr belkng: 1. Pelksnn Otonomi Derh msih bnyk ditemukn permslhn kibt perbedn ltr belkng demogrfi, geogrfi, infrstruktur, ekonomi,
r x = 0. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada x = 0. Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat.
Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : husnrifh@uny.c.id Persmn diferensil Legendre (1) 1 x 2 y 2xy + n n + 1 y = 0 Prmeter n pd (1) dlh bilngn rill yng diberikn. Setip penyelesin dri (1) dinmkn fungsi
Grafik Komputer : Transformasi Geometri 2 Dimensi
Grfik Komputer dn Pengolhn Citr Grfik Komputer : rnsformsi Geometri Dimensi Universits Gundrm 6 Grfik Komputer : rnsformsi Geometri D / Grfik Komputer dn Pengolhn Citr triks dn rnsformsi Geometri Representsi
VEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang
VEKTOR 1. Pengertin Vektor dlh besrn yng memiliki besr (nili dn rh. Vektor merupkn sebuh rus gris yng P berrh dn memiliki pnjng. Pnjng rus gris tersebut dlh pnjng vektor. Rus gris dri titik P dn berujung
PROBLEM SOLVING TERKAIT DENGAN KELAS X SEMESTER 1 PADA STANDAR KOMPETENSI (SK) 1.
PROLEM SOLVING TERKIT DENGN KELS X SEMESTER PD STNDR KOMPETENSI (SK). LJR Memechkn mslh yng berkitn dengn bentuk pngkt, kr, dn logritm Oleh: Sigit Tri Guntoro. Du orng berselisih mengeni bnykny psngn bilngn
STRATEGI PENGAJARAN MATEMATIKA UNTUK MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Jurnl Vol II. No., Mret 08, hlm. 9-95 vilble online t www.jurnl.un.c.id/indeks/jmp STRTEGI PENGJRN MTEMTIK UNTUK MENENTUKN KR-KR PERSMN KUDRT Indh Purnm Putri, Symsudhuh, Ihd Hsbiyti 3 Progrm Studi Mgister
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN RANGKUMAN MATERI Sebelum memsuki mteri, perhtikn himpunn-himpunn berikut: ) Himpunn bilngn sli:,,,4,5,.... b) Himpunn bilngn bult:...,,,0,,,.... p c) Himpunn bilngn rsionl:
Menerapkan konsep vektor dalam pemecahan masalah. Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang
VEKTOR PADA BIDANG SK : Menerpkn konsep vektor dlm pemechn mslh KD : Menerpkn konsep vektor pd bidng dtr Menerpkn konsep vektor pd bngun rung TUJUAN PELATIHAN: Pesert memiliki kemmpun untuk mengembngkn
VEKTOR. Adri Priadana. ilkomadri.com
VEKTOR Adri Pridn ilkomdri.com Pengertin Dlm Fisik dikenl du buh besrn, yitu 1. Besrn Sklr. Besrn Vektor Pengertin Besrn Sklr dlh sutu besrn yng hny mempunyi nili dn dinytkn dengn sutu bilngn tunggl diserti
BAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN
BAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN 7. LIMIT FUNGSI 7.. Limit fungsi di sutu titik Menggmbrkn perilku fungsi jik peubhn mendekti sutu titik Illustrsi: Dikethui f( ) f(), 3,30,0 3,030,00 3,003 3 f() = f() 3,000?
Sistem pengukuran. Bab III SISTEM PENGUKURAN. III.1. Karakteristik Statis. Karakteristik instrument pengukuran. Akurasi (ketelitian)
Sistem pengukurn Bb III SISTEM PENGUKURAN III.1. Krkteristik Sttis III.2. Krkteristik Dinmis III.3. Prinsip Dsr Pengukurn Sistem pengukurn merupkn bgin pertm dlm sutu sistem pengendlin Jik input sistem
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
. LIMIT DAN KEKONTINUAN . Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp nili jik mendekti
GEOMETRI PADA BIDANG: VEKTOR
GEOMETRI PADA BIDANG: VEKTOR A. Kurv Bidng: Representsi Prmetrik Sutu kurv bidng ditentukn oleh sepsng persmn prmetrik: x f () t, y f () t t dlm intervl I dengn f dn g kontinu pd intervl I. Secr umum,
PENYELESAIAN SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER 2010
PNYLSAIAN SOAL UJIAN TNGAH SMSTR SOAL A Pengolhn dt nnul series curh hujn hrin mximum, H mm, di sutu stsiun ARR menunjukkn bhw sebrn probbilits sutu besrn curh hujn, p H (h), dpt dinytkn dengn sutu ungsi
matematika K-13 IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBOLA K e l a s A. Definisi Hiperbola Tujuan Pembelajaran
K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi dn unsur-unsur hiperol.. Dpt menentukn persmn
Solusi Pengayaan Matematika Edisi 4 Januari Pekan Ke-4, 2007 Nomor Soal: 31-40
Solusi Pengn Mtemtik Edisi 4 Jnuri Pekn Ke-4, 007 Nomor Sol: -40. Diberikn persmn 8 9 4 8 007 dn b, dengn b. Angk stun dri b dlh. A. B. C. D. 7 E. 9 Persmn 8 9 4 8 8 9 4 8 9 4 8 8 8 9 8 4 8 8 8 0 0 b tu
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN. INF228 Kalkulus Dasar
. LIMIT DAN KEKONTINUAN INF8 Klkulus Dsr . Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di =, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn
MA3231 Analisis Real
MA3231 Anlisis Rel Hendr Gunwn* *http://hgunwn82.wordpress.com Anlysis nd Geometry Group Bndung Institute of Technology Bndung, INDONESIA Progrm Studi S1 Mtemtik ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bndung)
Tujuan Pembelajaran. ) pada hiperbola yang berpusat di (0, 0). 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung di titik (x 1
K-3 mtemtik K e l s XI IRISAN KERUCUT: GARIS SINGGUNG PADA HIPERBOLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Dpt menentukn persmn gris singgung di titik (, ) pd
BAB ALJABAR MARIX Dlm pokok bhsn ini kn disjikn dsr-dsr opersi ljbr mtrix yng berhubungn dengn nlisis struktur dengn menggunkn metode mtrix kekkun (stiffness method)... Pengertin Mtrix Mtrix merupkn sutu
SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real
SISTEM BILANGAN REAL Dlm terminologi Aljbr Abstrk, sistem bilngn rel disebut dengn field (lpngn) pd opersi penjumlhn dn perklin. Sutu opersi biner bis ditulis dengn sutu psngn terurut (, b) yng unik dri
1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:
) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh seperti di bwh ini: b c dengn, b, c bilngn dn riil Dimn, disebut sebgi koefisien dri b disebut sebgi koefisien dri c disebut
MATEMATIKA. Sesi INTEGRAL VOLUME A. BENDA-BENDA YANG MEMILIKI SUMBU PUTAR B. BENDA-BENDA YANG MEMILIKI SUMBU PUTAR TERHADAP SUMBU-X
MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 6 Sesi N INTEGRAL VOLUME A. BENDA-BENDA YANG MEMILIKI SUMBU PUTAR Apliksi integrl erikutn dlh menentukn volume end ng memiliki sumu putr. Contoh endn dlh tung,
IV HASIL DAN PEMBAHASAN
IV HASIL DAN PEMBAHASAN Bb ini mengurikn mengeni hsil penelitin yng telh dilkukn meliputi pengruh bgin kunyit dn metode pr penepungn terhdp kdr kurkuminoid (kurkumin, desmetoksikurkumin, dn bisdemetoksikurkumin)
BAB 4 IMPLEMENTASI HASIL PENELITIAN. Rancangan ini dibuat dan dites pada konfigurasi hardware sebagai berikut :
BAB 4 IMPLEMENTASI HASIL PENELITIAN 4.1 Spesifiksi Hrdwre dn Softwre Rncngn ini diut dn dites pd konfigursi hrdwre segi erikut : Processor : AMD Athlon XP 1,4 Gytes. Memory : 18 Mytes. Hrddisk : 0 Gytes.
Aplikasi Teori Permainan Lawan pemain (punya intelegensi yang sama). Setiap pemain mempunyai beberapa strategi untuk saling mengalahkan.
Apliksi Teori Perminn Lwn pemin (puny intelegensi yng sm) Setip pemin mempunyi beberp strtegi untuk sling menglhkn Two-Person Zero-Sum Gme Perminn dengn pemin dengn perolehn (keuntungn) bgi slh stu pemin
Materi V. Determianan dinotasikan berupa pembatas dua gris lurus,
Mteri V Tujun : 1. Mhsisw dpt mengenli determinn.. Mhsisw dpt merubh persmn linier menjdi persmn determinn.. Mhsisw menelesikn determinn ordo du. Mhsisw mmpu menelesikn determinn ordo tig. Mhsisw mengethui
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN 1 3.1 Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi 1 1 Fungsi dits tidk terdeinisi di =1, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1. Kelngsungn Hidup Hsil pengmtn selm penelitin tingkt kelngsungn hidup benih koi dpt diliht pd gmbr 4. Tingkt kelngsungn hidup yng pling rendh terdpt pd perlkun A (0 ml/l)
Matematika SMA (Program Studi IPA)
Smrt Solution UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2013/2014 Disusun Sesui Indiktor Kisi-Kisi UN 2013 Mtemtik SMA (Progrm Studi IPA) Disusun oleh : Pk Anng - Blogspot Pge 1 of 13 5. 2. Menyelesikn sol pliksi
TURUNAN FUNGSI. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI
LA - WB (Lembr Aktivits Wrg Beljr) TURUNAN FUNGSI Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI Creted By It Yulin 33 Turunn Fungsi Kompetensi Dsr 1. Menggunkn
Tahun. : halaman. Berikut. Tertulis 1 Baris ke 12. Hal. No 1. 2 Baris ke 4, maka. untuk a < 0. tertulis a > 0. 5 Baris ke 10 a.
Cttn Kecil Untuk MMC Judul : MMC (Metode Menghitung Cept), Teknik cept dn unik dlm mengerjkn sol mtemtik untuk tingkt SMA. Penulis : It Puspit. Penerbit : PT NIR JAYA Bndung. Thun : 0. Tebl : 8 + 5 hlmn.
LIMIT DAN KONTINUITAS
LIMIT DAN KONTINUITAS Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di =, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp nili jik mendekti
2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT A. Persmn Kudrt. Bentuk umum persmn kudrt : x + bx + c = 0, 0. Nili determinn persmn kudrt : D = b c. Akr-kr persmn kudrt dpt dicri dengn memfktorkn tupun
,, % ,, % -0: 0 -0: 0! 2 % 26, &
PERSAMAAN LINIER GAUSS-SIEDEL METHOD Simultneous Liner Equtions Oleh : Purwnto,S.Si Bentuk Umum x + x + 3 x 3 + + n x n = b Sebuh persmn linier dengn : n peubh : x, x, x 3,, x n n konstnt :,, 3,, n Contoh
17. PROGRAM LINEAR. A. Persamaan Garis Lurus. (x 2, y 2 ) (0, a) y 2. y 1. (x 1, y 1 ) (b, 0) X. x 1
17. PROGRAM LINEAR A. Persmn Gris Lurus y 1 (x 1, y 1 ) y 2 y 1 (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) (0, ) 0 x 1 x 1 0 x 2 (b, 0) 0 b. Persmn gris yng bergrdien m dn mellui titik (x 1, y 1 ) dlh: y y 1 = m(x x 1 )
7. Ruang L 2 (a, b) f(x) 2 dx < }.
7. Rung L (, b) Rung L (, b) didefinisikn sebgi rung semu fungsi f yng kudrtny terintegrlkn pd [, b], ykni L (, b) := {f : b f(x) dx < }. Rung ini menckup fungsi-fungsi f yng tk terbts pd [, b] tetpi f
matematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s
K-3 mtemtik K e l s XI TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi teorem fktor.. Menentukn kr dn fktor liner suku nyk dengn
LEMBAR KEGIATAN SISWA. : Menemukan Teorema Pythagoras Sekolah/Satuan Pendidikan:... Kelas/Semester :... Anggota Kelompok :
LEMBAR KEGATAN SSWA Topik : Menemukn Teorem Pythgors Sekolh/Stun Pendidikn:... Kels/Semester :... Anggot Kelompok : 1.... 2.... 3.... 4. 5.... Tnggl Mengerjkn LKS :. Petunjuk Umum: 1. Setelh mengerjkn
III. LIMIT DAN KEKONTINUAN
KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM PPDU TELKOM UNIVERSITY III. LIMIT DAN KEKONTINUAN 3.1 Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi 1 1 Fungsi dits tidk terdeinisi
6. Himpunan Fungsi Ortogonal
6. Himpunn Fungsi Ortogonl Mislkn f periodik dengn periode, dn mulus bgin demi bgin pd [ π, π]. Jik S f N (θ) = N n= N c ne inθ, n =,, 2,..., dlh jumlh prsil dri deret Fourier f, mk kit telh menunjukkn
Teknik secret sharing yang efektif pada berkas yang terkompresi dengan menggunakan Algoritma Huffman
Teknik secret shring yng efektif pd berks yng terkompresi dengn menggunkn Algoritm Huffmn Ibnul Qoyyim 1) 1) Jurusn Teknik Informtik ITB, Bndung, emil: if14066@students.if.itb.c.id Abstrct Mklh ini membhs
VII. FUNGSI PERMINTAAN TAMAN WISATA TIRTA SANITA Fungsi Permintaan Taman Wisata Tirta Sanita
VII. FUNGSI PERMINTAAN TAMAN WISATA TIRTA SANITA 7.1. Fungsi Permintn Tmn Wist Tirt Snit Model persmn fungsi permintn di bwh ini sudh menglmi pemilihn independent vrible, untuk menghindri mslh multikolinerits.
METODE ANALISIS HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL LINEAR ABSTRACT
METODE ANALISIS HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL LINEAR Azhrr Fortun Drno 1, Symsudhuh 2, Aziskhn 2 1 Mhsisw Progrm Studi S1 Mtemtik 2 Dosen Jurusn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun
UJIAN NASIONAL. Matematika (D10) PROGRAM STUDI IPA PAKET 1 (UTAMA) SELASA, 11 MEI 2004 Pukul
0-0 D0-P-0- DOKUMEN NEGARA SANGAT RAHASIA UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 00/00 SMA/MA Mtemtik (D0) PROGRAM STUDI IPA PAKET (UTAMA) SELASA, MEI 00 Pukul 07.0 09.0 DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL Hk Cipt
Vektor translasi dpt ditunjukkan oleh bil. berurutan yang ditulis dlm bentuk matriks kolom
TRANSFORMASI GEOMETRI BAB Sutu trnsformsi idng dlh sutu pemetn dri idng Krtesius ke idng ng lin tu T : R R (,) ( ', ') Jenis-jenis trnsformsi ntr lin : Trnsformsi Isometri itu trnsformsi ng tidk menguh
Metoda Penyelesaian Pendekatan
Metod Elemen Hingg Dlm Hidrulik Bb 3 Dsr Pertm: Metod Penyelesin Pendektn Ir. Djoko Luknnto, M.Sc., Ph.D. milto:luknnto@ugm.c.id I. Tig Lngkh Pokok (hl.54). Bentuk sebuh penyelesin pendektn Û. Optimsikn
Kerjakan di buku tugas. Tentukan hasil operasi berikut. a. A 2 d. (A B) (A + B) b. B 2 e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ) Tes Mandiri
Mmt Apliksi SMA Bhs Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut A c A A b A A d A Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut (A + B) c (B A) b A + AB + B d B BA + A Sol Terbuk Kerjkn di buku tugs Jik X = dn
RUMUS HERON DAN RUMUS BRAHMAGUPTA
RUMUS HERON DAN RUMUS BRAHMAGUPTA Sumrdyono, M.Pd. Topik lus bngun dtr telh dipeljri sejk di Sekolh Dsr hingg SMA. Bil di SD, dipeljri lus segitig dn beberp bngun segiempt mk di SMP dipeljri lebih lnjut
matematika WAJIB Kelas X RASIO TRIGONOMETRI Kurikulum 2013 A. Definisi Trigonometri
Kurikulum 0 Kels X mtemtik WAJIB RASIO TRIGONOMETRI Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi rsio-rsio trigonometri yng meliputi sinus, kosinus, tngen,
M A T R I K S. Oleh: Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc.
M T R I K S Oleh Dims Rhdin M, S.TP. M.Sc Emil rhdindims@yhoo.com JURUSN ILMU DN TEKNOLOGI PNGN UNIVERSITS SEBELS MRET SURKRT DEFINISI... Mtriks dlh susunn bilngn berbentuk jjrn segi empt siku-siku yng
UN SMA IPA 2004 Matematika
UN SMA IPA Mtemtik Kode Sol P Doc. Version : - hlmn. Persmn kudrt ng kr-krn dn - dlh... ² + + = ² - + = ² + + = ² + - = ² - - =. Tinggi h meter dri sebuh peluru ng ditembkkn ke ts setelh t detik dintkn
BAB III MATRIKS
BB III MTRIKS PENGERTIN MTRIKS Pengertin Mtriks Mtriks dlh susunn bilngn-bilngn ng berbentuk persegi tu persegi pnjng ng ditur dlm bris dn kolom Bentuk Umum Mtriks : i m i m i m j j j ij mj n n n in mn
Sistem Persamaan Linear
Sistem Persmn Liner Muhtdin, ST. MT. Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin Persmn Aljbr Liner Simultn Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin 9 Menyelesikn SPL sederhn Grphicl Method dri kedu persmn
BAB II PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA
BAB II PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA ILUSTRASI Sony kn membeli sebuh motor secr kredit, ketentun yng ditwrkn oleh perushn lesing dlh, ung muk sebesr Rp.500.000,00 dn ngsurn perbulnny sebesr Rp 365.000,00
LIMIT FUNGSI. DEFINISI Notasi. dibaca. limit f(x) bila x mendekati a sama dengan L. atau. f(x) mendekati L bila x mendekati a.
DEFINISI Notsi dibc tu berrti bhw IMIT FUNGSI it bil mendekti sm dengn mendekti bil mendekti nili dpt dibut sedekt mungkin dengn bil cukup dekt dengn, tetpi tidk sm dengn. Perhtikn bhw dlm deinisi tersebut
DETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0.
DETERMINAN Fungsi determinn dri sutu mtriks persegi A (dinotsikn dengn det(a) tu A ) didefinisikn sebgi jumlh dri semu hsil kli elementer bertnd dri A. Sementr, ngk tu bilngn dri det(a) disebut determinn
INTEGRAL. y dx. x dy. F(x)dx F(x)dx
Drs. Mtrisoni www.mtemtikdw.wordpress.om INTEGRAL PENGERTIAN Bil dikethui : = F() + C mk = F () dlh turunn dri sedngkn dlh integrl (nti turunn) dri dn dpt digmrkn : differensil differensil Y Y Y Integrl
POSET ( Partially Ordered Set ) Himpunan Terurut Parsial
POSET ( Prtilly Ordered Set ) Himpunn Terurut Prsil Definisi Sutu relsi biner dinmkn sebgi sutu relsi pengurutn tk lengkp tu relsi pengurutn prsil ( prtil ordering reltion ) jik i bersift reflexive, ntisymmetric,
Vektor di R 2 dan R 3
Vektor di R dn R Pengertin Vektor dlh besrn yng mempunyi besr dn rh Vektor digmbrkn oleh rus gris yng dilengkpi dengn nk pnh vektor dimuli dri titik wl (initil point) dn dikhiri oleh titik khir (terminl
15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT
15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT 15.1 Jumlh Riemnn Dlm kulih Klkulus pd thun pertm, integrl Riemnn bisny diperkenlkn sebgi limit dri jumlh Riemnn, tidk mellui integrl Riemnn ts dn integrl Riemnn bwh. Hl ini
TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 2009
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 009 Bidng Mtemtik Wktu :,5 Jm DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT
MATERI I : VEKTOR. Pertemuan-01
MATERI I : VEKTOR Pertemun-0. Pendhulun Definisi Vektor didefinisikn segi esrn yng memiliki rh. Keeptn, gy dn pergesern merupkn ontoh ontoh dri vektor kren semuny memiliki esr dn rh wlupun untuk keeptn
Bab 3 Terapan Integral Ganda
Surdi Siregr Metode Mtemtik Astronomi Bb 3 Terpn Integrl Gnd 3. Integrl Gnd dlm koordint Krtesis dn Polr Koordint Krtesis Koordint Polr Ilustrsi b g f ={,, } Mss M, da, dd r ={,, r )},, M r da r rdrd sin
Aljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
ELIPS. A. Pengertian Elips
ELIPS A. Pengertin Elips Elips dlh tempt kedudukn titik-titik yng jumlh jrkny terhdp du titik tertentu mempunyi nili yng tetp. Kedu titik terseut dlh titik focus / titik pi. Elips jug didefinisikn segi
w Contoh: y x y x ,,..., f x z f f x
A. endhulun Dlrn kehidupn nt, sutu vriel terikt tidk hn dipengruhi oleh stu vriel es sj, kn tetpi dpt dipengruhi oleh eerp vriel es. d gin ini merupkn kelnjutn dri ungsi dengn stu vriel es ng telh dipeljri
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN. Hasil penelitian menunjukan pertumbuhan berat pada perlakuan A (18G;6T)
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Pertumbuhn Bert 4.1.1 Pertumbuhn Bert Mutlk Hsil penelitin menunjukn pertumbuhn bert pd perlkun A (18G;6T) mencpi rt-rt 0,893 grm/ekor, perlkun B (12G;12T) mencpi rt-rt 0,648