Perhitungan Struktur Elektronik Graphene dan Carbon Nanotube

Transkripsi

1 Bab 3 Perhitungan Struktur Elektronik Graphene dan Carbon Nanotube 31 Metode Penentuan Hubungan Dispersi Perangkat matriks Hamiltonian dan fungsi basis yang diberikan sebelumnya kini akan dimanfaatkan untuk membangun konsep pita energi atau kurva dispersi pada zat padat yang merupakan salah satu komponen struktur elektronik suatu material Perumusan dilakukan dengan cara generalisasi penentuan kurva dispersi untuk sistem rantai atomik satu dimensi menuju struktur zat padat yang lebih besar (bulk) Misalkan digunakan bentuk persamaan Schrödinger tak bergantung waktu dalam bentuk matriks, E(ψ) = [H](ψ), dan model rantai seperti pada gambar 31 Jika di N 1 N Gambar 31 Rantai atomik satu dimensi asumsikan hanya satu orbital yang digunakan sebagai basis per titik atom dan irisan antaratom diabaikan, maka akan diperoleh matriks Hamiltonian berukuran N N yang diagonal: H = diag (E 0 E 0 E 0 ) Jika atom-atom dibawa saling mendekat dan terjadi irisan antaratom, maka tetangga terdekat dari elemen diagonal matriks Hamiltonian di atas jadi tidak nol, seperti yang sudah dihitung untuk atom hidrogen (ilustrasi irisan pada gambar 21 dan 32) Untuk sistem rantai atomik 1D yang memperhitungkan irisan antaratom (antarfungsi 11

2 31 METODE PENENTUAN HUBUNGAN DISPERSI 12 1s fungsi gelombang beririsan 1s Gambar 32 Irisan dua fungsi gelombang yang bertetangga pada rantai atomik gelombang), Hamiltonian dinyatakan sebagai E 0 E ss E ss E 0 E ss 0 0 H = 0 E ss E Ess E ss E 0 Ditambah dengan syarat periodisitas, elemen off-diagonal dari matriks Hamiltonian tersebut juga tidak lagi nol, melainkan sama dengan komponen irisan E ss Dengan demikian, persamaan matriks lengkap yang perlu dipecahkan dalam sistem rantai atomik 1D ini adalah ψ 1 E 0 E ss E ss ψ 1 ψ 2 E ss E 0 0 Ess 0 ψ 2 E = 0 Ess 0 0 ψ n 0 0 E (31) ss 0 ψ n 0 E ss 0 E0 E ss ψ N E ss E ss E 0 ψ N Bentuk matriks Hamiltonian seperti itu dipilih karena untuk setiap baris pers (31) berlaku Eψ n = E ss ψ n 1 + E 0 ψ n + E ss ψ n+1 (32) Persamaan tersebut dapat diselesaikan secara analitik dengan tebakan ψ n = ψ 0 e inφ : E = E ss ψ n 1 ψ n + E 0 + E ss ψ n+1 ψ n = E ss e iφ + E 0 + E ss e +iφ = E 0 + 2E ss cos φ Akan tetapi, dalam bentuk yang terakhir ini φ memberikan tak hingga banyaknya nilai E yang kontinu Harus ada batasan yang diterapkan pada φ agar nilai eigen yang diperoleh dari matriks Hamiltonian awal bisa berjumlah tertentu (seperti ukuran matriksnya yang juga tertentu)

3 31 METODE PENENTUAN HUBUNGAN DISPERSI 13 Untuk mengakomodasi keperluan tersebut, rentang φ harus dibatasi dan nilainya didiskretisasi Pertama, yang membatasi rentang φ adalah pemberlakuan syarat ψ n = ψ 0 e in(φ+2π) = φ 0 e inφ, (33) φ dan (φ + 2π) memberikan fungsi gelombang yang sama dan rentang tinjauan bisa terbatas pada setiap daerah φ yang berukuran 2π (di sini dipilih π φ π karena simetri yang memudahkan analisis) Kedua, meskipun sudah dibatasi, nilai eigen masih bisa tak hingga banyaknya karena sifat kontinu dari φ Oleh karena itu, diberlakukan diskretisasi untuk zat padat yang periodik: yang berarti ψ n+1 = ψ 0 e in(n+1)φ = ψ 1, (34) e inφ = 1 Nφ = 2πα φ = α 2π N, dengan α adalah bilangan bulat Jika jarak antartitik kisi adalah a, maka φ dapat dituliskan sebagai φ α = k α a = α 2π N (35) Rantai atomik satu dimensi ini sebenarnya lebih realisitis jika digambarkan dengan dua atom per titik kisi Perubahan struktur semacam dari awalnya seperti gambar 31 menuju 33 dikenal sebagai distorsi Peierl [9] Di sini tidak akan dibahas detail tentang fenomena tersebut, melainkan akan ditunjukkan bagaimana cara memperoleh struktur pita energi untuk zat padat yang setiap titik kisi (atau sel satuannya) mengandung lebih dari satu orbital basis 1 1' 2 2' 3 3' N N' Gambar 33 Rantai atomik satu dimensi yang memiliki dua atom per titik kisi Perbedaan struktur ini akan mengubah bentuk Hamiltonian sebelumnya dengan beberapa modifikasi Misalkan orbital basis yang digunakan tetap 1 buah per atom, maka akan ada 2 orbital per titik kisi Persamaan Schrödinger berubah menjadi E ψ 1 ψ 1 ψ N ψ N E 0 E ss E ss E ss E 0 E ss = E ss E 0 E ss ψ 1 ψ 1 ψ N ψ N, (36)

4 31 METODE PENENTUAN HUBUNGAN DISPERSI 14 dengan E ss E ss Oleh karena ada dua fungsi ψ n dan ψ n dalam sebuah vektor kolom, diperlukan trik untuk mengembalikannya seperti bentuk standar yang periodik, yaitu dengan mengumpulkan keduanya pada matriks baru φ n Dengan perlakuan ini, persamaan Schrödinger (36) dapat dituliskan φ 1 H 11 H 12 φ 1 φ 2 H 21 H 22 H 23 φ 2 E = H 32 H, (37) 33 dengan dan φ N [ ] [ ] [ ] E0 E ss Ess H nm =, H n,n+1 =, H n,n 1 =, E ss E 0 E ss {φ n } = { ψn Untuk setiap baris persamaan matriks, dapat dituliskan yang dapat diselesaikan dengan tebakan Substitusikan tebakan tersebut menghasilkan ψ n } Eφ n = H nn φ n + H n,n 1 φ n 1 + H n,n+1 φ n+1, (38) φ N φ n = φ 0 e ikna (39) Eφ 0 = H nn φ 0 + H n,n 1 e ika φ 0 + H n,n+1 e ika φ 0, [ ] E 0 E ss + E E{φ 0 } = sse ika {φ 0 } E ss + E sse ika E 0 Nilai eigen kemudian dapat ditentukan dengan menyelesaikan persamaan sekuler (determinan): yang hasilnya E 0 E E ss + E sse ika E ss + E sse ika E 0 = 0, E = E 0 ± E 2 ss + E 2 ss + 2E ss E ss cos(ka) (310) Plot grafik dari pers (310) ditunjukkan pada gambar 34, yang merupakan suatu kurva hubungan dispersi, yaitu hubungan energi terhadap bilangan gelombang yang diizinkan muncul Dua cabang kurva yang diperoleh berkaitan dengan apa yang disebut sebagai pita valensi dan pita konduksi

5 31 METODE PENENTUAN HUBUNGAN DISPERSI 15 Gambar 34 Hubungan dispersi untuk rantai atomik satu dimensi dengan dua atom per titik kisi Generalisasi Prosedur Prosedur perhitungan struktur energi untuk rantai atomik dapat diperluas untuk sembarang zat padat periodik dengan sembarang jumlah fungsi basis per titik kisi (atau sel satuan) Tinjau sebuah sel satuan n yang terkait dengan sel satuan tetangganya m oleh matriks [H nm ] berukuran (b b), dengan b adalah jumlah fungsi basis per sel satuan Persamaan matriks keseluruhan dapat dituliskan [H nm ]{φ m } = E{φ n }, (311) m dengan {φ m } merupakan sebuah vektor kolom berukuran (b 1) yang menyatakan fungsi gelombang pada sel satuan m Himpunan persamaan ini dapat diselesaikan dengan tebakan {φ m } = {φ 0 }e i k r m, (312) asalkan pers (311) identik untuk setiap sel satuan n Ini dapat dianggap sebagai suatu bentuk modifikasi diskret dari teorema Bloch yang mensyaratkan fungsi gelombang di setiap titik kisi periodik agar tampak sama dipandang dari sudut manapun Teori tersebut merupakan konsekuensi dari periodisitas kisi dan menjamin ketika tebakan disubstitusikan pada pers (311) akan diperoleh E{φ 0 } = [h( k)]{φ 0 } (313)

6 32 KURVA DISPERSI GRAPHENE 16 dengan [h( k)] = m [H nm ]e i k ( r m r n) (314) yang tidak tergantung pada sel satuan mana yang digunakan untuk mengevaluasi jumlahan pada persamaan di atas Struktur pita kemudian dapat ditentukan dengan menemukan dulu nilai-nilai eigen dari matriks [h( k)] berukuran (b b) untuk setiap nilai k Akan ditemui sebanyak b cabang pada kurva dispersi, masing-masing untuk setiap nilai eigen 32 Kurva Dispersi Graphene Graphene merupakan lapisan 2D yang menyusun kristal karbon grafit Atom-atom karbon pada graphene tersusun secara heksagonal Struktur heksagonal ini tampak tidak terlalu periodik, atom-atom yang berdekatan tidak memiliki lingkungan tetangga yang identik Tetapi jika dua atom yang bersebelahan dalam jarak a 0 dijadikan sebagai sebuah sel satuan, maka kisi dari sel satuan tersebut bersifat periodik dan masing-masing memiliki lingkungan yang identik (gambar 35) Setiap titik dalam kisi periodik yang dibentuk oleh sel-sel satuan dapat dideskripsikan oleh himpunan bilangan bulat (m, n) dengan rumusan (lihat gambar 36): R = m a 1 + n a 2, (315a) a 1 = aˆx + bŷ a 2 = aˆx bŷ, (315b) a = 3a 0 3a0 dan b = (315c) 2 2 Untuk kisi resiprok, titik-titik kisi pada bidang k x k y diberikan oleh K = M b 1 + N b 2, b1 = 2π( a 2 ẑ) a 1 ( a 2 ẑ = π a ˆx + π b ŷ, b2 = 2π(ẑ a 1) a 2 (ẑ a 1 ) = π a ˆx π b ŷ (316a) (316b) (316c) y x sel satuan a 0 Gambar 35 Sketsa graphene: sel satuan dipilih terdiri dari dua atom karbon

7 32 KURVA DISPERSI GRAPHENE 17 a 1 a, b 0,2 /3b /a, /3b b 1 a 2 /a, /3b b 2 a, b Gambar 36 Kisi nyata dan kisi resiprok yang berkaitan pada graphene Sumbu x dan y seperti yang didefinisikan pada gambar 35 Daerah yang diarsir merupakan zona Brillouin Dengan menggunakan vektor-vektor basis tersebut dapat dibangun zona Brillouin seperti pada gambar (36) Untuk nilai k tertentu, energi eigen dapat dihitung berdasarkan pers (313) dan (314) Ukuran matriks [h( k)] bergantung pada jumlah fungsi basis per sel satuan Jika digunakan empat orbital sesuai elektron valensi karbon (2s, 2p x, 2p y, 2p z ) sebagai fungsi basis, maka ada delapan fungsi basis dalam satu sel satuan (yang mengandung dua atom karbon) Dengan demikian, untuk setiap nilai k akan diperoleh delapan nilai eigen Akan tetapi, keadaan energi 2s, 2p x, 2p y tidak terkait sama sekali dengan keadaan 2p z karena tidak ada irisan fungsi gelombang antarkeadaan tersebut, yaitu u s,px,p y Ĥu pz = 0 (317) Ini artinya keadaan valensi dan konduksi pada graphene dapat dijelaskan dengan baik cukup dengan menggunakan satu orbital (2p z ) per atom karbon Matriks [h( k)] yang dibutuhkan akan berukuran (2 2) karena satu sel satuan mengandung dua atom Matriks tersebut merupakan jumlahan seluruh Hamiltonian yang terkait interaksi dengan tetangganya dan juga dalam sel satuan itu sendiri Elemen matriks merupakan integral irisan antarfungsi gelombang Misalkan nilainya sebesar t untuk atom-atom karbon yang bertetangga dan 0 untuk lainnya (karena tidak ada irisan), maka [ ] [ [h( E0 t 0 te i ] [ k a 1 0 te i ] k a 2 k)] = + + t E [ ] [ ] te i k a 1 0 te i k a 2 0 [ ] [h( E0 h 0 k)] =, (318) h 0 E 0

8 33 KLASIFIKASI NANOMATERIAL 18 3 E t k y a 0 k x a Gambar 37 Hubungan dispersi pada graphene dengan h 0 = t(1 + e i k a 1 + e i k a 2 ) = t(1 + 2e ikxa cos(k y b) Nilai eigen kemudian dapat ditentukan dari persamaan sekuler (determinan) yang hasilnya E = E 0 ± h 0 = E 0 ± t [ cos 2 (k y b) + 4 cos(k x a) cos(k y b) ] 1/2 (319) Visualisasi rumusan E graphene ini ditunjukkan pada gambar 37, dengan E 0 = 0 33 Klasifikasi Nanomaterial Tingkat-tingkat energi E b ( k) yang diizinkan pada suatu zat padat periodik terkait dengan vektor gelombang k, dengan jumlah cabang sebanyak b sesuai dengan jumlah fungsi basis yang dipilih per sel satuan Hasil tersebut berdasarkan pada asumsi syarat batas periodik di semua arah sehingga periodisitas fungsi gelombang tetap berlaku meskipun pada daerah ujung material Oleh karena ukuran material yang besar (bulk), maka asumsi itu dapat berlaku dan sifat-sifat elektronik material dapat sesuai dengan apa yang diperoleh dari eksperimen Beberapa fenomena menarik akhirnya sering teramati pada struktur nanomaterial, yang dapat dianggap sebagai perbatasan antara orde atom/molekul dan zat padat bulk Material dalam orde nanometer biasanya disusun oleh sekitar seratusan atom Sistem seperti ini sering dirujuk sebagai sistem mesoskopik atau sistem berdimensi rendah Untuk kebanyakan nanomaterial, diagram E k konvensional masih belum cukup untuk

9 33 KLASIFIKASI NANOMATERIAL 19 menjelaskan seluruh sifat elektroniknya Pada bagian ini akan dibahas bagaimana suatu struktur zat padat bulk yang direduksi menjadi sistem berdimensi rendah membawa pada konsep subpita yang menunjukkan beberapa perbedaan kualitatif maupun eksperimental antara zat padat makroskopik dan mesoskopik Nanomaterial dapat diklasifikasikan menurut aspek pengurungan gerak pembawa muatan atau ukuran derajat kebebasannya Pada zat padat homogen bulk, elektron bisa bebas bergerak dalam tiga arah koordinat kartesian dan tingkat-tingkat energinya dapat dinyatakan sebagai E b (k x, k y, k z ), indeks b berkaitan dengan pita-pita yang berbeda Jika sekarang salah satu dimensi zat padat tersebut dibatasi, misalnya arah k z menjadi ukuran panjang yang cukup kecil, L z, maka akan diperoleh struktur quantum well Nilai k z dipaksa untuk berbentuk diskret dengan syarat batas seperti sumur potensial: k z = n zπ L z (n z bilangan bulat) (320) Misalkan hubungan dispersi E b ( k) pada daerah tertentu dapat diaproksimasi oleh hubungan parabolik dengan massa efektif m : E( k) E c + 2 (k 2 x + k 2 y + k 2 z) 2m, (321) nilai E c dan m c ditentukan dari pencocokan Kedua parameter ini masing-masing merupakan ujung pita konduksi dan massa efektif yang dapat ditentukan untuk berbagai macam semikonduktor konvensional Terkait dengan pembatasan gerak pada quantum well, hubungan dispersi zat padat bulk tersebut berubah menjadi E nz (k x, k y ) E c + n 2 zɛ z + 2 (k 2 x + k 2 y) 2m, (322a) ɛ z = 2 π 2 2m L 2 (322b) z Langkah pembatasan gerak ini dapat dilanjutkan menuju struktur dalam dimensi yang lebih rendah, yaitu membentuk quantum wire: dan bisa juga menjadi quantum dot: E ny,n z (k x ) E c + n 2 yɛ y + n 2 zɛ z + 2 k 2 x 2m, (323a) ɛ y = 2 π 2 2m L 2, (323b) y E nx,n y,n z E c + 2 π 2 2m ( ) n 2 x L 2 + n2 y x L 2 + n2 z y L 2 (324) z Struktur quantum dot sering disebut juga sebagai atom buatan (artificial atoms)

10 34 STRUKTUR CARBON NANOTUBE 20 Zat padat biasa Quantum well Quantum wire Quantum dot Gambar 38 Struktur zat padat bulk, quantum well, wire, dan dot 34 Struktur Carbon Nanotube Carbon nanotube (CNT) dapat dibentuk dari penggulungan lembaran graphene Oleh karena itu, sifat-sifatnya merupakan turunan dari sifat-sifat graphene, ditambah munculnya beberapa fenomena luar biasa sebagai akibat kuantisasi ruang dari 2D menuju 1D Artinya dari segi struktur, CNT termasuk ke dalam jenis quantum wire dari quantum well dalam bentuk graphene Peninjauan kembali struktur elektronik graphene akan sangat membantu dalam perumusan sifat elektronik CNT Tingkat-tingkat energi graphene (seperti yang dijelaskan di bagian sebelumnya) dapat ditentukan dengan mencari nilai eigen dari matriks yang menghasilkan [ ] h( E0 h 0 k) =, h 0 E 0 [ ] h 0 = t 1 + 2e ikxa cos(k y b), E = E 0 ± h 0 = E 0 ± t [ cos 2 (k y b) + 4 cos(k x a) cos(k y b) ] 1/2 Oleh karena setiap tingkat-tingkat energi simetris di sekitar E 0 = 0, maka seluruh keadaan dengan E < 0 akan terisi penuh, sedangkan seluruh keadaan dengan E > 0 akan kosong, atau bisa dikatakan tingkat energi Fermi berada pada E 0 = 0 Pada bidang k x k y, titik-titik dengan E 0 = 0 merupakan daerah tempat berlakunya h 0 ( k) = 0, yaitu (k x a, k y b) = (0, 2π/3), ( π, +π/3), (+π, +π/3) (325) (k x a, k y b) = (0, +2π/3), ( π, π/3), (+π, π/3) (326) Keenamnya tidak lain merupakan titik-titik sudut zona Brillouin Graphene seperti pada gambar 36 Titik-titik tersebut dikelompokkan menjadi dua kelompok yang masingmasing beranggotakan tiga titik setara yang berperan dalam proses konduksi muatan

11 34 STRUKTUR CARBON NANOTUBE 21 k y k y k x k x Gambar 39 Translasi titik zona Brillouin pada graphene yang berperan dalam konduksi Setiap titik dalam masing-masing kelompok memiliki kontribusi 1/3 terhadap konduksi Supaya lebih mudah dalam peninjauan penggulungan graphene menjadi CNT, maka tiga titik pada masing-masing kelompok digabungkan dalam dua titik (k x a, k y b) = (0, ±2π/3) seperti ditunjukkan gambar 39 Begitu graphene digulung menjadi CNT, nilai-nilai k yang diizinkan akan tergantung pada syarat periodik di bagian kelilingnya Jika didefinisikan vektor keliling (chiral): c h = m a 1 + n a 2 = a(m + n)ˆx + b(m n)ŷ (327) yang menghubungkan dua titik yang setara pada bidang x y ketika digulung, maka syarat batas periodik yang berlaku adalah k ch = k c c h = k x a(m + n) + k y b(m n) = 2πν (328) Syarat batas tersebut menyatakan garis-garis sejajar yang masing-masing berkaitan dengan bilangan bulat berbeda ν (gambar 310) Garis-garis tersebut menunjukkan keberadaan subpita pada CNT Jika digambarkan kurva dispersi pada sepanjang garis sejajar, maka akan diperoleh hubungan E ν (k) masing-masing satu macam kurva untuk setiap subpita ν Dari syarat (328) inilah bagaimana jumlah subpita dipengaruhi oleh dimensi (ukuran) CNT Jika CNT memiliki keliling yang sangat besar, maka jumlah subpita pada zona Brillouin jadi cukup banyak Sebagai akibatnya sifat nanotube demikian tidak ada bedanya dengan graphite biasa yang diagram energinya membentuk pita murni Tetapi jika keliling CNT cukup kecil, keberadaan subpita akan sangat signifikan mempengaruhi sifat elektronik CNT Hubungan dispersi yang dihasilkan apakah akan menunjukkan celah energi (semikonduktor) atau tidak (logam) tergantung pada keberadaan garis-garis subpita yang dapat melewati salah satu titik konduksi (k x a, k y b) = (0, ±2π/3) Persyaratan m dan n agar menjadi seperti logam dapat dihitung dari (328), yaitu agar garis

12 34 STRUKTUR CARBON NANOTUBE 22 0, 2 / 3b k y k x k c c h =2 0, 2 / 3b kontur energi (konstan) Gambar 310 Garis-garis sejajar sebagai subpita pada CNT subpita melewati k x a = 0, k y b = 2π/3 (tidak ada celah energi), maka (m n)/3 = ν (329) ν merupakan bilangan bulat, sehingga CNT seperti logam akan terjadi jika (m n) merupakan kelipatan tiga Selain yang demikian, sifat CNT yang muncul adalah semikonduktor Misalkan ditinjau dua contoh yang spesifik, yaitu zigzag-cnt dan armchair-cnt Untuk tipe zigzag-cnt, vektor c h = 2bmŷ, syarat batas periodik mengakibatkan nilainilai k yang diizinkan jadi terletak sejajar dengan sumbu-k x (berarti koordinat k y yang ditentukan), yaitu k y 2bm = 2πν k y = 2πν 2mb = 2π 3ν 3b 2m, (330) dengan 2bm sebagai besar keliling CNT Demikian pula tipe armchair-cnt, vektor c h = 2amˆx, syarat batas mengakibatkan nilai k yang diizinkan jadi terletak sejajar dengan sumbu-k x, yaitu koordinat k y : k x 2am = 2πν k x = 2πν 2ma (331) Meskipun rumusan (330) dan (331) bentuknya serupa, tetapi perbedaan mendasar jelas tampak dari ada atau tidaknya posisi k x dan k y agar terjadi konduksi Titik konduksi zona Brillouin ada di koordinat bilangan gelombang (k x a, k y b) = (0, ±2π/3) Artinya, armchair-cnt bersifat seperti logam untuk berapapun nilai m karena subpita dengan ν = 0 selalu melewati titik konduksi tersebut Sedangkan zigzag-cnt bisa bersifat seperti logam maupun semikonduktor tergantung pada nilai m, yaitu jika m (dalam kasus ini) merupakan kelipatan tiga berarti sifatnya logam

13 34 STRUKTUR CARBON NANOTUBE 23 Gambar 311 Aproksimasi kurva dispersi energi untuk CNT sebagai fungsi k y b sepanjang garis k x a = 0 (sumbu CNT) Dua kurva yang dibandingkan masing-masing berasal dari pers (319) dan (335) Konduksi listrik ditentukan oleh ketersediaan keadaan energi di sekitar tingkat Fermi Pendekatan yang sangat berguna untuk menjelaskannya adalah uraian Taylor untuk plot E k di sekitar E = 0 Caranya yaitu dengan menerapkan uraian tersebut untuk h 0 ( k) = t[1 + 2e ikxa cos(k y b)] pada daerah (k x a, k y b) = (0, ±2π/3) yang celah energinya nol (h 0 = 0 untuk titik tersebut) Selesaikan: [ ] ( h0 h 0 k x + k y 2π ) [ h0 k x 3b k y dengan h 0 = k x h 0 = k y sehingga dapat dituliskan k xa=0,k yb=±2π/3 [ ] 2iate ikxa cos(k y b) ], (332) k xa=0,k yb=±2π/3 = iat = i3a 0t/2, k xa=0,k yb=±2π/3 [ ] 2bte ikya sin(k y b) = ±bt 3 = ±3a 0 t/2, k xa=0,k yb=±2π/3 h 0 ( k) = i 3a 0t 2 (k x iβ y ) (333) β y k y 2π 3 Hubungan dispersi energi yang terkait (seperti pers (319)) dapat dituliskan E( k) = ± h 0 = ± 3ta 0 2 (334) k 2 x + β 2 y (335) Rumusan dispersi energi hasil penyederhanaan ini cukup cocok pada rentang energi yang cukup luas (gambar 311) Dengan menggunakan aproksimasi Taylor, kontur energi konstan akan berbentuk lingkaran dan isotropik di sekitar pusat masing-masing titik

14 34 STRUKTUR CARBON NANOTUBE 24 konduksi, (0, ±2π/3b) Menariknya, hasil ini menunjukkan bahwa vektor gelombang yang searah dengan sumbu CNT bernilai kontinu, asalkan CNT tersebut diasumsikan memiliki panjang tak hingga Untuk CNT nyata yang panjangnya terbatas, nilai vektor gelombang yang terkuantisasi bisa juga muncul seperti untuk vektor gelombang yang searah dengan lingkaran keliling CNT Lebar celah energi untuk CNT semikonduktor bergantung pada tipenya yang spesifik Yang pasti, selama (m n) bukan kelipatan angka tiga, maka celah energi tidak bernilai nol Rumusan untuk lebar celah energi cukup mudah diturunkan jika ditinjau tipe zigzag-cnt Dari pers (330), (334), dan (335), dapat dituliskan E(k x ) = ± 3ta 0 2 k 2 x + [ ( )] 2π 3ν 2 3b 2m 1, (336) sehingga celah energi untuk suatu subpita ν dapat dinyatakan sebagai selisih antara energi cabang (+) dan ( ) pada k x = 0: ( 2π E g,ν = 3ta 0 ν 2m 2mb 3 ) (337) Rumusan terakhir ini memiliki sebuah nilai minimum nol berkaitan dengan ν = 2m/3 Tetapi jika m bukan kelipatan tiga maka nilai minimum (ν 2m/3) sama dengan 1/3 Ini artinya nilai terkecil celah energi diberikan oleh E g = 2π 2mb ta 0 = 2ta 0 D, (338) D adalah diameter CNT dalam nm, dan πd keliling CNT yang sama dengan 2mb Jika dibandingkan dengan penjelasan teoretik terdahulu [6], maka hasil ini menunjukkan kesesuaian yang sempurna Lebar celah energi suatu CNT hanya berubah terhadap ukuran diameter CNT

15 34 STRUKTUR CARBON NANOTUBE 25 Gambar 312 Dua subpita terendah pada zigzag-cnt dengan m = 45 Tidak adanya celah energi menunjukkan sifat yang seperti logam Gambar 313 Dua subpita terendah pada zigzag-cnt dengan m = 44 Keberadaan celah energi menunjukkan sifatnya yang semikonduktor