FUNGSI-FUNGSI TERMODINAMIKA SISTEM PARAFERMI ORDE DUA

Transkripsi

1 ARTIKEL KAJIAN FUNGSI-FUNGSI TERMODINAMIKA SISTEM PARAFERMI ORDE DUA Oleh: R. Yosi Aprian Sari, M.Si FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

2 UNIERSITAS NEGERI YOGYAKARTA (UNY) MEI,

3 FUNGSI-FUNGSI TERMODINAMIKA SISTEM PARAFERMI ORDE DUA Intisari Berawal dari kaitan rekursi fungsi partisi kanonik lengkap untuk siste paraferi orde dua yang telah diketahui, diabarkan kaitan-kaitan rekursi untuk beberapa fungsi terodinaika sederhana bagi siste paraferi orde dua. Kaitan-kaitan rekursi tersebut keudian digunakan untuk enghitung fungsi-fungsi terodinaika odel siste partikel identik dengan tingkat energi terbatas yang irip osilator haronik. Fungsi-fungsi terodinaika tersebut antara lain fungsi partisi kanonik lengkap Z, rerata ulah partikel N, entropi S, energi internal U, dan panas enis. Secara teoretis, seua fungsi-fungsi terodinaika dari siste paraferi orde dua eiliki keiripan bentuk dengan siste feri (siste paraferi orde 1). Kata-kata kunci: paraferi, fungsi-fungsi terodinaika iii

4 THE THERMODYNAMIS FUNTIONS OF A PARAFERMION SYSTEM OF ORDER TWO Abstract Starting fro a known recursion relation for the grand canonical partition function of paraferion syste of order two, several recursion relations for siple therodynaics functions of paraferion syste of order two is derived. These recursion relations are then being used to calculate the therodynaics functions for a syste of identical particles with haronic oscillator-like energy levels. The therodynaics functions i.e. the grand canonical partition function Z, nuber of particle N, entropy S, internal energy U, and specific heat. The therodynaics functions of the paraferion syste of order two have siilar pattern with ferionic (paraferion syste of order 1), theoretically. Keywords: paraferion, therodynaics functions

5 BAB I PENDAHULUAN I. Latar Belakang Masalah Di tinau dari kaidah-kaidah ekanika kuantu, tidak ada keharusan bahwa statistik partikel-partikel yang ada harus eenuhi kaidah statistika Bose-Einstein aupun Feri-Dirac. Tetapi kedua enis statistik tersebut sudah dibuktikan kebenarannya elalui berbagai eksperien. Partikel-partikel yang eenuhi statistik Bose-Einstein disebut partikel-partikel boson yang eiliki fungsi gelobang yang sietri terhadap pertukaran sebarang dua partikelnya. ontohnya antara lain foton, partikel alfa dan ato Heliu. Sedangkan partikelpartikel ferion adalah partikel-partikel yang eenuhi statistik Feri-Dirac dan prinsip larangan Pauli, yaitu partikel-partikel yang fungsi gelobangnya antisietri terhadap pertukaran sebarang dua partikel. ontohnya antara lain proton, neutron dan elektron. Banyak fisikawan berusaha ebuat forulasi statistik yang lebih uu dari enis statistik yang telah ada, baik dengan ebuat enis statistik partikel yang baru, aupun dengan enggeneralisasi statistik Bose dan Feri. Beberapa enis statistik partikel selain Bose dan Feri yang telah diperkenalkan antara lain null statistics, doubly-infinite statistics, orthoferi statistics, hubbard statistics dan lain-lain [Mishra dan Raasekaran, 1996]. Jenis statistik yang erupakan hasil generalisasi dari statistik yang telah ada antara lain interediate statistics, parastatistics, infinite statistics, paronic statistics, anyon statistics dan lain-lain [Greenberg, 1993]. 2

6 II. PERUMUSAN MASALAH Peruusan asalah dala kaian ini adalah engetahui besaran-besaran terodinaika sederhana dari siste paraferi orde dua yang akan dihitung dari fungsi partisi kanonik lengkap yaitu, Z, adalah rerata ulah partikel ( N ), entropi ( S ), energi internal ( U ) dan panas enis ( ). III. TUJUAN KAJIAN Tuuan penulisan dala kaian ini adalah engetahui besaran-besaran terodinaika sederhana dari siste paraferi orde dua yang akan dihitung dari fungsi partisi kanonik lengkap yaitu, Z, adalah rerata ulah partikel ( N ), entropi ( S ), energi internal ( U ) dan panas enis ( ). I. TINJAUAN PUSTAKA Parastatistik pertaa kali diperkenalkan oleh Green (1953), erupakan generalisasi pertaa yang konsisten dari bentuk kuantu statistik Bose- Einstein (yang disebut paraboson), dan statistik Feri-Dirac (yang disebut paraferi). Parastatistik eenuhi relasi koutasi trilinear untuk operator kreasi dan anihilasi partikel, serta eenuhi kaidah dekoposisi gugus (cluster decoposition) [Hartle, dkk, 1970]. Karena hal ini, walaupun tidak ada indikasi bahwa partikel-partikel fundaental yang ada di ala saat ini eenuhi aturan parastatistik, tetapi teori ini tetap enarik untuk diselidiki lebih lanut. Banyak fisikawan yang telah encoba untuk endapatkan besaranbesaran fisis yang terkait untuk siste parastatistik, khususnya fungsi partisi 3

7 kanonik lengkapnya (Grand anonical Partition Function, GPF). Dengan engetahui GPF akan dapat diketahui sifat-sifat terodinaika siste parastatistik, sehingga dapat diadikan dasar untuk engklarifikasi apakah suatu siste fisis eenuhi statistik ini atau tidak. pf GPF untuk siste paraferi berorde q, Z ( q ), telah diperoleh berupa rasio dua deterinan. Ferion berkorespondensi dengan q = 1 [haturvedi dan Srinivasan, 1997; haturvedi, dkk, 1997; Nelson 2004]. i + p+ i 1 x x pf Z ( p ) ( x 1,x ) = (1) i + i 1 x x pb Begitu uga GPF untuk siste paraboson orde p, Z ( p ), yang uga berupa rasio dua deterinan [Satriawan, 2002]. dengan P ( ) ( x, ) p x berkorespondensi dengan p = 1. ( p ) ( x1, ) ( 0 ) ( x1, ) P pb Z ( p ) ( x1, ) = (2) P 1 adalah deterinan suatu atriks. Boson Terdapat peruusan GPF untuk odel siste paraboson orde p dan paraferi orde q dala bentuk relasi rekursi. [Satriawan, 2003]. Z ( p, q ) ( x1, x2, ) Z( p, q ) ( x1, x/ i, ) = i = 1 + x x Z 1 ( p, q 1) ( x1, ) (untuk paraboson orde p, bentuk suku ke dua lenyap) i ( x x ) x i (3) Dala kaian ini fungsi terodinaika sederhana untuk siste banyak partikel identik yang eenuhi aturan statistik paraferi orde dua dengan ulah aras energi terbatas dan arak antar energi yang saa. Siste ini 4

8 seperti siste berpotensial osilator haronik tetapi aras-aras energi tingginya diabaikan. Kaitan rekursi untuk GPF ini akan digunakan sebagai dasar untuk enghitung besaran-besaran terodinaika, seperti ulah total partikel N, entropi S, energi internal U dan panas enis. 5

9 BAB II PEMBAHASAN Fungsi-fungsi terodinaika dapat diturunkan lewat fungsi partisi kanonik lengkapnya. Untuk siste yang ditinau, kaitan rekursi untuk fungsi partisi kanonik lengkap pada pers. (1) adalah Z q ( x1, x2, ) Zq ( x1, x/ i, ) = i = 1 + x x Z 1 q 1 i ( x, x ) 1 ( x x ) x i, (4) Di antara besaran-besaran terodinaika yang dapat diperoleh dari fungsi partisi kanonik lengkap, Z, adalah rerata ulah partikel N, entropi S, energi internal U dan panas spesifik, yaitu diperoleh elalui potensial kanonik lengkapnya, ( T,, µ ) = kt ln Z ( T,, µ ) dan Binder, 2005; Reichl, 1998]: 1. Rerata ulah partikel N ( T,, µ ) Ω [Greiner, dkk, 1997; Landau Rerata ulah partikel disibolkan sebagai N, yang erupakan paraeter ekstensif, yaitu paraeter yang bergantung pada ukuran suatu siste. Untuk siste yang terbuka, ulah partikelnya tidak tetap, tetapi rerata ulah partikel dapat dapat diketahui elalui [Greiner, dkk (1997)] Rerata ulah partikel dapat diturunkan sebagai berikut: (, µ ) N T Ω = µ T, T Z = Z, 1 ( x, x ) µ T (5) bentuk Z µ diperoleh dengan endiferensialkan kaitan rekursi pada pers. (4) terhadap µ pada T konstan, yaitu diperoleh 6

10 2. Entropi S ( T,, µ ) : Entropi S, erupakan paraeter ekstensif, yaitu paraeter terodinaika yang secara langsung sebanding dengan ukuran suatu siste. Dala huku kedua terodinaika, entropi eiliki sifat: selaa sebarang proses adiabatik dari keadaan setibang α ke keadaan setibang β, entropi tidak engalai penurunan, yaitu Q = S( β ) S( α ) α β 0. Entropi suatu siste ensebel akrokanonik dapat diperoleh elalui [Greiner, dkk (1997)] 3. Energi internal U: Ω 1 Z S ( T,, µ ) = = ln Z (6) T µ, ZT β Untuk siste yang terbuka (ensebel akrokanonik), energi siste tidak tetap tetapi berfluktuasi disekitar suatu nilai rerata yang dicapai ketika siste berada dala keadaan setibang teral dengan lingkungannya. Rerata energi internal siste dapat diperoleh dari [Greiner, dkk (1997)] dengan z = exp{ β µ } ln Z U ( T,, µ ) = Z = 1 (7) β Z β z,. Kedua besaran-besaran terodinaika di atas, yaitu S dan U engandung fungsi partisi kanonik lengkap, Z ( ) diferensial orde pertaa terhadap β, yaitu Z β. 4. Panas spesifik Panas enis pada volue konstan diperoleh sebagai ( T ) N, z µ x, 1,x, dan U =. (8) T 7

11 Tetapi untuk suatu siste yang terbuka (ensebel akrokanonik), ulah partikelnya selau berfluktuasi, sehingga nilai N tidak pernah tetap. Akan tetapi bentuk lain yang dapat dilakukan adalah [Greiner, dkk (1997)] = U T 1 N T z, µ, T U N T, 2. (9) dan diketahui bahwa N µ T, = 1 σ kt 2 N (10) dengan 2 σ N adalah fluktuasi dari ulah partikel yang sebanding dengan 1 N sehingga untuk ulah partikel N aka σ 2 0. Dengan deikian dapat diketahui nilai sebagai N U =. (11) T, z 8

12 BAB III PENUTUP I. Sipulan 1. Secara uu, fungsi partisi kanonik lengkap, Z, dan fungsi-fungsi terodinaika lainnya seperti N, S, U dan terkait dengan potensial kiia µ dan teperatur, T. 2. Fungsi partisi kanonik lengkap, Z, dan fungsi-fungsi terodinaika lainnya seperti N, S, U dan untuk siste paraferi orde dua secara teori eiliki keiripan dengan dengan siste ferion (paraferi orde 1). II. Saran Kaian yang elibatkan siste yang lebih realistis perlu dilakukan untuk ebandingkan dengan siste statistik ferion yang dapat diakses eksperien atau koputasi. 9

13 REFERENSI haturvedi, S and. Srinivasan. (1997). Grand anonical Partition Functions for Multi Level Paraferi Systes of Any Order, Phys. Lett. A-224, haturvedi, S., R. H. McKenzie, P. K. Panigrahi and. Srinivasan. (1997). Equivalence of The Grand anonical Partition Functions of Particles with Different Statistics, Mod. Phys. Lett. A-12, Green, H. S. (1953). A Generalized Method of Quantization, Phys. Rev. 90, 270 Greenberg, O. W. (1993). Quons, an Interpolation Between Bose and Feri Oscillators, arxiv:cond-at/ v1 Greiner, W., L. Neise, and H. Stöcker. (1997). Therodynaics and Statistical Mechanics. Heidelberg: Springer-erlag Hartle, J. B., R. H. Stolt and J. R. Taylor. (1970). Paraparticles of Infinite Order, Phys. Rev. D-2, Landau, D. P., and K. Binder.(2005). A Guide to Monte arlo in Statistical Physics. abridge: abridge University Press Nelson,. A. (2004). Pairing Of Paraferions Of Order 2: Seniority Model. J.Phys. A Reichl, L. E. (1998). A Mode ourse in Statistical Physics. New York: John Wiley & Sons Satriawan, M. (2004). Grand anonical Partition Function for Parastatistical Systes. Physics Journal IPS Proceeding Suppleent Satriawan, M. (2002). Generalized Parastatistics Systes; Dissertation, University of Illinois at hicago 10