Kuliah Karbon Nanotube

Transkripsi

1 Kuliah Karbon Nanotube Hasdeo Tohoku University

2 Purpose 1 Persiapan skripsi Theoretical Condensed Matter 2 Dosen pembimbing: Dosen UB + R. Saito (wacana) 3 Target: Simple tight binding + Fortran 4 Problem: Hanya 4 kali pertemuan 5 Requirement: Solid state + Quantum

3 Contract Contract 1 4 kali pertemuan 1 Intro 2 Basic Tight Binding Method 3 Electronic structure of Graphene 4 Electronic structure of SWNT 2 Dokumentasi = Absen + tugas 3 Tugas: Analitik & Programming

4 Contract Outline 1 Quantum Mechanics Particle in a 1D box 2 Crystalline Solid Unit Cell Teorema Bloch Reciprocal Lattice 3 Tight Binding Method Denition Energy Eigenvalue Dispersi Energi 4 Summary 5 Tugas

5 Quantum Mechanics 1 Quantum: kuantisasi besaran sika 2 Menjadi model terbaik untuk menjelaskan fenomena mikroskopik 3 Persamaan Schrodinger 4 h2 2m 2 K, h2 2m 2 Ψ + V Ψ = EΨ (1) 5 Ψ natur gelombang sebuah partikel (de Broglie) 6 Hamiltonian H = K + V, Pers. (1), H Ψ = EΨ (2) 7 Turunkan persamaan Schrodinger dari hukum kekekalan energi

6 1D Box Particle in a 1D box 1 1D box untuk 0 x L: V = 0, d/dx 1 Pers. Schrodinger h2 2m 2 Solusi Ψ(x) = Ae ikx + Be ikx d 2 Ψ = EΨ (3) dx 2 3 Syarat batas Ψ(0) = 0, A = B, Ψ(x) = A sin(kx), ) 1/2 (2mE/ h 2 k = 4 Syarat batas Ψ(L)=0, kl = nπ 5 Kuantisasi energi:

7 Unit cell Crystalline Solid Crystal: atom yang periodik Unit cell: unit periodisitas terkecil Solusi bergantung pada bentuk unit cell Makin tinggi tingkat simetri makin mudah diselesaikan

8 Teorema Bloch Teorema Bloch Fungsi gelombang Ψ dalam kristal memenuhi teorema Bloch T ai Ψ(r) = Ψ(r + a i ) = e i k.a i Ψ(r) (5) T ai adalah operasi translasi sepanjang vektor a i, dan k wave vector Bentuk paling sederhana Ψ(r) = e i k.r plane wave Figure : Unit vektor kisi a i pada kristal kotak 2D

9 Reciprocal Lattice Reciprocal Lattice 1 Ingat persamaan gelombang Ψ(x) = e i kx 2 Karena teorema Bloch Ψ(x) = Ψ(x + a) e i kx = e i kx e i ka (6) 3 Vektor resiprok k memenuhi e i ka = 1 k = 2π/a untuk 1D 4 Untuk 3D, misal vektor unit a = (a 1, a 2, a 3 ), maka reciprocal vector k i = a j a k 2π, a i.(a j a k ) (i, j, k = 1..3)cyclic (7) a i.k j = 2πδ ij (8)

10 Reciprocal Lattice Reciprocal Lattice (2) 1 Tentukan reciprocal lattice vector untuk graphene unit cell dengan a 1 = a

11 Denition Tight Binding (TB) Method Aproksimasi TB elektron-inti kuat, atom-atom lemah lemah hooping electron inti kuat electron inti overlap Figure : Ilustrasi aproksimasi TB

12 Denition Tight Binding (TB) Method Fungsi gelombang Ψ dalam TB yang memenuhi Pers. (5) kombinasi linear orbital atom Ψ j (k, r) = n j =1 C jj (k)φ j (k, r) (9) Ψ j (k, r) adalah fungsi gelombang untuk state ke j (j = 1...n), n adalah jumlah atomik orbital, C jj adalah koesien yang akan dicari, dan Φ j (k, r) adalah fungsi Bloch diberikan oleh Φ j (k, r) = 1 N N R e i k.r ψ j (r R), (j = 1,..., n) (10) dengan R adalah posisi ( atom pada ) kisi, ψ j fungsi gelombang atomik orbital, dan N adalah jumlah unit cell.

13 Denition Quiz... Buktikan bahwa fungsi Bloch Pers. (10) memenuhi teorema Bloch Pers. (5) Φ j (k, r + a) = e i k.a Φ j (k, r) (11)

14 Denition Answer Φ j (k, r + a) = = 1 N N R e i k.r ψ j (r + a R) N 1 e i k.a N e i k.(r a) ψ j (r + a R) R a = e i k.a Φ j (k.r)

15 Eigenvalue Energy eigenvalue Energy eigenvalue ke j dapat diselesaikan dengan persamaan E j (k) = Ψ j H Ψ j Ψ j Ψ j = drψ j H Ψ j drψ j Ψ j (12) H adalah Hamiltonian zat padat. Dengan substitusi Pers. (10) ke Pers.(12) dan dengan sedikit mengganti indeks, kita dapatkan E i (k) = n j,j C ij C ij Φ j H Φ j n j,j C ij C ij Φ j Φ j = n j,j C ij C ij H jj n j,j C ij C ij S jj (13) H jj = Φ j H Φ j adalah transfer integral dan S jj = Φ j Φ j adalah overlap integral.

16 Eigenvalue Energy eigenvalue Dengan melakukan optimasi Pers.(13) dengan mengambil E i (k)/ C ij = 0, kita mendapatkan persamaan sekular n j =1 H jj (k) C ij = E i (k) n j =1 Dalam representasi mariks dapat dituliskan sebagai S jj (k) C ij (14) det[h E S] = 0 (15)

17 Dispersi Energi Prosedur Mendapatkan Dispersi Energi 1 Tentukan 1 unit cell dan unit vektor a i, 2 tentukan koordinat atom pada unit cell 3 dan tentukan jumlah n orbital atom yang diperhitungkan 2 Carilah Brillouin zone dan reciprocal lattice vector b i 3 Hitung H ij (k) dan S ij (k) 4 Selesaikan persamaan sekular, dapatkan E i (k) dan C ij (k).

18 Dispersi Energi Contoh Rantai Metal 1D Diketahui: 1 satu atom per unit cell, a i = a^x, jumlah orbital = 1 Ψ k (x) = 1 N N l=1 e ikla ψ (x la) (16) 2 Hamiltonian H = h2 2m 2 + V (x)

19 Dispersi Energi Contoh Rantai Metal 1D Dispersi energi E k (k) = Ψ k H Ψ k Ψ k Ψ k = (17) 1 N N l,m=1 eik(m l)a dxψ (x la)h ψ (x ma) 1 N N l,m=1 eik(m l)a dxψ (x la)ψ (x ma) (18) = N l,m=1 eik(m l)a H lm N l,m=1 eik(m l)a S lm (19)

20 Dispersi Energi Contoh Rantai Metal 1D Aproksimasi 1 tetangga terdekat, E j (k) = H 0 + e ika H 1 + e ika H 1 S 0 E j (k) = ε t cos(ka) Kerjakan soal yang sama untuk bila atom A dan B saling bergantian dengan transfer integral t 1 dan t 2.

21 Summary 1 Quantum mechanics solusi mikroskopik terbaik 2 Pers. Schrodinger sulit untuk diselesaikan untuk atom dalam jumlah banyak 3 Dengan periodisitas kristal masalah jadi sederhana (teorema Bloch) 4 Tight binding approximation state didenisikan 5 Dispersi energi secular equation + aproksimasi tetangga terdekat

22 Additional Task 1 Install linux 2 Install fortran composer XE 2013 linux 3 Download PPT ex.phys.tohoku.ac.jp/~hasdeo