Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, dan Nanomaterial dengan Metode Ikatan Terkuat

Transkripsi

1 Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, dan Nanomaterial dengan Metode Ikatan Terkuat Ahmad Ridwan Tresna Nugraha (NIM: ), Pembimbing: Sukirno, Ph.D KK FisMatEl, Institut Teknologi Bandung ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

2 Daftar Isi 1 Pendahuluan 2 Persamaan Schrödinger dalam Matriks 3 Metode SCF untuk Atom 4 Ikatan pada Molekul 5 Konsep Fungsi Basis 6 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D Graphene dan Semikonduktor Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

3 Pendahuluan Sistematika 1 Pendahuluan 2 Persamaan Schrödinger dalam Matriks 3 Metode SCF untuk Atom 4 Ikatan pada Molekul 5 Konsep Fungsi Basis 6 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D Graphene dan Semikonduktor Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

4 Pendahuluan Latar Belakang dan Motivasi Penentuan struktur elektronik merupakan kajian yang paling penting dalam bidang fisika material. Sifat-sifat fisis material tingkat-tingkat energi yang diizinkan. Kendala penentuan struktur elektronik: kerumitan perhitungan seiring banyaknya elektron yang terlibat pemecahan persamaan Schrödinger untuk banyak partikel. Dibutuhkan beberapa aproksimasi untuk menyederhanakan persamaan Schrödinger sesuai dengan sistem elektron tertentu. ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

8 Pendahuluan Metode dan Objek Perhitungan Perangkat Matematik + Komputasi: Trik komputasi persamaan matriks :: Matriks Hamiltonian Aproksimasi Beda Hingga :: Self-Consistent Field :: Pemilihan Fungsi Basis Objek yang diamati: Atom: Hidrogen dan Helium Molekul: Gas Hidrogen (H 2 ) Struktur Bulk : Rantai Atomik, Graphene, Galium Arsenida Nanomaterial: Carbon Nanotube ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

12 Pendahuluan Model Atom Klasik Spektrum energi: Panaskan gas atom-atom bersifat seperti hidrogen spektrum energi diskret dapat teramati h Pola emisi foton: hν = E 0 Z 2 ( 1 n 2 1 m 2 ), n dan m bilangan bulat; E n = Persamaan Schrödinger satu partikel: Ψ( r, t) i = 2 t 2m 2 Ψ( r, t) + U( r)ψ( r, t) ( Z 2 n 2 ) E 0 ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

15 Pendahuluan Model Atom Klasik Energi diskret untuk atom hidrogen (abaikan gerak inti masif): maka tebakan solusinya: U( r) = Ze2 4πɛ 0 r Ψ( r, t) = e ient/ φ nlm ( r) Ze ( Z 2 E n = n 2 ( n 2 r n = Z ) a 0 ) E 0 a 0 = 4πɛ 0 2 /(me 2 ) 0, 053 nm ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

16 Pendahuluan Pentingnya Metode Numerik Solusi analitik pers. Schrödinger lebih banyak yang sulit ditentukan meski hanya 1 partikel yang ditinjau. Semakin banyak elektron yang terlibat, perhitungan akan semakin rumit karena interaksi elektron-elektron Bentuk fungsi potensial menyulitkan pemecahan persamaan diferensial. Besaran yang selanjutnya perlu dihitung: Tingkat energi dasar (ground state) + struktur pita energi Kerapatan elektron :: konsekuensi postulat probabilitas Born n(x, t) = i Ψ i Ψ i. ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

20 Persamaan Schrödinger dalam Matriks Sistematika 1 Pendahuluan 2 Persamaan Schrödinger dalam Matriks 3 Metode SCF untuk Atom 4 Ikatan pada Molekul 5 Konsep Fungsi Basis 6 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D Graphene dan Semikonduktor Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

21 Persamaan Schrödinger dalam Matriks Kerangka Matriks Hamiltonian Notasi Matriks Kunci utama pemecahan pers. Schrödinger secara numerik. Definisikan Ĥ 2 2m 2 + U( r): i Ψ( r, t) = ĤΨ( r, t) t Nyatakan Ψ( r, t) sebagai vektor (matriks) kolom {ψ(t)}, sehingga i d dt [ ] T [ ] T ψ 1 ψ 2... = [H] ψ 1 ψ 2... Konversi ke bentuk matriks dilakukan dengan menggunakan kisi (sejumlah titik) diskret Beda hingga (finite difference) ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

25 Persamaan Schrödinger dalam Matriks Beda Hingga Tinjau sistem 1D: x n = na n a n 1 n n 1... N x Operasi turunan kedua: (bagian dari suku kinetik) [ 2 ] Ψ x 2 = 1 x=x n a 2 [Ψ(x n+1) 2Ψ(x n ) + Ψ(x n 1 )] Potensial: [U(x)Ψ(x)] x=xn = U(x n )Ψ(x n ) ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

28 Persamaan Schrödinger dalam Matriks Beda Hingga Misalkan 2 /2ma 2 = τ 0 dan U n = U(x n ), maka persamaan Schrödinger untuk ψ n : i dψ n dt = [Ĥψ] x=x n = (U n + 2τ 0 ) τ 0 ψ n 1 τ 0 ψ n+1 = [ ] (Un + 2τ 0 )δ n,m τ 0 δ n,m+1 τ 0 δ n,m 1 ψm m Bentuk matriks lengkap: dengan i d {ψ(t)} = [H]{ψ(t)} dt H n,m = [U n + 2τ 0 ]δ n,m τ 0 δ n,m+1 τ 0 δ n,m 1 ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

29 Persamaan Schrödinger dalam Matriks Beda Hingga Misalkan 2 /2ma 2 = τ 0 dan U n = U(x n ), maka persamaan Schrödinger untuk ψ n : i dψ n dt = [Ĥψ] x=x n = (U n + 2τ 0 ) τ 0 ψ n 1 τ 0 ψ n+1 = [ ] (Un + 2τ 0 )δ n,m τ 0 δ n,m+1 τ 0 δ n,m 1 ψm m Bentuk matriks lengkap: dengan i d {ψ(t)} = [H]{ψ(t)} dt H n,m = [U n + 2τ 0 ]δ n,m τ 0 δ n,m+1 τ 0 δ n,m 1 ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

30 Persamaan Schrödinger dalam Matriks Beda Hingga Lebih eksplisit: ψ 1 2τ 0 + U 1 τ ψ 1 ψ 2 τ 0 2τ 0 + U 2 τ ψ i d.. 0 τ dt ψ = n ψ. n τ0. ψ N τ 0 2τ 0 + U N ψ N Reduksi parameter waktu: [H]{α} = E α {α}; {ψ(t)} = α E α nilai eigen dari [H] c α e ieαt/ {α} ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

31 Persamaan Schrödinger dalam Matriks Beda Hingga Lebih eksplisit: ψ 1 2τ 0 + U 1 τ ψ 1 ψ 2 τ 0 2τ 0 + U 2 τ ψ i d.. 0 τ dt ψ = n ψ. n τ0. ψ N τ 0 2τ 0 + U N ψ N Reduksi parameter waktu: [H]{α} = E α {α}; {ψ(t)} = α E α nilai eigen dari [H] c α e ieαt/ {α} ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

32 Persamaan Schrödinger dalam Matriks Beda Hingga untuk 3D Bagian yang membedakan sistem 1D, 2D, dan 3D adalah elemen diagonal pada matriks [H]. Secara umum, elemen diagonal [H] adalah potensial U( r) yang dievaluasi pada titik kisi tertentu ditambah dengan τ 0 kali banyaknya titik tetangga terdekat. Jumlah titik-titik tetangga: dua untuk 1D, empat untuk 2D, enam untuk 3D. Separasi variabel supaya ukuran matriks 2D/3D tetap sama dengan sistem 1D. Ψ( r) = X(x)Y(y)Z(z) U( r) = U x (x) + U y (y) + U z (z) ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

36 Persamaan Schrödinger dalam Matriks Beda Hingga untuk 3D Setiap fungsi X(x), Y(y), dan Z(z) merupakan solusi dari persamaan Schrödinger 1D yang saling bebas: E x X(x) = E y Y(y) = E z Z(z) = dan energi total: [ 2 d 2 ] 2m dx 2 + U x(x) X(x), d 2 ] 2m dy 2 + U y(y) Y(y), d 2 ] 2m dz 2 + U z(x) Z(z) [ 2 [ 2 E = E x + E y + E z ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

37 Persamaan Schrödinger dalam Matriks Potensial Simetri Bola Fungsi gelombang lengkap: Ψ( r) = Ψ(r, θ, φ) = f (r) r Ym l (θ, φ) Solusi f (r) diperoleh dari penyelesaian persamaan Schrödinger radial yang ternyata tereduksi menjadi bentuk 1D: Ef (r) = [ 2 d 2 ] l(l + 1) 2 + 2m dr2 2mr 2 + U(r) f (r) l = 0: keadaan s (sharp), l = 1: keadaan p (principal), dan seterusnya Fungsi Yl m (θ, φ) adalah fungsi harmonik sferis: Y0(θ, 0 φ) = 4π ; Y0 1(θ, φ) = 4π ; Y±1 1 (θ, φ) = ± 8π sin θ [ e ±iφ] ;... ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

40 Persamaan Schrödinger dalam Matriks Potensial Simetri Bola Normalisasi: 0 π r=0 θ=0 f (r) 2 dr = 1; 2π Ψ 2 r 2 sin θ drdθdφ = 1 φ=0 π θ=0 2π φ=0 Y m l 2 sin θdθdφ = 1 f (r) disimpulkan sebagai fungsi distribusi probabilitas radial, sehingga f (r) 2 dr merupakan probabilitas untuk menemukan elektron dalam volume antara r dan (r + dr). Hasil numerik dengan jarak antartitik kisi a harus dibandingkan dengan nilai analitik f (r) 2 a. Untuk tingkat 1s dan 2s, hasil analitiknya adalah f 1s (r) 2 = 4 a 3 e 2r/a 0 ; 0 f 2s (r) 2 = r2 8a 3 0 [ 2 r a 0 ] 2 e r/a 0 ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

44 Persamaan Schrödinger dalam Matriks Pembenaran: Potensial Simetri Bola Tingkat 1s. Energi eigen numerik: E = 13, 56 ev. Kisi: N = 100, a = 0, m. ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

45 Persamaan Schrödinger dalam Matriks Pembenaran: Potensial Simetri Bola Tingkat 2s. Energi eigen numerik: 2, 96 ev. Kisi: a = 0, m. ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

46 Persamaan Schrödinger dalam Matriks Pembenaran: Potensial Simetri Bola Tingkat 1s. Energi eigen numerik: E = 13, 56 ev. Kisi: N = 100, a = 0, m. ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

47 Persamaan Schrödinger dalam Matriks Pembenaran: Potensial Simetri Bola Tingkat 2s. Energi eigen numerik: 2, 96 ev. Kisi: a = 0, m. ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

48 Metode SCF untuk Atom Sistematika 1 Pendahuluan 2 Persamaan Schrödinger dalam Matriks 3 Metode SCF untuk Atom 4 Ikatan pada Molekul 5 Konsep Fungsi Basis 6 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D Graphene dan Semikonduktor Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

49 Metode SCF untuk Atom Hidrogen versus Helium Berdasarkan rumus tingkat energi atom hidrogen, sebuah elektron yang berada pada tingkat 1s memiliki energi ionisasi E = 13, 6 ev pada tingkat 2s ionisasinya E = 3, 4 ev. Energi sebesar itu dapat diukur dari proses emisi optik dibalik menjadi pengukuran energi ionisasi. Bagaimana dengan Helium (atau atom-atom lain yang berelektron banyak)? ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

50 Metode SCF untuk Atom Hidrogen versus Helium Berdasarkan rumus tingkat energi atom hidrogen, sebuah elektron yang berada pada tingkat 1s memiliki energi ionisasi E = 13, 6 ev pada tingkat 2s ionisasinya E = 3, 4 ev. Energi sebesar itu dapat diukur dari proses emisi optik dibalik menjadi pengukuran energi ionisasi. foton 1s 2p Bagaimana dengan Helium (atau atom-atom lain yang berelektron banyak)? ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

51 Metode SCF untuk Atom Hidrogen versus Helium Berdasarkan rumus tingkat energi atom hidrogen, sebuah elektron yang berada pada tingkat 1s memiliki energi ionisasi E = 13, 6 ev pada tingkat 2s ionisasinya E = 3, 4 ev. Energi sebesar itu dapat diukur dari proses emisi optik dibalik menjadi pengukuran energi ionisasi. foton 1s 2p Bagaimana dengan Helium (atau atom-atom lain yang berelektron banyak)? ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

52 Metode SCF untuk Atom Hidrogen versus Helium Atom Helium Helium dengan model klasik: E = 2 2 (13, 6 ev) = 54, 4 ev. Akan tetapi, hasil eksperimen (ionisasi pertama): E 24, 8 ev E = 54, 4 ev muncul di ionisasi kedua, He + (hν = +24, 8 ev) He + + e He + (hν = He , 4 ev) H 2+ + e Model klasik belum menyertakan interaksi elektron-elektron. Koreksi bentuk potensial (untuk segala macam atom): U( r) = U inti ( r) + U scf ( r) ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

57 Metode SCF untuk Atom Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree Persamaan Schrödinger radial: Ef (r) = d 2 ] 2m dr l(l + 1) 2mr 2 Ze2 4πɛ 0 r + U scf(r) f (r) [ 2 Self-consistent field menurut Hartree: 2 U scf ( r) = e2 ɛ 0 n( r) atau U scf ( r) = n,l,m e2 4πɛ 0 n( r )d r r r Dalam koordinat bola, jumlah elektron total menjadi N e = r 2 sin θdθdφdr f n (r) 2 r Yl m 2 ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

60 Metode SCF untuk Atom Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree Y m l ternormalisasi, sehingga N e = σ(r)dr dengan σ(r) = f n (r) 2 n,l,m Jumlahkan pada seluruh keadaan energi yang terisi: n( r) = ψ α ( r) 2 = f n (r) 2 r Yl m (θ, φ) 2 α n,l,m Besaran σ(r) memberikan informasi seberapa banyak muatan terdistribusi di kulit yang berada pada jarak tertentu dari inti ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

63 Metode SCF untuk Atom Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree Perhitungan integral pada N e : bagi dua daerah r luar r r dalam (a) (a) Kulit muatan berjarak r dari pusat. (b) Ruang bola dibagi menjadi dua daerah, dalam dan luar. Kontribusi pada potensial SCF: U scf (r) = Z 1 [ e 2 r σ(r )dr + e2 Z 4πɛ 0 r 4πɛ 0 0 (b) r σ(r )dr ] r ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

64 Metode SCF untuk Atom Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree Perhitungan integral pada N e : bagi dua daerah r luar r r dalam (a) (a) Kulit muatan berjarak r dari pusat. (b) Ruang bola dibagi menjadi dua daerah, dalam dan luar. Kontribusi pada potensial SCF: U scf (r) = Z 1 [ e 2 r σ(r )dr + e2 Z 4πɛ 0 r 4πɛ 0 0 (b) r σ(r )dr ] r ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

65 Metode SCF untuk Atom Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree AWAL Tebak U scf (misalnya nol) Hitung U scf pendekatan Hartree Pecahkan persamaan Schrödinger: dapatkan nilai eigen dan fungsi eigen Belum Konvergen Periksa Konvergensi Hitung kerapatan n r Sudah Konvergen AKHIR ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

66 Metode SCF untuk Atom Terapan SCF pada Helium Perbandingan potensial inti dan potensial SCF untuk atom helium. ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

67 Metode SCF untuk Atom Terapan SCF pada Helium Distribusi probabilitas radial untuk keadaan 1s atom helium dan hidrogen. Energi eigen numerik untuk helium: E = 24, 73 ev ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

68 Ikatan pada Molekul Sistematika 1 Pendahuluan 2 Persamaan Schrödinger dalam Matriks 3 Metode SCF untuk Atom 4 Ikatan pada Molekul 5 Konsep Fungsi Basis 6 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D Graphene dan Semikonduktor Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

69 Ikatan pada Molekul Ikatan Ionik Pedoman konfigurasi elektron: Pers. Schrödinger dan Prinsip larangan Pauli Ikatan ionik biasanya dibentuk antara atom pada bagian kiri tabel periodik (misalnya Na) dengan atom pada bagian kanan tabel periodik (misalnya Cl) elektronegativitas ekstrem. Konfigurasi NaCl: Elektron valensi pada atom Na: 3s, energi 5 ev. Elektron valensi pada atom Cl: 3s (energi 29, 2 ev) dan 3p (energi 13, 8 ev) Elektron atom Na memiliki energi lebih tinggi turun tingkat dalam proses pembentukan ikatan. Hasilnya: Keadaan 3s atom Na tidak terisi elektron. ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

73 Ikatan pada Molekul Ikatan Kovalen Gas Hidrogen Argumen penurunan tingkat tidak berlaku untuk molekul dengan atom penyusun yang elektronegatifnya sama. menghasilkan ikatan kovalen. Contoh: H 2. ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

74 Ikatan pada Molekul Ikatan Kovalen Gas Hidrogen Argumen penurunan tingkat tidak berlaku untuk molekul dengan atom penyusun yang elektronegatifnya sama. menghasilkan ikatan kovalen. Contoh: H 2. ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

75 Ikatan pada Molekul Ikatan Kovalen Gas Hidrogen Argumen penurunan tingkat tidak berlaku untuk molekul dengan atom penyusun yang elektronegatifnya sama. menghasilkan ikatan kovalen. Contoh: H 2. Pembentukan molekul H 2. H H H H E 0 1s 1s E 0 E A E 0 = 13,6 ev E B ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

76 Konsep Fungsi Basis Sistematika 1 Pendahuluan 2 Persamaan Schrödinger dalam Matriks 3 Metode SCF untuk Atom 4 Ikatan pada Molekul 5 Konsep Fungsi Basis 6 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D Graphene dan Semikonduktor Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

77 Konsep Fungsi Basis Formalisme Persamaan Schrödinger tak bergantung waktu, dalam bentuk persamaan nilai eigen: ĤΦ α = E α Φ α Fungsi gelombang Φ α dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari himpunan fungsi basis {u m }: Φ α ( r) = M c m u m ( r) m=1 atau dalam matriks: Φ( r) {c 1 c c M } T Pemilihan basis yang tepat dapat mereduksi ukuran matriks Hamiltonian [H] dan waktu komputasi secara signifikan. ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

80 Konsep Fungsi Basis Formalisme Substitusikan ekspansi Φ α ke dalam persamaan Schrödinger: Ĥ m c m u m ( r) = E m c m u m ( r) Kalikan dengan u n( r) dan integrasi kedua ruas untuk seluruh r: [ u n( r) Ĥ ] [ c m u m ( r) d r = u n( r) E ] c m u m ( r) d r m m H nm c m = E S nm c m m m dengan u n( r)ĥu m( r)d r = H nm, u n( r)u m ( r)d r = S nm. Persamaan Schrödinger matriks dalam fungsi basis: [H]{φ} = E[S]{φ} ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

83 Konsep Fungsi Basis Aplikasi pada H 2 u N r u N ' r + + U N R U N ' Pemilihan fungsi basis untuk molekul hidrogen. Ditunjukkan pula sketsa potensial akibat dua inti positif. ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

84 Konsep Fungsi Basis Aplikasi pada H 2 Kerapatan elektron di sumbu yang menghubungkan dua atom hidrogen dalam molekul. ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

85 Konsep Fungsi Basis Energi Ikat Gas Hidrogen Beberapa energi yang terlibat dalam pembentukan molekul gas hidrogen. Energi ikat sebuah molekul H 2 diestimasi dari 2(E B0 E 0 ) + U NN + U ee. ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

86 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Sistematika 1 Pendahuluan 2 Persamaan Schrödinger dalam Matriks 3 Metode SCF untuk Atom 4 Ikatan pada Molekul 5 Konsep Fungsi Basis 6 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D Graphene dan Semikonduktor Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

87 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Alur Perhitungan Perangkat Matematik + Komputasi: Trik komputasi persamaan matriks :: Matriks Hamiltonian Aproksimasi Beda Hingga :: Self-Consistent Field :: Pemilihan Fungsi Basis Objek yang diamati: Atom: Hidrogen dan Helium Molekul: Gas Hidrogen (H 2 ) Struktur Bulk : Rantai Atomik, Graphene, Galium Arsenida Nanomaterial: Carbon Nanotube ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

91 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D Pemodelan zat padat: periodisitas fungsi gelombang Rantai atomik satu dimensi dengan satu atom per titik kisi: Jika irisan fungsi gelombang antaratom diabaikan: H = diag (E 0 E 0... E 0 ). Jika atom-atom dibawa saling mendekat dan terjadi irisan antaratom, maka tetangga terdekat dari elemen diagonal matriks Hamiltonian tidak lagi bernilai nol. ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

92 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D Pemodelan zat padat: periodisitas fungsi gelombang Rantai atomik satu dimensi dengan satu atom per titik kisi: N 1 N Jika irisan fungsi gelombang antaratom diabaikan: H = diag (E 0 E 0... E 0 ). Jika atom-atom dibawa saling mendekat dan terjadi irisan antaratom, maka tetangga terdekat dari elemen diagonal matriks Hamiltonian tidak lagi bernilai nol. ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

95 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D Irisan dua fungsi gelombang yang bertetangga pada rantai atomik: 1s fungsi gelombang beririsan 1s Matriks Hamiltonian: E 0 E ss E ss E 0 E ss 0 0. H = 0 E ss E Ess E ss E 0 ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

96 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D Irisan dua fungsi gelombang yang bertetangga pada rantai atomik: 1s fungsi gelombang beririsan 1s Matriks Hamiltonian: E 0 E ss E ss E 0 E ss 0 0. H = 0 E ss E Ess E ss E 0 ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

97 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D Ditambah syarat periodisitas: ψ E 1 0 E ss E ss ψ 2. ψ 1 E ss E Ess 0 E ψ 2.. Ess 0 0 ψ = n. 0 0 E ss 0 ψ n.. 0 E ss 0.. E0 E ss. ψ N E ss E ss E ψ 0 N Untuk setiap baris matriks berlaku: Eψ n = E ss ψ n 1 + E 0 ψ n + E ss ψ n+1 ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

98 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D Ditambah syarat periodisitas: ψ E 1 0 E ss E ss ψ 2. ψ 1 E ss E Ess 0 E ψ 2.. Ess 0 0 ψ = n. 0 0 E ss 0 ψ n.. 0 E ss 0.. E0 E ss. ψ N E ss E ss E ψ 0 N Untuk setiap baris matriks berlaku: Eψ n = E ss ψ n 1 + E 0 ψ n + E ss ψ n+1 ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

99 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D Solusi Rantai 1D Tebak: ψ n = ψ 0 e inφ, sehingga ψ n 1 ψ n+1 E = E ss + E 0 + E ss = E ss e iφ + E 0 + E ss e +iφ ψ n ψ n = E 0 + 2E ss cos φ. Beri batasan E terkait dengan jumlah nilai eigen yang berhingga, tidak kontinu. Batasi rentang φ dan diskretisasi nilainya: ψ n = ψ 0 e in(φ+2π) = ψ 0 e inφ ; ψ n+1 = ψ 0 e in(n+1)φ = ψ 1 e inφ = 1 Nφ = 2πα φ = α 2π N Jika jarak antartitik kisi a, maka: φ α = k α a = α 2π N ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

103 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D Struktur Dua Atom per Titik Kisi Distorsi Peirl mengubah bentuk 1 atom (orbital) per titik kisi menjadi 2 atom (orbital) per titik kisi ' 2 2' 3 3' N N' Pers. matriks: E ψ 1 ψ 1. ψ N ψ N E 0 E ss E ss E ss E 0 E ss = E. ss E E ss ψ 1 ψ 1. ψ N ψ N ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

104 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D Struktur Dua Atom per Titik Kisi Distorsi Peirl mengubah bentuk 1 atom (orbital) per titik kisi menjadi 2 atom (orbital) per titik kisi ' 2 2' 3 3' N N' Pers. matriks: E ψ 1 ψ 1. ψ N ψ N E 0 E ss E ss E ss E 0 E ss = E. ss E E ss ψ 1 ψ 1. ψ N ψ N ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

105 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D Struktur Dua Atom per Titik Kisi Triks solusi {φ n } = φ N { ψ n ψ n } φ 1 H 11 H 12 φ 1 φ E 2. = H 21 H 22 H 23 φ. H 32 H dengan [ ] [ ] [ ] E 0 E ss E ss H nm =, H n,n+1 = E ss E 0 E, H n,n 1 = ss φ N ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

106 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D Solusi Dua Orbital Rantai Atom Untuk setiap baris persamaan matriks, dapat dituliskan Eφ n = H nn φ n + H n,n 1 φ n 1 + H n,n+1 φ n+1 Tebak solusi: φ n = φ 0 e ikna Substitusikan: Eφ 0 = H nn φ 0 + H n,n 1 e ika φ 0 + H n,n+1 e ika φ 0, menghasilkan [ ] E 0 E ss + E E{φ 0 } = sse ika E ss + E sse ika {φ 0 }. E 0 ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

109 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D Solusi Dua Orbital Rantai Atom Tentukan nilai eigen: E 0 E E ss + E sse ika E ss + E sse ika E 0 = 0 Hasilnya: E = E 0 ± E 2 ss + E 2 ss + 2E ss E ss cos(ka) Muncul dua cabang kurva yang berkaitan dengan jumlah basis (orbital atom) yang dipilih per titik kisi. ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

112 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D Hubungan Dispersi Hubungan dispersi untuk rantai atomik satu dimensi dengan dua atom per titik kisi. ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

113 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D Generalisasi Prosedur Prosedur perhitungan struktur energi untuk rantai atomik dapat diperluas untuk sembarang zat padat periodik dengan sembarang jumlah fungsi basis per titik kisi (atau sel satuan) Tinjau sebuah sel satuan n yang terkait dengan sel satuan tetangganya m oleh matriks [H nm ] berukuran (b b), dengan b adalah jumlah fungsi basis per sel satuan: [H nm ]{φ m } = E{φ n } Tebakan solusi: {φ m } = {φ 0 }e i k r m sehingga m E{φ 0 } = [h( k)]{φ 0 }; [h( k)] = m [H nm ]e i k ( r m r n) ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

116 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Graphene dan Semikonduktor Geometri Graphene y x sel satuan a 0 Sketsa graphene: sel satuan dipilih terdiri dari dua atom karbon. R = m a 1 + n a 2 a 1 = aˆx + bŷ a 2 = aˆx bŷ a = 3a 0 2 dan b = 3a0 2. ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

117 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Graphene dan Semikonduktor Geometri Graphene Kisi nyata dan kisi resiprok graphene. a 1 a, b 0,2 /3b b 1 /a, /3b a 2 a, b /a, /3b b 2 Vektor kisi resiprok K = M b 1 + N b 2 b1 = 2π( a 2 ẑ) a 1 ( a 2 ẑ = π a ˆx+π b ŷ; b2 = 2π(ẑ a 1) a 2 (ẑ a 1 ) = π a ˆx π b ŷ. ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

118 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Graphene dan Semikonduktor Perhitungan Dispersi Graphene Ukuran matriks [h( k)] bergantung pada jumlah fungsi basis per sel satuan. Cukup gunakan orbital p z untuk graphene ini: [ ] [ ] [ ] [h( E 0 t 0 te i k a 1 0 te i k a 2 k)] = + + t E [ ] [ ] te i k a 1 0 te i k a 2 0 [ ] [h( E 0 h 0 k)] = h 0 E 0 dengan h 0 = t(1 + e i k a 1 + e i k a 2 ) = t(1 + 2e ikxa cos(k y b). ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

121 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Graphene dan Semikonduktor Kurva Dispersi (Surface) untuk Graphene E = E 0 ± h 0 = E 0 ± t [ cos 2 (k y b) + 4 cos(k x a) cos(k y b) ] 1/2 3 2 E 1 t k y a k x a ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

122 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Graphene dan Semikonduktor Semikonduktor Zat Padat a y x Penampang dua dimensi dari kisi fcc. Setiap titik ditempati oleh satu macam atom. Dua kisi yang sama kemudian dapat membentuk struktur intan jika dipisahkan oleh seperempat jarak diagonal ruang. ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

123 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Graphene dan Semikonduktor Galium Arsenida Struktur Zincblende ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

124 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Graphene dan Semikonduktor Galium Arsenida Plot E( k) galium arsenida untuk setiap nilai k dalam rentang Γ X dan Γ L. Daerah Γ X terbentang pada k = 0 2π a ˆx (digambarkan di sumbu horizontal positif), sedangkan Γ L pada k = 0 π a (ˆx + ŷ + ẑ) (sumbu horizontal negatif). Celah energi: 1, 41 ev ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

125 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Struktur Nanomaterial Quantum Well, Wire, dan Dot Zat padat biasa Quantum well Quantum wire Quantum dot Struktur Bulk: Aproksimasi parabolik, E( k) E c + 2 (kx 2 + ky 2 + kz) 2 2m Quantum well: k z = nzπ L z (n z bilangan bulat) E nz (k x, k y ) E c + n 2 zɛ z + 2 (k 2 x + k 2 y) 2m ɛ z = 2 π 2 2m L 2 z ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

126 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Struktur Nanomaterial Quantum Well, Wire, dan Dot Quantum wire: E ny,n z (k x ) E c + n 2 yɛ y + n 2 zɛ z + 2 k 2 x 2m ɛ y = 2 π 2 2m L 2 y Quantum dot: E nx,n y,n z E c + 2 π 2 2m ( ) n 2 x L 2 + n2 y x L 2 + n2 z y L 2 z ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

127 Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Struktur Nanomaterial Ketersediaan Keadaan Energi pada Graphene Carbon Nanotube penggulungan graphene 3 2 E 1 t k y a k x a ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni / 70

Menunjukkan lagi